Stell Dir vor, Du möchtest wissen, wie wahrscheinlich es ist, bei 8-maligem Münzwurf höchstens zweimal "Kopf" zu werfen. Du suchst also
\[F(2)=P(x\leq2)\]
Die zugehörige Verteilungsfunktion lässt Dich diese Wahrscheinlichkeit ablesen:
\[F(x)=\begin{cases} 0,0039 \,\text{für}\, x < 1 \\0,0352 \,\text{für}\, 1 \leq x < 2\\ 0,1445\,\text{für}\, 2 \leq x < 3\\0,3633 \,\text{für}\, 3 \leq x < 4\\ 0,6367 \,\text{für}\, 4 \leq x < 5\\ 0,8555 \,\text{für}\, 5 \leq x < 6\\0,9648 \,\text{für}\, 6 \leq x < 7\\0,9961 \,\text{für}\, 7 \leq x < 8\\ 1 \,\text{für}\, x \geq 8\\\end{cases}\]
Die Wahrscheinlichkeiten der Verteilungsfunktion lassen sich mit der Formel der Binomialverteilung berechnen.
Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit \(F(2)=P(x\leq2)\) rechnest Du also
\begin{align} F\, (x) &= P(X \leq k) \\ &= \sum_{i = 0}^{k} \left( \begin{array}{c} n\\ i \end{array} \right) \cdot p^i \cdot (1 - p)^{n-i} \\[0.1cm] F\, (2) &= P (X\leq2)\\&= \sum_{i = 0}^{2} \left( \begin{array}{c} 8 \\ \end{array} \right) \cdot 0{,}5^i \cdot (1 - 0{,}5)^{8-i}=0{,}1445 \,\% \end{align}
Wie Du die einzelnen Wahrscheinlichkeiten berechnen kannst, lernst Du in der Erklärung "Binomialverteilung".
Die Wahrscheinlichkeit bei 8 Würfen höchstens zweimal Kopf zu werfen, beträgt also \(0{,}1445 \,\%\).
Die Binomialverteilung lässt sich mit der Normalverteilung annähern, die Normalverteilung gehört aber zu den stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Entsprechend unterscheidet sich ihre Verteilungsfunktion von der Verteilungsfunktion der Binomialverteilung.
Du bist \(1{,}75\,\text{m}\) groß und möchtest wissen, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine zufällig ausgewählte Person aus Deiner Klasse kleiner ist als Du.
Dafür betrachtest Du die aufgestellte Verteilungsfunktion.
Abb. 6 - Verteilungsfunktion Normalverteilung.
Ein zufällig ausgewählter Mitschüler oder eine zufällig ausgewählte Mitschülerin ist also mit einer ungefähren Wahrscheinlichkeit von \(75\,\%\) kleiner als Du.
Die empirische Verteilungsfunktion findet bei Stichproben in der Statistik ihre Anwendung. Sie unterscheidet sich nicht wesentlich von den Verteilungsfunktionen, die Du bisher kennengelernt hast.
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