Verteilungsfunktion

Ein klassisches Beispiel für diskrete Wahrscheinlichkeiten ist der Würfelwurf.

Bei einem sechsseitigen Würfel beträgt die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Augenzahl zu würfeln \(\frac{1}{6}\). Für die Verteilungsfunktion summierst Du diese Wahrscheinlichkeit jetzt bis 1 auf. Die zugehörige Verteilungsfunktion ist

\[F(x)= \begin{cases} 0 \,\text{für} \, x < 1\\ \frac{1}{6} \,\text{für}\, 1 \leq x < 2\\ \frac{2}{6} \,\text{für}\, 2 \leq x < 3\\ \frac{3}{6} \,\text{für}\, 3 \leq x < 4\\ \frac{4}{6} \,\text{für}\, 4 \leq x < 5\\ \frac{5}{6} \,\text{für}\, 5 \leq x < 6\\ 1 \,\text{für}\, x\geq6 \end{cases} \]

Abb. 1 - Verteilungsfunktion Würfelwurf.

Es lässt sich also beispielsweise ablesen, dass die Wahrscheinlichkeit mindestens eine 3 zu würfeln \(\frac{3}{6}\) ist.

Als Beispiel wird hier das Gewicht einer zufällig ausgewählten Person gewählt.

Die Verteilungsfunktion gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine zufällig ausgewählte Person leichter als ein bestimmtes Gewicht oder gleich schwer ist.

Möchtest Du also beispielsweise wissen, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine zufällig ausgewählte Person leichter als \(70\,\text{kg}\) bzw. gleich schwer ist, könntest Du den ungefähren Wert von \(60\%\) ablesen.

Abb. 2 - Verteilungsfunktion Gewicht.

Stell Dir vor, Du möchtest wissen, wie wahrscheinlich es ist, bei 8-maligem Münzwurf höchstens zweimal "Kopf" zu werfen. Du suchst also

\[F(2)=P(x\leq2)\]

Die zugehörige Verteilungsfunktion lässt Dich diese Wahrscheinlichkeit ablesen:

\[F(x)=\begin{cases} 0,0039 \,\text{für}\, x < 1 \\0,0352 \,\text{für}\, 1 \leq x < 2\\ 0,1445\,\text{für}\, 2 \leq x < 3\\0,3633 \,\text{für}\, 3 \leq x < 4\\ 0,6367 \,\text{für}\, 4 \leq x < 5\\ 0,8555 \,\text{für}\, 5 \leq x < 6\\0,9648 \,\text{für}\, 6 \leq x < 7\\0,9961 \,\text{für}\, 7 \leq x < 8\\ 1 \,\text{für}\, x \geq 8\\\end{cases}\]

Die Wahrscheinlichkeiten der Verteilungsfunktion lassen sich mit der Formel der Binomialverteilung berechnen.

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit \(F(2)=P(x\leq2)\) rechnest Du also

\begin{align} F\, (x) &= P(X \leq k) \\ &= \sum_{i = 0}^{k} \left( \begin{array}{c} n\\ i \end{array} \right) \cdot p^i \cdot (1 - p)^{n-i} \\[0.1cm] F\, (2) &= P (X\leq2)\\&= \sum_{i = 0}^{2} \left( \begin{array}{c} 8 \\ \end{array} \right) \cdot 0{,}5^i \cdot (1 - 0{,}5)^{8-i}=0{,}1445 \,\% \end{align}

Die Wahrscheinlichkeit bei 8 Würfen höchstens zweimal Kopf zu werfen, beträgt also \(0{,}1445 \,\%\).

Du bist \(1{,}75\,\text{m}\) groß und möchtest wissen, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine zufällig ausgewählte Person aus Deiner Klasse kleiner ist als Du.

Dafür betrachtest Du die aufgestellte Verteilungsfunktion.

Abb. 6 - Verteilungsfunktion Normalverteilung.

Ein zufällig ausgewählter Mitschüler oder eine zufällig ausgewählte Mitschülerin ist also mit einer ungefähren Wahrscheinlichkeit von \(75\,\%\) kleiner als Du.

Aufgabe 1

Du wirfst einen 12-seitigen Würfel mit den Augenzahlen von eins bis zwölf.

Zeichne die zugehörige Verteilungsfunktion und bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Augenzahl kleiner oder gleich 8 ist.

Lösung

Wie auch bei dem Beispiel mit dem sechsseitigen Würfel handelt es sich hier um eine diskrete Verteilung.

Der Unterschied liegt darin, dass die Wahrscheinlichkeiten sich aufgrund der Anzahl der Seiten des Würfels unterscheiden.

Da die Anzahl der Seiten hier \(12\) beträgt, beträgt die Wahrscheinlichkeit für jede Augenzahl \(\frac{1}{12}\). Entsprechend summieren sich die Wahrscheinlichkeiten in der Verteilungsfunktion auf.

Die Verteilungsfunktion \(F(x)\) lautet

\[F(x)= \begin{cases} 0 \,\text{für} \, x < 1\\ \frac{1}{12} \,\text{für}\, 1 \leq x < 2\\ \frac{2}{12} \,\text{für}\, 2 \leq x < 3\\ \frac{3}{12} \,\text{für}\, 3 \leq x < 4\\ \frac{4}{12} \,\text{für}\, 4 \leq x < 5\\ \frac{5}{12} \,\text{für}\, 5 \leq x < 6\\\frac{6}{12} \,\text{für}\, 6 \leq x < 7\\\frac{7}{12} \,\text{für}\, 7 \leq x < 8\\\frac{8}{12} \,\text{für}\, 8 \leq x < 9\\\frac{9}{12} \,\text{für}\, 9 \leq x < 10\\\frac{10}{12} \,\text{für}\, 10 \leq x < 11\\\frac{11}{12} \,\text{für}\, 11 \leq x < 12\\ 1 \,\text{für}\, x\geq 12 \end{cases} \]

Abb. 5 - Würfelwurf mit 12-seitigem Würfel.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die gewürfelte Augenzahl kleiner oder gleich 8 ist, lässt sich sowohl an dem Funktionswert an der entsprechenden Stelle, als auch an der gezeichneten Verteilungsfunktion ablesen.

\[F(8)=P(x \leq 8)=\frac{8}{12}\]