Verteilungsfunktion

Wie wahrscheinlich ist es, bei einem Würfelwurf eine Augenzahl kleiner oder gleich 2 zu würfeln?

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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe

    Solche Informationen lassen sich mit der Verteilungsfunktion bestimmen. Besondere Vertreter von Verteilungen sind die Binomialverteilung und die Normalverteilung.

    Was das genau ist, wie Du außerdem eine solche Verteilungsfunktion zeichnen kannst und zwischen welchen Fällen unterschieden werden muss, lernst Du in dieser Erklärung.

    Verteilungsfunktion – Definition

    Verteilungsfunktionen bilden die Verteilung der Wahrscheinlichkeiten eines Zufallsexperimentes ab.

    Eine Verteilungsfunktion \(F\) ist eine Funktion, die jedem Wert \(x_i\) einer Zufallsgröße \(X\) die Wahrscheinlichkeit \(P(X \leq x_i)\) zuordnet.

    \[F(x)=P(X\leq x)\]

    Du kannst anhand der Verteilungsfunktion also erkennen, wie groß die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ergebnisses kleiner oder gleich einem bestimmten Wert ist.

    In der Stochastik gibt es sowohl stetige als auch diskrete Zufallsvariablen.

    Was der Unterschied zwischen stetigen und diskreten Zufallsvariablen ist, kannst Du in "Zufallsgröße" nachlesen.

    Entsprechend müssen auch die zugehörigen Verteilungsfunktionen zu den Zufallsvariablen in diskrete und stetige Verteilungsfunktionen unterteilt werden.

    Diskrete / Kumulative Verteilungsfunktion

    Diskrete Verteilungsfunktionen sehen aus wie Treppenstufen. Dabei bilden die einzelnen Stufen jeweils die Wahrscheinlichkeiten \(P(X \leq x_i)\) bis die Wahrscheinlichkeit \(P(X\leq x)=1\) beträgt.

    Ein klassisches Beispiel für diskrete Wahrscheinlichkeiten ist der Würfelwurf.

    Bei einem sechsseitigen Würfel beträgt die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Augenzahl zu würfeln \(\frac{1}{6}\). Für die Verteilungsfunktion summierst Du diese Wahrscheinlichkeit jetzt bis 1 auf. Die zugehörige Verteilungsfunktion ist

    \[F(x)= \begin{cases} 0 \,\text{für} \, x < 1\\ \frac{1}{6} \,\text{für}\, 1 \leq x < 2\\ \frac{2}{6} \,\text{für}\, 2 \leq x < 3\\ \frac{3}{6} \,\text{für}\, 3 \leq x < 4\\ \frac{4}{6} \,\text{für}\, 4 \leq x < 5\\ \frac{5}{6} \,\text{für}\, 5 \leq x < 6\\ 1 \,\text{für}\, x\geq6 \end{cases} \]

    Verteilungsfunktion kumulative Beispiel Würfelwurf StudySmarterAbb. 1 - Verteilungsfunktion Würfelwurf.

    Es lässt sich also beispielsweise ablesen, dass die Wahrscheinlichkeit mindestens eine 3 zu würfeln \(\frac{3}{6}\) ist.

    Stetige Verteilungsfunktion

    Während die Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsvariable stufenweise verläuft, zeichnet sich bei einer stetigen Zufallsvariable ein zusammenhängender Graph ab.

    Als Beispiel wird hier das Gewicht einer zufällig ausgewählten Person gewählt.

    Die Verteilungsfunktion gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine zufällig ausgewählte Person leichter als ein bestimmtes Gewicht oder gleich schwer ist.

    Möchtest Du also beispielsweise wissen, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine zufällig ausgewählte Person leichter als \(70\,\text{kg}\) bzw. gleich schwer ist, könntest Du den ungefähren Wert von \(60\%\) ablesen.

    Verteilungsfunktion stetige Verteilung StudySmarterAbb. 2 - Verteilungsfunktion Gewicht.

    Dichtefunktion Verteilungsfunktion

    Die Verteilungsfunktion ist die Stammfunktion der Wahrscheinlichkeitsverteilung, welche bei stetigen Zufallsvariablen auch Dichtefunktion genannt wird.

    Die Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Würfelwurfes sieht beispielsweise so aus.

    Verteilungsfunktion Dichtefunktion StudySmarterAbb. 3 - Wahrscheinlichkeitsverteilung Würfelwurf.

    Einige Beispiele und Abbildungen zur Dichtefunktion findest Du in der Erklärung "Wahrscheinlichkeitsfunktion".

    Verteilungsfunktion bestimmen und berechnen – Beispiele

    Du weißt jetzt bereits, was und wie an einer Verteilungsfunktion abgelesen werden kann. Aber wie kannst Du eine Verteilungsfunktion zeichnen und bestimmen?

    Verteilungsfunktion Normalverteilung und Binomialverteilung

    Die Binomialverteilung gehört zu den diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Ihre Verteilungsfunktion hat somit die charakteristische Treppenform.

    Stell Dir vor, Du möchtest wissen, wie wahrscheinlich es ist, bei 8-maligem Münzwurf höchstens zweimal "Kopf" zu werfen. Du suchst also

    \[F(2)=P(x\leq2)\]

    Die zugehörige Verteilungsfunktion lässt Dich diese Wahrscheinlichkeit ablesen:

    \[F(x)=\begin{cases} 0,0039 \,\text{für}\, x < 1 \\0,0352 \,\text{für}\, 1 \leq x < 2\\ 0,1445\,\text{für}\, 2 \leq x < 3\\0,3633 \,\text{für}\, 3 \leq x < 4\\ 0,6367 \,\text{für}\, 4 \leq x < 5\\ 0,8555 \,\text{für}\, 5 \leq x < 6\\0,9648 \,\text{für}\, 6 \leq x < 7\\0,9961 \,\text{für}\, 7 \leq x < 8\\ 1 \,\text{für}\, x \geq 8\\\end{cases}\]

    Die Wahrscheinlichkeiten der Verteilungsfunktion lassen sich mit der Formel der Binomialverteilung berechnen.

    Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit \(F(2)=P(x\leq2)\) rechnest Du also

    \begin{align} F\, (x) &= P(X \leq k) \\ &= \sum_{i = 0}^{k} \left( \begin{array}{c} n\\ i \end{array} \right) \cdot p^i \cdot (1 - p)^{n-i} \\[0.1cm] F\, (2) &= P (X\leq2)\\&= \sum_{i = 0}^{2} \left( \begin{array}{c} 8 \\ \end{array} \right) \cdot 0{,}5^i \cdot (1 - 0{,}5)^{8-i}=0{,}1445 \,\% \end{align}

    Wie Du die einzelnen Wahrscheinlichkeiten berechnen kannst, lernst Du in der Erklärung "Binomialverteilung".

    Die Wahrscheinlichkeit bei 8 Würfen höchstens zweimal Kopf zu werfen, beträgt also \(0{,}1445 \,\%\).

    Die Binomialverteilung lässt sich mit der Normalverteilung annähern, die Normalverteilung gehört aber zu den stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Entsprechend unterscheidet sich ihre Verteilungsfunktion von der Verteilungsfunktion der Binomialverteilung.

    Du bist \(1{,}75\,\text{m}\) groß und möchtest wissen, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine zufällig ausgewählte Person aus Deiner Klasse kleiner ist als Du.

    Dafür betrachtest Du die aufgestellte Verteilungsfunktion.

    Verteilungsfunktion Normalverteilung StudySmarterAbb. 6 - Verteilungsfunktion Normalverteilung.

    Ein zufällig ausgewählter Mitschüler oder eine zufällig ausgewählte Mitschülerin ist also mit einer ungefähren Wahrscheinlichkeit von \(75\,\%\) kleiner als Du.

    Weitere Beispiele und genaueres zur Rechnung mit der Normalverteilung findest Du in der Erklärung "Normalverteilung".

    Empirische Verteilungsfunktion zeichnen

    Die empirische Verteilungsfunktion findet bei Stichproben in der Statistik ihre Anwendung. Sie unterscheidet sich nicht wesentlich von den Verteilungsfunktionen, die Du bisher kennengelernt hast.

    Die empirische Verteilungsfunktion ist die Verteilungsfunktion der empirischen Verteilung.

    \[F(x_{n})=\frac{\text{Anzahl Werte der Stichprobe} \leq x_{n} }{\text{Anzahl Werte Stichprobe gesamt}}= \sum_{i=1}^{n}h(x_{i})\]

    Die empirische Verteilungsfunktion \(F(x_{n})\) entspricht also für einen bestimmten Wert der Summe der relativen Häufigkeiten aller Werte kleiner oder gleich dem bestimmten Wert.

    Beim Zeichnen von empirischen Verteilungen kannst Du Dich an dem Zeichnen von diskreten Verteilungsfunktionen orientieren, da die empirische Verteilung zu den diskreten Verteilungen gehört.

    Entsprechend hast Du bei der empirischen Verteilungsfunktion die für diskrete Verteilungen klassische Treppenstufenform.

    Verteilungsfunktion Übung

    Teste Dein Wissen gleich an einer Übungsaufgabe!

    Aufgabe 1

    Du wirfst einen 12-seitigen Würfel mit den Augenzahlen von eins bis zwölf.

    Zeichne die zugehörige Verteilungsfunktion und bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Augenzahl kleiner oder gleich 8 ist.

    Lösung

    Wie auch bei dem Beispiel mit dem sechsseitigen Würfel handelt es sich hier um eine diskrete Verteilung.

    Der Unterschied liegt darin, dass die Wahrscheinlichkeiten sich aufgrund der Anzahl der Seiten des Würfels unterscheiden.

    Da die Anzahl der Seiten hier \(12\) beträgt, beträgt die Wahrscheinlichkeit für jede Augenzahl \(\frac{1}{12}\). Entsprechend summieren sich die Wahrscheinlichkeiten in der Verteilungsfunktion auf.

    Die Verteilungsfunktion \(F(x)\) lautet

    \[F(x)= \begin{cases} 0 \,\text{für} \, x < 1\\ \frac{1}{12} \,\text{für}\, 1 \leq x < 2\\ \frac{2}{12} \,\text{für}\, 2 \leq x < 3\\ \frac{3}{12} \,\text{für}\, 3 \leq x < 4\\ \frac{4}{12} \,\text{für}\, 4 \leq x < 5\\ \frac{5}{12} \,\text{für}\, 5 \leq x < 6\\\frac{6}{12} \,\text{für}\, 6 \leq x < 7\\\frac{7}{12} \,\text{für}\, 7 \leq x < 8\\\frac{8}{12} \,\text{für}\, 8 \leq x < 9\\\frac{9}{12} \,\text{für}\, 9 \leq x < 10\\\frac{10}{12} \,\text{für}\, 10 \leq x < 11\\\frac{11}{12} \,\text{für}\, 11 \leq x < 12\\ 1 \,\text{für}\, x\geq 12 \end{cases} \]

    Verteilungsfunktion Übung StudySmarterAbb. 5 - Würfelwurf mit 12-seitigem Würfel.

    Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die gewürfelte Augenzahl kleiner oder gleich 8 ist, lässt sich sowohl an dem Funktionswert an der entsprechenden Stelle, als auch an der gezeichneten Verteilungsfunktion ablesen.

    \[F(8)=P(x \leq 8)=\frac{8}{12}\]

    Verteilungsfunktion – Das Wichtigste

    • Eine Verteilungsfunktion \(F\) ist eine Funktion, die jedem Wert \(x_i\) einer Zufallsgröße \(X\) die Wahrscheinlichkeit \(P(X \leq x_i)\) zuordnet.
    • Die Verteilungsfunktion lautet allgemein \(F(x)=P(X\leq x)\)
    • Diskrete Verteilungsfunktionen sehen aus wie Treppenstufen. Dabei bilden die einzelnen Stufen jeweils die Wahrscheinlichkeiten \(P(X \leq x_i)\) bis die Wahrscheinlichkeit \(P(X\leq x)=1\) beträgt.
    • Während die Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsvariable stufenweise verläuft, zeichnet sich bei einer stetigen Zufallsvariable ein zusammenhängender Graph ab.
    Häufig gestellte Fragen zum Thema Verteilungsfunktion

    Was sagt die Verteilungsfunktion aus?

    Du kannst anhand der Verteilungsfunktion erkennen, wie groß die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ergebnisses kleiner oder gleich einem bestimmten Wert ist.

    Wann handelt es sich um eine Verteilungsfunktion und wann um eine Dichtefunktion?

    Die Verteilungsfunktion ist die Stammfunktion der Dichtefunktion und lässt sich somit aus ihr ableiten.

    Welche Verteilungsfunktionen gibt es?

    Es gibt sowohl diskrete als auch stetige Verteilungsfunktionen.

    Wie berechnet man die empirische Verteilungsfunktion?

    Die empirische Verteilungsfunktion berechnest Du, indem Du die relativen Häufigkeiten bis zum Messwert aufaddierst.

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