Fehler Hypothesentest

"Irren ist menschlich" lautet eine bekannte Redewendung. Und so können auch bei der Annahme oder beim Ablehnen der Nullhypothese in Hypothesentests Fehler auftreten. Diese Fehler werden Fehler 1. und 2. Art genannt. Aber was ist ein Fehler 1. oder 2. Art überhaupt?

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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe

    Grundlagen – Hypothesentest

    Fehler 1. und 2. Art treten bei einem Hypothesentest auf. Ein Hypothesentest wird angewendet, um die Ergebnisse einer Stichprobe zu beurteilen. Jeder Hypothesentest hat eine Nullhypothese und eine Alternativhypothese. Die Nullhypothese beschreibt den Ausgangszustand. Es wird ein Annahme- sowie Ablehnungsbereich der Nullhypothese bestimmt und auf Grundlage der Stichprobenergebnisse entschieden, ob die Nullhypothese angenommen oder abgelehnt wird. Die Alternativhypothese ist das Gegenteil zur Nullhypothese.

    Wenn Du mehr über das grundlegende Durchführen eines Hypothesentests wissen möchtest, kannst Du Dir die Erklärungen "Hypothesentest" ansehen. Wie genau Du die Nullhypothese aufstellst und welche Bedeutung sie hat, erfährst Du in der Erklärung "Nullhypothese".

    Hypothesentest – Fehlerarten

    Die Nullhypothese in einem Hypothesentest kann angenommen oder abgelehnt werden. Du führst eine Stichprobe durch und entscheidest auf Grundlage des Ergebnisses der Stichprobe, ob dieses im Annahme- oder Ablehnungsbereich der Nullhypothese liegt.

    Fehler 1. Art – Alpha-Fehler

    Stell Dir vor, das Ergebnis der Stichprobe liegt im Ablehnungsbereich der Nullhypothese. Du lehnst die Nullhypothese daher ab. Nun ist die Nullhypothese aber wahr. Sie wurde irrtümlicherweise abgelehnt.

    Das Ablehnen der Nullhypothese eines Hypothesentests, obwohl sie wahr ist, wird als Fehler 1. Art bezeichnet. Dieser Fehler 1. Art wird auch alpha-Fehler genannt.

    Für das fehlerhafte Ablehnen der Nullhypothese kann es verschieden Ursachen geben. Es ist unter anderem möglich, dass die Strichprobe die Grundgesamtheit nicht ausreichend widerspiegelt.

    Die Nullhypothese $$H_0:90\,\%\text{ der Weltbevölkerung haben braune Augen}$$ soll überprüft werden. Es wird eine Stichprobe in einer Stadt in Deutschland durchgeführt. Die Alternativhypothese des Hypothesentests ist: $$H_1:\text{weniger als }90\,\%\text{ der Weltbevölkerung haben braune Augen}$$

    Das Ergebnis der Stichprobe liegt im Ablehnungsbereich der Nullhypothese.

    Jetzt ist es aber so, dass tatsächlich 90 Prozent der Weltbevölkerung braune Augen haben. In Deutschland selber ist die Verteilung anders. Dort ist zwar auch braun die häufigste Augenfarbe, aber der Prozentsatz ist deutlich geringer.

    In diesem Beispiel entsteht ein Fehler 1. Art, da die Stichprobe nicht passend zur Grundgesamtheit ist.

    Meist ist beim Ablehnen der Nullhypothese aber nicht bekannt, dass sie eigentlich wahr ist.

    Fehler 2. Art – Beta-Fehler

    Es gibt noch eine weitere Fehlermöglichkeit beim Hypothesentest. Aufgrund des Stichprobenergebnisses wird die Nullhypothese eines Hypothesentests angenommen, sie ist aber falsch.

    Das Annehmen der Nullhypothese eines Hypothesentests, obwohl sie falsch ist, wird als Fehler 2. Art bezeichnet. Dieser Fehler 2. Art wird auch beta-Fehler genannt.

    Beim Fehler 2. Art wird also etwas Falsches als richtig angenommen.

    Ein Losverkäufer behauptet, dass 50 Prozent seiner Lose Gewinne sind. Du vermutest weniger Gewinne und möchtest dies mit einem Hypothesentest überprüfen. Die Nullhypothese lautet $$H_0:\text{Die Gewinnwahrscheinlichkeit beträgt }50\,\%$$

    Die Alternativhypothese ist

    $$H_1:\text{Die Gewinnwahrscheinlichkeit ist kleiner als }50\,\%$$

    Du ziehst 10 Lose und bestimmst den Annahme- und den Ablehnungsbereich der Nullhypothese mit dem Signifikanzniveau \(\alpha=0,05\). Es handelt sich um einen linksseitigen Hypothesentest. Der Annahmebereich ist \( A=\{2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\) und der Ablehnungsbereich \( \overline{A}=\{0,1\}\). Von deinen gezogenen 10 Losen sind genau 3 Gewinne.

    Du nimmst die Nullhypothese an.

    Der Losverkäufer weiß aber, dass seine Aussage falsch ist. Die Gewinnwahrscheinlichkeit beträgt wirklich weniger als 50 Prozent.

    Ein möglicher Grund für diesen Fehler 2. Art kann die geringe Stichprobengröße sein.

    Du möchtest genauer wissen, wie Du den Annahme- und den Ablehnungsbereich bei einem Hypothesentest bestimmst? Dann sieh Dir die Erklärung "Hypothesentest" an.

    Fehler 1. und 2. Art – Übersicht

    In der folgenden Tabelle findest Du eine Übersicht über den Fehler 1. und 2. Art. Dargestellt sind auch die beiden richtigen Entscheidungen.

    Nullhypothese \(H_0\) ist wahrNullhypothese \(H_0\) ist falsch
    Nullhypothese wird angenommenrichtige Entscheidungfalsche EntscheidungFehler 2. Art
    Nullhypothese wird abgelehntfalsche EntscheidungFehler 1. Artrichtige Entscheidung

    Achtung: Fehler 1. und 2. Art können auch auftreten, obwohl die Stichprobe repräsentativ und ausreichend groß ist. Das Ergebnis der Stichprobe kann zufällig im Ablehnungsbereich liegen, obwohl die Nullhypothese wahr ist und umgekehrt.

    Fehlerwahrscheinlichkeiten berechnen

    Wie groß ist nun aber die Wahrscheinlichkeit, bei einem Hypothesentest einen Fehler 1. oder 2. Art zu begehen?

    Fehler 1. Art – Wahrscheinlichkeit berechnen

    Die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. Art bei einem Hypothesentest hängt direkt mit dem Signifikanzniveau zusammen.

    Das Signifikanzniveau \(\alpha\) wird vor dem Hypothesentest selbst festgelegt. Es beschreibt genau die maximale Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Nullhypothese fälschlicherweise abgelehnt wird (Fehler 1. Art). Typische Werte für das Signifikanzniveau sind \(\alpha=0,05\) oder \(\alpha=0,1\). Ist zum Beispiel \(\alpha=0,05\), bedeutet dies, dass der Annahme- sowie Ablehnungsbereich so gewählt werden, dass die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art kleiner als 0,05 ist.

    Daraus folgt bereits, dass die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art nie größer als das Signifikanzniveau sein kann.

    Du kannst die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art aber auch direkt berechnen. Dazu bestimmst Du zuerst den Ablehnungsbereich. Dann berechnest Du die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Wert aus dem Ablehnungsbereich eintritt. Dies ist die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art.

    Aufgabe 1

    Eine große Studie hat ergeben, dass 60 Prozent der Schülerinnen und Schüler Englisch mögen. Frau Schmidt möchte herausfinden, ob diese Hypothese auch für ihre Schule zutrifft und befragt 100 Schülerinnen und Schüler der Schule.

    Bestimme die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art.

    Lösung

    Zuerst werden die Nullhypothese und die Alternativhypothese aufgestellt.

    \begin{align}H_0:\,p=0,6\\H_1:\,p\neq0,6\end{align}

    Die angegebene Wahrscheinlichkeit in der Hypothese ist die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass ein* zufällig ausgewählte*r Schüler*in Englisch mag. Das Signifikanzniveau ist \(\alpha=0,05\).

    Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Nullhypothese abgelehnt wird, obwohl wirklich 60 Prozent der Schülerinnen und Schüler Englisch mögen.

    Du bestimmt den Ablehnungsbereich. Es handelt sich um einen beidseitigen Hypothesentest.

    Der Ablehnungsbereich \(\overline{A}\) ist $$\overline{A}=\{0,\dots,49,70,\dots,100\}$$

    Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art ist genau die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Element aus dem Ablehnungsbereich eintritt. Du kannst jetzt die Wahrscheinlichkeit für jedes Element aus dem Ablehnungsbereich berechnen und dann addieren. Der Ablehnungsbereich ist allerdings groß. Hier bietet es sich auf jeden Fall an, die kumulierte Wahrscheinlichkeit zu verwenden. Es ist

    $$P(Fehler\,1.\,Art)=P(X\leq49)+P(X\geq70)$$

    Die Wahrscheinlichkeit \(P(X\leq49)\) kannst Du direkt aus der Tabelle ablesen. Es ist

    $$P(X\leq49)=0,01676$$

    Die Wahrscheinlichkeit \(P(X\geq70)\) formst Du um, um aus der Tabelle ablesen zu können.

    \begin{align}P(X\geq70)&=1-P(X<70) \\ &=1-P(X\leq69)\\&=1-0,97522 \\ &=0,02478\end{align}

    Jetzt addierst Du diese beiden Wahrscheinlichkeiten und erhältst:

    \begin{align} P(Fehler\,1.\,Art)&=0,01676+0,02478\\&=0,26456 \end{align}

    Die Wahrscheinlichkeit einen Fehler 1. Art zu begehen, also anzunehmen, dass nicht 60 Prozent der Schülerinnen und Schüler Englisch mögen, obwohl dies so ist, ist 0,26456.

    Du möchtest genauer wissen, wie Du bei der kumulierten Wahrscheinlichkeit umformst, um aus der Tabelle ablesen zu können? Dann sie Dir die Erklärung "Kumulierte Binomialverteilung" an.

    Mit dem Festlegen des Signifikanzniveaus versuchst Du, das Auftreten eines Fehlers 1. Art zu beeinflussen. Je kleiner das Signifikanzniveau ist, desto geringer ist die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art beim Hypothesentest. Das Signifikanzniveau kann bereits vorgegeben sein, oder Du sollst es selber auswählen.

    Fehler 2. Art – Wahrscheinlichkeit berechnen

    Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art kannst Du in den allermeisten Fällen nicht berechnen. Denn die Alternativhypothese des Hypothesentests erhält meist keine konkrete Wahrscheinlichkeit.

    Zur Erinnerung: Die Alternativhypothese ist überwiegend das Gegenteil der Nullhypothese. Sie gibt an, ob die Wahrscheinlichkeit kleiner, größer oder einfach nur ungleich der Wahrscheinlichkeit aus der Nullhypothese ist.

    In der Erklärung "Hypothesentest" findest Du eine Übersicht über die verschiedenen Möglichkeiten für Alternativhypothesen.

    Um die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 2. Art zu berechnen, müsstest Du die Alternativwahrscheinlichkeit kennen und damit die Wahrscheinlichkeit des Annahmebereiches der Nullhypothese berechnen.

    Schau Dir noch einmal das Beispiel von eben an. Ein Fehler 2. Art entsteht, wenn das Ergebnis der Stichprobe im Annahmebereich der Nullhypothese liegt, obwohl sie falsch ist.

    Um die Wahrscheinlichkeit dieses Fehlers zu berechnen, müsstet Du wissen, wie viele Schüler*innen wirklich Englisch mögen. Du bräuchtest also eine Alternativwahrscheinlichkeit in der Alternativhypothese.

    Sowohl bei einseitigen als auch bei zweiseitigen Hypothesentests enthält die Alternativhypothese keine konkrete Wahrscheinlichkeit. Du kannst die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 2. Art nicht berechnen.

    Eine Ausnahme stellt der Alternativtest dar. Beim Alternativtest enthält die Alternativhypothese eine konkrete Wahrscheinlichkeit. In diesem Fall kannst Du die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 2. Art mit dieser Alternativwahrscheinlichkeit bestimmen.

    Ein Alternativtest ist ein besonderer Hypothesentest. Auch dieser Hypothesentest hat zwei zugrundeliegende Hypothesen. Sie enthalten jedoch beide einen konkreten Wert für die Wahrscheinlichkeit \(p\). Bei einem "normalen" Hypothesentest hingegen ist die Alternativhypothese genau das Gegenteil der Nullhypothese und enthält keinen konkreten Wert für die Wahrscheinlichkeit.

    In einer Fabrik produzieren zwei Maschinen Eiswaffeln. Bei Maschine A sind 1 Prozent der Eiswaffeln fehlerhaft. Maschine B arbeitet etwas besser und produziert nur 0,5 Prozent fehlerhafte. Deswegen werden die Eiswaffeln getrennt verpackt und mit unterschiedlichen Preisen verkauft.

    Bei einigen Kartons fehlt die Beschriftung A oder B. Einige der Eiswaffeln sollen nun stichprobenartig untersucht werden und daraufhin entschieden werden, ob es sich um A oder B handelt.

    Für diesen Test gibt es zwei Hypothesen mit konkreten Werten:

    \begin{align}H_1:\text{Die Wahrscheinlichkeit für eine kaputte Waffel ist }p=0,1\\H_2:\text{Die Wahrscheinlichkeit für eine kaputte Waffel ist }p=0,05\end{align}

    Es handelt sich hier um einen Alternativtest.

    Fehler Hypothesentest – Aufgaben

    Die folgenden Aufgaben kannst Du nutzen, um das Angeben und Berechnen von Fehlern in der Stochastik zu üben.

    Aufgabe 2

    Eine Druckerei gibt an, dass bei einem Prozent der Drucke Fehler entstehen. Ein Kunde ist unzufrieden und meint, dass er mehr Fehldrucke erhalten hat. Deswegen soll seine Bestellung mit einer Stichprobe überprüft werden.

    a) Stelle die Nullhypothese und die Alternativhypothese des Hypothesentests auf.

    b) Beschreibe, wann ein Fehler 1. Art und wann ein Fehler 2. Art auftritt.

    Lösung

    a)

    Die Nullhypothese lautet:

    $$H_0:\text{Die Wahrscheinlichkeit eines Fehldrucks ist }p=0,01$$

    Die Alternativhypothese ist:

    $$H_1:\text{Die Wahrscheinlichkeit eines Fehldrucks ist }p>0,01$$

    Du kannst die Hypothesen auch auf andere Art formulieren. Inhaltlich sollten sie aber dies aussagen.

    b)

    Ein Fehler 1. Art entsteht, wenn aufgrund der Ergebnisse der Stichprobe davon ausgegangen wird, dass die Wahrscheinlichkeit für einen Fehldruck größer als 0,01 ist, sie aber wie von der Druckerei angegeben genau 0,01 ist. Die Nullhypothese wird abgelehnt, obwohl sie wahr ist.

    Ein Fehler 2. Art tritt auf, wenn die Wahrscheinlichkeit für einen Fehldruck aufgrund des Ergebnisses der Stichprobe weiterhin mit 0,01 angegeben wird, obwohl sie größer als 0,01 ist. Die Nullhypothese wird angenommen, obwohl sie falsch ist.

    Aufgabe 3

    Eine Jugendzeitschrift schreibt: "30 Prozent der Schüler*innen haben Sport als Lieblingsfach." Dies soll mit einer Stichprobe und Hypothesentest mit Signifikanzniveau \(\alpha=0,05\) überprüft werden.

    Die Hypothesen lauten:

    \begin{align}H_0:\text{Die Wahrscheinlichkeit für Sport als Lieblingsfach ist }p=0,3\\H_1:\text{Die Wahrscheinlichkeit für Sport als Lieblingsfach ist }p\neq0,3\end{align}

    Es werden 1000 Schülerinnen und Schüler nach ihrem Lieblingsfach befragt.

    a) Bestimme den Annahme- sowie den Ablehnungsbereich der Nullhypothese.

    b) Berechne die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art.

    Lösung

    a)

    Es handelt sich um einen beidseitigen Hypothesentest. Gesucht sind die kritischen Werte \(k_1,k_2\), sodass gilt:

    \begin{align}P(X\leq k_1)\leq0,025\\ P(X\geq k_2)\leq0,025\end{align}

    Es ist

    \begin{align}P(X\geq k_2)\leq0,025\\ \Leftrightarrow 1-P(X\leq k_2-1)\leq0,025\\\Leftrightarrow P(X\leq k_2-1)\geq 0,975 \end{align}

    Ablesen aus der Tabelle ergibt

    \begin{align}k_1=271\\k_2=330\end{align}

    Der Ablehnungsbereich \(\overline{A}\) ist

    $$\overline{A}=\{0,\dots,271,330,\dots,1000\}$$

    Der Annahmebereich \(A\) ist

    $$A=\{272,\dots,329\}$$

    b)

    Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art setzt sich zusammen aus \( P(X\leq271\) und \( P(X\geq330)\). Hier ist wieder

    \begin{align} P(X\geq300)&=1-P(X<330)\\&=1-P(X\leq329) \end{align}

    Ablesen aus der Tabelle ergibt

    \begin{align}P(X\leq271)=0,02381\\P(X\leq329)=0,97842\end{align}

    Daraus folgt

    \begin{align}P(X\geq330)&=1-0,97842\\&=0,02158\end{align}

    Schließlich ist

    \begin{align}P(Fehler\,1.\,Art)&=P(X\leq271)+P(X\geq330)\\&=0,02381+0,02158\\&=0,04539\end{align}

    Die Wahrscheinlichkeit bei diesem Hypothesentest einen Fehler 1. Art zu begehen beträgt 0,04539.

    Hier bietet es sich zum Schluss immer an einmal zu überprüfen, ob die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art kleiner als das Signifikanzniveau ist. Nur dann kann die Berechnung stimmen.

    Fehler Hypothesentest – Das Wichtigste

    • Beim Testen von Hypothesen können Fehler eintreten:
      • Fehler 1. Art
      • Fehler 2. Art
    • Der Fehler 1. Art tritt ein, wenn die Nullhypothese abgelehnt wird, obwohl sie wahr ist.
      • Der Fehler 1. Art wird auch alpha-Fehler genannt.
      • Du kannst die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art berechnen, indem Du die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Elements aus dem Ablehnungsbereich bestimmst.
      • Die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. Art ist immer kleiner als das Signifikanzniveau.
    • Der Fehler 2. Art tritt ein, wenn die Nullhypothese angenommen wird, obwohl sie falsch ist.
      • Der Fehler 2. Art wird auch beta-Fehler genannt.
      • Du kannst die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art meist nicht bestimmen.

    Nachweise

    1. Baum et al. (2009). Lambacher Schweizer 11/12, Mathematik für Gymnasien, Gesamtband Oberstufe Niedersachsen. Ernst Klett Verlag.
    2. Frost (2017). Statistische Testverfahren, Signifikanz und p-Werte: Allgemeine Prinzipien verstehen und Ergebnisse angemessen interpretieren. Springer Fachmedien.
    Häufig gestellte Fragen zum Thema Fehler Hypothesentest

    Wie kann ich den Fehler 2. Art verringern? 

    Du kannst die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art bei einem Hypothesentest verringern, indem Du darauf achtest, dass die Stichprobengröße ausreichend groß ist. Je größer die Stichprobe, desto unwahrscheinlicher ist das Auftreten eines Fehlers 2. Art.

    Wie kann ich den Fehler 1. Art verringern? 

    Du kannst die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art beim Hypothesentest verringern, indem Du das Signifikanzniveau senkst. Dadurch verkleinert sich der Ablehnungsbereich. Allerdings steigt dadurch die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art. 

    Was sagt ein Fehler 1. Art aus? 

    Ein Fehler 1. Art bei einem Hypothesentest bedeutet, dass die Nullhypothese abgelehnt wurde, obwohl sie wahr ist. Der Fehler 1. Art wird auch alpha-Fehler genannt.

    Was sagt ein Fehler 2. Art aus? 

    Ein Fehler 2. Art bei einem Hypothesentest bedeutet, dass die Nullhypothese angenommen wurde, obwohl sie falsch ist. 

    Der Fehler 2. Art wird auch beta-Fehler genannt.

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    Wann entsteht ein Fehler 1. Art bei einem Hypothesentest? Wähl aus.

    Wann entsteht ein Fehler 2. Art bei einem Hypothesentest? Wähl aus.

    Welche Bedeutung hat das Signifikanzniveau \(\alpha\) eines Hypothesentests für den Fehler 1. Art? Wähl aus.

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