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Kombination ohne Wiederholung

Ab und zu möchtest Du gerne eine kleine Süßigkeit genießen. Du schaust gerade in der Küche nach, allerdings ist der Kühlschrank ziemlich leer gefegt. Das einzige, was Du im Schränkchen gefunden hast, ist eine Tüte mit unterschiedlich gefärbten Bonbons. Deine Geschwister haben allerdings bereits etliche daraus genommen. Es gibt nur noch fünf blaue, drei rote und zwei gelbe Bonbons. Würdest Du nun ein Bonbon entnehmen, könntest Du dieses im Normalfall nicht mehr zurücklegen, da Du es gleich essen möchtest. Es sind also nur noch acht in der Tüte. Nimmst Du ein weiteres heraus, sind es noch sieben und so weiter.

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Kombination ohne Wiederholung

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Ab und zu möchtest Du gerne eine kleine Süßigkeit genießen. Du schaust gerade in der Küche nach, allerdings ist der Kühlschrank ziemlich leer gefegt. Das einzige, was Du im Schränkchen gefunden hast, ist eine Tüte mit unterschiedlich gefärbten Bonbons. Deine Geschwister haben allerdings bereits etliche daraus genommen. Es gibt nur noch fünf blaue, drei rote und zwei gelbe Bonbons. Würdest Du nun ein Bonbon entnehmen, könntest Du dieses im Normalfall nicht mehr zurücklegen, da Du es gleich essen möchtest. Es sind also nur noch acht in der Tüte. Nimmst Du ein weiteres heraus, sind es noch sieben und so weiter.

Kombination ohne Wiederholung Bonbon StudySmarter

Nun fragst Du Dich, wie viele Kombinationen es eigentlich gibt, diese Bonbons anzuordnen, aber die Reihenfolge interessiert Dich nicht. Die Frage, die Dich nun also beschäftigt, bezieht sich auf die Kombination ohne Wiederholung.

Kombination ohne Wiederholung – Grundlagenwissen

Zu Beginn sollst Du erst einmal grundlegend alle wichtigen Informationen zur Kombinatorik erhalten und auch den Unterschied zu anderen Zufallsexperimenten verstehen. Dabei wirst Du eventuell manche Konzepte bereits kennen, wie die Variation mit und ohne Wiederholung oder auch die Kombination mit Wiederholung. Die Kombinatorik ermöglicht es Dir in einer Wahrscheinlichkeitsrechnung, die Anordnung von Objekten zu bestimmen. Dabei sind grundsätzlich die Permutation, die Variation und die Kombination zu unterscheiden, wobei sich jede jeweils in die möglichen Kombinationen mit oder ohne Wiederholung aufteilt.

Kombination ohne Wiederholung – Kombinatorik

Eine der möglichen Kombinationen ist es, eine Permutation zu verwenden. Diese greift, falls alle Objekte aus einer Anfangsmenge verteilt werden.

Du betrachtest also den Fall, in dem die Anzahl der gezogenen und angeordneten Objekten gleich der Gesamtmenge ist.

k =n, für k gezogene Objekte aus n Objekten im Zufallsexperiment

Für das Urnenmodell werden also alle Kugeln mit oder ohne Wiederholung entnommen und die Anzahl an möglichen Kombinationen ermittelt, bzw. die Anordnung. Dabei handelt es sich um eine Permutation.

Du möchtest 20 Schülerinnen und Schüler auf Sitzplätze verteilen.

Hierbei werden dementsprechend alle Personen verteilt, wobei die Permutation ohne Wiederholung zu verwenden ist. Die Permutation mit Wiederholung ist dabei eher ungünstig, ansonsten würden die Personen als Option zurückgelegt werden und somit könnten auf einem Sitzplatz mehrere Schüler verteilt werden. Deshalb ist hier die Permutation ohne Wiederholung zu nutzen.

Wenn nur eine Stichprobe für Dein Zufallsexperiment interessant ist, gilt dabei:

k < n

Um das Beispiel der Kugeln aus einer Urne wieder zu nutzen, so würdest Du in diesen Fällen nur ein paar dieser Kugeln entnehmen, um eine Kombination dieser Kugeln zu ermöglichen. Dabei ist für die möglichen Kombinationen entscheidend, ob die Reihenfolge in der Wahrscheinlichkeitsrechnung eine Rolle spielt oder nicht.

Ist die Reihenfolge entscheidend, so handelt es sich um eine Variation. Wenn nun zum Beispiel auch eine Wiederholung möglich ist, so kann das Beispiel einer PIN der Variation mit Wiederholung zugeordnet werden.

Die Reihenfolge ist entscheidend, ob das System Deine PIN erkennt oder nicht, denn die Zahlen 1 - 2 - 3 - 4 und 4 - 3 - 2 - 1 sind für die Entsperrung nicht identisch, obwohl es dieselben Zahlen sind. Außerdem darf eine Zahl 4 - 4 - 4 - 4 gebildet werden. Somit darf eine Wiederholung von Zahlen stattfinden.

Die Kombination in einer Wahrscheinlichkeitsrechnung betrachtet die Reihenfolge eines Experimentes also nicht.

Du möchtest Dich in einem Geschäft zwischen 20 Kleidungsstücken entscheiden.

Hier interessieren Dich ausschließlich die Kombinationsmöglichkeiten, wobei für Dich wahrscheinlich uninteressant ist, ob erst die Hose und danach die Jacke in die Tüte gegeben werden oder umgekehrt. Die Reihenfolge ist für die möglichen Kombinationen also irrelevant.

Kombinatorik – Urnenmodell

Ein sehr bekanntes Beispiel aus dem Bereich der Kombinatorik ist das Urnenmodell. Welcher Fall aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung verwendet wird, hängt dabei von folgenden beiden Faktoren ab:

  • Beachtung der Reihenfolge (mit oder ohne)
  • Zurücklegen / Wiederholung (mit oder ohne)

Dabei werden jeweils k Elemente aus n Objekten in einer Menge gezogen.

Die nachfolgende Tabelle gibt Dir dabei einen groben Überblick.

VerwendungFaktorenFormel
Variation mit WiederholungPIN mit möglichen KombinationenMit ReihenfolgeMit Zurücklegennk
Variation ohne WiederholungDie drei besten Plätze bei einem RennenMit ReihenfolgeOhne Zurücklegenn!(n-k)!
Kombination mit WiederholungKauf von Kleidungsstücken mit Mehrfachauswahl für zum Beispiel eine HoseOhne ReihenfolgeMit Zurücklegenn + k - 1k
Kombination ohne WiederholungGewinnspiel 6 aus 49Ohne ReihenfolgeOhne Zurücklegennk

Die Tabelle soll Dir nur einen kurzen Überblick verschaffen. Möchtest Du weiter ins Detail gehen, findest Du die anderen drei Fälle auf den folgenden Seiten:

  • Ziehen aus einer Urne mit Reihenfolge mit Zurücklegen / Variation mit Wiederholung
  • Ziehen aus einer Urne mit Reihenfolge ohne Zurücklegen / Variation ohne Wiederholung
  • Ziehen aus einer Urne ohne Reihenfolge mit Zurücklegen / Kombination mit Wiederholung

Variation ohne Wiederholung – Eigenschaften

Die Kombination ohne Wiederholung stellt also einen der umfangreichsten Fälle der Kombinatorik dar. Dabei findest Du diesen Fall nicht nur bei einem Gewinnspiel vor, sondern auch bei anderen möglichen Kombinationen.

Variation ohne Wiederholung – Definition

Für verschiedene Möglichkeiten ist die Kombination ohne Wiederholung von Bedeutung.

Die Kombination ohne Wiederholung wählt k aus n Objekten aus, wobei die Reihenfolge nicht beachtet wird und jedes Objekt aus der Menge darf lediglich einmal ausgewählt werden.

Dabei beschreibt n die Anzahl an Elementen und k steht für die Ziehung, wobei pro Ziehung jeweils eine Kugel entnommen wird.

Die Formel lässt sich ausgesprochen aus "n über k" oder auch "k aus n" beschreiben:

nk

Kombination ohne Wiederholung Formel

Die Formel für die Kombination ohne Wiederholung wurde bereits in der Definition eingeführt, allerdings fehlt jetzt noch das Verständnis dafür, aus welchem Grund Du diese Formel verwenden kannst. Eine Alternativschreibweise für die Kombination ohne Wiederholung sieht folgendermaßen aus:

n!(n-k)! · k! =nk

Vielleicht hast Du bereits im Artikel zur Variation ohne Wiederholung vorbei geschaut. Die Formel sieht relativ ähnlich dazu aus.

Wenn Du nähere Informationen zur Variation ohne Wiederholung erhalten möchtest, oder auch dieses Thema mit der Kombination ohne Wiederholung verknüpfen möchtest, sieh doch gerne auf der Seite Ziehen aus einer Urne mit Reihenfolge ohne Zurücklegen / Variation ohne Wiederholung vorbei. Dort wird auch die entsprechende Formel ausführlich erklärt und mit Beispielen verdeutlicht.

Die Formel teilt sich dabei in verschiedene Komponenten auf. Diese Formel vereint viele Bedingungen innerhalb der Kombinatorik, wobei sie so elementar ist, dass sie zusätzlich für weitere mathematische Probleme verwendet wird. Zuerst sind die folgenden Komponenten in der Formel dargestellt:

n!Alle Permutationen(n-k)!Auswahl für k Objekte · 1k!ohne Reihenfolge

In dieser Formel sind also alle wichtigen Informationen dieser Wahrscheinlichkeitsrechnung verarbeitet:

n!Alle Permutationen: Auch als Fakultät über die Objekte bezeichnet. Es handelt sich um die Formel für die Permutation ohne Wiederholung, also alle Objekte werden ohne zurückgelegt zu werden ausgewählt.
(n-k)!Stichprobe: Es werden k aus n Objekten gewählt. Dies ist für die Kombination und Variation auch der Fall, da nur ein Teil der Objekte gesucht wird.
k!Ohne Reihenfolge: mit der Division mit der Fakultät von k (k!) wird die Formel für die Variation noch um die Objekte reduziert, die wegen einer anderen Reihenfolge eine andere Kombination hätten: Hier wird also beispielsweise 1 - 2 und 2 - 1 zu einer Kombination zusammengefügt, da die Reihenfolge uninteressant ist.

Kombination ohne Wiederholung Beispiel

Nutze nun dieses Beispiel um Dein Wissen über die Kombination ohne Wiederholung zu festigen. Dabei kannst Du dazu die Einleitung noch einmal ansehen.

Aufgabe 1

Die Bonbontüte kennst Du bereits. Deine Geschwister haben allerdings schon etliches genascht. Nun befinden sich nur noch 5 blaue, 3 rote und 2 gelbe Bonbons darin. Wie viele Kombinationsmöglichkeiten gibt es, diese Bonbons ohne Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge zu wählen, wenn Du drei Bonbons wählst?

Lösung

Wenn Du drei der Bonbons wählen möchtest, nutzt Du die Formel für die Kombination ohne Wiederholung.

nk =103

Kombination ohne Wiederholung berechnen

Um nun ein Gefühl dafür zu bekommen, wie solche Aufgaben zu lösen sind, kann Dir ein bekanntes Beispiel aus dem Urnenmodell behilflich sein. Dabei fragst Du Dich eventuell bereits, wie die Kombination ohne Wiederholung nicht nur angegeben, sondern auch berechnet werden kann. Für kleinere Zahlen kannst Du gerne die Alternativformel verwenden, ansonsten ist die Klammerschreibweise sehr schnell in den Taschenrechner einzugeben.

Kombination ohne Wiederholung – Handschriftlich berechnen

Für kleinere Zahlen und auch falls der Taschenrechner nicht zur Verfügung steht, ist es sinnvoll, selbst die Rechnung auf Papier/am Tablet durchzuführen. Dazu verwendest Du die Alternativformel:

n!(n-k)! · k!

In diesem Fall ist n =4 und k =2 gegeben. Dazu gibst Du erst beide Werte in die Formel hinein:

4!(4-2)! · 2! = 4!2! · 2!

Nun mag die Fakultät auf den ersten Blick etwas merkwürdig scheinen, allerdings ist eine Fakultät das Ergebnis der Multiplikation der natürlichen Zahlen kleiner und gleich der gewünschten Zahl. Dementsprechend erhältst Du diese Berechnung:

4 · 3 · 2 · 12 · 1 · 2 · 1 =244 =6

Werden die Zahlen allerdings größer, empfiehlt es sich, den Taschenrechner zu nutzen, wobei zwei Befehle für Dich interessant sind.

Kombination ohne Wiederholung – mit Taschenrechner berechnen

Dabei kannst Du die Taste nCr verwenden. Möchtest Du also die Formel in dieser Form...

nk

angeben, gehst Du wie folgt vor: Gebe die Zahl für das n in den Taschenrechner ein. Danach [SHIFT] in der linken oberen Ecke des Taschenrechners und nCr, das gelb markiert ist. Das ist die Taste für die Division. Danach gibst Du Dein k ein.

Für die folgende Formel...

105

tippst Du also: [10] + [SHIFT] + [÷] + [5]. Du bestätigst wie bei jeder Berechnung mit dem Gleichheitszeichen.

Alternativ kannst Du auch die Formel in dieser Form eintippen:

n!(n-k)! · k!

Für die Fakultät verwendest Du die Tasten: [SHIFT] + [x-1]

Klassischerweise kennst Du aus der Kombinatorik das Beispiel einer Urne mit Kugeln darin. Genau diese Wahrscheinlichkeitsrechnung für den Fall soll verwendet werden, um Dir die Kombination ohne Wiederholung nahe zu bringen.

In einer Urne befinden sich 10 grüne Kugeln. Sie sind nicht unterscheidbar. Du entnimmst nacheinander jeweils eine Kugel, schreibst Dir das Ergebnis auf und legst sie wieder zurück. Wie viele Kombinationsmöglichkeiten gibt es nach 5 Zügen?

Für dieses Beispiel siehst Du Dir am besten alle wichtigen Informationen an und trägst zusammen, was Du erhältst. Schematisch soll das in der folgenden Tabelle dargestellt sein.

In dieser Aufgabe handelt es sich um die Kombination ohne Wiederholung.

Wichtig für die Kombination ohne WiederholungInformationen aus der Aufgabenstellung
k aus n Objekten werden gezogenHier werden 5 Kugeln aus einer Urne mit insgesamt 10 Kugeln gezogen.
Die Reihenfolge spielt KEINE RolleDa es sich um 10 grüne Kugeln handelt, die nicht unterschieden werden können, ist die Reihenfolge nicht zu beachten.
Es findet eine Wiederholung stattDie Kugeln werden wieder zurückgelegt, also gibt es immer wieder dieselbe Wahrscheinlichkeit eine Kugel zu ziehen, nämlich 110.

Du besitzt nun also alle Informationen, die Du für die Berechnung der Lösung benötigst. Für die Anzahl an Kombinationen ist diese Formel für Dich interessant:

nk= 105

Das Ergebnis ist: 252

Kombination ohne Wiederholung ohne Reihenfolge – Hypergeometrische Verteilung

Die Hypergeometrische Verteilung gibt die Wahrscheinlichkeit an, wie häufig die Anzahl von gesuchten Objekten vorkommt, die eine gesuchte Eigenschaft haben.

Du kennst bereits die Formel und die Anwendung für die Kombination ohne Wiederholung. Sie beschreibt, wie viele mögliche Kombinationen es gibt, wenn Du k aus n Kugeln ziehst. Nun kann für Dich in einem Zufallsexperiment auch interessant sein, ob das Ziehen mancher Kugeln für Dich wichtiger ist als andere. Nehme Dazu folgendes Beispiel:

In einer Urne befinden sich insgesamt 10 Kugeln. Dabei ziehst Du fünf dieser Kugeln. Jetzt sind drei dieser zehn Kugeln schwarz und sieben dieser Kugeln rot. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit alle drei Kugeln zu ziehen?

Für diese Aufgabe benötigst Du insgesamt also vier verschiedene Informationen. Diesen werden unterschiedliche Buchstaben zugeordnet:

  • N: alle Kugeln (10 Kugeln)
  • n: Anzahl der gezogenen Kugeln (fünf Kugeln)
  • M: Anzahl der Kugeln, die Du gerne erhalten möchtest (drei schwarze Kugeln)
  • k: Anzahl der Elemente aus M, die in n enthalten sind (drei Kugeln)

Als Formel ist also folgendes gegeben:

MkN - Mn - kNn =3372105

Das bedeutet also im Nenner ist gegeben, wie viele Kugeln von den ganzen Kugeln N gezogen werden. Das entspricht der Kombination ohne Wiederholung. Im Zähler gibst Du an, dass Du von den möglichen drei schwarzen Kugeln alle ziehen möchtest und für die restlichen zwei bleiben die roten übrig. Das Endergebnis ist also:

1 · 21252 =112

Nähere Informationen zu diesem Thema findest Du unter Geometrische Verteilung.

Kombination ohne Wiederholung Aufgaben

Sowohl Kugeln als auch Bonbons sind interessante Fälle, die Du für die Kombination ohne Wiederholung gerne betrachten kannst. Allerdings gibt es auch weitere Fälle, die Du nun eigenständig in diesen Aufgaben lösen kannst.

Aufgabe 2

Ausgewählte Schüler in einer Klasse aus Düsseldorf dürfen den Landtag besuchen. Nur sieben der insgesamt 25 köpfigen Schulklasse dürfen bei dieser Veranstaltung teilnehmen. Wie groß ist die Anzahl der möglichen Kombinationen diese Schülerinnen und Schüler anzuordnen?

a) Die ausgewählten Kinder dürfen alles unternehmen, es gibt also keine Rangfolge.

b) Was wäre denn, würde der Ministerialbeauftragte ein Quiz veranstalten, wobei die Reihenfolge entscheidet, welchen Preis die Schüler erhalten?

Lösung

a) In diesem Fall handelt es sich um die Kombination ohne Wiederholung. Zum einen können Schülerinnen und Schüler nicht mehrmals den Landtag besuchen, sondern nur einmal. Außerdem spielt die Reihenfolge in diesem Beispiel keine Rolle, da die Schüler als eine Gruppe angesehen werden ohne einer Reihenfolge.

nk =257

bzw.

n!(n-k)! · k! =25!(25-7)! · 7!=25!18! · 7!=480 700

b) Nun ist die Reihenfolge entscheidend. Weiterhin gibt es keine Wiederholung. Wie Du aus der Wiederholung der Kombinatorik im Artikel erkennen kannst, ist für diesen Fall die Variation ohne Wiederholung für Dich von Bedeutung. Nutze dazu die Formel, wie sie in der Tabelle angegeben ist.

n!(n-k)! =25!(25-7)! =2 442 728 000

Aufgabe 3

Ein Klassiker: Das Lottospiel ist wohl eines der bekanntesten Beispiele für die Kombination ohne Wiederholung. Dabei gewinnt derjenige, der aus 49 Kugeln sechs Kugeln richtig errät. Verschiedene Zahlen hast Du eventuell in diesem Zusammenhang gehört, nun kannst Du sie selbst bestimmen.

a) Wie viele mögliche Kombinationen gibt es also sechs Kugeln aus 49 anzuordnen?

b) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit den Jackpot zu knacken? (Tipp: Sieh Dir dazu gerne den Deep Dive zur Hypergeometrischen Verteilung an.)

Lösung

a) Wie bereits erwähnt handelt es sich um die Kombination ohne Wiederholung, da:

  • Die Reihenfolge nicht interessant ist für den Gewinn.
  • Keine Zahl mehrfach vorkommen kann, also die Kugeln nicht wieder zurückgelegt werden.

496 =13 983 816 14 Mio.

b) Diese Aufgabe ist eher optional, Da hierbei auch das Wissen um die Hypergeometrische Verteilung interessant ist. Für das Lottobeispiel kannst Du die Wahrscheinlichkeit in der Formel so verwenden:

Kombinationen für 6 Kugeln · Kombination, keine andere Zahl aus den 43 zu erhaltenKombinationen von 6 aus 49 (siehe in a)

Du möchtest also alle sechs Nummern auf dem Zettel haben, die aus der Urne gezogen wurden und keine der verbleibenden 43. Die 43 ist die Differenz von 49 und sechs und gibt die Zahlen an, bei denen nichts gewonnen werden kann.

66 · 430496 = 1 · 1496= 113 983 816

Aufgabe 4

In einem Beutel befinden sich 55 Minitafeln Schokolade. Du ziehst drei Stück daraus. Wie viele Kombinationen gibt es, wenn die Tafeln nicht unterscheidbar sind und Du diese drei danach vernaschen willst?

Lösung

Du kannst davon ausgehen, dass die Tafeln nicht zurückgelegt werden, wenn Du sie danach essen möchtest und außerdem ist die Reihenfolge uninteressant. Für die Kombination ohne Wiederholung gilt dabei:

553 =26 235

Kombination ohne Wiederholung – Das Wichtigste

  • In der Kombinatorik gibt es die Unterscheidung für die Permutation, Kombination und Variation.
  • Bei einer Permutation werden alle Elemente gezogen, also gilt k =n. Für die Kombination spielt die Reihenfolge keine Rolle, für die Variation ist sie allerdings entscheidend.
  • Die Kombination ohne Wiederholung lässt sich über die Formel nk berechnen.
  • In der Formel für die Kombination ohne Wiederholung ist die Stichprobe und dass die Reihenfolge keine Rolle spielt angegeben.
  • Um die Kombination ohne Wiederholung im Taschenrechner zu verwenden, nutzt Du die Tasten [SHIFT] + [÷].
  • Du kannst mit der Kombination ohne Wiederholung/dem Binomialkoeffizienten auch die Hypergeometrische Verteilung berechnen.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Kombination ohne Wiederholung

Für die Kombination ohne Wiederholung zählt die Reihenfolge nicht und es findet keine Wiederholung statt. Hast Du vier Zahlen, ist noch die Frage, wie viele Du ziehen möchtest. Soll nur eine Zahl gezogen werden, sind 4 Kombinationen möglich, während bei 4 lediglich eine, da die Reihenfolge der gezogenen Zahlen nicht wichtig ist.

Für die Kombination ist die Reihenfolge uninteressant, während bei einer Variation die Reihenfolge eine Rolle spielt. Danach kannst Du für jeden der beiden Fälle jeweils mit oder ohne Wiederholung unterscheiden.

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Welchen Fall aus der Kombinatorik nutzt Du für eine PIN (4 stelliges Passwort mit Zahlen)?

Du gehst in ein Geschäft und kaufst Kleidungsstücke. Du kannst ein Teil auch mehrfach kaufen. Welches Zufallsexperiment aus der Kombinatorik passt für diesen Fall?

In einem Preisausschreiben bekommen die besten 5 Personen ein Geschenk. Der erste eine Reise und der zweite bis fünfte jeweils eine immer geringer werdende Anzahl an Kinotickets. Welches Zufallsexperiment passt zu diesem Fall?

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