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Lagemaße

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Mathe

In der deskriptiven Statistik ist häufig von Lagemaßen die Rede. Du möchtest wissen, was die Lagemaße konkret sind? Dann bist du hier genau richtig!

Lagemaße Erklärung StudySmarter

Die Lagemaße – auch Maße der zentralen Tendenz genannt – sind Kennzahlen in der Statistik, die das Zentrum von Verteilungen angeben.

Die Lagemaße dienen insbesondere bei großen Datenmengen der Zusammenfassung von Informationen. Dabei werden die Daten zu einem repräsentativen Wert zusammengefasst, der das Zentrum der Verteilung der Werte wiedergeben soll.

Lagemaße – Erklärung

Es gibt verschiedene Lagemaße.

Die drei wichtigsten Lagemaße sind die folgenden:

Jedes dieser Lagemaße hat seine Vor- und Nachteile. Häufig ist es abhängig vom Kontext, bei welchen Lagemaßen es sinnvoll ist, sie zu bestimmen.

Sowohl das arithmetische Mittel als auch der Median und der Modus geben das Zentrum der Verteilung wieder. Da die drei Lagemaße allerdings auf verschiedene Weise bestimmt werden, können die Werte dieser Lagemaße voneinander abweichen.

Um vollständige Informationen über das Zentrum einer Verteilung geben zu können, ist es wichtig, alle drei Lagemaße in Kombination zu betrachten.

Weitere wichtige Kennzahlen einer Wahrscheinlichkeitsverteilung sind die Quartile einer Verteilung.

Quartile teilen eine Datenmenge in vier gleich große Bereiche.

Lagemaße – Abgrenzung von den Streuungsmaßen

In der deskriptiven Statistik werden auch Streuungsmaße verwendet. Wichtige Streuungsmaße sind unter anderem die Varianz und die Standardabweichung.

Was die Gemeinsamkeiten und Unterschiede von Lagemaßen und Streuungsmaßen sind, erfährst du im folgenden Abschnitt.

Lagemaße Gemeinsamkeiten Unterschiede Streuungsmaße StudySmarter

Lagemaße und Streuungsmaße – Gemeinsamkeiten

Sowohl bei den Lagemaßen als auch den Streuungsmaßen handelt es sich um Kennzahlen der deskriptiven Statistik.

Lage- und Streuungsmaße werden verwendet, um die Informationen großer Datenmengen zusammenzufassen und übersichtlich darzustellen.

Dabei werden die Daten eines Datensatzes zu einem Kennwert zusammengefasst, der sämtliche Informationen über den Datensatz beinhaltet.

Lagemaße und Streuungsmaße – Unterschiede

Lagemaße und Streuungsmaße unterscheiden sich darin, worüber sie Auskunft geben.

Wie du bereits gelesen hast, informieren Lagemaße über das Zentrum einer Verteilung.

Streuungsmaße hingegen informieren darüber, wie die Werte der Verteilung im Allgemeinen um das von den Lagemaßen bestimmte Zentrum der Verteilung verteilt sind. Sie geben also die Variation um das Zentrum der Verteilung an.

Du möchtest mehr zum Thema Streuungsmaße wissen? Kein Problem, auch zu diesen Kennzahlen der Statistik haben wir einen eigenen Artikel verfasst, in dem du alles, was du über die Streuungsmaße wissen musst, erfährst.

Überblick über die Lagemaße

Wie bereits zu Beginn des Artikels erwähnt wurde, gibt es einige Lagemaße. Dieser Artikel soll dir einen groben Überblick über die wichtigsten Lagemaße verschaffen. Für jedes der Lagemaße haben wir auch einen separaten Artikel. Wenn also du mehr über eines oder mehrere der Lagemaße wissen möchtest, zögere nicht, dir den dazugehörigen Artikel im Anschluss an diesen Artikel anzuschauen.

Lagemaße Überblick StudySmarter

Überblick über die Lagemaße – Arithmetisches Mittel

Das arithmetische Mittel Lagemaße Arithmetisches Mittel StudySmarter ist der Wert, der sich im Durchschnitt für die Werte des Datensatzes ergibt.

Das arithmetische Mittel wird auch als Mittelwert oder umgangssprachlich als Durchschnitt bezeichnet.

Um das arithmetische Mittel zu berechnen, bildest du die Summe aller Werte aus dem Datensatz und teilst diese anschließend durch die Anzahl der Werte des Datensatzes.

Die Formel für das arithmetische Mittel lautet daher:

Lagemaße Arithmetisches Mittel StudySmarter

Das arithmetische Mittel ist weniger robust gegenüber Ausreißern als die anderen beiden Lagemaße. Das bedeutet, dass der Wert des arithmetischen Mittels verzerrt wird, wenn einer der Werte des Datensatzes stark nach oben oder unten von den anderen Werten abweicht.

Aufgabe 1

Du hast in deiner Freundesgruppe gefragt, wie viele Stunden Sport deine Freund*innen in der Woche machen. Deine sieben Freund*innen haben folgende Antworten gegeben:

3 Stunden, 2 Stunden, 2 Stunden, 4 Stunden, 3 Stunden, 2 Stunden, 5 Stunden.

Wie viel Stunden Sport machen deine Freunde im Mittel nun?

Lösung

Dafür berechnest du das arithmetische Mittel , indem du die zugehörige Definition verwendest:

Da du insgesamt sieben Freunde befragst, ist also und die x Werte in der Definition entsprechen den Antworten deiner Freunde. Für das arithmetische Mittel folgt also

Deine Freund*innen machen also im Durchschnitt 3 Stunden Sport pro Woche.

Überblick über die Lagemaße – Der Median

Der Median Lagemaße Median StudySmarter ist der Wert einer Datenreihe, der genau in der Mitte liegt, wenn du die Datenreihe nach der Größe ordnest. Der Median teilt die Datenreihe in zwei gleich große Hälften. Er wird auch Zentralwert genannt.

Der Median ist – im Gegensatz zum arithmetischen Mittel – sehr robust gegenüber Ausreißern. Er wird also nicht von Werten, die stark nach oben oder unten von den anderen Werten der Datenreihe abweichen, verzerrt.

Aufgabe 2

Nun möchtest du den Median für das Sportverhalten deiner Freund*innen bestimmen.

Zur Erinnerung: Die Antworten deiner Freund*innen waren:

3 Stunden, 2 Stunden, 2 Stunden, 4 Stunden, 3 Stunden, 2 Stunden, 5 Stunden

Lösung

Um den Median des Datensatzes zu bestimmen, musst du zunächst die angegeben Werte deiner Freund*innen nach ihrer Größe ordnen. Dafür notierst du zuerst die Werte, die am kleinsten sind und führst die Reihe fort bis du beim größten Wert angekommen bist.

2 Stunden, 2 Stunden, 2 Stunden, 3 Stunden, 3 Stunden, 4 Stunden, 5 Stunden

Anschließend markierst du den Wert, der genau in der Mitte steht. Bei insgesamt 7 Freund*innen, die du befragt hast, handelt es sich hierbei um den vierten Wert der Rangreihe.

2 Stunden, 2 Stunden, 2 Stunden, 3 Stunden, 3 Stunden, 4 Stunden, 5 Stunden

Der Median liegt also bei 3 Stunden.

Du möchtest mehr über die Lagemaße Median und Mittelwert wissen? Zu diesen beiden Lagemaßen haben wir einen eigenen Artikel verfasst.

Überblick über die Lagemaße - Der Modus

Der Modus D oder Lagemaße Modus StudySmarter ist der Wert einer Datenreihe, der in ihr am häufigsten vorkommt. Eine Datenreihe kann auch mehr als einen Modus haben.

Der Modus wird auch als Modalwert bezeichnet.

Der Modus hat den Vorteil, dass er nicht berechnet werden muss, sondern durch einfaches Abzählen ermittelt werden kann. Eine Datenreihe kann mehr als einen Modus haben, nämlich dann, wenn zwei oder mehr Werte gleich häufig, aber im Vergleich zu allen anderen Werten der Datenreihe häufiger, auftreten.

Der Modus ist - im Gegensatz zum arithmetischen Mittel - sehr robust gegenüber Ausreißern. Er wird also nicht von Werten, die stark nach oben oder unten von den anderen Werten der Datenreihe abweichen, verzerrt.

Aufgabe 3

Als nächstes möchtest du den Modus für das Sportverhalten deiner Freund*innen bestimmen.

Zur Erinnerung: Die Antworten deiner Freund*innen waren:

3 Stunden, 2 Stunden, 2 Stunden, 4 Stunden, 3 Stunden, 2 Stunden, 5 Stunden

Lösung

Nun zählst du ab, welche Antwort wie häufig von deinen Freund*innen gegeben wurde:

3 deiner Freund*innen machen 2 Stunden in der Woche Sport.

2 deiner Freund*innen machen 3 Stunden in der Woche Sport.

Je ein*e Freund*in macht 4 oder 5 Stunden in der Woche Sport.

Die meisten deiner Freund*innen macht also 2 Stunden in der Woche Sport. Der Modus liegt demnach bei 2 Stunden.

Du interessierst dich für den Modus? Auch zu diesem Lagemaß gibt es einen ausführlichen Artikel, in dem du alles, was du über den Modus wissen musst, im Detail erfährst.

Überblick über die Lagemaße - Die Quartile

Die Quartile sind ein Lagemaß der deskriptiven Statistik. Durch die Quartile wird ein Datensatz in vier gleich große Teile eingeteilt.

Insgesamt gibt es drei Quartile: den Median, das obere und das untere Quartil.

Wie du bereits gelernt hast, teilt der Median einen Datensatz in zwei gleich große Hälften. Das untere und das obere Quartil kannst du dir quasi als Mediane der beiden Datensatzhälften vorstellen.

Das untere Quartil ist der Wert, der in der unteren Datensatzhälfte in der Mitte steht und das obere Quartil ist der Wert, der in der unteren Datensatzhälfte in der Mitte steht.

Dadurch wird der Datensatz in vier gleich große Teile unterteilt:

  1. vom kleinsten Wert des Datensatzes bis zum unteren Quartil
  2. vom unteren Quartil bis zum Median
  3. vom Median bis zum oberen Quartil
  4. vom oberen Quartil bis zum größten Wert des Datensatzes

Die Bestimmung der Quartile ist eine notwendige Voraussetzung für die Erstellung eines Boxplots.

Lagemaße Quartile Boxplot StudySmarter

Betrachten wir erneut das Sportszenario deiner Freunde.

Aufgabe 4

Du möchtest im Datensatz zum Sportverhalten deiner Freund*innen das untere und obere Quartil bestimmen.

Zur Erinnerung: Die Antworten deiner Freund*innen in geordneter Reihenfolge waren:

2 Stunden, 2 Stunden, 2 Stunden, 3 Stunden, 3 Stunden, 4 Stunden, 5 Stunden

Der Median beträgt 3 Stunden.

Lösung

Als nächstes schaust du dir die Werte an, die links vom Median stehen, um das untere Quartil zu bestimmen:

2 Stunden, 2 Stunden, 2 Stunden

Der Wert in der Mitte beträgt 2 Stunden. Das untere Quartil beträgt also 2 Stunden.

Abschließend schaust du dir die Werte an, die rechts vom Median stehen, um das obere Quartil zu bestimmen:

3 Stunden, 4 Stunden, 5 Stunden

Der Wert in der Mitte beträgt 4 Stunden. Das obere Quartil beträgt also 4 Stunden.

Die Erklärung zu den Quartilen war dir nicht ausführlich genug? Keine Sorge, in unserem separaten Artikel nur über die Quartile erfährst du alles Wichtige zu den Quartilen nochmal in voller Tiefe.

Lagemaße Zusammenfassung StudySmarter

Lagemaße - Das Wichtigste

  • Die Lagemaße sind Kennzahlen in der Statistik, die das Zentrum von Verteilungen abgeben.
  • Die Lagemaße dienen insbesondere bei großen Datenmengen der Zusammenfassung von Informationen.
  • Die wichtigsten Lagemaße sind das arithmetische Mittel, der Median, der Modus und die Quartile.

Lagemaße

Der Modalwert - auch Modus genannt - ist der Wert einer Datenreihe, der in ihr am häufigsten vorkommt. Er muss nicht berechnet werden, sondern kann durch Abzählen ermittelt werden. Eine Datenreihe kann mehr als einen Modus haben, nämlich dann, wenn zwei oder mehr Werte gleich häufig, aber im Vergleich zu allen anderen Werten der Datenreihe häufiger, auftreten.

Der Modus muss nicht berechnet werden. Er ist der Wert, der in einer Datenreihe am häufigsten vorkommt. Deshalb kann er durch einfaches Abzählen der absoluten Häufigkeiten ermittelt werden. 

Die Streuungsmaße sind Kennzahlen in der Statistik, die die Variation der Werte einer Verteilung um das Zentrum der Verteilung angeben. 

Wichtige Streuungsmaße sind unter anderem die Varianz und die Standardabweichung. 

Die Lagemaße unterscheiden sich wertmäßig, da sie unterschiedliche Informationen über den Datensatz liefern. Die Lagemaße haben jeweils verschiedene Vor- und Nachteile. So ist der Mittelwert zum Beispiel weniger robust gegenüber Ausreißern und kann deshalb schnell verzerrt werden. 

Finales Lagemaße Quiz

Frage

Nenne die wichtigsten Lagemaße.

Antwort anzeigen

Antwort

  • arithmetisches Mittel / Mittelwert
  • Modus / Modalwert
  • Median
  • Quartile
Frage anzeigen

Frage

Beschreibe, was Lagemaße in der deskriptiven Statistik sind.


Antwort anzeigen

Antwort

Die Lagemaße - auch Maße der zentralen Tendenz genannt - sind Kennzahlen in der Statistik, die das Zentrum von Verteilungen angeben


Frage anzeigen

Frage

Gib an, worin der Vorteil von Lagemaßen besteht.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Lagemaße dienen insbesondere bei großen Datenmengen der Zusammenfassung von Informationen. Dabei werden die Daten zu einem repräsentativen Wert zusammengefasst, der das Zentrum der Verteilung der Werte wiedergeben soll.


Frage anzeigen

Frage

Gib an, wie viele Quartile es gibt. Benenne diese. 

Antwort anzeigen

Antwort

Insgesamt gibt es drei Quartile.

Eines davon ist der Median. Neben dem Median gibt es außerdem noch das obere Quartil und das untere Quartil. 


Frage anzeigen

Frage

Erkläre den Unterschied zwischen Lagemaßen und Streuungsmaßen.

Antwort anzeigen

Antwort

Lagemaße informieren über das Zentrum einer Verteilung

Streuungsmaße hingegen informieren darüber, wie die Werte der Verteilung im Allgemeinen um das von den Lagemaßen bestimmte Zentrum der Verteilung verteilt sind. Sie geben also die Variation um das Zentrum der Verteilung an. 

Frage anzeigen

Frage

Erläutere, wie ein Datensatz durch die Quartile in vier gleich große Teile geteilt wird.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Median ist der Wert, der einen Datensatz genau in der Hälfte teilt. Das obere und untere Quartil kann man sich als Median der oberen und unteren Datensatzhälfte vorstellen. 


Dadurch wird der Datensatz in vier gleich große Teile unterteilt:

  1. vom kleinsten Wert des Datensatzes bis zum unteren Quartil
  2. vom unteren Quartil bis zum Median
  3. vom Median bis zum oberen Quartil
  4. vom oberen Quartil bis zum größten Wert des Datensatzes
Frage anzeigen

Frage

Bestimme des Modus des folgenden Datensatzes:


2, 3, 3, 7, 4, 3, 3, 3

Antwort anzeigen

Antwort

Für den Modus gilt: D=3

Das liegt daran, dass der Wert 3 in der Datenreihe am häufigsten vorkommt. 

Frage anzeigen

Frage

Fasse die wichtigsten Informationen zum Thema "Lagemaße" kurz zusammen.


Antwort anzeigen

Antwort

  • Die Lagemaße sind Kennzahlen in der Statistik, die das Zentrum von Verteilungen abgeben.
  • Die Lagemaße dienen insbesondere bei großen Datenmengen der Zusammenfassung von Informationen.
  • Die wichtigsten Lagemaße sind das arithmetische Mittel, der Median, der Modus  und die Quartile
Frage anzeigen

Frage

Beurteile, ob eine Verteilung zwei oder mehr Modi haben kann.

Antwort anzeigen

Antwort

Ja, eine Datenreihe kann mehr als einen Modus haben. Das ist nämlich dann der Fall, wenn zwei oder mehr Werte gleich häufig, aber im Vergleich zu allen anderen Werten der Datenreihe häufiger, auftreten.

Damit ist der Modus der einzige Lageparameter, der mehr als einen Wert aufweisen kann. 

Frage anzeigen

Frage

Bewerte folgende Aussage:

"Die drei Lagemaße Modus, Median und Mittelwert haben immer den gleichen Wert."

Antwort anzeigen

Antwort

Die Aussage ist falsch. Es kann sein, dass in einer Verteilung die Werte für die drei Lagemaße einander entsprechen, dies ist aber nur bei normalverteilten Verteilungen der Fall. 

Frage anzeigen

Frage

Definiere den Begriff Median.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Median ist der Wert, der in einem geordneten Datensatz genau in der Mitte liegt. Geordnet bedeutet, dass die Werte der Größe nach aufgeschrieben sind.


Manchmal wird der Median auch als Zentralwert bezeichnet.

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe, wie der Median bestimmt wird, wenn die Anzahl der Daten ungerade ist.

Antwort anzeigen

Antwort

Bei einem Datensatz mit ungerader Anzahl entspricht der Median dem Wert, der im geordneten Datensatz genau in der Mitte liegt.

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe, wie der Median bestimmt wird, wenn die Anzahl der Daten gerade ist.

Antwort anzeigen

Antwort

Bei einem Datensatz mit gerader Anzahl entspricht der Median dem arithmetischen Mittel der beiden mittleren Werte.

Frage anzeigen

Frage

Was versteht man unter der Halbierungseigenschaft des Medians?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Median halbiert einen Datensatz in zwei gleich große Blöcke. Das bedeutet, dass mindestens die Hälfte der Werte kleiner gleich und mindestens die Hälfte größer gleich dem Median sind.

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, was es bedeutet, dass der Median robust gegenüber Ausreißern ist. 

Antwort anzeigen

Antwort

Der Median ist robust gegenüber Ausreißern, da sich sein Wert nicht durch einzelne besonders große oder kleine Werte ändert.

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe, wofür der Median verwendet wird.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Median wird wie die anderen Lagemaße (Mittelwert, Modus) dafür verwendet, die Mitte beziehungsweise zentrale Tendenz einer Datenmenge zu beschreiben

Frage anzeigen

Frage

Wofür wird der Mittelwert verwendet?

Antwort anzeigen

Antwort

Das arithmetische Mittel ist ein Lagemaß und dient dazu, die Mitte beziehungsweise zentrale Tendenz einer Datenmenge zu beschreiben.

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, was die Robustheit gegenüber Ausreißern bedeutet.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Robustheit gegenüber Ausreißern beschreibt die Eigenschaft, schwach oder stark auf Ausreißer, also auf Werte, die wesentlich kleiner oder größer als die anderen Werte sind, zu reagieren. 


  • Das arithmetische Mittel beispielsweise ist nicht robust gegenüber Ausreißern ist. 
  • Der Median hingegen ist robust gegenüber Ausreißern.
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