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Die Lagemaße – auch Maße der zentralen Tendenz genannt – sind Kennzahlen in der Statistik, die das Zentrum von Verteilungen angeben.
Die Lagemaße dienen insbesondere bei großen Datenmengen der Zusammenfassung von Informationen. Dabei werden die Daten zu einem repräsentativen Wert zusammengefasst, der das Zentrum der Verteilung der Werte wiedergeben soll.
Lagemaße – Erklärung
Es gibt verschiedene Lagemaße.
Die drei wichtigsten Lagemaße sind die folgenden:
- Mittelwert / arithmetisches Mittel
- Median
- Modus / Modalwert
Jedes dieser Lagemaße hat seine Vor- und Nachteile. Häufig ist es abhängig vom Kontext, bei welchen Lagemaßen es sinnvoll ist, sie zu bestimmen.
Sowohl das arithmetische Mittel als auch der Median und der Modus geben das Zentrum der Verteilung wieder. Da die drei Lagemaße allerdings auf verschiedene Weise bestimmt werden, können die Werte dieser Lagemaße voneinander abweichen.
Um vollständige Informationen über das Zentrum einer Verteilung geben zu können, ist es wichtig, alle drei Lagemaße in Kombination zu betrachten.
Weitere wichtige Kennzahlen einer Wahrscheinlichkeitsverteilung sind die Quartile einer Verteilung.
Quartile teilen eine Datenmenge in vier gleich große Bereiche.
Lagemaße – Abgrenzung von den Streuungsmaßen
In der deskriptiven Statistik werden auch Streuungsmaße verwendet. Wichtige Streuungsmaße sind unter anderem die Varianz und die Standardabweichung.
Was die Gemeinsamkeiten und Unterschiede von Lagemaßen und Streuungsmaßen sind, erfährst du im folgenden Abschnitt.
Lagemaße und Streuungsmaße – Gemeinsamkeiten
Sowohl bei den Lagemaßen als auch den Streuungsmaßen handelt es sich um Kennzahlen der deskriptiven Statistik.
Lage- und Streuungsmaße werden verwendet, um die Informationen großer Datenmengen zusammenzufassen und übersichtlich darzustellen.
Dabei werden die Daten eines Datensatzes zu einem Kennwert zusammengefasst, der sämtliche Informationen über den Datensatz beinhaltet.
Lagemaße und Streuungsmaße – Unterschiede
Lagemaße und Streuungsmaße unterscheiden sich darin, worüber sie Auskunft geben.
Wie Du bereits gelesen hast, informieren Lagemaße über das Zentrum einer Verteilung.
Streuungsmaße hingegen informieren darüber, wie die Werte der Verteilung im Allgemeinen um das von den Lagemaßen bestimmte Zentrum der Verteilung verteilt sind. Sie geben also die Variation um das Zentrum der Verteilung an.
Du möchtest mehr zum Thema Streuungsmaße wissen? Kein Problem, auch zu diesen Kennzahlen der Statistik haben wir einen eigenen Artikel verfasst, in dem du alles, was du über die Streuungsmaße wissen musst, erfährst.
Überblick über die Lagemaße
Wie bereits zu Beginn des Artikels erwähnt wurde, gibt es einige Lagemaße. Dieser Artikel soll dir einen groben Überblick über die wichtigsten Lagemaße verschaffen. Für jedes der Lagemaße haben wir auch einen separaten Artikel. Wenn also Du mehr über eines oder mehrere der Lagemaße wissen möchtest, zögere nicht, dir den dazugehörigen Artikel im Anschluss an diesen Artikel anzuschauen.
Überblick über die Lagemaße – Arithmetisches Mittel
Das arithmetische Mittel 
ist der Wert, der sich im Durchschnitt für die Werte des Datensatzes ergibt.
Das arithmetische Mittel wird auch als Mittelwert oder umgangssprachlich als Durchschnitt bezeichnet.
Um das arithmetische Mittel zu berechnen, bildest du die Summe aller Werte aus dem Datensatz und teilst diese anschließend durch die Anzahl der Werte des Datensatzes.
Die Formel für das arithmetische Mittel lautet daher:
Das arithmetische Mittel ist weniger robust gegenüber Ausreißern als die anderen beiden Lagemaße. Das bedeutet, dass der Wert des arithmetischen Mittels verzerrt wird, wenn einer der Werte des Datensatzes stark nach oben oder unten von den anderen Werten abweicht.
Aufgabe 1
Du hast in deiner Freundesgruppe gefragt, wie viele Stunden Sport deine Freund*innen in der Woche machen. Deine sieben Freund*innen haben folgende Antworten gegeben:
3 Stunden, 2 Stunden, 2 Stunden, 4 Stunden, 3 Stunden, 2 Stunden, 5 Stunden.
Wie viel Stunden Sport machen deine Freunde im Mittel nun?
Lösung
Dafür berechnest du das arithmetische Mittel 
, indem Du die zugehörige Definition verwendest:
Da Du insgesamt sieben Freunde befragst, ist also 
und die x Werte in der Definition entsprechen den Antworten deiner Freunde. Für das arithmetische Mittel 
folgt also
Deine Freund*innen machen also im Durchschnitt 3 Stunden Sport pro Woche.
Überblick über die Lagemaße – Der Median
Der Median 
ist der Wert einer Datenreihe, der genau in der Mitte liegt, wenn du die Datenreihe nach der Größe ordnest. Der Median teilt die Datenreihe in zwei gleich große Hälften. Er wird auch Zentralwert genannt.
Der Median ist – im Gegensatz zum arithmetischen Mittel – sehr robust gegenüber Ausreißern. Er wird also nicht von Werten, die stark nach oben oder unten von den anderen Werten der Datenreihe abweichen, verzerrt.
Aufgabe 2
Nun möchtest du den Median für das Sportverhalten deiner Freund*innen bestimmen.
Zur Erinnerung: Die Antworten deiner Freund*innen waren:
3 Stunden, 2 Stunden, 2 Stunden, 4 Stunden, 3 Stunden, 2 Stunden, 5 Stunden
Lösung
Um den Median des Datensatzes zu bestimmen, musst du zunächst die angegeben Werte deiner Freund*innen nach ihrer Größe ordnen. Dafür notierst du zuerst die Werte, die am kleinsten sind und führst die Reihe fort bis du beim größten Wert angekommen bist.
2 Stunden, 2 Stunden, 2 Stunden, 3 Stunden, 3 Stunden, 4 Stunden, 5 Stunden
Anschließend markierst du den Wert, der genau in der Mitte steht. Bei insgesamt 7 Freund*innen, die du befragt hast, handelt es sich hierbei um den vierten Wert der Rangreihe.
2 Stunden, 2 Stunden, 2 Stunden, 3 Stunden, 3 Stunden, 4 Stunden, 5 Stunden
Der Median liegt also bei 3 Stunden.
Du möchtest mehr über die Lagemaße Median und Mittelwert wissen? Zu diesen beiden Lagemaßen haben wir einen eigenen Artikel verfasst.
Überblick über die Lagemaße - Der Modus
Der Modus D oder 
ist der Wert einer Datenreihe, der in ihr am häufigsten vorkommt. Eine Datenreihe kann auch mehr als einen Modus haben.
Der Modus wird auch als Modalwert bezeichnet.
Der Modus hat den Vorteil, dass er nicht berechnet werden muss, sondern durch einfaches Abzählen ermittelt werden kann. Eine Datenreihe kann mehr als einen Modus haben, nämlich dann, wenn zwei oder mehr Werte gleich häufig, aber im Vergleich zu allen anderen Werten der Datenreihe häufiger, auftreten.
Der Modus ist - im Gegensatz zum arithmetischen Mittel - sehr robust gegenüber Ausreißern. Er wird also nicht von Werten, die stark nach oben oder unten von den anderen Werten der Datenreihe abweichen, verzerrt.
Aufgabe 3
Als nächstes möchtest du den Modus für das Sportverhalten deiner Freund*innen bestimmen.
Zur Erinnerung: Die Antworten deiner Freund*innen waren:
3 Stunden, 2 Stunden, 2 Stunden, 4 Stunden, 3 Stunden, 2 Stunden, 5 Stunden
Lösung
Nun zählst du ab, welche Antwort wie häufig von deinen Freund*innen gegeben wurde:
3 deiner Freund*innen machen 2 Stunden in der Woche Sport.
2 deiner Freund*innen machen 3 Stunden in der Woche Sport.
Je ein*e Freund*in macht 4 oder 5 Stunden in der Woche Sport.
Die meisten deiner Freund*innen macht also 2 Stunden in der Woche Sport. Der Modus liegt demnach bei 2 Stunden.
Du interessierst dich für den Modus? Auch zu diesem Lagemaß gibt es einen ausführlichen Artikel, in dem du alles, was du über den Modus wissen musst, im Detail erfährst.
Überblick über die Lagemaße - Die Quartile
Die Quartile sind ein Lagemaß der deskriptiven Statistik. Durch die Quartile wird ein Datensatz in vier gleich große Teile eingeteilt.
Insgesamt gibt es drei Quartile: den Median, das obere und das untere Quartil.
Wie du bereits gelernt hast, teilt der Median einen Datensatz in zwei gleich große Hälften. Das untere und das obere Quartil kannst du dir quasi als Mediane der beiden Datensatzhälften vorstellen.
Das untere Quartil ist der Wert, der in der unteren Datensatzhälfte in der Mitte steht und das obere Quartil ist der Wert, der in der oberen Datensatzhälfte in der Mitte steht.
Dadurch wird der Datensatz in vier gleich große Teile unterteilt:
- vom kleinsten Wert des Datensatzes bis zum unteren Quartil
- vom unteren Quartil bis zum Median
- vom Median bis zum oberen Quartil
- vom oberen Quartil bis zum größten Wert des Datensatzes
Die Bestimmung der Quartile ist eine notwendige Voraussetzung für die Erstellung eines Boxplots.
Betrachten wir erneut das Sportszenario deiner Freunde.
Aufgabe 4
Du möchtest im Datensatz zum Sportverhalten deiner Freund*innen das untere und obere Quartil bestimmen.
Zur Erinnerung: Die Antworten deiner Freund*innen in geordneter Reihenfolge waren:
2 Stunden, 2 Stunden, 2 Stunden, 3 Stunden, 3 Stunden, 4 Stunden, 5 Stunden
Der Median beträgt 3 Stunden.
Lösung
Als nächstes schaust du dir die Werte an, die links vom Median stehen, um das untere Quartil zu bestimmen:
2 Stunden, 2 Stunden, 2 Stunden
Der Wert in der Mitte beträgt 2 Stunden. Das untere Quartil beträgt also 2 Stunden.
Abschließend schaust du dir die Werte an, die rechts vom Median stehen, um das obere Quartil zu bestimmen:
3 Stunden, 4 Stunden, 5 Stunden
Der Wert in der Mitte beträgt 4 Stunden. Das obere Quartil beträgt also 4 Stunden.
Die Erklärung zu den Quartilen war dir nicht ausführlich genug? Keine Sorge, in unserem separaten Artikel nur über die Quartile erfährst du alles Wichtige zu den Quartilen nochmal in voller Tiefe.
Lagemaße - Das Wichtigste
- Die Lagemaße sind Kennzahlen in der Statistik, die das Zentrum von Verteilungen abgeben.
- Die Lagemaße dienen insbesondere bei großen Datenmengen der Zusammenfassung von Informationen.
- Die wichtigsten Lagemaße sind das arithmetische Mittel, der Median, der Modus und die Quartile.
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Häufig gestellte Fragen zum Thema Lagemaße
Was ist der Modalwert?
Der Modalwert - auch Modus genannt - ist der Wert einer Datenreihe, der in ihr am häufigsten vorkommt. Er muss nicht berechnet werden, sondern kann durch Abzählen ermittelt werden. Eine Datenreihe kann mehr als einen Modus haben, nämlich dann, wenn zwei oder mehr Werte gleich häufig, aber im Vergleich zu allen anderen Werten der Datenreihe häufiger, auftreten.
Wie rechnet man den Modus aus?
Der Modus muss nicht berechnet werden. Er ist der Wert, der in einer Datenreihe am häufigsten vorkommt. Deshalb kann er durch einfaches Abzählen der absoluten Häufigkeiten ermittelt werden.
Was sind die Streuungsmaße?
Die Streuungsmaße sind Kennzahlen in der Statistik, die die Variation der Werte einer Verteilung um das Zentrum der Verteilung angeben.
Wichtige Streuungsmaße sind unter anderem die Varianz und die Standardabweichung.
Warum unterscheiden sich die Lagemaße?
Die Lagemaße unterscheiden sich wertmäßig, da sie unterschiedliche Informationen über den Datensatz liefern. Die Lagemaße haben jeweils verschiedene Vor- und Nachteile. So ist der Mittelwert zum Beispiel weniger robust gegenüber Ausreißern und kann deshalb schnell verzerrt werden.
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