Was sind Quartile in Mathe? Vielleicht kennst Du ein paar lateinische Wörter und kannst es Dir schon in etwa vorstellen. Übersetzt heißt Quartil "Viertelwert". Den wiederum kannst Du berechnen und interpretieren und es gibt sogar eine Formel dafür. Wie Median und Boxplot damit in Verbindung stehen, ist hier einfach erklärt.
Quartile Definition – einfach erklärt
Grundvoraussetzung für die Berechnung der Quartile ist eine sortierte Datenreihe, das heißt Zahlen, die in auf- oder absteigender Reihenfolge angeordnet sind.
Median und Quartile
Bei der Berechnung von Quartilen spielt auch der Median eine Rolle. Aber zuerst wird geklärt, was Quartile überhaupt sind:
Wie der Name schon sagt, unterteilen Quartile eine sortierte Datenreihe in 4 gleich große Teile. Dabei entstehen aber nicht 4 Quartile, sondern nur 3, weil mit dem Quartil die Position zwischen zwei Vierteln gemeint ist. Sie werden bezeichnet als:
- unteres Quartil \(Q_1\)
- Median \(M\)
- oberes Quartil \(Q_3\)
Der Median stellt die Mitte der Datenreihe dar.
Abb. 1 – Quartile und Median einer Datenreihe
Das 2. Quartil wird übersprungen, weil der Median das 2. Quartil ist.
Dabei stellen Quartile eine besondere Form von Quantilen dar, die allgemein dafür verwendet werden, Daten in eine bestimmte Anzahl von Abschnitten zu unterteilen. Es gibt zum Beispiel auch Terzile, Quintile und Dezile, die die Daten in jeweils 3, 5 oder 10 Abschnitte unterteilen.
Die folgende Tabelle lässt sich ebenfalls in 4 Teile aufteilen:
| Wert 1 | 1. Quartil\(Q_1\) | Wert 2 | Median\(M\) | Wert 3 | 3. Quartil\(Q_3\) | Wert 4 |
| \(0\) | \(5\) | \(10\) | \(15\) | \(20\) | \(25\) | \(30\) |
Hier gibt es genau 4 Werte, also können die Quartile ohne weitere Rechnung eingefügt werden.
Du könntest auch gleich feststellen, an welchem Wert die Quartile ihre Position haben, nämlich jeweils in der Mitte zwischen \(0\) und \(10\), \(10\) und \(20\), \(20\) und \(30\). Also bei \(5\), \(15\) und \(25\).
Wenn Daten gesammelt werden, gibt es meist aber wesentlich mehr als 4 Werte und es kommt häufig vor, dass einzelne Werte mehrfach oder gar nicht vorhanden sind.
Dafür gibt es eine Formel, wie Du in diesem Fall die Quartile berechnen kannst.
Quartile berechnen Formel
Zur Berechnung von Quantilen jeder Art gibt es eine allgemeine Formel. Diese lässt sich auch auf Quartile anwenden.
Zur Berechnung von Quartilen sind die Größen \(n\) für die Anzahl an Werten und \(p\) für das p-Quantil von Bedeutung. Mit dem p-Quantil ist die Position des gewünschten Quantils im Datensatz gemeint.
\begin{align}\text{1. Quartil} &\rightarrow p=0{,}25\\\text{2. Quartil} &\rightarrow p=0{,}5\\\text{3. Quartil} &\rightarrow p=0{,}75\end{align}
Die allgemeine Berechnungsformel lautet:
\begin{align*}Q_x=\begin{cases} \frac{1}{2}(2\cdot n\cdot p+1) & \text{ wenn }n\cdot p\text{ ganzzahlig}\\ \lceil n\cdot p \rceil& \text{ wenn }n\cdot p\text{ nicht ganzzahlig}\end{cases}\end{align*}
\(\lfloor x \rfloor\) heißt abrunden, egal wie groß die Zahl nach dem Komma ist und bei \(\lceil x \rceil\) rundest Du auf.
Es wird hier also unterschieden zwischen ganzzahligen und nicht ganzzahligen Werten. Im Falle der nicht ganzzahligen Werte wird \(np\) immer aufgerundet, egal welche Zahl nach dem Komma steht.
Durch das Aufrunden ist die Rechnung zwar nicht mehr ganz genau, bei großen Datensätzen fällt das allerdings nicht ins Gewicht.
Für eine Datenreihe mit \(100\) Werten kannst Du den Median mit der allgemeinen Formel berechnen, denn \(n\cdot p\) ergibt eine ganze Zahl.
\[n\cdot p= 100\cdot\text{0,5}=50\]
Denk daran, der Median ist die Mitte der Datenreihe und hat somit ein p-Quantil von \(\text{0,5}\). Die Variable \(n\) ist die Anzahl der Werte, also \(100\).
\begin{align}M&=\frac{1}{2}(2\cdot n\cdot p+1)\\[0.2 cm]&=\frac{1}{2}(2\cdot100\cdot\text{0,5}+1)\\[0.2 cm]&=\frac{1}{2}\cdot101\\[0.2 cm]M&=\text{50,5}\end{align}
Hier liegt der Median zwischen dem \(50.\) und \(51.\) Wert.
Wären \(99\) Werte gegeben, müsstest Du die Formel für nicht ganzzahlige Werte verwenden und aufrunden:
\begin{align}M&=\lceil n\cdot p \rceil\\&=\lceil 99\cdot \text{0,5} \rceil\\&=\lceil \text{49,5} \rceil\\M&=50\end{align}
Hier liegt der Median genau auf dem \(50.\) Wert
Denk daran, dass nur bei der Formel für nicht ganzzahlige Werte aufgerundet wird.
Quartile interpretieren
Nun kannst Du Quartile berechnen, aber wozu?
Jegliche Art von Quantilen dient der Interpretation einer Datenreihe. Im Falle der Quartile kannst Du sagen, dass:
- beim 1. Quartil bis zu \(75\,\%\) der Werte größer sind als \(Q_1\) und \(25\,\%\) kleiner.
- der Median die Mitte aller Werte darstellt. Es sind also jeweils \(50\,\%\) größer oder kleiner als \(M\)
- beim 3. Quartil bis zu \(25\,\%\) der Werte größer sind als \(Q_3\) und \(75\,\%\) kleiner.
Mit Quartilen kannst Du also bestimmte Werte besser mit dem Rest der Werte vergleichen.
Deutlich wird das zum Beispiel, wenn Du etwas kaufen willst und dafür Preise vergleichst. Angenommen, Du hast Dir dazu schon eine kleine Tabelle angelegt und die Quartile ausgerechnet und findest nun ein weiteres Angebot eines anderen Verkäufers.
Du hast folgende Werte für die Quartile berechnet:
- \(Q_1=\text{16 €}\)
- \(M\,=\text{20 €}\)
- \(Q_3=\text{24 €}\)
und der Verkäufer bietet sein Produkt zum Preis von \(\text{18 €}\) an.
Sein Angebot liegt unter dem Median von \(\text{20 €}\), aber dennoch über dem 1. Quartil von \(\text{16 €}\). Das heißt \(50\,\%\) (also die Hälfte) der Konkurrenz ist teurer als er, allerdings bieten auch \(25\,\%\) (also \(\frac{1}{4}\)) der Konkurrenz dieses Produkt zu einem günstigeren Preis an. Eine Verhandlung des Preises könnte sich also lohnen.
Hättest Du die \(\text{18 €}\) erst mit dem Rest Deiner Tabelle vergleichen müssen, hätte das vermutlich wesentlich länger gedauert.
Nun hast Du alle Grundsätze gelernt und siehst hier, wie Du es an einem Beispiel anwenden kannst.
Ein Züchter hat über die letzten Jahre notiert, wie viele Tiere jedes Jahr bei ihm geboren wurden. Er hat sie in aufsteigender Reihenfolge notiert und möchte nun wissen, in welchem Anteil der Jahre er 50 oder mehr Tiere gezüchtet hat.
| \(\boldsymbol{n}\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) | \(7\) | \(8\) | \(9\) | \(10\) | \(11\) | \(12\) | \(13\) | \(14\) |
| \(\textbf{Tiere}\) | \(35\) | \(39\) | \(39\) | \(41\) | \(45\) | \(47\) | \(47\) | \(48\) | \(49\) | \(49\) | \(51\) | \(56\) | \(60\) | \(63\) |
Zur Berechnung der Quartile kommen beide Formeln zum Einsatz, denn die Hälfte von \(14\) ist eine gerade Zahl, ein Viertel oder Dreiviertel davon aber nicht.
\begin{align}Q_1 &= \lceil n\cdot p \rceil\\&= \lceil 14\cdot \text{0,25} \rceil\\&= \lceil \text{3,5} \rceil\\Q_1&=4\\\\M &= \frac{1}{2}(2\cdot n\cdot p+1)\\[0.2cm]&= \frac{1}{2}(2\cdot 14\cdot \text{0,5}+1)\\[0.2cm]&= \frac{1}{2}\cdot 15\\[0.2cm]M&=\text{7,5}\\\\Q_3 &= \lceil n\cdot p \rceil\\&= \lceil 14\cdot \text{0,75} \rceil\\&= \lceil \text{10,5} \rceil\\Q_3&=11\end{align}
Die gesuchte Anzahl von 50 neuen Tieren ist erst beim 3. Quartil erreicht, das heißt in \(25\,\%\) der protokollierten Jahre erreicht er eine Quote von 50 oder mehr neuen Tieren.
Quartile berechnen – Aufgaben mit Lösung
Nun kannst Du selbst Quartile ausrechnen. Hier findest Du Übungsmaterial.
Aufgabe 1
Eine Gruppe Schüler misst für eine Projektarbeit, wie schnell die Menschen mit E-Scootern in der Stadt fahren. Sie ermitteln dabei folgende Werte:
| \(\boldsymbol{n}\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) | \(7\) | \(8\) | \(9\) |
| \(\dfrac{\textbf{km}}{\textbf{h}}\) | \(9\) | \(10\) | \(14\) | \(15\) | \(23\) | \(26\) | \(26\) | \(26\) | \(29\) |
Berechne die Quartile für diese Werte.
Lösung
Es sind 9 Werte gegeben, also verwendest Du die Formel für nicht ganzzahlige Werte.
\begin{align}Q_1 &= \lceil n\cdot p \rceil\\&= \lceil 9\cdot \text{0,25} \rceil\\&= \lceil \text{2,25} \rceil\\&=3\\\\M &= \lceil n\cdot p \rceil\\&= \lceil 9\cdot \text{0,5} \rceil\\&= \lceil \text{4,5} \rceil\\&=5\\\\Q_3 &= \lceil n\cdot p \rceil\\&= \lceil 9\cdot \text{0,75} \rceil\\&= \lceil \text{6,75} \rceil\\&=7\end{align}
Das 1. Quartil liegt auf dem 3. Wert, der Median auf dem 5. Wert und das 3. Quartil auf dem 7. Wert.
Aufgabe 2
Wie kannst Du das Ergebnis aus Aufgabe 1 interpretieren, wenn eine Geschwindigkeit ab \(15\,\frac{\text{km}}{\text{h}}\) in der Altstadt als gefährlich gilt?
Lösung
Eine Geschwindigkeit von \(15\,\frac{\text{km}}{\text{h}}\) liegt bereits ab dem 1. Quartil vor, das heißt, bis zu \(75\,\%\) der E-Scooter-Nutzer fahren in der Altstadt zu schnell und maximal \(25\,\%\) gefährden die Fußgänger nicht.
Quartile – Das Wichtigste
- Quartile unterteilen eine sortierte Datenreihe in 4 gleich große Teile. Dabei entstehen aber nicht 4 Quartile, sondern nur 3, weil mit dem Quartil der Wert zwischen zwei Vierteln gemeint ist. Sie werden bezeichnet als:
- unteres Quartil \(Q_1\)
- Median \(M\)
- oberes Quartil \(Q_3\)
Der Median stellt die Mitte der Datenreihe dar.
Die allgemeine Berechnungsformel für Quartile lautet:
\begin{align*}Q_x=\begin{cases} \frac{1}{2}(2\cdot n\cdot p+1) & \text{ wenn }n\cdot p\text{ ganzzahlig}\\ \lceil n\cdot p \rceil& \text{ wenn }n\cdot p\text{ nicht ganzzahlig}\end{cases}\end{align*}
Jegliche Art von Quantilen dient der Interpretation einer Datenreihe. Im Falle der Quartile kannst Du sagen, dass:
- beim 1. Quartil bis zu \(75\,\%\) der Werte größer sind als \(Q_1\) und \(25\,\%\) kleiner.
- der Median die Mitte aller Werte darstellt. Es sind also jeweils \(50\,\%\) größer oder kleiner als \(M\)
- beim 3. Quartil bis zu \(25\,\%\) der Werte größer sind als \(Q_3\) und \(75\,\%\) kleiner.
Nachweise
- Meintrup, David; Schäffler, Stefan (2006) Stochastik Theorie und Anwendungen, Springer
- Behrends, Ehrhard (2012) Elementare Stochastik Ein Lernbuch - von Studierenden mitentwickelt, Springer Spektrum
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