Der Boxplot in Mathe hat viele verschiedene Bezeichnungen und wird unter anderem auch Box-Whisker-Plot und Kastengrafik genannt.
Hier wird erklärt, wie Du ein Boxplot erstellen, berechnen und interpretieren kannst und am Ende kannst Du Dich selbst an ein paar Aufgaben versuchen.
Boxplot Mathe – Boxplot Erklärung
Der Boxplot ist ein Diagramm, das die Verteilung statistischer Daten grafisch darstellt. Die Darstellung ermöglicht einen schnellen Überblick darüber, über welchen Bereich sich die Daten erstrecken und wie sie in diesem Bereich verteilt sind. Ein Boxplot wird deshalb häufig zur Zusammenfassung großer Datenmengen verwendet.
Ein Boxplot enthält unter anderem verschiedene Quartile:
- das untere Quartil,
- den Median,
- das obere Quartil.
Falls Du noch einmal Genaueres über die Begriffe nachlesen willst, schau in die Erklärungen Median, Quartile und Lagemaße.
Boxplot Diagramm – Boxplot erklärt
Ein Boxplot hilf Dir, die Daten eines Datensatzes zu strukturieren.
Ein Boxplot, auch genannt Kastengrafik, wird zur strukturierten Darstellung von Datensätzen verwendet und stellt die Streuung der Daten anschaulich dar. Die Daten werden zusammen mit einer entsprechenden Achse visualisiert.
Genauer gesagt zeigt Dir ein Boxplot, welche Daten größer oder kleiner als ein bestimmter Wert sind, wo sich die Mitte befindet und wo das Maximum und das Minimum liegt. Er hilft Dir also, einen Datensatz zu interpretieren.
Ein Boxplot besteht aus:
- einer Achse (Zahlenstrahl) mit Einheit,
- dem Minimum (dem kleinsten Datenwert),
- dem unteren Whisker (untere Antenne),
- dem unteren Quartil \(Q_1\),
- dem Median \(M\) (die Mitte des Datensatzes),
- dem oberen Quartil \(Q_3\),
- dem oberen Whisker (obere Antenne),
- dem Maximum (dem größten Datenwert)
- und Ausreißern (Werte, die die Whisker überschreiten).
Abb. 1 - Boxplot Aufbau.
Die Whisker (Antennen) sollten dabei nicht länger als das \(1{,}5\)-fache der Box sein. Für die Länge der Box (der sogenannte Interquartilabstand \(\text{IQA}\)) gibt es aber keine feste Regel. Berechnet wird er mit:
\[\text{IQA} = Q_3 - Q_1\]
Dabei muss ein Boxplot aber nicht symmetrisch sein, denn der Median ist nicht das arithmetische Mittel der Daten, sondern die Mitte der Datenreihe. Das untere und obere Quartil werden auch als Angelpunkte bezeichnet. Sie stellen den Median der oberen bzw. unteren Datenhälfte dar.
Das heißt, bei beispielsweise \(100\) Daten liegt der Median zwischen dem \(50.\) und \(51.\) Datensatz, ganz egal welche Werte die Daten haben. So kann es passieren, dass der Median beispielsweise sehr weit rechts ist, weil die Werte ab dem \(50.\) Datensatz sehr nah beieinander liegen, während sie davor einen großen Abstand hatten. In der Abbildung siehst Du, wie das aussehen kann.
Abb. 2 - Beispiel für asymmetrisches Boxplot.
Ein Boxplot wird üblicherweise ohne Beschriftung gezeichnet.
Boxplot erstellen und Boxplot berechnen
Möchtest Du nun ein Boxplot selbst erstellen, so benötigst Du zuerst die genannten Quartile. Im Boxplot werden nämlich nur diese Werte angegeben und der Rest wird weggelassen, da Du sie an der Achse ablesen kannst.
Die Position des Medians \(M_\text{pos}\) in der Datenreihe ergibt sich aus:
\[M_\text{pos}=(n+1):2\]
Wobei \(n\) für die Anzahl der Datenwerte steht.
Das obere und untere Quartil kann rechnerisch bestimmt werden, indem Du jeweils den Median der unten und oberen Datenhälfte ermittelst. Wichtig dabei ist, dass die Werte zuvor in aufsteigender Reihenfolge sortiert sind.
Sieh Dir dazu gleich das folgende Beispiel an.
In der Stadt wird die Menschenmenge nach ihrem Alter befragt. Folgende Tabelle spiegelt die Ergebnisse wider:
| Person | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) | \(7\) | \(8\) | \(9\) | \(10\) |
| Wert | \(16\) | \(18\) | \(21\) | \(30\) | \(35\) | \(40\) | \(51\) | \(59\) | \(67\) | \(75\) |
Zuerst berechnest Du die Quartile und den Median. Du hast \(10\) Datenwerte, der Median liegt also bei
\[M_\text{pos}=(n+1):2=(10+1):2=5{,}5\]
Der Median liegt demnach zwischen dem \(5.\) und \(6.\) Datenwert. Das arithmetische Mittel dieser Datenwerte ist:
\[M=(35+40):2=37{,}5\]
Da der Median zwischen zwei Werten liegt, geht die untere Datenhälfte vom \(1.\) bis zum \(5.\) Wert und die obere Datenhälfte vom \(6.\) bis \(10\). Wert. Optisch stellen also der \(3.\) und \(8.\) Datenwert das jeweils obere und untere Quartil dar. In der Tabelle kannst Du auslesen, dass \(Q_1\) den Wert \(21\) hat und \(Q_3\) den Wert \(59\).
| Person | \(1\) | \(2\) | \(Q_1\) | \(4\) | \(5\) | \(M\) | \(6\) | \(7\) | \(Q_3\) | \(9\) | \(10\) |
| Wert | \(16\) | \(18\) | \(21\) | \(30\) | \(35\) | \(37{,}5\) | \(40\) | \(51\) | \(59\) | \(67\) | \(75\) |
Anschließend schaust Du noch, ob es Ausreißer gibt. Die Länge der Box beträgt:
\[\text{IQA} = Q_3-Q_1=59-21=38\]
Damit kannst Du die obere und untere Ausreißergrenze berechnen:
\begin {align} \text{untere Ausreißergrenze: } & Q_1-1{,}5\cdot \text{IQA} = 21-1{,}5 \cdot 38 = -36\\ \text{obere Ausreißergrenze: } & Q_3+1{,}5\cdot \text{IQA} = 59+1{,}5 \cdot 38 = 116\end{align}
Alle Werte liegen innerhalb des Bereichs von \(-36\) bis \(116\). In diesem Boxplot gibt es also keine Ausreißer.
Die Whisker enden entweder beim letzten Datenwert, oder beim letzten Wert, der sich noch innerhalb der Ausreißergrenze befindet.
Wenn Du diese Werte nun maßstabsgetreu aufzeichnest, erhältst Du folgenden Boxplot:
Abb. 3 – Boxplot erstellen.
Um ein Boxplot zu erstellen und zu berechnen, gehst Du also so vor:
- Datenreihe nach den Werten in aufsteigender Reihenfolge sortieren.
- Quartile \(Q_1\), \(Q_2=M\) und \(Q_3\) berechnen.
- Prüfen, ob Ausreißer existieren, indem der IQA berechnet wird.
- Berechnete Werte maßstabsgetreu auf einem Boxplot antragen.
Boxplot interpretieren
Nun hast Du ein Boxplot erstellt. Was kannst Du jetzt damit anfangen?
Ein Boxplot hilft Dir, eine Datenreihe zu interpretieren und Aussagen über die Werte zu treffen.
Abb. 4 – Boxplot erstellen.
In diesem Boxplot kannst Du zum Beispiel erkennen, dass ...
- ... die Hälfte der befragten Personen unter bzw. über \(37{,}5\) Jahre alt waren.
- ... ein Viertel der Personen über \(59\) waren.
- ... drei Viertel der Personen unter \(59\) waren.
- usw.
Du kannst damit auch einen neuen Wert besser einordnen. Befragst Du nun eine weitere Person und erhältst als Antwort das Alter \(17\), so kannst Du auf einen Blick sagen, dass diese Person zum unteren Viertel der befragten Personen gehört.
Hättest Du statt dem Boxplot nur eine Liste mit Zahlen, wäre die Einordnung wesentlich zeitaufwendiger.
Boxplot – Aufgaben
Hier kannst Du jetzt mal selbst ein Boxplot erstellen und interpretieren. Viel Spaß!
Aufgabe 1
Berechne die für einen Boxplot benötigten Werte aus folgender Tabelle:
| Datensatz | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) | \(7\) | \(8\) | \(9\) |
| Wert | \(3\) | \(14\) | \(22\) | \(43\) | \(66\) | \(67\) | \(74\) | \(99\) | \(249\) |
Lösung
Zuerst berechnest Du die Quartile und den Median. Du hast \(9\) Datenwerte, der Median liegt also bei
\[M_\text{pos}=(n+1):2=(9+1):2=5\]
Das entspricht dem Wert \(M=66\).
Da der Median genau auf einem Datenwert liegt, wird der \(5.\) Wert bei der Bestimmung von \(Q_1\) und \(Q_3\) ausgeschlossen. Somit liegen die beiden Quartile zwischen \(2.\) und \(3.\), sowie \(7.\) und \(8.\). Somit muss von diesen Positionen noch der Wert berechnet werden.
\begin{align} Q_1 & = ( 14 + 22 ) : 2 = 18 \\ Q_3 & = ( 74 + 99 ) : 2 = 86{,}5 \end{align}
Anschließend schaust Du noch, ob es Ausreißer gibt. Die Länge der Box beträgt:
\[\text{IQA} = Q_3 - Q_1 = 86{,}5 - 18 = 68{,}5 \]
Damit kannst Du die obere und untere Ausreißergrenze berechnen:
\begin {align} \text{untere Ausreißergrenze: } & Q_1 - 1{,}5\cdot \text{IQA} = 18 - 1{,}5 \cdot 68{,}5 = -84{,}75\\ \text{obere Ausreißergrenze: } & Q_3+1{,}5\cdot \text{IQA} = 86{,}5 + 1{,}5 \cdot 68{,}5 = 189{,}25 \end{align}
Es gibt also einen Ausreißer, nämlich der \(9.\) Datensatz, denn alle anderen befinden sich unter dem maximal möglichen Wert von \(189{,}25\). Der obere Whisker endet somit bei dem Wert \(99\).
Aufgabe 2
Zeichne den Boxplot zu den in Aufgabe 1 errechneten Werten:
- \(\text{Ende unterer Whisker}=3=\text{Minimum}\)
- \(Q_1=18\)
- \(M=66\)
- \(Q_3=86{,}5\)
- \(\text{Ende oberer Whisker}=99\)
- \(\text{Maximum}=249\)
Lösung
Abb. 5 – Boxplot zu Aufgabe 2.
Aufgabe 3
Angenommen, die Werte aus dem Boxplot sind die Kosten eines Wocheneinkaufs verschiedener Personen in Euro.
Abb. 6 – Boxplot zu Aufgabe 3.
Beantworte folgende Fragen:
- Welcher Anteil der Personen hat mehr als \(70 \text{ €}\) für den Einkauf ausgegeben?
- Eine weitere Person betritt den Laden und bezahlt für ihren Einkauf \(55 \text{ €}\). Gibt sie vergleichsweise viel oder wenig Geld aus?
- Fällt ein Einkauf besonders auf?
Lösung
- \(70 \text{ €}\) liegen zwischen dem Median und dem dritten Quartil. Es haben also etwas weniger als die Hälfte der Kunden mehr als \(70 \text{ €}\) ausgegeben.
- \(55 \text{ €}\) liegen zwischen dem ersten Quartil und dem Median. Die Person gehört also zu der Hälfte der Kunden, die weniger Geld ausgeben.
- Ja, es gibt einen Ausreißer. Eine Person hat \(249 \text{ €}\) ausgegeben und hebt sich damit deutlich von der Masse ab.
Boxplot – Das Wichtigste
- Ein Boxplot, auch genannt Kastengrafik, wird zur strukturierten Darstellung von Datensätzen verwendet. Die Daten werden zusammen mit einer entsprechenden Achse visualisiert.
- Ein Boxplot besteht aus:
Abb. 7 - Boxplot Aufbau.
Nachweise
- Hassler (2018). Statistik im Bachelor-Studium Eine Einführung für Wirtschaftswissenschaftler. Springer Fachmedien Wiesbaden.
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