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Boxplot

Boxplot

Der Boxplot in Mathe hat viele verschiedene Bezeichnungen und wird unter anderem auch Box-Whisker-Plot und Kastengrafik genannt.

Hier wird erklärt, wie Du ein Boxplot erstellen, berechnen und interpretieren kannst und am Ende kannst Du Dich selbst an ein paar Aufgaben versuchen.

Boxplot Mathe – Boxplot Erklärung

Der Boxplot ist ein Diagramm, das die Verteilung statistischer Daten grafisch darstellt. Die Darstellung ermöglicht einen schnellen Überblick darüber, über welchen Bereich sich die Daten erstrecken und wie sie in diesem Bereich verteilt sind. Ein Boxplot wird deshalb häufig zur Zusammenfassung großer Datenmengen verwendet.

Ein Boxplot enthält unter anderem verschiedene Quartile:

  • das untere Quartil,
  • den Median,
  • das obere Quartil.

Falls Du noch einmal Genaueres über die Begriffe nachlesen willst, schau in die Erklärungen Median, Quartile und Lagemaße.

Boxplot Diagramm – Boxplot erklärt

Ein Boxplot hilf Dir, die Daten eines Datensatzes zu strukturieren.

Ein Boxplot, auch genannt Kastengrafik, wird zur strukturierten Darstellung von Datensätzen verwendet und stellt die Streuung der Daten anschaulich dar. Die Daten werden zusammen mit einer entsprechenden Achse visualisiert.

Genauer gesagt zeigt Dir ein Boxplot, welche Daten größer oder kleiner als ein bestimmter Wert sind, wo sich die Mitte befindet und wo das Maximum und das Minimum liegt. Er hilft Dir also, einen Datensatz zu interpretieren.

Ein Boxplot besteht aus:

  • einer Achse (Zahlenstrahl) mit Einheit,
  • dem Minimum (dem kleinsten Datenwert),
  • dem unteren Whisker (untere Antenne),
  • dem unteren Quartil \(Q_1\),
  • dem Median \(M\) (die Mitte des Datensatzes),
  • dem oberen Quartil \(Q_3\),
  • dem oberen Whisker (obere Antenne),
  • dem Maximum (dem größten Datenwert)
  • und Ausreißern (Werte, die die Whisker überschreiten).

Boxplot Aufbau StudySmarterAbb. 1 - Boxplot Aufbau.

Die Whisker (Antennen) sollten dabei nicht länger als das \(1{,}5\)-fache der Box sein. Für die Länge der Box (der sogenannte Interquartilabstand \(\text{IQA}\)) gibt es aber keine feste Regel. Berechnet wird er mit:

\[\text{IQA} = Q_3 - Q_1\]

Dabei muss ein Boxplot aber nicht symmetrisch sein, denn der Median ist nicht das arithmetische Mittel der Daten, sondern die Mitte der Datenreihe. Das untere und obere Quartil werden auch als Angelpunkte bezeichnet. Sie stellen den Median der oberen bzw. unteren Datenhälfte dar.

Das heißt, bei beispielsweise \(100\) Daten liegt der Median zwischen dem \(50.\) und \(51.\) Datensatz, ganz egal welche Werte die Daten haben. So kann es passieren, dass der Median beispielsweise sehr weit rechts ist, weil die Werte ab dem \(50.\) Datensatz sehr nah beieinander liegen, während sie davor einen großen Abstand hatten. In der Abbildung siehst Du, wie das aussehen kann.

Boxplot Beispiel StudySmarterAbb. 2 - Beispiel für asymmetrisches Boxplot.

Ein Boxplot wird üblicherweise ohne Beschriftung gezeichnet.

Boxplot erstellen und Boxplot berechnen

Möchtest Du nun ein Boxplot selbst erstellen, so benötigst Du zuerst die genannten Quartile. Im Boxplot werden nämlich nur diese Werte angegeben und der Rest wird weggelassen, da Du sie an der Achse ablesen kannst.

Die Position des Medians \(M_\text{pos}\) in der Datenreihe ergibt sich aus:

\[M_\text{pos}=(n+1):2\]

Wobei \(n\) für die Anzahl der Datenwerte steht.

Das obere und untere Quartil kann rechnerisch bestimmt werden, indem Du jeweils den Median der unten und oberen Datenhälfte ermittelst. Wichtig dabei ist, dass die Werte zuvor in aufsteigender Reihenfolge sortiert sind.

Sieh Dir dazu gleich das folgende Beispiel an.

In der Stadt wird die Menschenmenge nach ihrem Alter befragt. Folgende Tabelle spiegelt die Ergebnisse wider:

Person\(1\)\(2\)\(3\)\(4\)\(5\)\(6\)\(7\)\(8\)\(9\)\(10\)
Wert\(16\)\(18\)\(21\)\(30\)\(35\)\(40\)\(51\)\(59\)\(67\)\(75\)

Zuerst berechnest Du die Quartile und den Median. Du hast \(10\) Datenwerte, der Median liegt also bei

\[M_\text{pos}=(n+1):2=(10+1):2=5{,}5\]

Der Median liegt demnach zwischen dem \(5.\) und \(6.\) Datenwert. Das arithmetische Mittel dieser Datenwerte ist:

\[M=(35+40):2=37{,}5\]

Da der Median zwischen zwei Werten liegt, geht die untere Datenhälfte vom \(1.\) bis zum \(5.\) Wert und die obere Datenhälfte vom \(6.\) bis \(10\). Wert. Optisch stellen also der \(3.\) und \(8.\) Datenwert das jeweils obere und untere Quartil dar. In der Tabelle kannst Du auslesen, dass \(Q_1\) den Wert \(21\) hat und \(Q_3\) den Wert \(59\).

Person\(1\)\(2\)\(Q_1\)\(4\)\(5\)\(M\)\(6\)\(7\)\(Q_3\)\(9\)\(10\)
Wert\(16\)\(18\)\(21\)\(30\)\(35\)\(37{,}5\)\(40\)\(51\)\(59\)\(67\)\(75\)

Anschließend schaust Du noch, ob es Ausreißer gibt. Die Länge der Box beträgt:

\[\text{IQA} = Q_3-Q_1=59-21=38\]

Damit kannst Du die obere und untere Ausreißergrenze berechnen:

\begin {align} \text{untere Ausreißergrenze: } & Q_1-1{,}5\cdot \text{IQA} = 21-1{,}5 \cdot 38 = -36\\ \text{obere Ausreißergrenze: } & Q_3+1{,}5\cdot \text{IQA} = 59+1{,}5 \cdot 38 = 116\end{align}

Alle Werte liegen innerhalb des Bereichs von \(-36\) bis \(116\). In diesem Boxplot gibt es also keine Ausreißer.

Die Whisker enden entweder beim letzten Datenwert, oder beim letzten Wert, der sich noch innerhalb der Ausreißergrenze befindet.

Wenn Du diese Werte nun maßstabsgetreu aufzeichnest, erhältst Du folgenden Boxplot:

Boxplot erstellen Beispiel StudySmarterAbb. 3 – Boxplot erstellen.

Um ein Boxplot zu erstellen und zu berechnen, gehst Du also so vor:

  1. Datenreihe nach den Werten in aufsteigender Reihenfolge sortieren.
  2. Quartile \(Q_1\), \(Q_2=M\) und \(Q_3\) berechnen.
  3. Prüfen, ob Ausreißer existieren, indem der IQA berechnet wird.
  4. Berechnete Werte maßstabsgetreu auf einem Boxplot antragen.

Boxplot interpretieren

Nun hast Du ein Boxplot erstellt. Was kannst Du jetzt damit anfangen?

Ein Boxplot hilft Dir, eine Datenreihe zu interpretieren und Aussagen über die Werte zu treffen.

Boxplot erstellen Beispiel StudySmarterAbb. 4 – Boxplot erstellen.

In diesem Boxplot kannst Du zum Beispiel erkennen, dass ...

  • ... die Hälfte der befragten Personen unter bzw. über \(37{,}5\) Jahre alt waren.
  • ... ein Viertel der Personen über \(59\) waren.
  • ... drei Viertel der Personen unter \(59\) waren.
  • usw.

Du kannst damit auch einen neuen Wert besser einordnen. Befragst Du nun eine weitere Person und erhältst als Antwort das Alter \(17\), so kannst Du auf einen Blick sagen, dass diese Person zum unteren Viertel der befragten Personen gehört.

Hättest Du statt dem Boxplot nur eine Liste mit Zahlen, wäre die Einordnung wesentlich zeitaufwendiger.

Boxplot – Aufgaben

Hier kannst Du jetzt mal selbst ein Boxplot erstellen und interpretieren. Viel Spaß!

Aufgabe 1

Berechne die für einen Boxplot benötigten Werte aus folgender Tabelle:

Datensatz\(1\)\(2\)\(3\)\(4\)\(5\)\(6\)\(7\)\(8\)\(9\)
Wert\(3\)\(14\)\(22\)\(43\)\(66\)\(67\)\(74\)\(99\)\(249\)

Lösung

Zuerst berechnest Du die Quartile und den Median. Du hast \(9\) Datenwerte, der Median liegt also bei

\[M_\text{pos}=(n+1):2=(9+1):2=5\]

Das entspricht dem Wert \(M=66\).

Da der Median genau auf einem Datenwert liegt, wird der \(5.\) Wert bei der Bestimmung von \(Q_1\) und \(Q_3\) ausgeschlossen. Somit liegen die beiden Quartile zwischen \(2.\) und \(3.\), sowie \(7.\) und \(8.\). Somit muss von diesen Positionen noch der Wert berechnet werden.

\begin{align} Q_1 & = ( 14 + 22 ) : 2 = 18 \\ Q_3 & = ( 74 + 99 ) : 2 = 86{,}5 \end{align}

Anschließend schaust Du noch, ob es Ausreißer gibt. Die Länge der Box beträgt:

\[\text{IQA} = Q_3 - Q_1 = 86{,}5 - 18 = 68{,}5 \]

Damit kannst Du die obere und untere Ausreißergrenze berechnen:

\begin {align} \text{untere Ausreißergrenze: } & Q_1 - 1{,}5\cdot \text{IQA} = 18 - 1{,}5 \cdot 68{,}5 = -84{,}75\\ \text{obere Ausreißergrenze: } & Q_3+1{,}5\cdot \text{IQA} = 86{,}5 + 1{,}5 \cdot 68{,}5 = 189{,}25 \end{align}

Es gibt also einen Ausreißer, nämlich der \(9.\) Datensatz, denn alle anderen befinden sich unter dem maximal möglichen Wert von \(189{,}25\). Der obere Whisker endet somit bei dem Wert \(99\).

Aufgabe 2

Zeichne den Boxplot zu den in Aufgabe 1 errechneten Werten:

  • \(\text{Ende unterer Whisker}=3=\text{Minimum}\)
  • \(Q_1=18\)
  • \(M=66\)
  • \(Q_3=86{,}5\)
  • \(\text{Ende oberer Whisker}=99\)
  • \(\text{Maximum}=249\)

Lösung

Boxplot Aufgaben StudySmarterAbb. 5 – Boxplot zu Aufgabe 2.

Aufgabe 3

Angenommen, die Werte aus dem Boxplot sind die Kosten eines Wocheneinkaufs verschiedener Personen in Euro.

Boxplot Aufgaben StudySmarterAbb. 6 – Boxplot zu Aufgabe 3.

Beantworte folgende Fragen:

  1. Welcher Anteil der Personen hat mehr als \(70 \text{ €}\) für den Einkauf ausgegeben?
  2. Eine weitere Person betritt den Laden und bezahlt für ihren Einkauf \(55 \text{ €}\). Gibt sie vergleichsweise viel oder wenig Geld aus?
  3. Fällt ein Einkauf besonders auf?

Lösung

  1. \(70 \text{ €}\) liegen zwischen dem Median und dem dritten Quartil. Es haben also etwas weniger als die Hälfte der Kunden mehr als \(70 \text{ €}\) ausgegeben.
  2. \(55 \text{ €}\) liegen zwischen dem ersten Quartil und dem Median. Die Person gehört also zu der Hälfte der Kunden, die weniger Geld ausgeben.
  3. Ja, es gibt einen Ausreißer. Eine Person hat \(249 \text{ €}\) ausgegeben und hebt sich damit deutlich von der Masse ab.

Boxplot – Das Wichtigste

  • Ein Boxplot, auch genannt Kastengrafik, wird zur strukturierten Darstellung von Datensätzen verwendet. Die Daten werden zusammen mit einer entsprechenden Achse visualisiert.
  • Ein Boxplot besteht aus:Boxplot Aufbau StudySmarterAbb. 7 - Boxplot Aufbau.

Nachweise

  1. Hassler (2018). Statistik im Bachelor-Studium Eine Einführung für Wirtschaftswissenschaftler. Springer Fachmedien Wiesbaden.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Boxplot

Ausreißer sind Werte, die sich außerhalb der Ausreißergrenze befinden. Die Grenze der Whisker (Ausreißergrenze) beträgt < 1,5 •  IQA. Alle Werte außerhalb dieser Grenze werden im Boxplot als Ausreißer gekennzeichnet.

Beim Interpretieren einer Kastengrafik kannst Du angeben, was das Minimum und das Maximum der Verteilung ist, wo der Median und die Quartile liegen, wie groß der Interquartilabstand (IQA) ist und ob es Ausreißer gibt.

Zuerst bringst Du die Werte in eine nach der Größe geordnete Datenreihe. Dann berechnest Du den Median M und die beiden Quartile Q1 und Q3. Die Quartile bilden den Rand der Box, den Median zeichnest Du in diese Box ein. Von der Box ausgehend zeichnest Du die Whisker zu den Extrempunkten und kennzeichnest am Schluss Ausreißer. 

Ein Boxplot ist sinnvoll, wenn Du eine große Datenmenge übersichtlich zusammenfassen möchtest. Der Boxplot ermöglicht es, einen schnellen Überblick zu gewinnen, über welchen Bereich sich die Daten erstrecken und wie sie in diesem Bereich verteilt sind. 

Finales Boxplot Quiz

Frage

Wähle aus, wie ein Boxplot noch genannt wird.

Antwort anzeigen

Antwort

Kastengrafik

Frage anzeigen

Frage

Zeige auf, wofür der Boxplot genutzt wird.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Boxplot ist ein Diagramm, das die Verteilung statistischer Daten grafisch darstellt. Es wird häufig zur übersichtlichen Zusammenfassung großer Datenmengen verwendet.

Frage anzeigen

Frage

Nenne die Punkte, die ein Boxplot enthält.

Antwort anzeigen

Antwort

Ein Boxplot besteht aus:

  • einer Achse mit Einheit,
  • dem Minimum (dem kleinsten Datenwert)
  • dem untereren Whisker (Antenne),
  • dem unteren Quartil \(Q_1\),
  • dem Median M (die Mitte des Datensatzes),
  • dem oberen Quartil \(Q_3\),
  • dem Maximum (dem größten Datenwert),
  • dem oberen Whisker (Antenne),
  • und Ausreißern (Werte, die das Maximum bzw. Minimum überschreiten).

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, was ein Median ist.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Median ist der Wert, der bei einer nach der Größe geordneten Datenreihe genau in der Mitte steht. 

Er teilt den vorliegenden Datensatz in zwei Hälften, die jeweils \(50\,\%\) der Daten umfassen.

Frage anzeigen

Frage

Was sind Angelpunkte? Nenne sie und erkläre ihren Sinn.

Antwort anzeigen

Antwort

Der untere Angelpunkt ist das untere Quartil und der Median der unteren Datenhälfte.

Der obere Angelpunkt ist das obere Quartil und der Median der oberen Datenhälfte. 

Frage anzeigen

Frage

Benenne die einzelnen Abschnitte bei einer „Vierteilung“ des Boxplots.

Antwort anzeigen

Antwort

Ein Boxplot besteht bei einer Vierteilung aus drei Quartilen \(Q_1\), \(Q_2=M\) und \(Q_3\).

Frage anzeigen

Frage

Nenne die mathematischen Bezeichnungen für das obere und untere Quartil.

Antwort anzeigen

Antwort

Das untere Quartil heißt auch \(Q_1\), das obere Quartil \(Q_3\).

Frage anzeigen

Frage

Nenne die Formel, mit welcher Du den Interquartilabstand \(\text{IQA}\) berechnen kannst.

Antwort anzeigen

Antwort

\[\text{IQA}  = Q_3 - Q_1\]

Frage anzeigen

Frage

Nenne die Formel, mit welcher Du die untere Ausreißergrenze berechnen kannst.

Antwort anzeigen

Antwort

\[Q_1-1{,}5\cdot\text{IQA}\]

Frage anzeigen

Frage

Nenne die Formel, mit welcher Du die obere Ausreißergrenze berechnen kannst.

Antwort anzeigen

Antwort

\[Q_3+1{,}5\cdot \text{IQA}\]

Frage anzeigen

Frage

Gib an, wie ein Ausreißer im Boxplot gekennzeichnet wird.

Antwort anzeigen

Antwort

Dafür gibt es keine Vorgabe. Du kannst einen Punkt, ein Kreuz, einen Stern oder auch etwas anderes verwenden.

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, bis wohin der Whisker gezeichnet wird.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Whisker wird bis zum letzten Wert der Datenreihe gezeichnet, der noch kein Ausreißer ist.

Frage anzeigen

Frage

Nenne die Schritte zur Erstellung eines Boxplots.

Antwort anzeigen

Antwort

  1. Datenreihe nach den Werten in aufsteigender Reihenfolge sortieren.
  2. Quartile \(Q_1\), \(Q_2=M\) und \(Q_3\) berechnen.
  3. Prüfen, ob Ausreißer existieren.
  4. Berechnete Werte maßstabsgetreu auf einem Boxplot antragen.

Frage anzeigen

Frage

Dir liegt diese Datenreihe vor: 

\[1, 5, 7, 11, 15, 18, 69\]

Bestimme den Median.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Median ist \(11\).

Frage anzeigen

Frage

Dir liegt diese Datenreihe vor: 

\[1, 5, 7, 11, 15, 18, 69\]

Bestimme das untere Quartil.

Antwort anzeigen

Antwort

Das untere Quartil liegt auf \(5\).

Frage anzeigen

Frage

Dir liegt diese Datenreihe vor:

\[1, 5, 7, 11, 15, 18, 69\]

Bestimme das obere Quartil.

Antwort anzeigen

Antwort

Das obere Quartil liegt auf \(18\).

Frage anzeigen

Frage

Hat ein Boxplot Nachteile? Falls ja, nenne sie.

Antwort anzeigen

Antwort

Aus einem Boxplot ist nicht ersichtlich, wie viele Daten vorliegen. Außerdem ist er für detaillierte Analysen ungeeignet, da er nur einen groben Überblick über die Daten liefert.

Frage anzeigen

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