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Poisson Verteilung

Poisson Verteilung

Die Poisson-Verteilung ist ein Sonderfall der Binomialverteilung und wird verwendet, wenn die Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Ereignis sehr klein ist. Wie auch bei andern Verteilungen gibt es hier Lageparameter wie zum Beispiel den Erwartungswert oder die Standardabweichung. Ob die Poisson-Verteilung stetig oder diskret ist und welche Formel Du zum Berechnen der Wahrscheinlichkeit verwenden kannst, siehst Du hier.

Poisson-Verteilung Beispiele

Damit Du gleich mal sehen kannst, wo die Poisson-Verteilung angewendet wird, folgen zwei Beispiele:

Poisson-Verteilung – Beispiel 1

In einem Supermarkt werden für eine Studie die Kunden gezählt. Es wird darauf geachtet, wie viele Menschen einen kleinen Laden zwischen \(14{:}00\mathrm{~Uhr}\) und \(16{:}00\mathrm{~Uhr}\) besucht haben. Die Zählungen haben ergeben, dass \(30\) Menschen dort waren. Wie hoch wäre hingegen die Wahrscheinlichkeit, dass genau \(28\) Menschen den Laden betreten haben?

Lösung

Kunden können nicht nur jede volle Minute, sondern jede Sekunde den Laden betreten. Dadurch würde hier ein \(n\) von \(2\,700\) entstehen und somit eine Wahrscheinlichkeit von:

\[p=\frac{30}{7\,200}=\frac{1}{240}=0{,}0041\overline{6}\]

Die Poisson-Verteilung macht also mehr Sinn als die Binomialverteilung.

  • \(\mu=30\)
  • \(k=28\)
  • \(p=\text{gesucht}\)

Einsetzen in die Formel der Wahrscheinlichkeitsfunktion:

\begin{align}f(x)=P(X=k)&=\frac{\mu^k}{k !} \cdot \mathrm{e}^{-\mu} \\[0.2cm] P(X=28)&=\frac{30^{28}}{28!}\cdot2{,}718\,28^{-30}=0{,}0702 =7\,\%\end{align}

Mit einer Wahrscheinlichkeit von \(7\,\%\) betreten genau \(28\) Menschen den Laden zwischen \(14{:}00\mathrm{~Uhr}\) und \(16{:}00\mathrm{~Uhr}\).

Poisson-Verteilung – Beispiel 2

Es schneit auf ein \(5~\mathrm{km}^2\) großes Feld. Im Schnitt sind in der Messperiode \(10\) Schneeflocken pro Quadratmeter gefallen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass auf einen bestimmten Quadratmeter \(20\) Schneeflocken gefallen sind?

Lösung

Auch hier ist \(n\) wieder sehr groß:

\[n=5~\mathrm{km}^2=500~\mathrm{dm}^2=50\,000~\mathrm{m}^2\]

Also wird die Poisson-Verteilung genutzt:

\begin{align}f(x)=P(X=k)&=\frac{\mu^k}{k !} \cdot \mathrm{e}^{-\mu} \\[0.2cm] P(X=20)&=\frac{10^{20}}{20!}\cdot2{,}718\,28^{-10}=0{,}001\,86 =0{,}2\,\%\end{align}

Die Wahrscheinlichkeit für \(20\) Schneeflocken auf einem Quadratmeter ist mit \(0{,}2\,\%\) verschwindend gering.

Poisson-Verteilung Formel und Definition

Die Poisson-Verteilung \(Ps(\mu)\) ist definiert als eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die bei mehrstufigen Bernoulli-Experimenten eingesetzt wird, in denen ein Ereignis \(A\) mit sehr geringer Wahrscheinlichkeit \(p\) eintritt. Die Poisson-Verteilung ist eine Approximation (Annäherung) an die Binomialverteilung.

Die Formel der allgemeinen Verteilungsfunktion lautet:

\[F(x)=P(X \leq x)=\mathrm{e}^{-\mu} \cdot \sum_{k \leq x} \frac{\mu^k}{k !}\]

  • \(k=\) natürliche Zahlen \(=0,1,2,3,\ldots\)
  • \(\mu=\) Erwartungswert
  • \(\,\mathrm{e}=\) Eulersche Zahl \(=2{,}718\,28\ldots\)

Beispiele für Zufallsexperimente, in denen bestimmte Ereignisse selten vorkommen, sind Zeitintervalle und räumliche Gebiete. Hierbei gibt es sehr viele (aber dennoch endlich viele) \(n\), während die Wahrscheinlichkeit \(p\) sehr klein ist. Dementsprechend wäre die Berechnung des Binomialkoeffizienten sehr aufwendig, also wird die Poisson-Verteilung genutzt.

Die allgemeine Verteilungsfunktion benötigst Du dann, wenn Du die Wahrscheinlichkeiten mehrerer Ereignisse zusammenzählen willst.

Poisson-Verteilung Wahrscheinlichkeit berechnen

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Poisson-Verteilung lautet:

\[f(x)=P(X=k)=\frac{\mu^k}{k !} \cdot \mathrm{e}^{-\mu}\]

  • \(k=\) natürliche Zahlen \(=0,1,2,3,\ldots\)
  • \(\mu=\) Erwartungswert
  • \(\,\mathrm{e}=\) Eulersche Zahl \(=2{,}718\,28\ldots\)

Ein Beispiel zur Verwendung dieser Formel findest Du unten bei den Aufgaben.

Poisson-Verteilung – Erwartungswert, Standardabweichung, Normalverteilung

Wie auch bei anderen Verteilungen gibt es in der Poisson-Verteilung verschiedene Lageparameter.

Erwartungswert

Den Erwartungswert \(\mu\) kannst Du direkt aus der Formel der Poisson-Verteilung ablesen bzw. bei \(\mu\) einsetzen. Oft wird hierfür auch ein \(\lambda\) statt \(\mu\) geschrieben. Es handelt sich aber immer um den Erwartungswert.

Was der Erwartungswert ist und wie Du ihn berechnest, kannst Du in der Erklärung zum Erwartungswert nachlesen.

Standardabweichung und Varianz

Normalerweise wird die Varianz und Standardabweichung mit einer Formel berechnet, die Du im Artikel "Varianz" nachlesen kannst. Bei der Poisson-Verteilung entspricht die Varianz allerdings genau dem Erwartungswert, also:

\[\mu=\sigma^2\]

Und weil die Standardabweichung die Wurzel der Varianz ist, ist die Standardabweichung der Poisson-Verteilung im Umkehrschluss auch die Wurzel vom Erwartungswert.

\[\sqrt{\mu}=\sqrt{\sigma^2}=\sigma\]

Normalverteilung

Mit der Normalverteilung hat die Poisson-Verteilung nichts zu tun. Die Unterschiede sind:

NormalverteilungPoisson-Verteilung
Stetige VerteilungDiskrete Verteilung
Werte sind normal verteilt (Glockenform)Werte sind oft asymmetrisch verteilt

Poisson-Verteilung – diskret oder stetig

Die Poisson-Verteilung wird zwar bei Zufallsexperimenten mit sehr vielen Durchführungen \(n\) angewendet, diese müssen aber dennoch endlich sein. Somit ist die Poisson-Verteilung diskret.

Poisson-Verteilung Aufgaben

Zum Abschluss gibt's hier noch ein paar Aufgaben zum Üben.

Poisson-Verteilung – Aufgabe 1

Es regnet auf ein \(5~\mathrm{km}^2\) großes Feld. Im Schnitt sind in der Messperiode \(10\) Regentropfen pro Quadratmeter gefallen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass auf einen bestimmten Quadratmeter \(15)\, (20\) oder \(25\) Regentropfen gefallen sind?

Lösung

Hier ist die Wahrscheinlichkeit mehrerer voneinander unabhängiger Ereignisse gesucht. Du kannst also die Verteilungsfunktion nutzen.

\begin{align} F(x)=P(X \leq x) & = \mathrm{e}^{-\mu} \cdot \sum_{k \leq x} \frac{\mu^k}{k !} \\[0.2cm] & = \mathrm{e}^{-10} \cdot \left( \frac{10^{15}}{15!} + \frac{10^{20}}{20!} + \frac{10^{25}}{25!} \right) \\[0.2cm] & = \mathrm{e}^{-10} \cdot ( 764{,}716 + 41{,}103 + 0{,}645 ) \\[0.4cm] & = 0{,}0366 = 3{,}66\,\% \end{align}

Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eins der Ereignisse eintritt, liegt bei \(3{,}66\,\%\).

Poisson-Verteilung – Aufgabe 2

Ein Kleinunternehmer verkauft pro Jahr ca. \(1\,000\) Produkte und erhält davon im Schnitt \(50\) Rücksendungen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er dieses Jahr nur \(40\) Rücksendungen erhält?

Lösung

  • Erwartungswert: \(\mu=50\)
  • Anzahl Ereignisse: \(k=40\)

\begin{align}f(x)=P(X=k)&=\frac{\mu^k}{k !} \cdot \mathrm{e}^{-\mu} \\[0.2cm] P(X=40)&=\frac{50^{40}}{40!}\cdot\mathrm{e}^{-50}=0{,}02149 =2{,}15\,\%\end{align}

Poisson Verteilung - Das Wichtigste

  • Die Poisson-Verteilung \(Ps(\mu)\) ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die bei mehrstufigen Bernoulli-Experimenten eingesetzt wird, in denen ein Ereignis \(A\) mit sehr geringer Wahrscheinlichkeit \(p\) eintritt.
  • Allgemeine Verteilungsfunktion:\[F(x)=P(X \leq x)=\mathrm{e}^{-\mu} \cdot \sum_{k \leq x} \frac{\mu^k}{k !}\]
  • Wahrscheinlichkeitsfunktion:\[f(x)=P(X=k)=\frac{\mu^k}{k !} \cdot \mathrm{e}^{-\mu}\]
  • Erwartungswert, Standardabweichung, Varianz:\[\sqrt{\mu}=\sqrt{\sigma^2}=\sigma\]

Häufig gestellte Fragen zum Thema Poisson Verteilung

Die Poisson-Verteilung kannst Du nutzen, wenn bei einem Bernoulli-Experiment die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis A sehr gering ist.

Ein Zufallsexperiment ist poissonverteilt, wenn es die Ereignisse innerhalb eines festgelegten Zeitraumes oder Raumes zählt. Außerdem treten die Ereignisse unabhängig voneinander und niemals gleichzeitig ein.

Du benutzt die Poisson-Verteilung im allgemeinen zur Annäherung der Binomialverteilung, wenn n groß ist und p klein.

Die Poisson-Verteilung sagt aus, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein gewünschtes Ereignis eintritt, bzw. wie die einzelnen Ereignisse verteilt sind.

Finales Poisson Verteilung Quiz

Frage

Erkläre, wann Du die Poisson-Verteilung anwenden kannst.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Poisson-Verteilung wird dann genutzt, wenn ein Ereignis \(A\) mit sehr geringer Wahrscheinlichkeit eintritt und die Anzahl der Durchführungen \(n\) sehr groß ist.

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, was die Poisson-Verteilung mit der Binomialverteilung zu tun hat.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Poisson-Verteilung ist eine Approximation an die Binomialverteilung bei großem \(n\) und zugleich kleinem \(p\), da in diesem Fall die Berechnung mit der Binomialverteilung sehr aufwendig wäre.

Frage anzeigen

Frage

In welchen Fällen kommt die Poisson-Vereilung in der Realität zum Einsatz?

Antwort anzeigen

Antwort

Zufallsexperiment in einem bestimmten Zeitraum

Frage anzeigen

Frage

Entscheide, ob die Poisson-Verteilung diskret oder stetig ist. Begründe warum.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Poisson-Verteilung ist diskret, weil \(n\) zwar groß ist, aber dennoch endlich.

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, wozu Du die allgemeine Verteilungsfunktion der Poisson-Verteilung benötigst.

Antwort anzeigen

Antwort

Die allgemeine Verteilungsfunktion wird benötigt, wenn von mehreren Ereignissen mindestens eines eintreten soll. Mit der allgemeinen Verteilungsfunktion werden wie bei der ODER-Verknüpfung die einzelnen Wahrscheinlichkeiten addiert.

Frage anzeigen

Frage

Wähle die allgemeine Verteilungsfunktion der Poisson-Verteilung.

Antwort anzeigen

Antwort

\[F(x)=P(X \leq x)=\mathrm{e}^{-\mu} \cdot \sum_{k \leq x} \frac{\mu^k}{k !}\]

Frage anzeigen

Frage

Wähle, welche Zahlen Du für den Parameter \(k\) in die Poisson-Verteilung einsetzen kannst.

Antwort anzeigen

Antwort

natürliche Zahlen mit der \(0\)

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, wie Du die Varianz und Standardabweichung einer Poisson-Verteilung bestimmen kannst.

Antwort anzeigen

Antwort

In der Poisson-Verteilung ist die Varianz \(\sigma^2\) gleich dem Erwartungswert \(\mu\). Da die Standardabweichung \(\sigma\) allgemein als die Wurzel der Varianz definiert ist, ist sie somit die Wurzel des Erwartungswertes.

\[\sqrt{\mu}=\sqrt{\sigma^2}=\sigma\]

Frage anzeigen

Frage

Nenne die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Poisson-Verteilung.

Antwort anzeigen

Antwort

\[f(x)=P(X=k)=\frac{\mu^k}{k !} \cdot \mathrm{e}^{-\mu}\]

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, was der Buchstabe \(\mathrm{e}\) in der Poisson-Verteilung bedeutet.

Antwort anzeigen

Antwort

Dieser Buchstabe ist die Eulersche Zahl \(\mathrm{e}\). Sie ist eine Konstante mit dem Wert \(2{,}718\,28\ldots\)

Frage anzeigen

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