Poisson Verteilung

In einem Supermarkt werden für eine Studie die Kunden gezählt. Es wird darauf geachtet, wie viele Menschen einen kleinen Laden zwischen \(14{:}00\mathrm{~Uhr}\) und \(16{:}00\mathrm{~Uhr}\) besucht haben. Die Zählungen haben ergeben, dass \(30\) Menschen dort waren. Wie hoch wäre hingegen die Wahrscheinlichkeit, dass genau \(28\) Menschen den Laden betreten haben?

Lösung

Kunden können nicht nur jede volle Minute, sondern jede Sekunde den Laden betreten. Dadurch würde hier ein \(n\) von \(2\,700\) entstehen und somit eine Wahrscheinlichkeit von:

\[p=\frac{30}{7\,200}=\frac{1}{240}=0{,}0041\overline{6}\]

Die Poisson-Verteilung macht also mehr Sinn als die Binomialverteilung.

• \(\mu=30\)
• \(k=28\)
• \(p=\text{gesucht}\)

Einsetzen in die Formel der Wahrscheinlichkeitsfunktion:

\begin{align}f(x)=P(X=k)&=\frac{\mu^k}{k !} \cdot \mathrm{e}^{-\mu} \\[0.2cm] P(X=28)&=\frac{30^{28}}{28!}\cdot2{,}718\,28^{-30}=0{,}0702 =7\,\%\end{align}

Mit einer Wahrscheinlichkeit von \(7\,\%\) betreten genau \(28\) Menschen den Laden zwischen \(14{:}00\mathrm{~Uhr}\) und \(16{:}00\mathrm{~Uhr}\).

Es schneit auf ein \(5~\mathrm{km}^2\) großes Feld. Im Schnitt sind in der Messperiode \(10\) Schneeflocken pro Quadratmeter gefallen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass auf einen bestimmten Quadratmeter \(20\) Schneeflocken gefallen sind?

Lösung

Auch hier ist \(n\) wieder sehr groß:

\[n=5~\mathrm{km}^2=500~\mathrm{dm}^2=50\,000~\mathrm{m}^2\]

Also wird die Poisson-Verteilung genutzt:

\begin{align}f(x)=P(X=k)&=\frac{\mu^k}{k !} \cdot \mathrm{e}^{-\mu} \\[0.2cm] P(X=20)&=\frac{10^{20}}{20!}\cdot2{,}718\,28^{-10}=0{,}001\,86 =0{,}2\,\%\end{align}

Die Wahrscheinlichkeit für \(20\) Schneeflocken auf einem Quadratmeter ist mit \(0{,}2\,\%\) verschwindend gering.

Es regnet auf ein \(5~\mathrm{km}^2\) großes Feld. Im Schnitt sind in der Messperiode \(10\) Regentropfen pro Quadratmeter gefallen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass auf einen bestimmten Quadratmeter \(15)\, (20\) oder \(25\) Regentropfen gefallen sind?

Lösung

Hier ist die Wahrscheinlichkeit mehrerer voneinander unabhängiger Ereignisse gesucht. Du kannst also die Verteilungsfunktion nutzen.

\begin{align} F(x)=P(X \leq x) & = \mathrm{e}^{-\mu} \cdot \sum_{k \leq x} \frac{\mu^k}{k !} \\[0.2cm] & = \mathrm{e}^{-10} \cdot \left( \frac{10^{15}}{15!} + \frac{10^{20}}{20!} + \frac{10^{25}}{25!} \right) \\[0.2cm] & = \mathrm{e}^{-10} \cdot ( 764{,}716 + 41{,}103 + 0{,}645 ) \\[0.4cm] & = 0{,}0366 = 3{,}66\,\% \end{align}

Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eins der Ereignisse eintritt, liegt bei \(3{,}66\,\%\).

Ein Kleinunternehmer verkauft pro Jahr ca. \(1\,000\) Produkte und erhält davon im Schnitt \(50\) Rücksendungen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er dieses Jahr nur \(40\) Rücksendungen erhält?

Lösung

• Erwartungswert: \(\mu=50\)
• Anzahl Ereignisse: \(k=40\)

\begin{align}f(x)=P(X=k)&=\frac{\mu^k}{k !} \cdot \mathrm{e}^{-\mu} \\[0.2cm] P(X=40)&=\frac{50^{40}}{40!}\cdot\mathrm{e}^{-50}=0{,}02149 =2{,}15\,\%\end{align}