Poisson Verteilung

Die Poisson Verteilung gehört zu den sogenannten „diskreten“ Verteilungen, das bedeutet, dass wir uns nur eine endliche Menge anschauen. Wir benutzen die Poisson Verteilung, wenn wir die Häufigkeit eines unabhängigen Ergebnisses in einem Zufallsexperiment über eine gewisse Zeit betrachten. Die Poisson Verteilung (endliche Versuchsanzahl) ist eine Annäherung an die Binomialverteilung, bei der unendlich viele Versuche betrachtet werden und welche deshalb sehr kompliziert ist.

Die allgemeine Darstellung der Poisson Verteilung

Die Poisson Verteilung wird folgendermaßen ausgedrückt:

drückt dabei aus, wie viele Ereignisse wir durchschnittlich erwarten können, also den Erwartungswert.

Um das Ganze zu veranschaulichen, erklären wir dir das jetzt einmal an einem Beispiel!

Wann verwenden wir die Poisson Verteilung?

Die Poisson Verteilung wird vor allem dann benutzt, wenn n sehr groß ist und wir eine Annäherung aufgrund der Komplexität erzielen wollen. Wir können diese Zufallsgröße in viele alltäglichen Situationen verwenden. Du hast bestimmt schon einmal etwas über den Binomialkoeffizienten gehört, wir verwenden die Poisson Verteilung, wenn wir ein sehr großes n haben und deshalb der Binomialkoeffizient viel zu kompliziert zu berechnen ist. Die Poisson Verteilung ist folglich eine Annäherung an die Binomialverteilung und sie ist weniger kompliziert.

Beispiel zur Darstellung der Poisson Verteilung

Wie bereits genannt, verwenden wir die Poisson Verteilung wenn wir ein sehr großes n suchen, da die Binomialverteilung dafür zu kompliziert ist.

Aufgabe:

In einem Supermarkt werden für eine Studie die Kunden gezählt. Wir schauen uns an, wie viele Menschen den Supermarkt zwischen 14.00 und 14.45 Uhr besucht haben. Die Zählungen haben ergeben, dass 30 Menschen dort waren.

Wir schreiben das auf wie folgt:

gibt in diesem Fall also die Anzahl der Besucher des Supermarktes an, also den Erwartungswert.

So, die Basics wissen wir jetzt! ☺ Im Folgenden zeigen wir dir, wie du das Ergebnis berechnen kannst. Wir schauen uns jetzt die Berechnung der allgemeinen Verteilungsfunktion, der Dichte, des Erwartungswertes und der Varianz bzw. der Standardabweichung an.

Die Berechnung der Dichte

Schauen wir uns zuerst einmal die Formel für die Dichte der Poisson Verteilung an.

Diese lautet:

Wie oben bereits gesagt, gibt an, wie viele Ereignisse wir durchschnittlich erwarten können, also den Erwartungswert (siehe unten). Falls wir aber wissen möchten, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass genau x Ereignisse eintreten, setzen wir diese Werte in das Ergebnis ein.

Beispielaufgabe zur Berechnung der Dichte

Wie schauen uns jetzt ein Beispiel an, dann wird das Ganze ein bisschen deutlicher. Wir betrachten wieder das Beispiel von oben.

Aufgabe:In einem Supermarkt werden für eine Studie die Kunden gezählt. Wir schauen uns an, wie viele Menschen den Supermarkt zwischen 14.00 und 14.45 Uhr besucht haben. Die Zählungen haben ergeben, dass 30 Menschen dort waren. Wie hoch wäre allerdings die Wahrscheinlichkeit, dass genau 28 Menschen den Supermarkt betreten haben?

Lösung:Zuerst schauen wir uns die gegebenen Werte an: gibt an, wie viele Menschen wir beobachtet haben, wie also durchschnittlich erwarten können. In diesem Fall beträgt = 30.

Allerdings möchten wir wissen, wie hoch p für genau 28 Menschen ist. Damit beträgt unser x=28. Dazu setzen wir die gegebenen Werte in die Formel ein und erhalten:

Damit beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass zwischen 14.00 und 14.45 genau 28 Menschen in den Supermarkt gehen beträgt 7,02%.

Die Berechnung der allgemeinen Verteilungsfunktion

Leider musst du bei der Berechnung der allgemeinen Verteilungsfunktion wieder die jeweiligen Werte, die du durch Einsetzen in die Dichtefunktion erhältst, addieren. Aus der Formel der Dichtefunktion ergibt sich dann folglich die Formel der allgemeinen Verteilungsfunktion.

Wenn du die Werte der Dichtefunktion summierst, erhältst du die Verteilungsfunktion.

Der Erwartungswert

Natürlich lässt sich auch bei der Poisson Verteilung der Erwartungswert beschreiben. Hier musst du sogar gar nichts berechnen! Der Wert von gibt den Erwartungswert an, also wie viele Ereignisse wir in einem bestimmten Zeitrahmen durchschnittlich erwarten können. Oft wird der Erwartungswert mit bezeichnet.

In unserem Beispiel beträgt der Erwartungswert = 30.

Standardabweichung, Varianz

Die Varianz der Poisson Verteilung entspricht dem Erwartungswert λ. Die Standardabweichung ist die Wurzel der Varianz und damit des Erwartungswertes .

In unserem Beispiel beträgt die Varianz =30 und folglich die Standardabweichung .

Poisson Verteilung - Das Wichtigste auf einen Blick

Die Poisson Verteilung gehört zu den sogenannten „diskreten“ Verteilungen. Sie wird als X Po(λ) geschrieben und gibt dabei den Erwartungswert an.

Beim Rechnen mit der Poisson Verteilung gibt es einige Formeln, die du dir merken solltest:

• Berechnung der Dichte:
• Berechnung der allgemeinen Verteilungsfunktion:
• Der Erwartungswert entspricht der Varianz:
• Die Standardabweichung entspricht der Wurzel der Varianz/des Erwartungswertes:

Unser Tipp für euch

Die wichtigsten Formeln haben wir dir unten zusammengefasst. Diese solltest du dir einprägen. :) Ich empfehle dir, dir ein Formelblatt zu schreiben, wo du die wichtigsten Merkmale und die Formeln jeder Zufallsgröße in deinen eigenen Worten aufschreibst. So hast du jederzeit einen guten Überblick und kannst in einem späteren Zeitpunkt darauf zurückgreifen.