Die Poisson-Verteilung ist ein Sonderfall der Binomialverteilung und wird verwendet, wenn die Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Ereignis sehr klein ist. Wie auch bei andern Verteilungen gibt es hier Lageparameter wie zum Beispiel den Erwartungswert oder die Standardabweichung. Ob die Poisson-Verteilung stetig oder diskret ist und welche Formel Du zum Berechnen der Wahrscheinlichkeit verwenden kannst, siehst Du hier.
Poisson-Verteilung Beispiele
Damit Du gleich mal sehen kannst, wo die Poisson-Verteilung angewendet wird, folgen zwei Beispiele:
Poisson-Verteilung – Beispiel 1
In einem Supermarkt werden für eine Studie die Kunden gezählt. Es wird darauf geachtet, wie viele Menschen einen kleinen Laden zwischen \(14{:}00\mathrm{~Uhr}\) und \(16{:}00\mathrm{~Uhr}\) besucht haben. Die Zählungen haben ergeben, dass \(30\) Menschen dort waren. Wie hoch wäre hingegen die Wahrscheinlichkeit, dass genau \(28\) Menschen den Laden betreten haben?
Lösung
Kunden können nicht nur jede volle Minute, sondern jede Sekunde den Laden betreten. Dadurch würde hier ein \(n\) von \(2\,700\) entstehen und somit eine Wahrscheinlichkeit von:
\[p=\frac{30}{7\,200}=\frac{1}{240}=0{,}0041\overline{6}\]
Die Poisson-Verteilung macht also mehr Sinn als die Binomialverteilung.
- \(\mu=30\)
- \(k=28\)
- \(p=\text{gesucht}\)
Einsetzen in die Formel der Wahrscheinlichkeitsfunktion:
\begin{align}f(x)=P(X=k)&=\frac{\mu^k}{k !} \cdot \mathrm{e}^{-\mu} \\[0.2cm] P(X=28)&=\frac{30^{28}}{28!}\cdot2{,}718\,28^{-30}=0{,}0702 =7\,\%\end{align}
Mit einer Wahrscheinlichkeit von \(7\,\%\) betreten genau \(28\) Menschen den Laden zwischen \(14{:}00\mathrm{~Uhr}\) und \(16{:}00\mathrm{~Uhr}\).
Poisson-Verteilung – Beispiel 2
Es schneit auf ein \(5~\mathrm{km}^2\) großes Feld. Im Schnitt sind in der Messperiode \(10\) Schneeflocken pro Quadratmeter gefallen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass auf einen bestimmten Quadratmeter \(20\) Schneeflocken gefallen sind?
Lösung
Auch hier ist \(n\) wieder sehr groß:
\[n=5~\mathrm{km}^2=500~\mathrm{dm}^2=50\,000~\mathrm{m}^2\]
Also wird die Poisson-Verteilung genutzt:
\begin{align}f(x)=P(X=k)&=\frac{\mu^k}{k !} \cdot \mathrm{e}^{-\mu} \\[0.2cm] P(X=20)&=\frac{10^{20}}{20!}\cdot2{,}718\,28^{-10}=0{,}001\,86 =0{,}2\,\%\end{align}
Die Wahrscheinlichkeit für \(20\) Schneeflocken auf einem Quadratmeter ist mit \(0{,}2\,\%\) verschwindend gering.
Poisson-Verteilung Formel und Definition
Die Poisson-Verteilung \(Ps(\mu)\) ist definiert als eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die bei mehrstufigen Bernoulli-Experimenten eingesetzt wird, in denen ein Ereignis \(A\) mit sehr geringer Wahrscheinlichkeit \(p\) eintritt. Die Poisson-Verteilung ist eine Approximation (Annäherung) an die Binomialverteilung.
Die Formel der allgemeinen Verteilungsfunktion lautet:
\[F(x)=P(X \leq x)=\mathrm{e}^{-\mu} \cdot \sum_{k \leq x} \frac{\mu^k}{k !}\]
- \(k=\) natürliche Zahlen \(=0,1,2,3,\ldots\)
- \(\mu=\) Erwartungswert
- \(\,\mathrm{e}=\) Eulersche Zahl \(=2{,}718\,28\ldots\)
Beispiele für Zufallsexperimente, in denen bestimmte Ereignisse selten vorkommen, sind Zeitintervalle und räumliche Gebiete. Hierbei gibt es sehr viele (aber dennoch endlich viele) \(n\), während die Wahrscheinlichkeit \(p\) sehr klein ist. Dementsprechend wäre die Berechnung des Binomialkoeffizienten sehr aufwendig, also wird die Poisson-Verteilung genutzt.
Die allgemeine Verteilungsfunktion benötigst Du dann, wenn Du die Wahrscheinlichkeiten mehrerer Ereignisse zusammenzählen willst.
Poisson-Verteilung Wahrscheinlichkeit berechnen
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Poisson-Verteilung lautet:
\[f(x)=P(X=k)=\frac{\mu^k}{k !} \cdot \mathrm{e}^{-\mu}\]
- \(k=\) natürliche Zahlen \(=0,1,2,3,\ldots\)
- \(\mu=\) Erwartungswert
- \(\,\mathrm{e}=\) Eulersche Zahl \(=2{,}718\,28\ldots\)
Ein Beispiel zur Verwendung dieser Formel findest Du unten bei den Aufgaben.
Poisson-Verteilung – Erwartungswert, Standardabweichung, Normalverteilung
Wie auch bei anderen Verteilungen gibt es in der Poisson-Verteilung verschiedene Lageparameter.
Erwartungswert
Den Erwartungswert \(\mu\) kannst Du direkt aus der Formel der Poisson-Verteilung ablesen bzw. bei \(\mu\) einsetzen. Oft wird hierfür auch ein \(\lambda\) statt \(\mu\) geschrieben. Es handelt sich aber immer um den Erwartungswert.
Was der Erwartungswert ist und wie Du ihn berechnest, kannst Du in der Erklärung zum Erwartungswert nachlesen.
Standardabweichung und Varianz
Normalerweise wird die Varianz und Standardabweichung mit einer Formel berechnet, die Du im Artikel "Varianz" nachlesen kannst. Bei der Poisson-Verteilung entspricht die Varianz allerdings genau dem Erwartungswert, also:
\[\mu=\sigma^2\]
Und weil die Standardabweichung die Wurzel der Varianz ist, ist die Standardabweichung der Poisson-Verteilung im Umkehrschluss auch die Wurzel vom Erwartungswert.
\[\sqrt{\mu}=\sqrt{\sigma^2}=\sigma\]
Normalverteilung
Mit der Normalverteilung hat die Poisson-Verteilung nichts zu tun. Die Unterschiede sind:
Poisson-Verteilung – diskret oder stetig
Die Poisson-Verteilung wird zwar bei Zufallsexperimenten mit sehr vielen Durchführungen \(n\) angewendet, diese müssen aber dennoch endlich sein. Somit ist die Poisson-Verteilung diskret.
Poisson-Verteilung Aufgaben
Zum Abschluss gibt's hier noch ein paar Aufgaben zum Üben.
Poisson-Verteilung – Aufgabe 1
Es regnet auf ein \(5~\mathrm{km}^2\) großes Feld. Im Schnitt sind in der Messperiode \(10\) Regentropfen pro Quadratmeter gefallen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass auf einen bestimmten Quadratmeter \(15)\, (20\) oder \(25\) Regentropfen gefallen sind?
Lösung
Hier ist die Wahrscheinlichkeit mehrerer voneinander unabhängiger Ereignisse gesucht. Du kannst also die Verteilungsfunktion nutzen.
\begin{align} F(x)=P(X \leq x) & = \mathrm{e}^{-\mu} \cdot \sum_{k \leq x} \frac{\mu^k}{k !} \\[0.2cm] & = \mathrm{e}^{-10} \cdot \left( \frac{10^{15}}{15!} + \frac{10^{20}}{20!} + \frac{10^{25}}{25!} \right) \\[0.2cm] & = \mathrm{e}^{-10} \cdot ( 764{,}716 + 41{,}103 + 0{,}645 ) \\[0.4cm] & = 0{,}0366 = 3{,}66\,\% \end{align}
Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eins der Ereignisse eintritt, liegt bei \(3{,}66\,\%\).
Poisson-Verteilung – Aufgabe 2
Ein Kleinunternehmer verkauft pro Jahr ca. \(1\,000\) Produkte und erhält davon im Schnitt \(50\) Rücksendungen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er dieses Jahr nur \(40\) Rücksendungen erhält?
Lösung
- Erwartungswert: \(\mu=50\)
- Anzahl Ereignisse: \(k=40\)
\begin{align}f(x)=P(X=k)&=\frac{\mu^k}{k !} \cdot \mathrm{e}^{-\mu} \\[0.2cm] P(X=40)&=\frac{50^{40}}{40!}\cdot\mathrm{e}^{-50}=0{,}02149 =2{,}15\,\%\end{align}
Poisson Verteilung - Das Wichtigste
- Die Poisson-Verteilung \(Ps(\mu)\) ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die bei mehrstufigen Bernoulli-Experimenten eingesetzt wird, in denen ein Ereignis \(A\) mit sehr geringer Wahrscheinlichkeit \(p\) eintritt.
- Allgemeine Verteilungsfunktion:\[F(x)=P(X \leq x)=\mathrm{e}^{-\mu} \cdot \sum_{k \leq x} \frac{\mu^k}{k !}\]
- Wahrscheinlichkeitsfunktion:\[f(x)=P(X=k)=\frac{\mu^k}{k !} \cdot \mathrm{e}^{-\mu}\]
- Erwartungswert, Standardabweichung, Varianz:\[\sqrt{\mu}=\sqrt{\sigma^2}=\sigma\]
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