Die Unabhängigkeit von zwei stochastischen Ereignissen ist ein wichtiges Konzept der Stochastik. Sie charakterisiert, inwieweit zwei Ereignisse im Zusammenhang zueinander stehen. In diesem Artikel lernst du alles, was du zur stochastischen Unabhängigkeit wissen musst. Zudem lernst du auch Bezüge zu anderen Inhalten der Stochastik kennen und kannst durch die Beispielaufgaben die Anwendung üben.
Stochastische Unabhängigkeit
Zur Bestimmung von stochastischer Unabhängigkeit bzw. Abhängigkeit betrachtet man zwei Ereignisse innerhalb derselben Ergebnismenge.
Wird beispielsweise eine bestimmte Menge an Personen auf zwei Merkmale hin überprüft, wie ihr Alter/Volljährigkeit und ihre Einstellung zum Sport, müssen dabei die Merkmale wie üblich in zwei Kategorien unterteilbar sein: also "Person ist volljährig" \((V)\) oder "Person ist nicht volljährig" \((\bar{V})\) beim Alter und "Person mag Sport" \((S)\) oder "Person mag Sport nicht" \((\bar{S})\) bei der Einstellung zum Sport.
Wie immer bedeutet der Strich über dem Ereignis genau das Gegenereignis, wird aber aus Gründen der Einfachheit mit demselben Buchstaben gekennzeichnet.
Es kann dann überprüft werden, ob die beiden Ereignisse – in diesem Fall die Volljährigkeit einer Person und ihre Einstellung zum Sport – stochastisch abhängig oder unabhängig sind.
Stochastischen Unabhängigkeit - Formel und Definition
Zwei Ereignisse A und B sind genau dann stochastisch unabhängig, wenn gilt: \[P(A)\cdot P(B) = P(A\cap B)\]
Andernfalls heißen A und B stochastisch abhängig.
Sind die Ereignisse stochastisch unabhängig, dann bedeutet das, dass sie sich nicht gegenseitig beeinflussen.
Wenn die Ereignisse \(A\) und \(B\) stochastisch unabhängig sind, sind auch ihre Gegenereignisse \(\bar A\) und \(\bar B\) und auch jede Kombination dieser Ereignisse stochastisch unabhängig.
Stochastische Unabhängigkeit mithilfe der Vierfeldertafel prüfen
Besonders leicht lässt sich die stochastische Unabhängigkeit überprüfen, wenn du die Vierfeldertafel des Zufallsexperimentes gegeben hast.
Prinzipiell gilt, dass du die Wahrscheinlichkeiten der Einzelwahrscheinlichkeiten am Rand und die der Schnittereignisse im Inneren der Vierfeldertafel ablesen kannst.
| \(A\) | \(\bar A\) | |
| \(B\) | \(P(A\cap B)\) | \(P(\bar A\cap B)\) | \(P( B)\) |
| \(\bar B\) | \(P(A\cap \bar B)\) | \(P(\bar A\cap \bar B)\) | \(P(\bar B)\) |
| \(P(A)\) | \(P(\bar A)\) | 1 |
Falls du dich mit Vierfeldertafeln nicht mehr so gut auskennst, lies doch im Artikel "Vierfeldertafel" noch einmal nach.
Schaue dir zur Definition und Berechnung doch ein kurzes Beispiel an.
Du hast eine Gruppe vor dir, die du auf Volljährigkeit und ihre Einstellung zum Sport befragen möchtest. Stelle dir vor, von 50 Menschen sind 20 volljährig und 25 mögen Sport. Außerdem ist bekannt, dass 10 Menschen sowohl volljährig sind, als auch Sport mögen.
Sind die beiden Ereignisse Volljährigkeit V und positive Einstellung zum Sport S stochastisch unabhängig? Ermittle dazu zunächst die nötigen Wahrscheinlichkeiten.
Berechne wie angegeben zunächst die gesuchten Wahrscheinlichkeiten.
Um die Ergebnisse auf stochastische Unabhängigkeit zu prüfen, brauchst du neben P(V) und P(S) auch P(V∩S).
Da 20 von 50 Menschen volljährig sind, gilt \(P(V) = \frac{20}{50}=\frac{2}{5}\).
Da 25 von 50 Menschen Sport mögen, gilt \(P(S) = \frac{25}{50}=\frac{1}{2}\).
Durch die Information, dass 10 Menschen sowohl volljährig sind als auch Sport mögen, gilt außerdem \(P(V\cap S) = \frac{10}{50}=\frac{1}{5}\).
Betrachte nun die Formel für die stochastische Unabhängigkeit der Ergebnisse V und S. Zwei Ergebnisse sind genau dann stochastisch unabhängig, wenn die folgende Formel gilt:\[P(V)\cdot P(S) = P(V \cap S)\]
Eine kurze Rechnung zeigt\[P(V)\cdot P(S) = \frac{2}{5}\cdot\frac{1}{2} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}\]
Daher gilt \(P(V) \cdot P(S) = P(V\cap S)\) und damit sind die beiden Ereignisse V und S stochastisch unabhängig.
Bedeutung der stochastischen Unabhängigkeit
Anhand des Beispiels von oben lernst du, was die stochastische Unabhängigkeit oder Abhängigkeit für zwei Ereignisse bedeutet.
In der Definition steht, dass sich zwei unabhängige Ereignisse nicht gegenseitig beeinflussen. Was bedeutet das genau?Ob eine Person volljährig ist oder nicht, hat keinen Einfluss auf die Einstellung zum Sport. Die Wahrscheinlichkeit dafür, ob eine Person Sport mag oder nicht, ändert sich nicht, wenn man vorher weiß, ob die Person volljährig ist oder nicht. Man könnte auch sagen, dass der Anteil unter den Volljährigen und Nicht-Volljährigen, der Sport mag bzw. nicht mag, jeweils gleich ist.
Anders wäre es beispielsweise, würde man nach der Frage nach der Volljährigkeit noch nach dem Besitz eines Führerscheins fragen. Dann macht es definitiv einen Unterschied, ob die Menschen volljährig sind oder nicht. Dazu folgt noch einmal ein kurzes Beispiel.
Hier siehst du die Vierfeldertafel für die Ereignisse "Volljährig" und "im Besitz eines Führerscheins". Überprüfe, ob die beiden Ereignisse stochastisch unabhängig sind.
| \(V\) | \(\bar V\) | |
| \(F\) | \(\frac{55}{100}\) | \(\frac{3}{100}\) | \(\frac{58}{100}\) |
| \(\bar F\) | \(\frac{5}{100}\) | \(\frac{37}{100}\) | \(\frac{42}{100}\) |
| \(\frac{60}{100}\) | \(\frac{40}{100}\) | \(\frac{100}{100}\) |
Nun musst du dir in der Vierfeldertafel die passenden Wahrscheinlichkeiten suchen, die du für die Berechnung benötigst.
Abbildung 1: Vierfeldertafel mit markierten Wahrscheinlichkeiten
Der Vierfeldertafel kannst du entnehmen, dass
- \(P(V) = \frac{60}{100}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}\)
- \(P(F) = \frac{58}{100}=\frac{29}{50}\)
- \(P(V\cap F) = \frac{55}{100}=\frac{11}{20}\)
Berechne nun (entsprechend der Formel für die stochastische Unabhängigkeit) \begin{align}P(V)\cdot P(F) &= \frac{3}{5}\cdot \frac{29}{50} = \frac{87}{250}=\frac{174}{500}\\P(V\cap F) &= \frac{11}{20}=\frac{275}{500}\\P(V)\cdot P(F) &\neq P(V\cap F)\end{align}
Damit sind die beiden Ereignisse nicht stochastisch unabhängig und damit stochastisch abhängig. Ob eine Person volljährig ist oder nicht hat also einen Einfluss auf die Frage, ob diese Person in Besitz eines Führerscheins ist.
Stochastische Unabhängigkeit und bedingte Wahrscheinlichkeit
Für das Verständnis von stochastischer Unabhängigkeit sind die Zusammenhänge mit dem dazugehörigen Baumdiagramm bedeutend. Dazu werden zunächst die entsprechenden Inhalte kurz wiederholt.
Wiederholung: Baumdiagramm und 1. Pfadregel
Die Möglichkeiten der Kombinationen der Ereignisse A und B und ihre entsprechenden Wahrscheinlichkeiten können in einem Baumdiagramm anschaulich dargestellt werden. Je nachdem, welches Ereignis zuerst dargestellt wird, ergeben sich für das entsprechende Zufallsexperiment zwei verschiedene Baumdiagramme.
Die Striche im Baumdiagramm nennen wir Äste.
Entlang der Äste stehen jeweils die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten.
Abbildung 2: Baumdiagramm mit Ereignis A und B
Abbildung 3: Baumdiagramm mit Ereignis B und A
Die erste Pfadregel besagt, dass sich die Wahrscheinlichkeit eines mehrstufigen Ereignisses ergibt, indem die Wahrscheinlichkeiten entlang seines Pfades multipliziert werden.
Das heißt, die Wahrscheinlichkeit, dass die Ereignisse A und B beide eintreten, also die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A∩B ergibt sich durch die Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten der Pfade, die im unten stehenden Baumdiagramm in Türkis markiert wurden.
Abbildung 4: Baumdiagramm zur 1. Pfadregel
Erinnerst du dich, welche Wahrscheinlichkeit an der Stelle des Fragezeichens steht?
Zusammenhang bedingte Wahrscheinlichkeit und stochastische Unabhängigkeit
Im Allgemeinen lässt sich P(A∩B) durch die bedingte Wahrscheinlichkeit berechnen\begin{align}P(A\cap B) &= P(A) \cdot P_A(B)\\&=P(B)\cdot P_B(A)\end{align}
Unter der Voraussetzung, dass A und B stochastisch unabhängig sind gilt folgender Zusammenhang: \begin{align}P(A) \cdot P(B) &= P(A) \cdot P_A(B) \quad | : P(A)\\P(B) &= P_A(B)\end{align}
Dabei handelt es sich um eine alternative Definition für die stochastische Unabhängigkeit.
Die Ereignisse A und B sind stochastisch unabhängig, wenn gilt:
\(P_B(A) = P(B)\) oder \(P_A(B) = P(A)\)
Dabei bezeichnen PB(A) und PA(B) jeweils die bedingten Wahrscheinlichkeiten.
Diese Definition drückt in Formelschreibweise aus, was die stochastische Unabhängigkeit meint: Die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis \(A\) eintritt, wird nicht vom Eintreten des Ereignisses \(B\) beeinflusst.
Stochastische Unabhängigkeit – Aufgaben
Zum Abschluss kannst du hier noch prüfen, ob du alles verstanden hast.
Aufgabe 1
Du würfelst mit einem normalen Würfel. Gegeben sind die beiden Ereignisse
- A: = Augenzahl auf dem Würfel ist mindestens 3
- B: = Augenzahl ist gerade
Prüfe, ob die Ereignisse A und B stochastisch abhängig oder unabhängig sind.
Lösung
Bestimme zunächst die Möglichkeiten für das Ereignis und die daraus resultierende Wahrscheinlichkeit des Eintretens.\begin{align} A &= \{3;\,4;\,5;\,6\}&&\Rightarrow P(A) = \frac{4}{6}=\frac{2}{3}\\B&=\{2;\,4;\,6\}&&\Rightarrow P(B) = \frac{3}{6}=\frac{1}{2}\\A\cap B &= \{4;\,6\} &&\Rightarrow P(A\cap B) = \frac{2}{6}\end{align}
Um die Formel der stochastischen Unabhängigkeit zu überprüfen, berechne\[P(A)\cdot P(B) = \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{3}\]
Wegen \(P(A)\cdot P(B) = P(A\cap B) sind die Ereignisse A und B stochastisch unabhängig.
Wenn du darüber nachdenkst, macht das beim Würfeln Sinn, da der erste Wurf den zweiten nicht beeinflusst.
Aufgabe 2
Ein Gärtner möchte testen, ob seine Blumen auch Blüten bekommen, wenn er sie nicht gießt. Er gießt also die Hälfte seiner Blumen regelmäßig, die andere Hälfte nicht. Von den gewässerten Blumen blühen im Sommer 90 %, während von den Blumen ohne Wasser nur 30 % Blüten bekommen. Prüfe, ob eine stochastische Unabhängigkeit vorliegt.
Lösung
Gegeben sind die Ereignisse
mit den Wahrscheinlichkeiten
- \(P(W) = 0{,}5\rightarrow P(\bar W) =0{,}5\)
- \(P_W(B) = 0{,}9\rightarrow P_W(\bar B) = 0{,}1\)
- \(P_{\bar W}(B) = 0{,}3\rightarrow P_{\bar W}(\bar B) = 0{,}7\)
Damit kannst du eine Vierfeldertafel ausfüllen
| \(W\) | \(\bar W\) | |
| \(B)\) | \(P(W)\cdot P_W(B) = 0{,}45\) | \(P(\bar W)\cdot P_{\bar W}(B) = 0{,}15\) | \(0{,}6\) |
| \(\bar B\) | \(P(W)\cdot P_W(\bar B) = 0{,}05\) | \(P(\bar W)\cdot P_{\bar W}(\bar B) = 0{,}35\) | \(0{,}4\) |
| \(0{,}5\) | \(0{,}5\) | 1 |
und anschließend prüfen, ob eine Unabhängigkeit vorliegt.
\[\left.\begin{align}P(W)\cdot P(B) = 0{,5}\cdot 0{,}6 = 0{,}3\\~\\ P(W\cap B)=0{,}5\cdot 0{,}45 = 0{,}225\end{align}\right\rbrace P(W)\cdot P(B) \neq P(W\cap B)\]
Die Ergebnisse stimmen nicht überein. Ob die Blumen blühen, ist also davon abhängig, ob sie gegossen werden oder nicht.
Stochastische Unabhängigkeit – Das Wichtigste
- Stochastische Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit bezieht sich immer auf zwei Ereignisse A und B.
- Die Ereignisse A und B sind genau dann stochastisch unabhängig, wenn die folgende Formel gilt: \[P(A)\cdot P(B) = P(A\cap B)\]
- Sind zwei Ereignisse A und B stochastisch unabhängig, dann beeinflussen sie sich nicht gegenseitig. Dies bedeutet, dass der Ausgang des einen Ereignisses keinen Einfluss auf das andere Ereignis hat.
- Sind zwei Ereignisse A und B stochastisch unabhängig, dann gilt außerdem \(P(A) = P_B(A)\) und \(P(A) = P_A(B)\) (\(P_B(A)\) ist die bedingte Wahrscheinlichkeit).
- Ist die Vierfeldertafel eines Zufallsexperimentes gegeben, kannst du die zwei Ereignisse leicht auf stochastische Unabhängigkeit überprüfen.
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