Stochastische Unabhängigkeit

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Pascalsches Dreieck

Inhaltsangabe :

INHALTSANGABE

Die Unabhängigkeit von zwei stochastischen Ereignissen ist ein wichtiges Konzept der Stochastik. Sie charakterisiert, inwieweit zwei Ereignisse im Zusammenhang zueinander stehen. In diesem Artikel lernst du alles, was du zur stochastischen Unabhängigkeit wissen musst. Zudem lernst du auch Bezüge zu anderen Inhalten der Stochastik kennen und kannst durch die Beispielaufgaben die Anwendung üben.

Stochastische Unabhängigkeit

Bevor es unter anderem um die Definition geht, wird dir im Folgenden erklärt, in welchem Kontext man überhaupt von stochastischer Unabhängigkeit spricht.

Hintergrund

Zur Bestimmung von stochastischer Unabhängigkeit bzw. Abhängigkeit betrachtet man zwei Ereignisse, die nacheinander oder gleichzeitig durchgeführt werden. Außerdem werden sie auf der gleichen Menge durchgeführt. So wird etwa zweimal dieselbe Personengruppe befragt oder dieselben Kugeln aus einer Urne gezogen.

Wird beispielsweise eine bestimmte Menge an Personen auf zwei Merkmale hin überprüft, wie ihr Alter/Volljährigkeit und ihre Einstellung zum Sport, müssen dabei die Merkmale wie üblich in zwei Kategorien unterteilbar sein: also "Person ist volljährig" $(V)$ oder "Person ist nicht volljährig" $(V)$ beim Alter und "Person mag Sport" $(S)$ oder "Person mag Sport nicht" $(S)$ bei der Einstellung zum Sport.

Wie immer bedeutet der Strich über dem Ereignis genau das Gegenereignis, wird aber aus Gründen der Einfachheit mit demselben Buchstaben gekennzeichnet.

Jede befragte Person muss sich eindeutig dem Ereignis oder dem Gegenereignis zuordnen lassen. Im Beispiel oben bedeutet das, dass jede Person entweder volljährig oder nicht volljährig ist und Sport entweder mag oder nicht.

Es kann dann überprüft werden, ob die beiden Ereignisse – in diesem Fall die Volljährigkeit einer Person und ihre Einstellung zum Sport – stochastisch abhängig oder unabhängig sind.

Definition der stochastischen Unabhängigkeit

Die Definition gilt jeweils für zwei stochastische Ereignisse A und B.

Die beiden Ereignisse A und B sind genau dann stochastisch unabhängig, wenn gilt:

$P (A) \cdot P (B) = P (A \cap B)$

Andernfalls heißen A und B stochastisch abhängig.

Sind die Ereignisse stochastisch unabhängig, dann bedeutet das, dass sie sich nicht gegenseitig beeinflussen.

Du kannst zwei Ereignisse also ganz leicht rechnerisch auf stochastische Unabhängigkeit überprüfen, wenn du die Wahrscheinlichkeiten, die in der Formel vorkommen, gegeben hast.

Wenn die Ereignisse $A$ und $B$ stochastisch unabhängig sind, sind auch ihre Gegenereignisse $A$ und $B$ und auch jede Kombination dieser Ereignisse stochastisch unabhängig, beispielsweise auch die Ereignisse $A$ und $B$ . In der Mathematik nennt man dies eine Äquivalenzrelation.

Stochastische Unabhängigkeit mithilfe der Vierfeldertafel prüfen

Besonders leicht lässt sich die stochastische Unabhängigkeit überprüfen, wenn du die Vierfeldertafel des Zufallsexperimentes gegeben hast.

Prinzipiell gilt, dass du die Wahrscheinlichkeiten der Einzelwahrscheinlichkeiten am Rand und die der Schnittereignisse im Inneren der Vierfeldertafel ablesen kannst.

	$A$	$A$
$B$	$P (A \cap B)$	$P (A \cap B)$	$P (B)$
$B$	$P (A \cap B)$	$P (A \cap B)$	$P (B)$
	$P (A)$	$P (A)$	$1$

Falls du dich mit Vierfeldertafeln nicht mehr so gut auskennst, lies doch im Artikel "Vierfelder-Tafel" noch einmal nach.

Schaue dir zur Definition und Berechnung doch ein kurzes Beispiel an.

Du hast eine Gruppe vor dir, die du auf Volljährigkeit und ihre Einstellung zum Sport befragen möchtest. Stelle dir vor, von 50 Menschen sind 20 volljährig und 25 mögen Sport. Außerdem ist bekannt, dass 10 Menschen sowohl volljährig sind, als auch Sport mögen.

Sind die beiden Ereignisse Volljährigkeit V und positive Einstellung zum Sport S stochastisch unabhängig? Ermittle dazu zunächst die nötigen Wahrscheinlichkeiten.

Berechne wie angegeben zunächst die gesuchten Wahrscheinlichkeiten.

Um die Ergebnisse auf stochastische Unabhängigkeit zu prüfen, brauchst du neben P(V) und P(S) auch P(V∩S).

Da 20 von 50 Menschen volljährig sind, gilt $P (V) = \frac{20}{50} = \frac{2}{5}$ .

Da 25 von 50 Menschen Sport mögen, gilt $P (S) = \frac{25}{50} = \frac{1}{2}$ .

Durch die Information, dass 10 Menschen sowohl volljährig sind als auch Sport mögen, gilt außerdem

P (V \cap S) = \frac{10}{50} = \frac{1}{5}

Betrachte nun die Formel für die stochastische Unabhängigkeit der Ergebnisse V und S. Zwei Ergebnisse sind genau dann stochastisch unabhängig, wenn die folgende Formel gilt:

$P (V) \cdot P (S) = P (V \cap S)$

Eine kurze Rechnung zeigt

$P (V) \cdot P (S) = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

Daher gilt $P (V) \cdot P (S) = P (V \cap S)$ und damit sind die beiden Ereignisse V und S stochastisch unabhängig.

Doch was bedeutet das genau?

Bedeutung der stochastischen Unabhängigkeit

Anhand des Beispiels von oben lernst du, was die stochastische Unabhängigkeit oder Abhängigkeit für zwei Ereignisse bedeutet.

In der Definition steht, dass sich zwei unabhängige Ereignisse nicht gegenseitig beeinflussen. Was bedeutet das genau?Ob eine Person volljährig ist oder nicht, hat keinen Einfluss auf die Einstellung zum Sport. Die Wahrscheinlichkeit dafür, ob eine Person Sport mag oder nicht, ändert sich nicht, wenn man vorher weiß, ob die Person volljährig ist oder nicht. Man könnte auch sagen, dass der Anteil unter den Volljährigen und Nicht-Volljährigen, der Sport mag bzw. nicht mag, jeweils gleich ist.

Anders wäre es beispielsweise, würde man nach der Frage nach der Volljährigkeit noch nach dem Besitz eines Führerscheins fragen. Dann macht es definitiv einen Unterschied, ob die Menschen volljährig sind oder nicht. Dazu folgt noch einmal ein kurzes Beispiel.

Hier siehst du die Vierfeldertafel für die Ereignisse "Volljährig" und "im Besitz eines Führerscheins". Überprüfe, ob die beiden Ereignisse stochastisch unabhängig sind.

	$V$	$V$
$F$	$\frac{55}{100}$	$\frac{3}{100}$	$\frac{58}{100}$
$F$	$\frac{5}{100}$	$\frac{37}{100}$	$\frac{42}{100}$
	$\frac{60}{100}$	$\frac{40}{100}$	$\frac{100}{100}$

Nun musst du dir in der Vierfeldertafel die passenden Wahrscheinlichkeiten suchen, die du für die Berechnung benötigst.

Stochastische Unabhängigkeit Vierfeldertafel StudySmarter Abbildung 1: Vierfeldertafel mit markierten Wahrscheinlichkeiten

Der Vierfeldertafel kannst du entnehmen, dass

$P (V) = \frac{60}{100} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$
$P (F) = \frac{58}{100} = \frac{29}{50}$
$P (V \cap F) = \frac{55}{100} = \frac{11}{20}$

Berechne nun (entsprechend der Formel für die stochastische Unabhängigkeit) $P (V) \cdot P (F)$

$P (V) \cdot P (F) = \frac{3}{5} \cdot \frac{29}{50} = \frac{87}{250}$

Wenn du noch nicht siehst, dass $P (V) \cdot P (F) \neq P (V \cap F)$ , dann kannst du $P (V) \cdot P (F)$ und $P (V \cap F)$ noch auf denselben Hauptnenner (500) bringen.

$P (V) \cdot P (F) = \frac{87}{250} = \frac{174}{500} P (V \cap F) = \frac{11}{20} = \frac{55}{100} = \frac{275}{500}$

Damit sind die beiden Ereignisse nicht stochastisch unabhängig und damit stochastisch abhängig. Ob eine Person volljährig ist oder nicht hat also einen Einfluss auf die Frage, ob diese Person in Besitz eines Führerscheins ist.

Stochastische Unabhängigkeit und bedingte Wahrscheinlichkeit

Für das Verständnis von stochastischer Unabhängigkeit sind die Zusammenhänge mit dem dazugehörigen Baumdiagramm bedeutend. Dazu werden zunächst die entsprechenden Inhalte kurz wiederholt.

Die Grundlagen für die Themen Baumdiagramm, Pfadregeln und bedingte Wahrscheinlichkeit kannst du in den jeweiligen Artikeln nachlesen.

Wiederholung: Baumdiagramm und 1. Pfadregel

Die Möglichkeiten der Kombinationen der Ereignisse A und B und ihre entsprechenden Wahrscheinlichkeiten können in einem Baumdiagramm anschaulich dargestellt werden. Je nachdem, welches Ereignis zuerst dargestellt wird, ergeben sich für das entsprechende Zufallsexperiment zwei verschiedene Baumdiagramme.

Die Striche im Baumdiagramm nennen wir Äste.

Entlang der Äste stehen jeweils die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten.

Stochastische Unabhängigkeit Baumdiagramm StudySmarter Abbildung 2: Baumdiagramm mit Ereignis A und B Abbildung 3: Baumdiagramm mit Ereignis B und A

Die erste Pfadregel besagt, dass sich die Wahrscheinlichkeit eines mehrstufigen Ereignisses ergibt, indem die Wahrscheinlichkeiten entlang seines Pfades multipliziert werden.

Das heißt, die Wahrscheinlichkeit, dass die Ereignisse A und B beide eintreten, also die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A∩B ergibt sich durch die Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten der Pfade, die im unten stehenden Baumdiagramm in Türkis markiert wurden.

Stochastische Unabhängigkeit Baumdiagramm StudySmarter Abbildung 4: Baumdiagramm zur 1. Pfadregel

Erinnerst du dich, welche Wahrscheinlichkeit an der Stelle des Fragezeichens steht?

Wiederholung: Bedingte Wahrscheinlichkeit im Baumdiagramm

Und schon sind wir bei der bedingten Wahrscheinlichkeit angelangt. An den Ästen der zweiten Stufe stehen nämlich nicht die klassischen Wahrscheinlichkeiten P(A) und P(B), sondern die bedingten Wahrscheinlichkeiten $P_{A} (B)$ , $P_{A} (B)$ , $P_{A} (B)$ und $P_{A} (B)$ .

Mit P_A(B) bezeichnet man die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis B eintritt, unter der Voraussetzung, dass das Ereignis A schon eingetreten ist. P_A(B) nennt man dabei eine bedingte Wahrscheinlichkeit.

Stochastische Unabhängigkeit Baumdiagramm bedingte Wahrscheinlichkeit StudySmarter Abbildung 5: bedingte Wahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm

Die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von $B$ oder $B$ in der zweiten Stufe hängt üblicherweise davon ab, ob in der ersten Stufe $A$ oder $A$ eingetreten ist.

Laut der 1. Pfadregel gilt demnach folgende Formel:

$P (A) \cdot P_{A} (B) = P (A \cap B)$

Kommt dir diese Formel bekannt vor oder kennst du sie in einer ähnlichen Form?

Zusammenhang bedingte Wahrscheinlichkeit und stochastische Unabhängigkeit

Noch einmal zur Erinnerung die Definition von stochastischer Unabhängigkeit:

Zwei Ereignisse A und B sind genau dann stochastisch unabhängig, wenn die folgende Formel gilt:

$P (A) \cdot P (B) = P (A \cap B)$

Aus der ersten Pfadregel haben wir im oberen Abschnitt mithilfe der bedingten Wahrscheinlichkeit eine zweite Formel ermittelt, wie sich P(A∩B) berechnen lässt, und zwar mit

$P (A \cap B) = P (A) \cdot P_{A} (B)$

Setzt man diese Formeln nun gleich, erhält man

$P (A) \cdot P (B) = P (A) \cdot P_{A} (B) \div P (A)$

$P (B) = P_{A} (B)$

Das ist eine alternative Definition für die stochastische Unabhängigkeit.

Die Ereignisse A und B sind stochastisch unabhängig, wenn gilt:

$P_{B} (A) = P (A)$ oder $P_{A} (B) = P (B)$

Dabei bezeichnen P_B(A) und P_A(B) jeweils die bedingten Wahrscheinlichkeiten.

Diese Definition drückt in Formelschreibweise aus, was die stochastische Unabhängigkeit meint: Die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis $B$ eintritt, wird nicht vom Eintreten des Ereignisses $A$ (bzw. $A$ ) beeinflusst.

Hier wurde der Zusammenhang anhand der Ereignisse A, B und A∩B deutlich gemacht. Durch Umbenennen der Ereignisse kannst du das auch für die Gegenereignisse zeigen, der Zusammenhang gilt damit für jede Kombination der Einzelergebnisse. Beispielsweise gilt analog $P (A) = P_{B} (A) = P_{B} (A)$ , wenn $A$ und $B$ und damit auch $A$ und $B$ stochastisch unabhängig sind.

Stochastische Unabhängigkeit – Aufgaben

Zum Abschluss kannst du hier noch prüfen, ob du alles verstanden hast.

Aufgabe 1

Du würfelst mit einem normalen Würfel. Gegeben sind die beiden Ereignisse

A: = Augenzahl auf dem Würfel ist mindestens 3
B: = Augenzahl ist gerade

Prüfe, ob die Ereignisse A und B stochastisch abhängig oder unabhängig sind.

Lösung

Bestimme zunächst die Möglichkeiten für das Ereignis und die daraus resultierende Wahrscheinlichkeit des Eintretens.

$A = \{3; 4; 5; 6\} \Rightarrow P (A) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} B = \{2; 4; 6\} \Rightarrow P (B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} A \cap B = \{4; 6\} \Rightarrow P (A \cap B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Um die Formel der stochastischen Unabhängigkeit zu überprüfen, berechne

$P (A) \cdot P (B) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$

Wegen $P (A) \cdot P (B) = P (A \cap B)$ sind die Ereignisse A und B stochastisch unabhängig.

Wenn du darüber nachdenkst, macht das beim Würfeln Sinn, da der erste Wurf den zweiten nicht beeinflusst.

Aufgabe 2

Ein Gärtner möchte testen, ob seine Blumen auch Blüten bekommen, wenn er sie nicht gießt. Er gießt also die Hälfte seiner Blumen regelmäßig, die andere Hälfte nicht. Von den gewässerten Blumen blühen im Sommer 90 %, während von den Blumen ohne Wasser nur 30 % Blüten bekommen. Prüfe, ob eine stochastische Unabhängigkeit vorliegt.

Lösung

Gegeben sind die Ereignisse

W: = Wasser
B: = Blüten

mit den Wahrscheinlichkeiten

$P (W) = 0, 5 \to P (W) = 0, 5$
$P_{W} (B) = 0, 9 \to P_{W} (B) = 0, 1$
$P_{W} (B) = 0, 3 \to P_{W} (B) = 0, 7$

Damit kannst du eine Vierfeldertafel ausfüllen

	$W$	$W$
$B$	$P (W) \cdot P_{W} (B) = 0, 45$	$P (W) \cdot P_{W} (B) = 0, 15$	$0, 45 + 0, 15 = 0, 6$
$B$	$P (W) \cdot P_{W} (B) = 0, 05$	$P (W) \cdot P_{W} (B) = 0, 35$	$0, 05 + 0, 35 = 0, 4$
	$0, 45 + 0, 5 = 0, 5$	$0, 15 + 0, 35 = 0, 5$	$1$

und anschließend prüfen, ob eine Unabhängigkeit vorliegt.

$\begin{array}{r} P (W) \cdot P (B) = 0, 5 \cdot 0, 6 = 0, 3 \\ P (W \cap B) = 0, 5 \cdot 0, 45 = 0, 225 \end{array}\} P (W) \cdot P (B) \neq P (W \cap B)$

Die Ergebnisse stimmen nicht überein. Ob die Blumen blühen, ist also davon abhängig, ob sie gegossen werden oder nicht.

Aufgabe 3

Du würfelst mit einem normalen Würfel. Gegeben sind die beiden Ereignisse A:= Augenzahl auf dem Würfel ist mindestens 3 und B:= Augenzahl ist gerade.

Prüfe, ob die Ereignisse A und B stochastisch abhängig oder unabhängig sind.

Lösung

Bestimme zunächst die Möglichkeiten für das Ereignis und die daraus resultierende Wahrscheinlichkeit des Eintretens.

$A = \{3; 4; 5; 6\} \Rightarrow P (A) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

$B = \{2; 4; 6\} \Rightarrow P (B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

$A \cap B = \{4; 6\} \Rightarrow P (A \cap B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Um die Formel der stochastischen Unabhängigkeit zu überprüfen, berechne

$P (A) \cdot P (B) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$

Wegen

$P (A) \cdot P (B) = P (A \cap B)$

sind die Ereignisse A und B stochastisch unabhängig.

Das macht beim Würfeln Sinn, da der erste Wurf den zweiten nicht beeinflusst.

Stochastische Unabhängigkeit – Das Wichtigste

Stochastische Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit bezieht sich immer auf zwei Ereignisse A und B.
Die Ereignisse A und B sind genau dann stochastisch unabhängig, wenn die folgende Formel gilt: $P (A) \cdot P (B) = P (A \cap B)$
Sind zwei Ereignisse A und B stochastisch unabhängig, dann beeinflussen sie sich nicht gegenseitig. Dies bedeutet, dass der Ausgang des einen Ereignisses keinen Einfluss auf das andere Ereignis hat.
Sind zwei Ereignisse A und B stochastisch unabhängig, dann gilt außerdem $P (A) = P_{B} (A) = P_{B} (A)$ und $P (B) = P_{A} (B) = P_{A} (B)$ ( $P_{B} (A)$ ist die bedingte Wahrscheinlichkeit).
Ist die Vierfeldertafel eines Zufallsexperimentes gegeben, kannst du die zwei Ereignisse leicht auf stochastische Unabhängigkeit überprüfen.

Stochastische Unabhängigkeit

Stochastische Unabhängigkeit zweier Ereignisse A und B gilt, wenn die Formel P(A) • P(B) = P(A∩B) gilt. Dies ist genau dann der Fall, wenn das Eintreten des einen Ereignisses das Eintreten des anderen Ereignisses nicht beeinflusst. Ansonsten heißen die Ereignisse stochastisch abhängig.

Man kann stochastische Unabhängigkeit zweier Ereignisse A und B mithilfe zweier Formeln bzw. kleinen Rechnungen beweisen. Eine davon ist die Formel P(A) • P(B) = P(A∩B) , die gelten muss, wenn stochastische Unabhängigkeit vorliegt. Man kann stochastische Unabhängigkeit auch beweisen, indem man zeigt, dass die bedingte Wahrscheinlichkeit der gewöhnlichen Wahrscheinlichkeit entspricht.

Stochastische Unabhängigkeit zweier Ereignisse weißt man rechnerisch nach, indem man die Wahrscheinlichkeiten P(A) • P(B) und P(A∩B) berechnet und zeigt, dass sie gleich sind. Ansonsten sind zwei Ereignisse stochastisch abhängig.

Finales Stochastische Unabhängigkeit Quiz

Frage

Was bedeutet es, wenn zwei Ereignisse A und B stochastisch unabhängig sind?

Antwort anzeigen

Antwort

Das bedeutet, dass sie sich nicht gegenseitig beeinflussen. in einem zweistufigen Zufallsexperiment hat der Ausgang des Ereignisses A damit keinen Einfluss auf den Ausgang des Ereignisses B.

Frage anzeigen

Frage

Nenne jeweils zwei Ereignisse, die sich

a) gegenseitig beeinflussen

b) nicht gegenseitig beeinflussen

Dabei sollst du keine konkreten Zahlenwerte angeben. Dies bedeutet auch nicht, dass die Ereignisse bei jeder Datenlage stochastisch unabhängig voneinander sind. Bei dieser Aufgabe geht es nur darum, zu überprüfen, ob dir das Konzept von Beeinflussung/Unabhängigkeit klar ist.

Antwort anzeigen

Antwort

Für diese Aufgabe gibt es, wie du dir sicher vorstellen kannst, unendlich viele Lösungen.

a) Ereignisse, die sich gegenseitig beeinflussen, sind zum Beispiel die Volljährigkeit und der Besitz eines Führerscheins oder die Einstellung zum Sport und die Mitgliedschaft in einem Sportverein. Dies sind Eigenschaften, die in einem engen Zusammenhang zueinander stehen und sich deswegen beeinflussen. Wenn eine Person im Sportverein ist, ist auch die Wahrscheinlichkeit erhöht, dass die Person Sport mag.

b) Ereignisse, die sich nicht gegenseitig beeinflussen, sind beispielsweise spezielle Ausgänge beim Werfen eines Würfels, wenn die Ereignisse jeweils den Ausgang des 1./2. Wurfes beschreiben, da diese völlig unabhängig voneinander sind. Auch spezielle Charaktereigenschaften beeinflussen sich nicht gegenseitig, beispielsweise ob Kinder mit dem Fahrrad in die Schule fahren oder eine Zahnspange tragen.

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Stochastische Unabhängigkeit

Stochastische Unabhängigkeit

Stochastische Unabhängigkeit

Hintergrund

Definition der stochastischen Unabhängigkeit

Stochastische Unabhängigkeit mithilfe der Vierfeldertafel prüfen

Bedeutung der stochastischen Unabhängigkeit

Stochastische Unabhängigkeit und bedingte Wahrscheinlichkeit

Wiederholung: Baumdiagramm und 1. Pfadregel

Wiederholung: Bedingte Wahrscheinlichkeit im Baumdiagramm

Zusammenhang bedingte Wahrscheinlichkeit und stochastische Unabhängigkeit

Stochastische Unabhängigkeit – Aufgaben

Stochastische Unabhängigkeit – Das Wichtigste

Stochastische Unabhängigkeit

Wann gilt stochastische Unabhängigkeit?

Wie beweist man stochastische Unabhängigkeit?

Wie berechne ich die stochastische Unabhängigkeit?

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