Vierfeldertafel

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In deiner Jahrgangsstufe sind ungefähr 100 Schüler*innen. Heute habt ihr einen Jahrgangsstufentest in Mathe geschrieben. 30 % der Schüler in deiner Stufe sind richtig gut in Mathe, davon waren aber nur 40 % auf den Test vorbereitet. Von den restlichen Schülern haben 70 % für Mathe gelernt.

Wenn du wissen möchtest, wie viele Schüler insgesamt auf den Test vorbereitet waren, hilft dir eine Vierfeldertafel.

Vierfeldertafel – Vorbereitung mit einem Baumdiagramm

Bevor du eine Vierfeldertafel erstellen kannst, solltest du erst ein Baumdiagramm zeichnen. Das verschafft dir einen Überblick über die Zahlen und du kannst die fehlenden einfach ergänzen, bevor du sie in die Vierfeldertafel überträgst.

Ein Baumdiagramm ist ein Weg, mehrstufige Zufallsexperimente visuell darzustellen. Dabei wird jede Stufe einzeln behandelt, sodass die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten übersichtlich aufeinander aufbauen.

Mehr zum Baumdiagramm findest du im gleichnamigen Artikel.

Im folgenden Bild siehst du ein allgemeines Schema, wie dein Baumdiagramm aussehen sollte.

Vierfeldertafel, Baumdiagramm, StudySmarter Abbildung 1: Aufbau Baumdiagramm

Dabei ist:

A: Ereignis A
$A$ : Gegenereignis von A
B: Ereignis B
$B$ : Gegenereignis von B
p1 bis p6: Wahrscheinlichkeiten der jeweiligen Ereignisse

Ein Gegenereignis ist das Gegenteil von einem bestimmten Ereignis. Es wird mit einem Querbalken über dem Buchstaben geschrieben und umfasst alle Ereignisse, die nicht das gewünschte Ereignis sind.

Wenn du wissen willst, wie viele Schüler aus deiner Stufe für den Mathetest gelernt haben, dann trägst du erst die gegebenen Zahlen in dein Baumdiagramm ein:

Möchtest du Prozent in eine Dezimalzahl umrechnen, musst du das Komma um 2 Stellen nach links verschieben. Zum Beispiel entsprechen 40 % der Dezimalzahl 0,4.

Vierfeldertafel, Baumdiagramm mit gegebenen Werten, StudySmarter Abbildung 2: Baumdiagramm mit gegebenen Werten

In diesem Baumdiagramm steht A für "Mathe-Ass" beziehungsweise $A$ für das Gegenereignis, also "kein Mathe-Ass". G steht für "gelernt" beziehungsweise $G$ für "nicht gelernt".

Meistens fehlen noch einige Zahlen, um das Baumdiagramm zu vervollständigen. Die kannst du aber ganz einfach ausrechnen, denn alle Äste, die vom gleichen Punkt ausgehen, müssen zusammen immer 1 ergeben.

Wenn 30 % der Schüler sehr gut in Mathe sind, dann rechnest du $1 - 0, 3 = 0, 7$ . Also sind 70 % der Schüler durchschnittlich gut in Mathe. Das kannst du dann auf dem rechten Ast eintragen, der zu $A$ zeigt.

Genauso rechnest du den Rest aus und trägst die Zahlen auf den jeweiligen Ästen ein.

Vierfeldertafel Baumdiagramm StudySmarter Abbildung 3: Baumdiagramm mit allen Werten

Jetzt hast du alle Zahlen, die du benötigst und kannst mit der Vierfeldertafel anfangen.

Mit einer Vierfeldertafel kannst du die Zusammenhänge zwischen zwei Ereignissen und deren Ausprägungen untersuchen. Sie ist ein wichtiges Instrument in der bedingten Wahrscheinlichkeit.

Vierfeldertafel erstellen

Eine Vierfeldertafel ist aufgeteilt in zwei Spalten für die Ereignisse und zwei Zeilen für deren Ausprägungen. In den vier Feldern multipliziert man die Wahrscheinlichkeiten der jeweiligen Ereignisse.

Also schreibst du in die rechte Spalte und untere Zeile jeweils die Wahrscheinlichkeit aus der jeweiligen Zeile oder Spalte. Ganz unten rechts kommt dann noch die Summe aus allen Ereignissen dazu, die immer 1 ergeben muss!

	A	$A$
B	$P (A) \cdot P (B)$	$P (A) \cdot P (B)$	$P (B)$
$B$	$P (A) \cdot P (B)$	$P (A) \cdot P (B)$	$P (B)$
	$P (A)$	$P (A)$	Summe

Hier wird ein großes P verwendet, weil es sich um eine bedingte Wahrscheinlichkeit handelt

Jetzt überträgst du die Wahrscheinlichkeiten, die du mit dem Baumdiagramm ausgerechnet hast, in die Vierfeldertafel und multiplizierst sie miteinander. Die Summe unten rechts muss für die angrenzende Zeile und Spalte jeweils 1 ergeben. Daran erkennst du, dass du richtig gerechnet hast.

	$A$	$A$
$G$	$0, 3 \cdot 0, 4 = 0, 12$	$0, 7 \cdot 0, 7 = 0, 49$	$0, 12 + 0, 49 = 0, 61$
$G$	$0, 3 \cdot 0, 6 = 0, 18$	$0, 7 \cdot 0, 3 = 0, 21$	$0, 18 + 0, 21 = 0, 39$
	$0, 12 + 0, 18 = 0, 3$	$0, 49 + 0, 21 = 0, 7$	$0, 3 + 0, 7 = 1 0, 61 + 0, 39 = 1$

Deine Vierfeldertafel ist nun vollständig. Jetzt kannst du die Wahrscheinlichkeiten ablesen.

Möchtest du also wissen, wie viele von den Mathe-Profis auch gelernt haben, dann liest du das Feld ab, in dem sich A und G treffen, also 12 %. Von den 100 Schülern sind das $100 \cdot 0, 12 = 12$ Schüler.

Bisher waren das alles relative Häufigkeiten.

Eine relative Häufigkeit gibt an, wie groß der Anteil der absoluten Häufigkeiten an der Gesamtzahl der Ereignisse ist.

Man rechnet die relative Häufigkeit so aus:

$r e l a t i v e H a u f i g k e i t h_{n} = \frac{a b s o l u t e H ä u f i g k e i t H_{n}}{A n z a h l d e r E r e i g n i s s e n}$

Aus diesem Grund ist die relative Häufigkeit nie größer als 1, weil 100 % das Maximum ist.

Die absolute Häufigkeit ist die Anzahl der gewünschten Ereignisse. Sie kann maximal so groß werden, wie es Ereignisse gibt.

Wenn du die relativen Häufigkeiten hast, kannst du deine Vierfeldertafel auch einfach in absolute Häufigkeiten umrechnen. Dann weißt du gleich auf einen Blick, wie oft die Ereignisse eintreffen.

Dazu rechnest du die relative Häufigkeit mal die Gesamtzahl der Ereignisse.

Im Fall des Mathetests kannst du dann ganz einfach die Anzahl der Schüler ablesen.

	$A$	$A$
$G$	$0, 12 \cdot 100 = 12$	$0, 49 \cdot 100 = 49$	$49 + 12 = 61$
$G$	$0, 18 \cdot 100 = 18$	$0, 21 \cdot 100 = 21$	$18 + 21 = 39$
	$12 + 18 = 30$	$49 + 21 = 70$	$61 + 39 = 100 30 + 70 = 100$

Vierfeldertafel - Stochastische Unabhängigkeit

Die Vierfeldertafel ist grundsätzlich aus stochastisch voneinander unabhängigen Ereignissen aufgebaut.

Stochastische Unabhängigkeit sagt aus, dass zwei Ereignisse unabhängig voneinander eintreten können und sich durch das Eintreten eines Ereignisses die Wahrscheinlichkeiten nicht verändern. Die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse werden einfach miteinander multipliziert.

Im Beispiel des Mathetests beeinflusst die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler gut in Mathe ist, nicht die Wahrscheinlichkeit, dass er auch für den Test gelernt hat. Diese Ereignisse sind also voneinander unabhängig.

Möchtest du ausdrücken, dass 2 voneinander unabhängige Ereignisse gleichzeitig eintreffen, dann kannst du dafür das Schnittmengenzeichen $\cap$ verwenden.

Die Schnittmenge $\cap$ beschreibt die gemeinsame Menge mehrerer Elemente.

Sie sagt also aus, wann beispielsweise A und B gleichzeitig eintreffen. Das heißt, $P (A) \cdot P (B)$ ist gleichwertig zu $A \cap B$ .

Möchtest du also das Ereignis darstellen, dass ein zufällig ausgewählter Schüler gut in Mathe ist und für den Test gelernt hat, dann schreibst du $A \cap G$ , also die Schnittmenge von A und G.

Eine Vierfeldertafel mit den Ereignissen A und B und deren Gegenereignisse kannst du also so schreiben:

	$A$	$A$
$B$	$A \cap B$	$A \cap B$	$P (B)$
$B$	$A \cap B$	$A \cap B$	$P (B)$
	$P (A)$	$P (A)$	$Summe$

Neben der Schnittmenge gibt es noch das Vereinigungszeichen $\cup$ . Es beschreibt die Menge von A und/oder B, sprich neben der gemeinsamen Menge von A und B kann auch nur A oder B eintreffen.

Für die Vierfeldertafel ist es allerdings nicht relevant.

Noch mehr zum Thema stochastische Unabhängigkeit erfährst du im gleichnamigen Artikel auf StudySmarter.

Vierfeldertafel – Aufgaben

Zum Abschluss findest du hier Aufgaben, mit denen du dein Wissen überprüfen kannst.

Aufgabe 1

In einer Eisdiele sind 30 Gäste. 20 davon bestellen ein Eis in der Waffel, der Rest einen Eisbecher. Davon sind 10 Eiswaffeln in der Sorte Erdbeere, sowie auch 5 Eisbecher. Berechne die fehlenden Zahlen mit einem Baumdiagramm.

Lösung

Zuerst trägst du die gegebenen Zahlen in ein Baumdiagramm ein. Hier steht W für "Waffel", $W$ als Gegenereignis für "keine Waffel". Genauso ist es mit dem E für "Erdbeere".

Vierfeldertafel Baumdiagramm StudySmarterVierfeldertafel, Baumdiagramm Aufgabe 1, StudySmarter Abbildung 4: Baumdiagramm Aufgabe 1

Dann kannst du die fehlenden Zahlen einfach ausrechnen.

Vierfeldertafel, Baumdiagramm Lösung, StudySmarter Abbildung 5: Baumdiagramm Aufgabe 1

Aufgabe 2

Übertrage nun die absoluten Häufigkeiten aus Aufgabe 1 in eine Vierfeldertafel.

Lösung

	$W$	$W$
$E$	10	5	15
$E$	10	5	15
	20	10	30

Aufgabe 3

Rechne die absoluten Häufigkeiten aus Aufgabe 2 in relative Häufigkeiten um und trage sie in die Vierfeldertafel ein.

Lösung

Um die relativen Häufigkeiten zu berechnen, teilst du die absolute Häufigkeit durch die Anzahl der Gäste, also 30:

	$W$	$W$
$E$	$\frac{10}{30} = \frac{1}{3}$	$\frac{5}{30} = \frac{1}{6}$	$\frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2}$
$E$	$\frac{10}{30} = \frac{1}{3}$	$\frac{5}{30} = \frac{1}{6}$	$\frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2}$
	$\frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$	$\frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$	$1$

Vierfeldertafel - Das Wichtigste

Bevor du mit deiner Vierfeldertafel beginnst, solltest du dir ein Baumdiagramm skizzieren. Damit kannst du dir einen Überblick verschaffen, welche Zahlen du gegeben hast und eventuell fehlende einfach ausrechnen.
Die Vierfeldertafel besteht immer aus zwei Ereignissen und deren Gegenereignissen. Diese werden mit einem Querbalken über der Bezeichnung geschrieben.
Da die Wahrscheinlichkeiten in der Vierfeldertafel immer stochastisch voneinander unabhängig sind, kannst du die Produktregel anwenden und die Wahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren.
Stochastische Unabhängigkeit bedeutet, dass zwei Ereignisse sich nicht gegenseitig beeinflussen. Möchtest du also ausdrücken, dass zwei Ereignisse gleichzeitig eintreffen, nutzt du die Schnittmenge $\cap$ . $P (A) \cdot P (B) = A \cap B$
Du kannst mit relativen oder absoluten Häufigkeiten rechnen. Die relative Häufigkeit gibt das Verhältnis der Anzahl des Ereignisses zur Gesamtzahl an und die absolute Häufigkeit gibt an, wie oft das Ereignis eingetreten ist.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Vierfeldertafel

Die klassische Vierfeldertafel hat - wie der Name schon sagt - 4 Felder, da sie aus 2 Ereignissen und deren Gegenereignisse, also insgesamt 4 Ereignissen aufgebaut ist.

Die Vierfeldertafel ist aufgebaut aus stochastisch unabhängigen Ereignissen. Du kannst also die Produktregel anwenden und rechnest einfach die Wahrscheinlichkeit aus der Spalte mal die Wahrscheinlichkeit aus der Zeile.

Die Vierfeldertafel ist ein einfaches Hilfsmittel um unabhängige bedingte Wahrscheinlichkeiten auszurechnen. Wenn du also 4 Ereignisse hast, die sich nicht gegenseitig beeinflussen, ist die Vierfeldertafel sehr hilfreich.

Für eine Vierfeldertafel brauchst du eine Tabelle mit 2 Zeilen und 2 Spalten. Über die Spalten schreibst du dein 1. Ereignis und sein Gegenereignis und links neben die Zeilen dein 2. Ereignis und sein Gegenereignis. In der Tabelle selbst multiplizierst du die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten miteinander. Alle zusammen müssen immer 1 ergeben.

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Wie kannst du die fehlenden relativen Häufigkeiten auf dem Baumdiagramm ausrechnen?

Alle Äste, die vom selben Punkt ausgehen, müssen zusammen immer 1 ergeben. Also kannst du 1 minus die bereits gegebene Zahl rechnen und erhältst die fehlende Zahl.

Wozu ist die Vierfeldertafel gut?

Die Vierfeldertafel ist ein einfaches und dennoch hilfreiches Tool um Zusammenhänge zwischen 2 Ereignissen zu untersuchen. Du kannst sie jedoch nur bei unabhängigen Ereignissen anwenden.

Was ist stochastische Unabhängigkeit?

Stochastische Unabhängigkeit sagt aus, dass zwei Ereignisse unabhängig voneinander eintreten können und sich durch das Eintreten eines Ereignisses die Wahrscheinlichkeiten nicht verändern. Die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse werden einfach miteinander multipliziert.

Wie kannst du überprüfen, ob du in der Vierfeldertafel richtig gerechnet hast?

Alle 4 Felder zusammen müssen immer 1 ergeben. Ist die Summer größer oder kleiner als 1, hast du dich irgendwo verrechnet.

Von 20 Hasen sind 10 weiß und 15 fressen am liebsten Karotten.

Reichen dir diese Angaben schon, um die fehlenden Zahlen auszurechnen?

Ja, denn von 20 Hasen sind 10 weiß, also sind die anderen 10 nicht weiß. 15 Hasen mögen Karotten, also fressen 5 Hasen lieber etwas anderes. Nun hast du alle Angaben, die du brauchst.

Kannst du eine Vierfeldertafel auch ohne ein Baumdiagramm erstellen?

Ja, allerdings musst du dann aufpassen, dass du nicht durcheinander kommst, weil du vieles erst im Kopf ausrechnen musst, bevor du es in die Felder der Vierfeldertafel schreibst. Es empfiehlt sich also immer, zumindest eine grobe Skizze vom Baumdiagramm zu machen.

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