\(\definecolor{bl}{RGB}{20, 120, 200}\definecolor{gr}{RGB}{0, 220, 180}\definecolor{r}{RGB}{250, 50, 115}\definecolor{li}{RGB}{131, 99, 226}\definecolor{ge}{RGB}{255, 205, 0}\)Neben einer Definition erfährst Du hier anhand von Beispielen und Aufgaben, wie Du die relative Häufigkeit berechnen kannst, was sie mit der Wahrscheinlichkeit eines Zufallsexperimentes zu tun hat und wie sie sich von der absoluten Häufigkeit unterscheidet.
Relative Häufigkeit – Definition
Die relative Häufigkeit eines Zufallsereignisses \(X\) beschreibt den Anteil der absoluten Häufigkeit an der Gesamtmenge der Versuche. Hierbei handelt es sich also um eine Zahl, die zwischen \(0\) und \(1\) liegt.
Stell Dir vor, Du würfelst bei einem Würfelspiel bei 20 Würfen 4-mal eine Sechs.
- Das Zufallsereignis \(X\) ist in dem Fall das Würfeln der Augenzahl Sechs.
- Die absolute Häufigkeit ist hier die Anzahl der Sechsen \(\to H_{20}(Sechs)=4\)
- Die Gesamtmenge der Versuche ist \(n=20\).
Die relative Häufigkeit gibt jetzt an, bei wie viel Prozent Deiner Würfe eine Sechs gewürfelt wurde.
Relative Häufigkeit berechnen – Formel
Du kannst die relative Häufigkeit eines Zufallsereignisses berechnen, indem Du die absolute Häufigkeit \(\color{gr}H_n\) durch die Gesamtmenge der Versuche \(\color{bl}n\) teilst. \[h_n(X)=\frac{{\color{gr}H_n(X)}}{\color{bl}n}\]
Für die Berechnung der relativen Häufigkeit benötigst Du somit immer zunächst die absolute Häufigkeit, also die Anzahl, wie oft ein Ereignis eingetroffen ist.
Relative Häufigkeit – Beispiel
Stell Dir vor, Du hast 20-mal gewürfelt und dabei 4-mal eine Sechs gewürfelt.
Für die relative Häufigkeit teilst Du nun die absolute Häufigkeit durch die Gesamtmenge.
- Die absolute Häufigkeit für die Zahl Sechs beträgt in dem Beispiel \(\color{gr}H_{20}(Sechs)=4\).
- Die Gesamtmenge der Versuche beträgt hier \(\color{bl}n=20\).
\begin{align} h_{\color{bl}n}(X)&=\frac{{\color{gr}H_n(X)}}{\color{bl}n}\\[0.15cm] h_{{\color{bl}20}}(Sechs)&=\frac{{\color{gr}4}}{\color{bl}20} \\[0.15cm] &=0{,}2\end{align}
Die relative Häufigkeit, bei 20 Würfen eine Sechs gewürfelt zu haben, beträgt also \(0{,}2\).
Relative Häufigkeit in Prozent
Da es sich bei der relativen Häufigkeit immer um einen Anteil, also einen relativen Wert handelt, wird sie neben Brüchen und Dezimalzahlen von \(0\) bis \(1 \) auch häufig in Prozent von \(0\,\%\) bis \(100\,\%\) angegeben.
Zur Erinnerung: Um eine Dezimalzahl in eine Prozentzahl umzurechnen, musst Du die Dezimalzahl mit 100 multiplizieren.
Die relative Häufigkeit \(h_{20}(Sechs)=0{,}2\) kannst Du also in eine Prozentzahl umwandeln, indem Du sie mit 100 multiplizierst, bzw. das Komma um 2 Stellen nach rechts verschiebst.
\[0{,}2=20 \,\%\]
Bei \(20\) Prozent der Würfe wurde also eine Sechs gewürfelt.
Unterschied absolute und relative Häufigkeit
| absolute Häufigkeit | relative Häufigkeit |
| gibt nur die Anzahl von Ereignissen an ohne Auskunft zur Gesamtmenge | beschreibt den Anteil der absoluten Häufigkeit von der Gesamtmenge |
| \(\to\) keine Vergleichbarkeit von mehreren absoluten Häufigkeiten bei unterschiedlicher Gesamtmenge möglich | \(\to\) Vergleichbarkeit von mehreren relativen Häufigkeiten bei unterschiedlicher Gesamtmenge möglich |
| besteht aus natürlichen Zahlen \((1,2,3,4,{...})\) | besteht aus Zahlen zwischen \(0\) und \(1\) bzw. \(0\,\%\) und \(100\,\%\) |
Inwieweit Du absolute Häufigkeiten durch relative Häufigkeiten miteinander vergleichen kannst, erfährst Du im folgenden Beispiel.
Stell Dir vor, Du hast 20-mal gewürfelt und dabei 4-mal eine Sechs gewürfelt. Dein Freund hat dagegen 6-mal eine Sechs gewürfelt, hat dafür aber ganze 32 Versuche gebraucht. Wer hat jetzt im Verhältnis mehr Sechsen gewürfelt?
Um das zu beantworten, vergleichst Du die beiden relativen Häufigkeiten miteinander.
Versuche | absolute Häufigkeit | relative Häufigkeit |
\(20\) | \(H_{20}(Sechs)=\color{gr}4\) | \(h_{20}(Sechs)=\frac{4}{20} = 20\,\%\) |
\(32\) | \(H_{32}(Sechs)=\color{gr}6\) | \(h_{32}(Sechs)=\frac{6}{32}=18{,}75\,\%\) |
Wie Du sehen kannst, ist Deine relative Häufigkeit größer als die Deines Freundes. Dein Freund hat somit zwar absolut mehr Sechsen gewürfelt (\(\to\)absolute Häufigkeit), aber dennoch hast Du eine bessere Trefferquote (\(\to\) relative Häufigkeit)
Relative Häufigkeit – Häufigkeitstabelle
Um Häufigkeiten verschiedener Ereignisse übersichtlich darzustellen, werden in der Statistik Häufigkeitstabellen verwendet. In ihnen findest Du jedes mögliche Ereignis im Zufallsexperiment, die absoluten Häufigkeiten zu jedem Ereignis und die daraus resultierenden relativen Häufigkeiten.
Im folgenden Beispiel kannst Du eine mögliche Häufigkeitstabelle für das Würfelspiel sehen.
| \(X\) | \(\text{Eins gewürfelt}\) | \(\text{Zwei gewürfelt}\) | \(\text{Drei gewürfelt}\) | \(\text{Vier gewürfelt}\) | \(\text{Fünf gewürfelt}\) | \(\text{Sechs gewürfelt}\) |
| \(H_{20}(X)\) | \(1\) | \(6\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(4\) |
| \(h_{20}(X)\) | \(\dfrac{1}{20}=5\,\%\) | \(\dfrac{6}{20}=30\,\%\) | \(\dfrac{2}{20}=10\,\%\) | \(\dfrac{3}{20}=15\,\%\) | \(\dfrac{4}{20}=20\,\%\) | \(\dfrac{4}{20}=20\,\%\) |
- In die erste Zeile trägst Du alle möglichen Ereignisse \(X\) ein, die in dem Zufallsexperiment auftreten können. In dem Spiel sind das die gewürfelten Augenzahlen von 1 bis 6.
- Die Häufigkeitstabelle zeigt Dir in der zweiten Zeile die absoluten Häufigkeiten \(H_{20}(X)\), also wie oft Du welche Zahl bei 20 Würfen gewürfelt hast. Dabei fiel einmal die Eins, sechsmal die Zwei, zweimal die Drei, dreimal die Vier und die Fünf und Sechs jeweils viermal.
Die einzelnen absoluten Häufigkeiten in einem Zufallsexperiment ergeben zusammen addiert die Gesamtanzahl der Versuche. Hier ergeben sie zusammengerechnet also 20.
- In der dritten Zeile berechnest Du die relativen Häufigkeiten \(h_{20}(X)\) der einzelnen Ereignisse. Dafür teilst Du die absolute Häufigkeit \(H_{20}\) eines Ereignisses \(X\) durch die Gesamtzahl der Würfe \(n=20\).
Kumulierte relative Häufigkeit
Eine kumulierte relative Häufigkeit gibt die Summe von mehreren relativen Häufigkeiten zu einem bestimmten Punkt an. Die Summe aller relativen Häufigkeiten muss 1 bzw. 100 % ergeben.
Die kumulierte relative Häufigkeit kann ebenfalls anhand des Datensatzes des Würfelbeispiels erklärt werden.
Kumulierte relative Häufigkeit berechnen – Beispiel
Um die kumulierten relativen Häufigkeiten aus dem Datensatz des Würfelbeispiels zu bestimmen, addierst Du die relativen Häufigkeiten der möglichen Ereignisse \(X\) nacheinander auf. Die Summe bei dem letzten Ereignis (hier die Augenzahl 6) muss dabei \(1\) bzw. \(100 \,\%\) ergeben!
\(\text{Er}\text{eignis X}\) | \(\text{relative Häufigkeiten}\) | \(\text{kumulierte relative Häufigkeiten}\) |
| \(\text{Eins gewürfelt}\) | \(\dfrac{1}{20}=5\,\%\) | \(5\,\%\) |
| \(\text{Zwei gewürfelt}\) | \(\dfrac{6}{20}=30\,\%\) | \(5\,\%+30\,\%=35\,\%\) |
| \(\text{Drei gewürfelt}\) | \(\dfrac{2}{20}=10\,\%\) | \(35\,\%+10\,\%=45\,\%\) |
| \(\text{Vier gewürfelt}\) | \(\dfrac{3}{20}=15\,\%\) | \(45\,\%+15\,\%=60\,\%\) |
| \(\text{Fünf gewürfelt}\) | \(\dfrac{4}{20}=20\,\%\) | \(60\,\%+20\,\%=80\,\%\) |
| \(\text{Sechs gewürfelt}\) | \(\dfrac{4}{20}=20\,\%\) | \(80\,\%+20\,\%=100\,\%\) |
Aus den kumulierten relativen Häufigkeiten kannst Du jetzt beispielsweise ableiten, dass Du von \(45\,\%\) Deiner Würfe eine 1, 2 oder 3 gewürfelt hast.
Relative Häufigkeit & Wahrscheinlichkeit – Beziehung
Laut dem Gesetz der großen Zahlen nähert sich die relative Häufigkeit immer mehr der erwarteten Wahrscheinlichkeit eines Zufallsereignisses an, je höher die Gesamtanzahl der Versuche \(n\) ist.
Bei einem Würfel, mit 6 gleich großen Seiten, gibt es 6 gleich wahrscheinliche Ereignisse. Die Wahrscheinlichkeit, eine Sechs zu würfeln beträgt somit:
\[p(Sechs)=\frac{1}{6}\approx 16{,}7\,\%\]
Die relative Häufigkeit, also der Anteil der Würfe, bei denen tatsächlich eine Sechs gewürfelt wurde, entspricht dagegen nicht unbedingt immer der erwarteten Wahrscheinlichkeit.
Anzahl Würfe | Wahrscheinlichkeit eine Sechs zu würfeln | Relative Häufigkeit für die Augenzahl Sechs (Beispiel) |
\(n=20\) | \(p(Sechs)=\frac{1}{6} \approx16{,}7\,\%\) | \(h_{20}(Sechs)=20\,\%\) |
\(n=100\) | \(p(Sechs)=\frac{1}{6} \approx16{,}7\,\%\) | \(h_{100}(Sechs)= 17\,\%\) |
Bei einer kleinen Gesamtanzahl an Versuchen, wie bei dem Würfelspiel mit \(n=20\), kann also die Abweichung zwischen der relativen Häufigkeit und der erwarteten Wahrscheinlichkeit noch relativ groß sein. Um von der empirisch ermittelten relativen Häufigkeit auf die Wahrscheinlichkeit eines Zufallsereignisses zu schließen, brauchst Du deutlich mehr Versuche.
Abb.1 - Relative Häufigkeitsverteilung für die Augenzahl 6 im Verhältnis zur Wahrscheinlichkeit
Mehr dazu findest Du in der Erklärung "Gesetz der großen Zahlen".
Relative Häufigkeit berechnen – Aufgaben
Mit den folgenden Aufgaben kannst Du nun Dein Wissen über die relative Häufigkeit auf die Probe stellen und weiter vertiefen.
Relative Häufigkeit berechnen – Aufgabe 1
Stell Dir vor, Du schnappst Dir eine Packung Gummibärchen, öffnest sie und schüttest den Inhalt vor Dir aus. Jetzt sortierst Du die Gummibärchen nach Farben.
In einer Packung mit \(100\) Gummibärchen sind folgende absolute Häufigkeiten zu finden:
- \(30\) sind rot
- \(20\) sind orange
- \(24\) sind grün
- \(26\) sind gelb
Bestimme die relativen Häufigkeiten zu den jeweiligen Farben in einer Häufigkeitstabelle.
Lösung
Stichprobenumfang \(n=100\).
| rot | orange | grün | gelb |
| \(H_{100}(X)\) | \(30\) | \(20\) | \(24\) | \(26\) |
| \(h_{100}(X)\) | \(\dfrac{30}{100}=30\,\%\) | \(\dfrac{20}{100}=20\,\%\) | \(\dfrac{24}{100}=24\,\%\) | \(\dfrac{26}{100}=26\,\%\) |
Kumulierte relative Häufigkeit berechnen – Aufgabe 2
Dein Freund mag nur die grünen und orangen Gummibärchen. Bestimme mithilfe der kumulierten Häufigkeiten den Anteil der Gummibärchen, den Dein Freund aus der ganzen Tüte mag.
Lösung
In Aufgabe 1 hast Du bereits die relativen Häufigkeiten zu den verschiedenen Farben der Gummibärchen berechnet. Da Dein Freund nur die grünen und orangen Gummibärchen mag, addierst Du hier die relativen Häufigkeiten der beiden Farben miteinander.
\begin{align}h_{100}(\text{orange + grün}) &= h_{100}(\text{orange})+h_{100}(\text{grün})\\&=20\,\% + 24\,\%\\&=44\,\%\end{align}
Dein Freund mag somit 44 Prozent der Gummibärchen aus der gesamten Tüte.
Relative Häufigkeit – Das Wichtigste
- Die relative Häufigkeit eines Zufallsereignisses \(X\) beschreibt den Anteil der absoluten Häufigkeit an der Gesamtmenge \(n\) der Versuche.
- Du kannst die relative Häufigkeit eines Zufallsereignisses berechnen, indem Du die absolute Häufigkeit \(\color{gr}H_n\) durch die Gesamtmenge der Versuche \(\color{bl}n\) teilst. \[h_n(X)=\frac{{\color{gr}H_n(X)}}{\color{bl}n}\]
- Unterschied absolute und relative Häufigkeit
| absolute Häufigkeit | relative Häufigkeit |
| gibt nur die Anzahl von Ereignissen an ohne Auskunft zur Gesamtmenge | beschreibt den Anteil der absoluten Häufigkeit von der Gesamtmenge |
| \(\to\) keineVergleichbarkeit von mehreren absoluten Häufigkeiten bei unterschiedlicher Gesamtmenge möglich | \(\to\) Vergleichbarkeit von mehreren reltaiven Häufigkeiten bei unterschiedlicher Gesamtmenge möglich |
| besteht aus natürlichen Zahlen \((1,2,3,4,{...})\) | besteht aus Zahlen zwischen \(0\) und \(1\) bzw. \(0\,\%\) und \(100\,\%\) |
- Eine kumulierte relative Häufigkeit gibt die Summe aller relativen Häufigkeiten zu einem bestimmten Punkt an. Die Summe aller relativen Häufigkeiten muss 1 bzw. 100 % ergeben.
- Laut dem Gesetz der großen Zahlen nähert sich die relative Häufigkeit immer mehr der erwarteten Wahrscheinlichkeit eines Zufallsereignisses an, je höher die Gesamtanzahl der Versuche n ist.
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