Variation ohne Wiederholung

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Vielleicht kennst Du dieses Problem bereits. Du hast vor, mit deinen Freundinnen oder Freunden, vielleicht auch mit deinen Cousinen oder Cousins, in den Urlaub zu fahren. Auf jeden Fall wollt ihr gerne an diesem Wochenende drei verschiedene Aktivitäten planen. Wie das aber oftmals der Fall ist, wirft der eine oder der andere eine neue Idee in den Raum. Ihr seid schon bei neun Wünschen, aber ihr könnt zeitlich nur fünf Unternehmungen durchführen. Dabei ist die Reihenfolge wichtig, da ihr schon gerne wissen wollt, ob erst das sportliche Vergnügen kommt und daraufhin der Freizeitpark. Um das Dilemma zu lösen, schreibt ihr alle Vorschläge auf kleine Zettelchen und lasst den Zufall entscheiden.

Ziehen aus einer Urne mit Reihenfolge ohne Zurücklegen / Variation ohne Wiederholung Variation ohne Wiederholung im Urlaub StudySmarter

Und schon seid ihr mitten in einem mathematischen Thema, nämlich der Variation ohne Wiederholung. Dieser Fall, der auch Ziehen aus einer Urne mit Reihenfolge ohne Zurücklegen genannt wird, ist eines der sechs wichtigen Bereiche aus der Kombinatorik. Bleib dran, um zu erfahren, wie viele Kombinationsmöglichkeiten Du für euren Urlaub ziehen kannst.

Kombinatorik – Variation ohne Wiederholung

Die Kombinatorik ermöglicht die Bestimmung der Anordnung von verschiedenen Objekten und die Anzahl an Kombinationen. Dabei können entweder alle diese Objekte angeordnet werden, was Du als Permutation bezeichnen kannst, oder nur eine kleinere Auswahl. Das letztgenannte stellt eine Variation oder eine Kombination dar. Die Unterscheidung der beiden Fälle wirst Du gleich lernen.

Eines der klassischen Beispiele aus der Kombinatorik ist das Ziehen aus einer Urne. Dabei wird unterschieden zwischen:

Beachtung oder Nichtbeachtung der Reihenfolge
mit oder ohne Zurücklegen bzw. Wiederholung

Kombinatorik – Unterscheidung

Für den Fall, dass alle Elemente aus einer Menge ausgewählt werden, wird in der Mathematik von einer Permutation gesprochen. Dabei ist das n (die Anzahl aller Objekte aus einer Menge) identisch zu k, also

$n = k$ .

Es kann sich dabei beispielsweise um eine Anordnung von Schülerinnen und Schülern auf Sitzplätze handeln. Selbstverständlich sollen im Normalfall alle einen Sitzplatz erhalten, deshalb werden alle k Schüler aus n verteilt, damit niemand leer ausgeht.

Im Unterschied dazu wird bei einer Kombination oder auch Variation nur ein Ausschnitt aus der gegebenen Menge ausgewählt.

Es werden zum Beispiel nur die ersten drei Plätze bei einem Sprint bestehend aus 10 Läufern betrachtet. Nicht jedoch die ganze Verteilung.

Die Unterscheidung von Kombination und Variation ist dabei die Reihenfolge. Für eine Variation spielt die Reihenfolge eine Rolle. Das bedeutet, es macht für Dich zum Beispiel sehr wohl einen Unterschied, ob Du an einem Nachmittag erst ein Eis genießt und danach ins Kino gehst, oder anders herum. Bei einer Kombination ist das jedoch nicht relevant, also die Reihenfolge ist nicht entscheidend.

Dabei können jeweils Fälle mit oder ohne Wiederholung unterschieden werden.

Für das Beispiel mit den Aktivitäten am Nachmittag ist hierbei ohne Wiederholung besser geeignet, da Du höchstwahrscheinlich nur einmal ins Kino gehen willst.

Variation ohne Wiederholung – Fälle der Kombinatorik im Vergleich

Du sollst in diesem Abschnitt lediglich einen kurzen Überblick über die verschiedenen Fälle bekommen, die Du unterscheiden kannst. Näheres dazu findest Du in den jeweiligen Artikeln.

Dabei gibt es grundsätzlich vier wichtige Fälle, die für Dich im Schulalltag interessant sind:

	Anwendung	Formel
Variation mit Wiederholung	Wähle k Elemente aus n mit Reihenfolge mit Zurücklegen	$n^{k}$
Variation ohne Wiederholung	Wähle k Elemente aus n mit Reihenfolge ohne Zurücklegen	$\frac{n!}{(n - k)!}$
Kombination mit Wiederholung	Wähle k Elemente aus n ohne Reihenfolge mit Zurücklegen	$(\begin{matrix} n + k - 1 \\ k \end{matrix})$
Kombination ohne Wiederholung	Wähle k Elemente aus n ohne Reihenfolge ohne Zurücklegen	$(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})$

Die Tabelle soll Dir nur einen kleinen Überblick verschaffen. In diesem Artikel soll Dir die Variation ohne Wiederholung näher erklärt werden. Falls Du auch Informationen zu den anderen Möglichkeiten haben möchtest, schau doch gerne auf den Seiten vorbei. Dabei wirst Du auch ein Gespür bekommen, welchen Fall Du wann nutzen solltest. Die Seiten sind:

Ziehen aus einer Urne mit Reihenfolge mit Zurücklegen / Variation mit Wiederholung
Ziehen aus einer Urne ohne Reihenfolge ohne Zurücklegen / Kombination ohne Wiederholung
Ziehen aus einer Urne ohne Reihenfolge mit Zurücklegen / Kombination mit Wiederholung

Variation ohne Wiederholung – Eigenschaften

Die Variation ohne Wiederholung gliedert sich in das Kapitel der Kombinatorik ein und ist eine von insgesamt sechs unterscheidbaren Fällen, zu denen auch die Permutationen zählen.

Variation ohne Wiederholung – Definition

Bei einer Variation ohne Wiederholung wird aus der gegebenen Menge ein Teil dieser Objekte herausgegriffen.

Als Variation ohne Wiederholung wird in der Kombinatorik eine Stichprobe genannt, bei der k aus n Objekten ausgewählt werden, wobei die Reihenfolge entscheidend ist und Objekte nur einmal gewählt werden dürfen.

Für die Berechnung ist also eine Angabe von k und n Objekten entscheidend. Wichtig ist, wie in der Definition erwähnt, dass nur eine Auswahl verwendet wird und nicht die komplette Menge an Objekten. Ansonsten würde es sich um eine Permutation handeln.

Variation ohne Wiederholung – Formel

Für die Variation ohne Wiederholung gilt folgende Formel:

$\frac{n!}{(n - k)!}$

Diese Formel wirst Du gleich Schritt für Schritt herleiten können. Das soll vor allem auch dem Verständnis dienen, warum diese Formel denn nun in dieser Weise verwendet werden kann.

An dieser Stelle soll Dir noch einmal klar werden, was die Variation ohne Wiederholung bedeutet:

mit Beachtung der Reihenfolge
ohne Zurücklegen / ohne Wiederholung

Das bedeutet konkret, dass für das erste Objekt, das gewählt wird, n Möglichkeiten bestehen. Legst Du das Objekt (zum Beispiel eine Kugel) nicht mehr in die Urne zurück, hast Du danach für den nächsten Schritt...

$(n - 1)$

Möglichkeiten. Das ist deshalb der Fall, weil keine Wiederholung stattfindet. Die gezogene Kugel kann nicht mehr in die Urne zurückgelegt werden, steht also dann als Option nicht mehr zur Verfügung.

Das geht dann bis

$(n - k + 1)$

da Du nicht alle Kugeln betrachtest, sondern nur eine Auswahl. Deshalb gilt für das Endergebnis

$(n - 1) \cdot (n - 2) . . . \cdot 1 = n!$

Für die schlussendliche Formel verwendest Du also alle Möglichkeiten, die es geben würde, wenn Du genauso viele Kugeln ziehen würdest, wie es Kugeln in der Urne gibt und teilst die durch die tatsächliche Anzahl. Die Formel lautet dann also:

$\frac{A l l e E l e m e n t e w u r d e n a u s g e w ä h l t (n!)}{A u s w a h l (n - k)!} = \frac{n!}{(n - k)!}$

Variation ohne Wiederholung – Beispiel

Nach den theoretischen Zusammenfassungen kannst Du hier nun Dein Wissen praktisch anwenden.

Variation ohne Wiederholung – Anwendung

Möchtest Du die Variation ohne Wiederholung unter Beachtung der Reihenfolge ermitteln, kannst Du grundsätzlich händisch rechnen. Dazu gehst Du wie im folgenden Beispiel gezeigt vor, dass Du die Fakultät für $n$ im Zähler und $n - k$ im Nenner ermittelst und dann gleiche Zahlen im Zähler und Nenner streichst.

Alternativ steht Dir in Schulaufgaben oder Klausuren möglicherweise Dein Taschenrechner zur Verfügung. Mit diesem ermittelst Du schnell das Ziehen aus einer Urne ohne Wiederholung, indem Du die gelbe Taste [SHIFT] in der linken oberen Ecke gedrückt hältst und daraufhin die Taste [x^-1] . Diese Tastenkombination bezieht sich auf die gängigen CASIO Rechner, die standardmäßig an den Schulen verwendet werden. Mit dieser Tastenkombination erhältst Du die Fakultät, also das Ausrufezeichen.

Variation ohne Wiederholung – Beispielaufgabe

Damit Du nun das nähere Vorgehen erlernst, soll Dir dieses Beispiel eine Hilfestellung sein.

Aufgabe 1

Du möchtest eine Urlaubsreise mit Deinen Freunden buchen. Wie Du bereits in der Einleitung gelesen hast, könnt ihr an diesem Wochenende insgesamt nur fünf Aktivitäten planen. Dafür habt ihr insgesamt allerdings schon 9 Ideen geäußert, die unterschiedlicher nicht sein können. Von Freizeitpark über Radfahren bis hin zum Städtebummel und einfach nur an einem Strand baden. Wie viele Kombinationsmöglichkeiten gibt es denn nun, wenn euch auch wichtig ist, zu wissen, in welcher Reihenfolge ihr die Aktivitäten durchführt?

Lösung

Für diesen Fall verwendest Du die Variation ohne Wiederholung.

Die Kombination verwendest Du nicht, da hier die Reihenfolge eine Rolle spielt. Außerdem kann es sich auch um keine Permutation handeln, ansonsten würdet ihr alles an diesem Wochenende machen wollen. Es handelt sich also um eine Stichprobe.

Hier ist der Zusammenhang in einer Tabelle zusammengefasst:

Punkte zu beachten	In dieser Aufgabenstellung
Permutation oder Stichprobe?	$k = 5$ für 5 Aktivitäten, die ausgewählt werden; $n = 9$ Aktivitäten insgesamt → Stichprobe
Variation oder Kombination?	Reihenfolge ist entscheidend → Variation
Mit oder ohne Wiederholung?	Aktivitäten werden nur einmal durchgeführt → ohne Wiederholung

$\frac{n!}{(n - k)!} = \frac{9!}{(9 - 5)!} = \frac{9!}{4!}$

Möchtest Du nun das Endergebnis angeben, kannst Du die Rechnung in den Taschenrechner eintippen. Ansonsten ist hier noch die Möglichkeit gegeben, diese Rechnung handschriftlich durchzuführen.

$\begin{array}{rcl} \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} & = & \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 = 15120 \end{array}$

Falls Du in diesem Zusammenhang das schriftliche Multiplizieren üben möchtest, kannst Du gerne auf der Seite Multiplikation vorbeisehen.

Variation ohne Wiederholung – Baumdiagramm

Baumdiagramme sind für die visuelle Aufbereitung und auch für das bessere Verständnis von Aufgaben in der Kombinatorik sehr nützlich. Auch in diesem Fall kannst Du ein Baumdiagramm verwenden, das das Ziehen aus einer Urne mit Reihenfolge ohne Zurücklegen berücksichtigt. Wie Du bereits in dem Kapitel über den Beweis der Formel für die Variation ohne Wiederholung gelernt hast, können für den zweiten Zug nur noch...

$(n - 1)$

Kugeln gezogen werden und danach wieder eine weniger, da sie nicht in die Urne zurückgelegt wird.

Dabei lässt sich für eine Urne bestehend aus vier Kugeln, wobei zwei Kugeln mit Beachtung der Reihenfolge ohne Zurücklegen gezogen werden, das folgende Baumdiagramm anfertigen. In diesem Beispiel sind zwei dieser Kugeln grün, während die anderen beiden lila sind. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass zuerst eine lila und danach eine grüne gezogen wird?

Ziehen aus einer Urne mit Reihenfolge ohne Zurücklegen / Variation ohne Wiederholung Baumdiagramm für Zufallsexperiment StudySmarter Abbildung 1: Baumdiagramm für Zufallsexperiment mit vier Kugeln

In der Grafik sind die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten aufgetragen. Dich interessiert ausschließlich der Pfad, der zuerst eine lila und danach eine grüne Kugel beinhaltet. Dann wendest Du eine Pfadregel an.

Die Pfadregeln für ein Baumdiagramm teilen sich in die Produktregel und die Additionsregel auf. Für diesen Fall ist die Produktregel interessant, die besagt, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses in einem Zufallsexperiment das Produkt aus den Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades ist.

In diesem Fall verwendest Du die Produktregel, um an Dein Ziel zu kommen. Du betrachtest nämlich ausschließlich einen Pfad mit zwei Einzelwahrscheinlichkeiten. Das Ergebnis lautet wie folgt. P steht dabei für die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses:

P (b, g) = \frac{2}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}

Variation ohne Wiederholung – Aufgaben

In den kommenden Aufgaben wirst Du einige Regeln aus der Kombinatorik, insbesondere für das Ziehen von Kugeln aus einer Urne mit Reihenfolge und ohne Zurücklegen anwenden können.

Aufgabe 2

Vor Dir befindet sich eine Urne, in der sich acht verschiedene Kugeln befinden. Dabei sollst Du nun vier dieser Kugeln ohne Zurücklegen ziehen, wobei die Reihenfolge eine Rolle spielt.

Lösung

Du verwendest dafür die Variation ohne Wiederholung. Die Kombination kannst Du ausschließen, da die Reihenfolge entscheidend ist und auch die Permutation, da Du nur einen Teil der Kugeln entnimmst und nicht alle.

$\begin{array}{rcl} \frac{n!}{(n - k)!} & = & \frac{8!}{(8 - 4)!} = \frac{8!}{4!} \end{array}$

In diesem Fall wäre es noch schön, einen konkreten Wert zu ermitteln. Entweder verwendest Du einen Taschenrechner, oder Du ermittelst das Ergebnis per Hand.

Bei großen Zahlen ist das allerdings meist nicht mehr sinnvoll.

$\frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 = 1680$

Es gibt also insgesamt 1680 Möglichkeiten, die Variation ohne Wiederholung zu bilden.

Aufgabe 3

Du bist schon den ganzen Tag darauf gespannt, wer heute gewinnen wird. Du hast Karten für einen großen Leichtathletikwettbewerb erhalten und Du fragst Dich im Vorfeld, wie viele Möglichkeiten es gibt, wie der Lauf ausgehen kann. Es treten 10 Läufer gegeneinander an und Dich interessieren nun die Kombinationen für die ersten drei Platzierungen. Wie viele Kombinationen gibt es?

Lösung

Bei solchen Fragestellungen solltest Du Dich immer fragen, was in dem konkreten Beispiel für die Reihenfolge und die Wiederholung gilt:

Mit Reihenfolge: es macht für Dich einen Unterschied, ob der Sprinter Simon oder der Trödler Thomas den ersten Platz erhält.
Ohne Wiederholung: ein Läufer wird nicht wieder in den Pool an Teilnehmern zurückgelegt, ansonsten könnte der Betrüger Bob den ersten, aber auch den dritten Platz belegen.

$\begin{array}{rcl} \frac{n!}{(n - k)!} & = & \frac{10!}{7!} = 720 \end{array}$

Es gibt 720 mögliche Kombinationen für die ersten drei Platzierungen.

Aufgabe 4

Eine Firma hat insgesamt 12 Mitarbeiter und einen Chef. Auf dem kleinen Gelände gibt es allerdings insgesamt nur sechs Parkplätze. Berechne nun wie viele Kombinationen es gibt, für den Fall, dass alle mit einem Auto zur Arbeit fahren und alle Plätze belegt sind? Es macht auch einen Unterschied, welcher Mitarbeiter sich auf einem konkreten Parkplatz befindet.

Lösung

Es wird also aus der Menge an 13 Mitarbeitern (12 Mitarbeiter + 1 Chef) sechs zufällig gezogen. Irgendwelche Umwelteinflüsse werden hier vernachlässigt, also zum Beispiel Stau. Es handelt sich also um ein Wahrscheinlichkeitsexperiment für die Variation mit Reihenfolge ohne Wiederholung.

$\begin{array}{rcl} \frac{n!}{(n - k)!} & = & \frac{13!}{(13 - 6)!} = 1 235 520 \end{array}$

Es gibt also $1 235 520$ Möglichkeiten, die Parkplätze zu belegen.

Variation ohne Wiederholung – Das Wichtigste

In der Kombinatorik werden zwei wichtige Parameter betrachtet. Nämlich die Reihenfolge und die Wiederholung. Dabei kann die Reihenfolge eine oder keine Rolle spielen und das Experiment kann mit oder ohne Wiederholung stattfinden.
Für den Fall $n = k$ handelt es sich um eine Permutation, ansonsten ist von einer Stichprobe auszugehen mit Unterscheidung der Kombination und Variation.
Für die Variation ohne Wiederholung aus der Mathematik zählt: mit Reihenfolge ohne Wiederholung
Die Formel für die Variation ohne Wiederholung aus der Kombinatorik lautet: $\frac{n!}{(n - k)!}$
Für die Berechnung der Variation ohne Wiederholung gibt es zwei Möglichkeiten: die Fakultät berechnen vor allem für große Zahlen mit [SHIFT] + $[x^{- 1}]$ oder die Fakultät aufschreiben und alle Zahlen streichen, die im Zähler und im Nenner vorkommen.
Für die Berechnung solltest Du herausfinden: die Reihenfolge ist wichtig; es gibt keine Wiederholung; n und k ermitteln und in die Formel einsetzen.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Variation ohne Wiederholung

Es gibt zwei Arten von Variationen. Die Variation mit Wiederholung lässt sich über die Formel n^k berechnen. Sie wird auch als Ziehen mit Zurücklegen bezeichnet. Für die Variation ohne Wiederholung verwendest Du die Formel n! : (n - k)! . Näheres dazu, wie Du hierbei konkret vorgehen kannst, findest Du im Artikel.

Ohne Zurücklegen ist dabei für zwei Fälle möglich. Handelt es sich um eine Kombination ohne Wiederholung nutzt Du die Formel n! : (n - k)! . Das wird für das Beispiel 6 aus 49 interessant. Die Formel n^k nutzt Du, wenn die Reihenfolge entscheidend ist, im Gegensatz zu Kombinationen.

Unter Beachtung der Reihenfolge gilt für die Variationen. Hierbei spielt die Reihenfolge eine Rolle. Das bedeutet konkret, dass es zum Beispiel einen Unterschied macht, wer den ersten oder den dritten Platz in einem 100 m Lauf erhält. Ziehst Du allerdings fünf grüne Kugeln aus einer Urne, kannst Du sie nicht unterscheiden und deshalb ist die Reihenfolge uninteressant.

Ziehen ohne Zurücklegen! Das kannst Du Dir damit erklären, dass nur in einem Schritt ein Teil der Kugeln aus einer Urne gezogen werden, danach werden keine mehr zurückgelegt. Ist das Wort gleichzeitig in einer Aufgabenstellung gegeben, wird eventuell ohne zurücklegen nicht explizit angegeben.

Karteikarten in Variation ohne Wiederholung4 Lerne jetzt

Welche Aussage gilt für die Kombination mit Wiederholung?

Keine Beachtung der Reihenfolge; mit Zurücklegen

Was gilt für die Variation ohne Wiederholung?

Reihenfolge spielt eine Rolle

Du ziehst aus einer Urne mit sechs Kugeln zwei Stück ohne Zurücklegen. Dabei ist die Reihenfolge für Dich wichtig. Berechne die Anzahl an möglichen Ergebnissen.

Es gibt 30 mögliche Ergebnisse.

Du erstellst für Freitag einen Plan, welche Aktivitäten Du gerne unternehmen möchtest. Du wählst aus 15 Aktivitäten 3 aus. Wie viele Kombinationen gibt es?

Es gibt 2730 mögliche Kombinationen.

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