Ziegenproblem

Ziegen in der Wahrscheinlichkeitsrechnung? Ungewöhnlich. Das Ziegenproblem sorgte aber damals – und auch heute noch – für heftige Diskussionen und Verwirrung. Was die intelligenteste Frau der Welt mit Ziegen zu tun hat, erfährst du hier.

Ziegenproblem – Erklärung

In den USA gab es die TV-Show "Let's make a deal" mit dem Moderator Monty Hall. Aufgrund dessen wird das Ziegenproblem auch gerne Monty-Hall-Dilemma genannt. In dieser Show gab es drei Türen, daher auch der Name 3-Türen-Problem. Hinter einer von ihnen stand ein Auto, hinter den anderen beiden jeweils eine Ziege. Nun fragte Monty Hall den Kandidaten, hinter welcher Tür das Auto sei. Nachdem der Kandidat sich für eine Tür entschieden hatte, öffnete Monty eine Tür mit einer Ziege dahinter und frage den Kandidaten, ob er seine Entscheidung ändern wolle. Meistens blieben die Kandidaten bei der zuerst gewählten Tür.

Ob es klug ist, bei seiner Entscheidung zu bleiben oder die Türe doch zu wechseln, hat die "intelligenteste Frau der Welt", Marilyn vos Savant, in der Zeitschrift PARADE in der Kolumne "Ask Marylin" beantwortet. Sie antwortete auf einen Leserbrief mit dieser Frage:

Mit dieser Antwort löste sie eine Flut von Leserbriefen und Empörung aus. Aber hatte sie mit ihrer Antwort wirklich Unrecht?

Intuitive Lösung des Ziegenproblems

Ist es denn nicht egal, ob man wechselt oder nicht? Zwar besteht in der ersten Runde eine $\frac{1}{3}$Chance , das Auto zu gewinnen, aber in der zweiten Runde sind immer noch zwei Türen verschlossen und hinter einer ist das Auto. Es besteht also eine Chance von 50 %, das Auto zu gewinnen.

Im Prinzip richtig. Aber der Moderator weiß, hinter welcher Tür das Auto ist und hat bewusst eine Tür mit einer Ziege geöffnet. Und das ändert die Wahrscheinlichkeit.

Das Ziegenproblem in der Wahrscheinlichkeitstheorie

Wie gerade schon angesprochen, würden die meisten intuitiv die erste und zweite Runde unabhängig voneinander betrachten. Das ist aber falsch. Dieser Fall wäre eine einfache Wahrscheinlichkeit.

Die einfache Wahrscheinlichkeit lässt sich mit einem typischen Beispiel erklären:

Da der Showmaster aber weiß, hinter welcher Tür das Auto ist und bewusst eine Tür mit einer Ziege öffnet, ändern sich die Wahrscheinlichkeiten und es ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit.

Um oben genanntes Beispiel fortzusetzen:

Diese Wahrscheinlichkeit ist deutlich anders, als die der einfachen Wahrscheinlichkeit.

Aber zurück zum Ziegenproblem:

In der ersten Runde gibt es drei identische Türen. Da in der Wahrscheinlichkeitsrechnung alle Wahrscheinlichkeiten in der Summe immer 1 ergeben müssen, gibt es pro Tür die Chance von $\frac{1}{3}$, dass sich dahinter das Auto befindet.

Abbildung 2: Drei Türen mit derselben Wahrscheinlichkeit

Nehmen wir an, der Kandidat wählt Tür 3. Daraufhin öffnet Monty Tür 1, hinter der sich eine Ziege befindet. Die Wahrscheinlichkeit, dass sich hinter Tür 3 das Auto befindet, bleibt nach wie vor bei $\frac{1}{3}$, aber die restlichen $\frac{2}{3}$ konzentrieren sich nun auf Tür 2, weil bei Tür 1 die Wahrscheinlichkeit für das Auto auf 0 absinkt, da ja offensichtlich eine Ziege dahintersteht.

Abbildung 3: Zwei verschlossene Türen und eine Niete

Nun beginnt die zweite Runde und der Kandidat hat die Wahl zwischen zwei Türen, also theoretisch die Chance von $\frac{1}{2}$, das Auto zu gewinnen. Da der Moderator allerdings bewusst eine Tür mit Ziege geöffnet hat, müssen die Wahrscheinlichkeiten aus der ersten Runde berücksichtigt werden.

Wahrscheinlichkeit, dass das Auto hinter Tür 3 steht:

$P=\frac{1}{3}·\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$

Wahrscheinlichkeit, dass das Auto hinter Tür 2 steht:

$P=\frac{2}{3}·\frac{1}{2}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$

Da der Kandidat zu Beginn Tür 3 gewählt hat, sollte er auf Tür 2 wechseln, weil die Wahrscheinlichkeit für den Gewinn bei dieser Tür doppelt so hoch ist wie bei Tür 3.

Marylin hatte also recht. Ein Wechsel verdoppelt die Gewinnchancen.

Ziegenproblem – Lösung mittels Baumdiagramm

Mit einem Baumdiagramm kannst du besser nachvollziehen, warum sich ein Wechsel lohnt.

Option 1: der Kandidat bleibt bei seiner Wahl

In diesem Baumdiagramm siehst du die Gewinnchance, wenn der Kandidat bei seiner Entscheidung bleibt.

Abbildung 4: Entscheidungsbaum, wenn nicht gewechselt wird

Dieser Fall ist ziemlich simpel. Die Gewinnchance für das Auto ist $\frac{1}{3}$, weil ja nur hinter einer von den drei Türen ein Auto steht. Die zwei Äste des Baums mit der Ziege kannst du zu einem Ast zusammenfassen und die Wahrscheinlichkeiten addieren. Somit hat man eine $\frac{2}{3}$ Chance, eine Ziege zu treffen. Die zweite Runde kannst du hier ignorieren, denn der Kandidat bleibt eisern und somit ändert sich nichts an den Wahrscheinlichkeiten.

Option 2: der Kandidat wechselt die Tür

Wie sieht es aber aus, wenn der Kandidat seine Entscheidung überdenkt und sich umstimmen lässt?

Um hier die Wahrscheinlichkeiten mithilfe eines Baumdiagramms zu bestimmen, benötigst du die erste Pfadregel:

Abbildung 5: Entscheidungsbaum, wenn gewechselt wird

Die Wahrscheinlichkeiten aus der ersten Runde bleiben gleich, es gibt ja nach wie vor drei Türen mit einem Auto und zwei Ziegen. Die Wahrscheinlichkeiten aus der zweiten Runde ändern sich jedoch im Vergleich zu denen, wenn der Kandidat bei seiner Wahl bleibt.

Die Wahrscheinlichkeiten in der ersten Runde sind wieder gleich, also $\frac{1}{3}$ Wahrscheinlichkeit für das Auto. Für den Fall, dass der Kandidat die Tür mit dem Auto gewählt hat und sich für einen Wechsel entscheidet, musst du diese Wahrscheinlichkeit mit der Wahrscheinlichkeit 0 aus der zweiten Runde multiplizieren. Denn durch den Wechsel entscheidet er sich dann für die Ziege. Du rechnest also:

$P=\frac{1}{3}·0=0$

Das ist dann natürlich blöd gelaufen, aber die Rechnung ist noch nicht zu Ende. Denn für den Fall, dass er in der ersten Runde die Ziege bekommt und sich dann für die Tür mit dem Auto entscheidet, liegt seine Gewinnwahrscheinlichkeit bei:

$P=\frac{2}{3}·1=\frac{2}{3}$

Das sind umgerechnet 66,7 %!

Ziegenproblem – Erklärung mit der Vierfeldertafel

Eine weitere Möglichkeit, das Ziegenproblem zu betrachten, ist die Vierfeldertafel. Mit dieser kannst du die unterschiedlichen Szenarien simulieren und dann abzählen, wie oft du zum gewünschten Ergebnis kommst.

Der Aufbau dieser Tafel ist relativ simpel. Du brauchst einfach nur eine Tabelle. In die oberste Zeile schreibst du die Türen, in die linke Spalte die Anzahl der möglichen Fälle.

Beim Ziegenproblem gibt es drei mögliche Fälle:

1. Fall: Das Auto ist hinter Tür 1.
2. Fall: Das Auto ist hinter Tür 2.
3. Fall: Das Auto ist hinter Tür 3.

Am besten du markierst dir diese Felder in einer Farbe, wie zum Beispiel hier in Grün.

Danach trägst du ein, wie du in der jeweiligen Situation reagieren solltest, um das Auto zu bekommen.

Sobald du alles eingetragen hast, kannst du die Ereignisse zusammenzählen und vergleichen.

Das Ziegenproblem und der Satz von Bayes

Bisher waren das ziemlich viele Zahlen. Mit dem Satz von Bayes kannst du das – zumindest teilweise – umgehen.

1. Schritt:

Notiere dir zunächst die möglichen Ereignisse und alle gegebenen Wahrscheinlichkeiten:

2. Schritt

Teile das gewünschte Ereignis durch die Summe aller möglichen Ereignisse.

Dasselbe Prinzip gilt auch für alle anderen Fälle.