Vielleicht hast Du selbst ein Smartphone oder einen Laptop zu Hause. Dazu sollst Du oftmals eine PIN eingeben, falls Du kein Passwort verwenden kannst oder möchtest. So kann eine PIN zum Beispiel aus vier Stellen bestehen. Selbstverständlich spielt hierbei die Reihenfolge eine Rolle. Was hat das allerdings mit der Planung eines Wochenendes zu tun, bei der Du gerne von Freitag bis Sonntag unterschiedliche Dinge mit Deinen Freunden unternehmen möchtest?
Diese Themen passen beide in die Variation aus der Mathematik. Die Variation ist ein Konzept aus der Mathematik, um Wahrscheinlichkeiten für eine bestimmte Bedingung zu berechnen.
Variation Kombinatorik – Wiederholung
Wie Du bereits in der Einleitung erfahren hast, gibt es verschiedene Möglichkeiten, wie eine Variation aufgebaut sein kann. Es kann unter anderem die Reihenfolge oder auch die Wiederholung eine Rolle spielen.
Permutation Variation Kombination – Abzählmethoden
Dabei ist die Variation nicht das einzige Konzept aus der Kombinatorik. Für die Kombinatorik gibt es grundlegend drei Konzepte. Nämlich die Permutation, die Variation und die Kombination. Für alle ist entscheidend:
- ob die Reihenfolge beachtet werden soll
- und ob sich Elemente wiederholen dürfen.
Es kann bei manchen Aufgabenstellungen helfen, mit einem sogenannten Entscheidungsbaum herauszufinden, welche Art von Abzählmethode vorliegt. Die nachfolgende Grafik soll Dir die Konzepte verdeutlichen.
Werden also aus einer Menge alle Objekte ausgewählt, so handelt es sich um eine Permutation. Da alle Objekte verwendet werden, gilt:
Du möchtest eine Anordnung von Studenten beschreiben, die durch eine Tür gehen. Da alle Schüler durch die Tür spazieren sollen, gilt, dass n gleich k ist. Dementsprechend handelt es sich um eine Permutation.
Für den Fall, dass die nachfolgende Bedingung gilt, kannst Du zwischen einer Kombination oder Variation unterscheiden:
Eine Kombination trifft zu, falls die Reihenfolge nicht entscheidend ist. Bei einer Variation spielt die Reihenfolge allerdings eine Rolle. Wie für jedes der drei Konzepte der Permutation, Kombination und Variation kannst Du unterscheiden, ob eine Wiederholung stattfindet oder nicht.
Bei einer Geburtstagsparty können 10 von 20 Gäste einen Käsekuchen essen, da diese Stücke noch übrig sind. Dabei spielt die Reihenfolge der 10 Personen keine Rolle, da sie alle denselben Kuchen bekommen. Aber eine Wiederholung soll eher nicht stattfinden, ansonsten könnte eine Person alle 10 Kuchen essen.
Auch für die Variation gibt es die Möglichkeit, mit oder ohne Wiederholung zu unterscheiden. Dabei ist das Beispiel einer PIN bekannt dafür, dass die Reihenfolge entscheidend ist und Zahlen wiederholt werden können, da...
- die Zahlenfolgen 1,2,3,4 und 4,3,2,1 nicht identisch sind
- und die Zahlenfolge 1,1,1,1 erlaubt ist, obwohl sie leicht zu knacken ist.
Permutation Variation Kombination – Zusammenfassung
Als kurze Zusammenfassung hier nochmal eine Übersicht der Modelle Permutation, Kombination und Variation.
Vergewissere Dich am besten also immer, welche Art von Modell Deinen Vorgang passend beschreibt.
Wenn Du gerne mehr interessante Inhalte zu den Modellen Permutation und Kombination sehen möchtest, dann kannst Du gerne auf den folgenden Seiten vorbeisehen:
Näheres zu den einzelnen konkreten Anwendungen findest Du unter anderem in diesen zwei von sechs Erklärungen
Variation Definition und Bedeutung
Wie bereits erwähnt, ist die Variation eines der drei Konzepte aus der Kombinatorik, wobei sie sich in zwei Teile aufteilt.
Eine Variation ist ein Modell der Kombinatorik, eine sogenannte Abzählmethode. Dabei handelt es sich um eine Auswahl von k Elementen, bzw. ein Teil einer Grundmenge von n Elementen, bei der die Reihenfolge eine Rolle spielt.
Da es sich nur um einen Teil der n möglichen Ergebnisse dreht, werden Variationen auch „geordnete Stichproben“ genannt. Eine Stichprobe ist eine Teilmenge von Elementen, die der Grundgesamtheit aller möglichen Elemente zufällig entnommen wird.
Es gilt dabei zwei Fälle der Variation zu unterscheiden. Es kommt vor, dass Elemente wieder zurückgelegt werden und die Ausgangsmenge sich bei weiteren Durchgängen nicht verändert. Allerdings gibt es auch den Fall, dass Elemente nicht mehr zurückgelegt werden. Dazu mehr in den folgenden Abschnitten.
Variation berechnen – 2 Fälle
Wie Du schon oben in der Übersicht sehen kannst, gibt es zwei Formen der Variation. Dabei wird unterschieden, ob eine Wiederholung stattfindet oder nicht. Gemeint ist damit, ob es Elemente gibt, die mehrfach verwendet werden dürfen.
Variation mit Wiederholung
Die Variation mit Wiederholung ist eine der zwei Konzepte der Variationen und wird für Wiederholungen verwendet.
Bei der Variation mit Wiederholung werden k Elemente - mit Beachten der Reihenfolge - aus einer Menge von n Elementen ausgewählt. Die Elemente dürfen dabei wieder verwendet werden.
Du verwendest für dieses Beispiel die Formel:
Dazu soll Dir das nachfolgende Beispiel, diesen Fall näher erläutern.
Aus einer Urne mit sieben Kugeln - diese sind von 1 bis 7 sortiert - werden 4 gezogen.
Nach jedem Ziehen wird die gezogene Kugel notiert und in die Urne zurückgelegt.
So stehen nach jedem Zug wieder 7 Kugeln zur Auswahl.
Es liegt demnach eine Variation mit Wiederholung vor!
Anhand des Beispiels kannst Du Dir jetzt ansehen, wie Du die Anzahl möglicher Anordnungen der Kugeln mithilfe der genannten Formel berechnest.
Da Du die erste Kugel nach dem Ziehen notierst und wieder in die Urne zurückgelegt hast, handelt es sich um eine Variation mit Wiederholung, da diese Kugel wiederholt verwendet werden darf. Die Ausgangsmenge der Kugeln hat sich also nicht verändert und ist im zweiten Durchgang wieder die gleiche. Du kannst also das identische Element k aus der Menge n erneut ziehen.
Dabei entspricht n der Gesamtzahl Deiner Objekte und k, wie viele Objekte gezogen werden.
Betrachte hierbei das Beispiel mit den 7 Kugeln. Wie viele Kombinationsmöglichkeiten gibt es für die Nummern der Kugeln?
Dafür werden also 4 dieser Kugeln gezogen. k entspricht also der Zahl 4, n ist die Zahl 7, damit ergibt es:
Es gibt also 2401 Möglichkeiten, die Kugeln mit Beachtung der Reihenfolge mit Zurücklegen anzuordnen.
Dürfen Elemente nicht mehrfach verwendet werden, handelt es sich stattdessen um eine Variation ohne Wiederholung.
Variation ohne Wiederholung
Interessiert Dich wie bei einem Rennen die Reihenfolge der Platzierten, allerdings können Teilnehmer nicht mehr Plätze belegen, so handelt es sich um eine Variation ohne Wiederholung.
Bei einer Variation ohne Wiederholung ist wie bei der Variation mit Wiederholung die Reihenfolge entscheidend. Dieses Mal können allerdings Objekte nicht mehr wiederholt verwendet werden.
Für jeden weiteren Zug kannst Du eine Kugel weniger auswählen. Anfangs konntest Du aus n Kugeln wählen, nun werden es immer eins weniger.
Auch dazu kannst Du Dir ein Beispiel anhand der gleichen Ausgangssituation ansehen. Allerdings werden die Kugeln dieses Mal nicht wieder zurückgelegt, sondern an der Seite platziert.
Aus einer Urne mit 7 Kugeln - beschriftet mit Zahlen von 1 bis 7 - werden nacheinander 4 Kugeln gezogen.
Nach jedem Ziehen wird die gezogene Kugel notiert und nicht in die Urne zurückgelegt.
Es befindet sich nach jedem Zug eine Kugel weniger zur Auswahl in der Urne.
Somit liegt eine Variation ohne Wiederholung vor!
Bei einer Variation ohne Wiederholung kann also jedes der k Elemente nur einmal ausgewählt werden.
Wie bei der Variation mit Wiederholung wird auch hier nur eine Auswahl k von n Objekten verwendet, die Du in die Formel einsetzen kannst.
Für Dein Wochenende stehen 10 Aktivitäten zur Auswahl. Da Du nicht so viel Zeit hast, möchtest Du mit Deinem Freund/Deiner Freundin 3 Aktivitäten planen. Euch ist dabei schon wichtig, ob ihr zuerst ins Kino und danach Schwimmen oder umgekehrt geht. Außerdem wollt ihr eine Aktivität nicht mehrfach erleben.
Dabei handelt es sich um die Variation ohne Wiederholung, da
- die Reihenfolge wichtig ist und
- ihr wollt Aktivitäten nicht mehrfach machen, somit findet keine Wiederholung statt.
Du setzt in die Formel für die Variation ohne Wiederholung n = 10 und k = 3 ein.
Du siehst dabei, dass Du den folgenden Bruch mit der Fakultät (das Ausrufezeichen) kürzen kannst. Dazu streichst Du alle Zahlen weg, die sich im Zähler und Nenner befinden.
Wie Du genau für die Berechnung vorgehen kannst und wenn Du das Konzept mit dem Streichen der Zahlen gerne besser nachvollziehen möchtest, kannst Du Dir gerne die Erklärung Variation ohne Wiederholung ansehen.
Es gibt also insgesamt 720 Möglichkeiten, wie Eure 3 der 10 Aktivitäten geordnet werden können.
Variation – Beispiel mit Aufgaben
Nun kannst Du beispielhaft die beiden Konzepte der Variation mit und ohne Wiederholung noch praktisch bearbeiten.
Aufgabe 1
Auf Deinem Smartphone vergibst Du eine PIN mit insgesamt 6 Stellen.
a) Erkläre, dass es sich um die Variation mit Wiederholung handelt.
b) Berechne diese.
(Tipp: Jede Stelle kann die Zahlen 0-9 enthalten.)
Lösung
a) Es handelt sich um die Variation mit Wiederholung, da die Reihenfolge eine Rolle spielt, ansonsten würden zum Beispiel die Kombinationen 1,2,3,4,5,6 und 6,5,4,3,2,1 beide funktionieren. Außerdem dürfen Zahlen auch mehrfach verwendet werden, weshalb eine Wiederholung stattfindet.
b) Du kannst also für jede der sechs Stellen die Zahlen 0 bis 9 wählen, das sind 10 Zahlen. Für jede Stelle stehen Dir also n = 10 Zahlen zur Verfügung.
Für diese PIN gibt es also 1 Mio. Kombinationsmöglichkeiten.
Aufgabe 2
Nur 3 Personen der insgesamt 100 Marathonläufer können einen Preis gewinnen.
a) Erkläre, warum hierbei die Variation ohne Wiederholung gewählt wird.
b) Berechne diese auch für diesen Fall.
Lösung
a) Auch in diesem Fall spielt die Reihenfolge eine Rolle, da der 3. Platz zum Beispiel besser ist als der 97. Allerdings kann es keine Wiederholung geben, ansonsten würde eine Person mehrere Plätze belegen können.
b) Dafür verwendest Du die bekannte Formel und setzt für n die Zahl 100 ein. Außerdem entspricht k der Zahl 3.
Variation – Das Wichtigste
- Die Permutation trifft zu, falls alle Objekte aus der Grundmenge verwendet werden. Für eine "Stichprobe" werden die Variation und Kombination unterschieden. Für alle drei Konzepte gibt es die Unterscheidung ob mit oder ohne Wiederholung.
- Die Kombination wählst Du dafür, falls die Reihenfolge keine Rolle spielt, bei einer Variation ist sie entscheidend.
- Die Variation mit Wiederholung lässt sich über die Formel nk berechnen. Dabei können pro weiteren Schritt immer alle Objekte gewählt werden.
- Die Variation ohne Wiederholung berechnet sich über die Formel .
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