Bernoulli Verteilung

Schon mal eine Münze geworfen und gehofft, dass oben die Zahl liegen bleibt? Ganz bestimmt, oder? Ein Münzwurf ist eines der einfachsten Zufallsexperimente und ebenfalls ein Beispiel für ein Bernoulli-Experiment.

Zufallsexperimente

Ohne es zu wissen, hast du sicher bereits schon selbst Zufallsversuche durchgeführt. Das kann beispielsweise ein Münzwurf sein oder auch das Würfeln eines Würfels. Weißt du noch, wie solche Experimente mathematisch definiert sind?

Allgemeines Zufallsexperiment

Der Wurf eines Würfels ist ein klassisches Zufallsexperiment.

Mathematisch können wir dies wie folgt definieren:

In der Ergebnismenge $\Omega$werden alle möglichen Versuchsausgänge (=Ergebnisse) des Zufallsexperiments zusammengefasst. Die Einzelergebnisse werden auch als Elementarereignis $\omega$ bezeichnet. Möglich ist dabei auch, einzelne Elementarereignisse $\omega$ zu einer Teilmenge A, dem sogenannten Ereignis, zusammenzufassen.

Und was genau ist jetzt ein Bernoulli-Experiment?

Das Bernoulli-Experiment

Ein Würfelwurf kann sechs mögliche Ausgänge liefern, nämlich die Augenzahl 1 bis 6 des Würfels. Dies ist kein Bernoulli-Experiment, da ein Bernoulli-Experiment eine Besonderheit aufweist:

Das Zufallsexperiment eines Würfelwurfs liefert sechs verschiedene Ausgänge.

$\Omega =\{1;2;3;4;\hspace{0.17em}5;6\}$

Dies entspricht demnach nicht der Definition eines Bernoulli-Experiments. Es wäre aber möglich, das Zufallsexperiment eines Würfels so abzuwandeln, dass wir doch noch ein Experiment nach Bernoulli erhalten. Wie? Sehen wir uns das zusammen an.

Wenn du dieses wichtige Kriterium schon verinnerlicht hast, dann hast du bereits den Kernpunkt eines

Bernoulli-Experimentes kennengelernt. Schauen wir uns das Ganze doch mal anhand eines weiteren Beispiels für ein Bernoulli Experiment an.

Ein Bernoulli-Experiment darf also nur zwei mögliche Ausgänge besitzen.

Was jetzt aber für Beschreibung eines solchen Experiments noch fehlt, ist die Frage, wie wahrscheinlich ein Ereignis eintrifft. Wie wahrscheinlich ist es denn, beispielsweise eine Augenzahl von 3 zu würfeln oder nicht?

Wahrscheinlichkeiten und Zufallsvariable

Die Wahrscheinlichkeiten geben bei einem Zufallsexperiment Auskunft darüber, wie wahrscheinlich ein Ereignis eintritt oder nicht.

Wahrscheinlichkeiten eines Bernoulli-Experiments

Wir haben bereits Lose gezogen und gewürfelt, uns jedoch nicht gefragt, wie wahrscheinlich es eigentlich ist, dass wir beispielsweise eine Würfelzahl von 3 erhalten. Am einfachsten lassen sich solche Wahrscheinlichkeiten mithilfe eines Baumdiagramms erklären. Sehen wir uns dazu ein weiteres Beispiel an.

Mathematisch können wir die Wahrscheinlichkeiten des Bernoulli-Experiments wie folgt zusammenfassen und definieren:

Die Wahrscheinlichkeiten eines Bernoulli-Experiments haben wir damit bereits ermittelt. Sehen wir uns zunächst noch die Zufallsgröße an.

Zufallsgröße eines Bernoulli-Experiments

Rechnen lässt es sich mit Wörtern oder Symbolen schlecht. Unsere Ergebnisse ${\omega }_m$ in der Ergebnismenge $\Omega$haben wir bisher mit Worten beschrieben wie "Erfolg" oder "Misserfolg". In der Mathematik ist es aber von Vorteil, solche Ergebnisse einer reellen Zahl x zuzuordnen. Dazu gibt es die sogenannte Zufallsgröße oder Zufallsvariable X.

Definiert wird sie formal wie folgt:

Für das Bernoulli-Experiment lassen sich ebenfalls reelle Zahlen zuordnen, für Erfolg und Misserfolg.

Demnach ordnen wir der Zufallsvariable X in einem Bernoulli-Experiment nur die Werte 1 und 0 zu, da wir nur zwei verschiedene Ausgänge erhalten können. Die Bernoulli-Verteilung wird manchmal deshalb auch

Null-Eins-Verteilung, alternativ Verteilung oder Boole-Verteilung genannt.

Mit diesem Wissen zu den Größen des Bernoulli-Experiments lassen sich verschiedene Funktionen ermitteln.

Wahrscheinlichkeitsfunktion einer bernoulliverteilten Zufallsgröße

Wie du bereits gesehen hast, können wir den Ergebnissen des Experiments verschiedene Wahrscheinlichkeiten zuordnen. Erweitern wir diese Formeln, so erhalten wir eine Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x). Sie ordnet jedem Wert $x_i$einer Zufallsvariable X eine Wahrscheinlichkeit P zu.

Diese Funktion lässt sich auch graphisch abbilden. Dabei existieren mehrere Darstellungsmöglichkeiten:

• Funktionsgraph
• Stabdiagramm
• Histogramm

Lass uns diese Möglichkeiten an einem Beispiel zeigen.

Sehen wir uns zur Übung noch ein weiteres Beispiel an.

Bei der Wahrscheinlichkeitsverteilung sind alle zutreffenden Wahrscheinlichkeiten einzeln betrachtet worden. Teilweise benötigt man aber auch zusammengesetzte Wahrscheinlichkeiten. Diese lassen sich mithilfe der Verteilungsfunktion F(x) darstellen.

Verteilungsfunktion einer bernoulliverteilten Zufallsgröße

Die sogenannte kumulative Verteilungsfunktion F(x) gibt an, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass das Ergebnis kleiner oder gleich x ist. Es ist eine Treppenfunktion mit Sprüngen in einer bestimmten Höhe. Was genau heißt das? Sehen wir es uns zusammen an.

Allgemein gilt für das Bernoulli-Experiment:

Damit du gleich ein besseres Verständnis für die Verteilungsfunktion F(x) eines Bernoulli-Experiments erhältst, sehen wir uns direkt ein Beispiel an.

Nachdem wir nun schon die Wahrscheinlichkeitsfunktion $f\left(x\right)$ und die Verteilungsfunktion $F\left(x\right)$ kennengelernt haben, tauchen wir noch ein wenig tiefer in das Thema ein. Nun beschäftigen wir uns nämlich noch mit ein paar Maßzahlen.

Bernoulli Verteilung – Erwartungswert

Der Erwartungswert E(X) spiegelt einen zukünftigen Mittelwert wider. Er nähert sich also einem bestimmten Erwartungswert E(X) an.

Warum erhalten wir im Falle des Bernoulli-Experiments als Erwartungswert $E\left(X\right)=p$? Dies können wir ganz einfach überprüfen.

Der x-Wert kann lediglich die Werte 0 und 1 annehmen. Wir erhalten also für die Wahrscheinlichkeiten P:

$$\begin{gathered} P(X=1)=p \\ P(X=0)=1-p \end{gathered}$$

In die Gleichung des Erwartungswertes eingesetzt, ergibt sich:

$E\left(X\right)=0·(1-p)+1·p=p$

Berechnen wir den Erwartungswert E(X) für unser Urnenbeispiel.

Zuletzt sehen wir uns noch die Varianz Var(X) und die Standardabweichung $\sigma$ zum Bernoulli-Experiment an.

Bernoulli Verteilung – Varianz und Standardabweichung

Wie du vielleicht schon weißt, ist die Varianz Var(X) ein Maß für die Streuung einer Zufallsgröße X. Mathematisch ist sie definiert durch:

Wir versuchen wieder die neu entstandene Formel für eine Bernoulli-Verteilung aus der allgemeinen Formel herzuleiten.

Mögliche Werte für x, P und E(X) sind:

$$\begin{gathered} x=0undx=1 \\ P(X=0)=1-pP(X=1)=p \\ \mu =E\left(X\right)=p \end{gathered}$$

Wir setzen in die allgemeine Gleichung ein und lösen auf:

$$\begin{gathered} Var\left(X\right)={(0-p)}^2·(1-p)+{(1-p)}^2·p \\ Var\left(X\right)=p^2-p^3+p-2p^2+p^3 \\ Var\left(X\right)=p-p^2 \\ Var\left(X\right)=p·(1-p) \end{gathered}$$

Nachdem wir die Formel für die Varianz Var(X) kennen, ist es ein leichtes noch die Standardabweichung herzuleiten, da für die Beziehung zwischen Standardabweichung $\sigma$ und Varianz Var(X) gilt:

${\sigma }^2=Var\left(X\right)$

Nun müssen wir lediglich die Wurzel ziehen, um die Standardabweichung berechnen zu können. Wir definieren also:

Da ein Bernoulli-Experiment immer nur zwei mögliche Ausgänge liefert, ist die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten und die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung f(x) sowie die Verteilungsfunktion F(x) noch relativ einfach. Was aber, wenn wir den Versuch nicht nur einmal durchführen, sondern n-fach? Dann erhalten wir eine Bernoulli-Kette. Sehen wir uns diese noch einmal genauer an.

Wiederholung eines Bernoulli-Experiments (Bernoulli-Kette)

Wie bereits erwähnt, können wir ein Bernoulli-Experiment n-fach wiederholen. Dann handelt es sich um eine Bernoulli-Kette mit der Länge n. Zur Erklärung führen wir das Beispiel eines Münzwurfs von oben fort.

So eine Aufgabenstellung lässt sich noch relativ einfach lösen. Was aber, wenn es komplizierter wird? Müssen wir dazu jedes Mal ein Baumdiagramm zeichnen und die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades ausrechnen? Nein, zum Glück nicht. Dazu gibt es einen einfacheren Weg.

Wir bedienen uns dazu dem Hilfsmittel des Binomialkoeffizienten $\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)$. Damit lassen sich die Pfade eines Baumdiagramms, die zu einem bestimmten Ausgang führen, ermitteln.

Die Zufallsgröße X gibt hierbei die Anzahl der Treffer k an. Wir sehen uns dazu gleich ein Beispiel an.

Hast du dich gefragt, wie sich diese Gleichung für die Wahrscheinlichkeit in den Taschenrechner eingeben lässt? Sieh dir dazu unsere Vertiefung an!

Für unser Beispiel der Bernoulli-Kette sehen wir uns noch kurz die Wahrscheinlichkeitsverteilung f(x) und die Verteilungsfunktion F(x) an.

Fassen wir die Ergebnisse unseres Beispiels noch einmal allgemein zusammen: