Vielleicht hast Du schon einmal Mensch-ärgere-Dich-nicht gespielt. Irgendwie scheint es manchmal eine Person zu geben, die ständig neu auf das Spielfeld gelangt, oder große Schritte gehen kann. Verdächtig, oder?
Dass solche Zufälle passieren, damit beschäftigt sich in der Mathematik die Varianz und die Standardabweichung. In diesem Zusammenhang fallen auch oft die Begriffe Binomialverteilung und Gleichverteilung. Für die Berechnung der Varianz gibt es eine Formel und auch die Bedeutung, Definition und Interpretation wirst Du hier lernen.
Varianz – Definition & Bedeutung
Die Varianz \(\boldsymbol{\sigma^2}\) einer Zufallsgröße \(X\) ist die quadratische Abweichung vom Erwartungswert \(\boldsymbol{\mu}\) eines Zufallsexperiments.
Das heißt, die Varianz gibt an, wie weit die möglichen Werte im Mittel vom Erwartungswert entfernt sind.
Je weniger die möglichen Ergebnisse Deines Zufallsexperiments dabei vom Erwartungswert abweichen, desto niedriger ist die Varianz.
Varianz Formel
Wenn Du eine Datenreihe bzw. eine Wahrscheinlichkeitsverteilung gegeben hast, kannst Du die Varianz davon berechnen.
Formel für die Varianz:
\begin{align} \operatorname{Var}(X) =\sigma^2&=\sum_{i=1}^n\left(x_i-\mu\right)^2 \cdot p_i \\ &=\left(x_1-\mu\right)^2 \cdot p_1+\left(x_2-\mu\right)^2 \cdot p_2+\ldots+\left(x_n-\mu\right)^2 \cdot p_n \end{align}
Mit
- Wert des jeweiligen Ergebnisses \(x_i\)
- Erwartungswert \(\mu\)
- jeweilige Wahrscheinlichkeit \(p_i\)
\(\sigma^2\) ist dabei die Standardabweichung.
Der Erwartungswert bleibt dabei immer identisch, nur der Wert des Ergebnisses und dessen Wahrscheinlichkeit ändern sich jeweils.
Varianz Interpretation
Hast Du den Wert der Varianz berechnet, kannst Du mit dessen Hilfe erkennen, wie stark die Werte um den Erwartungswert (der auch oftmals der Mittelwert ist) streuen.
Die Varianz zeigt die Streuungstärke der Werte um den Erwartungswert an.
Du kannst anhand der Varianz also sagen, ob die Werte eher auf dem Erwartungswert liegen, oder ob viele davon um den Erwartungswert herum liegen. Mit der Varianz lässt sich gut das Streuungsverhalten verschiedener Datenreihen miteinander vergleichen.
\( \definecolor{bl}{RGB}{20, 120, 200} \definecolor{gr}{RGB}{0, 220, 180} \definecolor{r}{RGB}{250, 50, 115} \definecolor{li}{RGB}{131, 99, 226} \definecolor{ge}{RGB}{255, 205, 0} \)Im Mensch-Ärgere-Dich-Nicht liegt der Erwartungswert des Würfelwurfs bei \(3{,}5\). Würfelt ein Spieler oft eine Augenzahl nahe am Erwartungswert, also \(3\) oder \(4\), dann ist die Varianz klein. In Abbildung 1 entspricht dieser Fall dem Graphen \(\color{bl}f(x)\). Du kannst sehen, dass die Augenzahlen \(3\) und \(4\) im Vergleich zu den restlichen Augenzahlen sehr oft vorkommen. Die Varianz ist also klein. Eine große Varianz liegt dagegen beim Graphen von \(\color{gr}g(x)\) vor, da hier auch die Augenzahlen \(1\) und \(6\) relativ häufig gewürfelt werden. Diese Kurve passt dementsprechend zu dem Spieler, der häufig Sechser würfelt.
Abb. 1 - Varianz interpretieren am Beispiel.
Eine große Varianz erkennst Du an einer flachen Kurve und eine kleine Varianz an einer spitzen Kurve.
Unterschied Varianz und Standardabweichung
Falls Du schon die Standardabweichung kennst, ist Dir vielleicht aufgefallen, dass sich Varianz und Standardabweichung gegenseitig beeinflussen.
Ist die Varianz groß, so ist auch die Standardabweichung groß, da eine flache Kurve automatisch breiter wird. Umgekehrt ist die Standardabweichung klein, wenn die Varianz klein ist.
| Varianz | Standardabweichung |
| Streuungsstärke | Streuungsbreite |
| \(\sigma^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar{x}\right)^2\) | \(\sigma=\sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar{x}\right)^2}\) |
| Wie stark sind die Werte gestreut? | Wie breit ist die Streuung? |
| Ein Spieler würfelt \(6\) Mal und erhält dabei jede Augenzahl genau einmal. Die Streuung ist hierbei stark, weil er jede Augenzahl gleich oft würfelt. Wenn er \(6\) mal die \(3\) würfelt, ist die Streuung schwach, da sich die Verteilung auf eine Zahl konzentriert. | Analog zur starken Streuungsstärke wird auch die Streuungsbreite weiter, weil sie sich von \(1\) bis \(6\) erstreckt. Umgekehrt wird sie eng, wenn die Streuung schwach ist. |
Varianz berechnen – besondere Anwendungsfälle
Im Normalfall kannst Du die oben angesprochene Formel verwenden und die gegebenen Werte einsetzen. Es gibt allerdings ein paar besondere Fälle.
Varianz Gleichverteilung
Wie der Name schon sagt, ist die Gleichverteilung gleich verteilt, das heißt, die Zufallsvariable ist in jedem Durchgang gleich groß. Hast Du eine diskrete Gleichverteilung, so kannst Du wie gewohnt die Formel für die Varianz anwenden. Anders sieht das bei einer stetigen Gleichverteilung aus, denn hier hast Du unendlich viele Werte gegeben, die Du unmöglich alle in die Formel einsetzen kannst.
Die Varianz einer stetigen Gleichverteilung wird berechnet mit:
\[\sigma^2=\frac{(b-a)^2}{12} \]
Dabei sind \(a\) und \(b\) die obere und untere Grenze des Intervalls.
Der Erwartungswert wird hier nicht gebraucht.
Nicht abzählbare Dinge sind zum Beispiel die Zeit oder Regentropfen, die in verschiedene Behälter fallen.
Bei der Gleichverteilung herrscht eine hohe Varianz, da die Werte gleich verteilt sind – also alle Werte gleich oft vorkommen, bzw. dieselbe Wahrscheinlichkeit besitzen.
Ein Beispiel zur Varianz gleich verteilter Werte findest Du in der Erklärung zur Gleichverteilung.
Varianz Binomialverteilung
Auch bei der Binomialverteilung kannst Du nicht einfach die allgemeine Formel der Varianz verwenden.
Die Varianz der Binomialverteilung entspricht der Formel
\[\sigma^2=n \cdot p \cdot(1-p)\]
mit:
- \(n:\) Anzahl Durchführungen
- \(k:\) gewünschte Trefferanzahl
Wie auch bei der Gleichverteilung spielt der Erwartungswert hier keine Rolle.
Möchtest Du noch mehr über die Binomialverteilung erfahren, schaue doch gerne bei dieser Erklärung vorbei.
Varianz geometrische Verteilung
Die Geometrische Verteilung ist ebenso ein Bernoulli Experiment, bei dem mit einer Erfolgswahrscheinlichkeit \(p\) dieses Experiment immer wieder wiederholt wird, bis der Erfolg eintritt.
Die Varianz für die geometrische Verteilung ist:
\[\sigma^2=\frac{(1-p)}{p^2}\]
Für die Berechnung der Varianz benötigst Du hier also nur die Wahrscheinlichkeit \(p\).
Varianz – Beispiel
Hier findest Du nun noch ein paar Beispiele bzw. Aufgaben zur Varianz.
Varianz – Aufgabe 1
Du wirfst einen Würfel einmal. Bestimme die Varianz.
Lösung
Die Formel der Varianz lautet:
\[ \sigma^2 =\sum_{i=1}^n\left(x_i-\mu\right)^2 \cdot p_i \]
Du benötigst also zuerst den Erwartungwert.
\begin{align}\mu & =\sum_{i=1}^nx_i\cdot P(X=x_i) \\ & = 1\cdot\frac{1}{6}+2\cdot\frac{1}{6}+3\cdot\frac{1}{6}+4\cdot\frac{1}{6}+5\cdot\frac{1}{6}+6\cdot\frac{1}{6} \\[0.2cm] & =3{,}5\end{align}
Nun kannst Du in die Formel einsetzen:
\begin{align} \sigma^2 &=\sum_{i=1}^n\left(x_i-\mu\right)^2 \cdot p_i \\ &= (1-3{,}5)^2 \cdot \frac{1}{6} + (2-3{,}5)^2 \cdot \frac{1}{6} + (3-3{,}5)^2 \cdot \frac{1}{6} + (4-3{,}5)^2 \cdot \frac{1}{6} + (5-3{,}5)^2 \cdot \frac{1}{6} + (6-3{,}5)^2 \cdot \frac{1}{6} \\[0.2cm] & = \frac{35}{12} \\[0.2cm] & = 2{,}91 \overline{6} \end{align}
Die Varianz liegt somit bei \(2{,}91 \overline{6}\) für einen Versuch.
Varianz – Aufgabe 2
Beim Würfeln kannst Du für die Augenzahl \(5\) zwei Euro gewinnen und für die Augenzahl \(6\) drei Euro. Allerdings wirst Du bei den Zahlen \(1\) bis \(4\) jeweils zwei Euro bezahlen. Berechne die Varianz.
Lösung
Zuerst benötigst Du den Erwartungswert. Hier interessieren aber nicht die Augenzahlen, sondern der Geldbetrag, den Du jeweils gewinnst oder verlierst.
\begin{align}\mu & =\sum_{i=1}^nx_i\cdot P(X=x_i) \\ & = -2\cdot\frac{1}{6}-2\cdot\frac{1}{6}-2\cdot\frac{1}{6}-2\cdot\frac{1}{6}+2\cdot\frac{1}{6}+3\cdot\frac{1}{6} \\[0.2cm] & =-0{,}5\end{align}
Nun kannst Du die Varianz berechnen:
\begin{align} \sigma^2 &=\sum_{i=1}^n\left(x_i-\mu\right)^2 \cdot p_i \\ &= (-2+5{,}5)^2 \cdot \frac{1}{6} + (-2+5{,}5)^2 \cdot \frac{1}{6} + (-2+5{,}5)^2 \cdot \frac{1}{6} + (-2+5{,}5)^2 \cdot \frac{1}{6} + (2+5{,}5)^2 \cdot \frac{1}{6} + (3+5{,}5)^2 \cdot \frac{1}{6} \\[0.2cm] & = \frac{47}{12} \\[0.2cm] & = 3{,}91 \overline{6} \end{align}
Hier ist die Varianz \(3{,}91 \overline{6}\).
Varianz – Aufgabe 3
Es wird ein gleiches Zufallsexperiment zweimal durchgeführt. Es resultieren folgende Varianzen:
- \(\sigma_1^2=12{,}5\)
- \(\sigma_2^2=49\)
Interpretiere diese Zahlen.
Lösung
Die Streuung des \(2.\) Experiments ist größer, als die des \(1.\), das heißt im \(1.\) Zufallsexperiment liegen die mehr Ergebnisse auf dem Erwartungswert, als im \(2.\) Experiment. Umgekehrt liegen im \(2.\) Experiment viele Ergebnisse nicht auf dem Erwartungswert.
Varianz einer Zufallsgröße - Das Wichtigste
- Als Varianz einer Zufallsgröße X wird die quadratische Abweichung vom Erwartungswert in der Stochastik bezeichnet.
- Die Varianz einer Zufallsgröße X berechnet sich über die Formel:\begin{align} \operatorname{Var}(X) =\sigma^2&=\sum_{i=1}^n\left(x_i-\mu\right)^2 \cdot p_i \\ &=\left(x_1-\mu\right)^2 \cdot p_1+\left(x_2-\mu\right)^2 \cdot p_2+\ldots+\left(x_n-\mu\right)^2 \cdot p_n \end{align}
- Sonderfälle:
- Gleichverteilung:\[\sigma^2=\frac{(b-a)^2}{12} \]
- Binomialverteilung:\[\sigma^2=n \cdot p \cdot(1-p)\]
- Geometrische Verteilung:
Nachweise
- Meintrup; Schäffler (2006). Stochastik Theorie und Anwendungen. Springer Berlin Heidelberg.
- Behrends (2012). Elementare Stochastik Ein Lernbuch - von Studierenden mitentwickelt. Vieweg+Teubner Verlag.
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