Stell Dir vor, Du schreibst einen Multiple-Choice-Test. Es gibt 6 Fragen und jede Frage hat 4 Antwortmöglichkeiten, von denen genau eine richtig ist. Du möchtest schnell fertig werden und liest Dir die Antwortmöglichkeiten gar nicht durch, sondern setzt zufällig je ein Kreuz bei jeder Frage. Wie wahrscheinlich ist es dann, dass Du den Test nicht bestehst, da Du höchstens 3 Fragen richtig beantwortet hast?
Diese Situation kannst Du als Zufallsexperiment auffassen, da Du die Kreuze zufällig setzt. Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette der Länge 6. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist eine kumulierte Binomialverteilung.
Kumulierte Binomialverteilung – Erklärung
Kumulierte Wahrscheinlichkeiten
Addierst Du verschiedene Wahrscheinlichkeiten, so erhältst Du eine kumulierte Wahrscheinlichkeit. Wenn Du beispielsweise die Wahrscheinlichkeit für 3, 4 oder 5 Treffer berechnen willst, kannst Du die einzelnen Wahrscheinlichkeiten addieren.\[P(3\leq X\leq 5)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)\]
Dies ist eine kumulierte Wahrscheinlichkeit. Ist die zugrundeliegende Wahrscheinlichkeitsverteilung binomialverteilt, so ist es eine kumulierte Binomialverteilung.
Kumulierte Binomialverteilung – Definition und Formel
Mit der kumulierten Binomialverteilung berechnest Du die Wahrscheinlichkeit für höchstens k Treffer. Dazu summierst Du die Wahrscheinlichkeiten für jede einzelne Trefferanzahl, beginnend bei der 0, auf.
Für eine binomialverteilte Zufallsgröße X ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens k Treffer\[P(X\leq k)= P(X=0) + P(X=1)+\dots+P(X=k)\]
Häufig wird dies mit einem Summenzeichen zusammengefasst:\[P(X\leq k) = \sum_{i=0}^k P(X= i) =\sum_{i=0}^k\begin{pmatrix}n\\i\end{pmatrix}\cdot p^i\cdot(1-p)^{n-i}\]
Diese kumulierte Verteilungsfunktion wird häufig auch als \(F_{n;p}(k)\)geschrieben. Es gilt \[F_{n;p}(k) = P(X\leq k)\]
Für kleine k kannst Du die Summe mithilfe Deines Taschenrechners bestimmen.
Erinnere Dich an das Einstiegsbeispiel:
Du schreibst einen Multiple-Choice-Test. Es gibt 6 Fragen und jede Frage hat 4 Antwortmöglichkeiten, von denen genau eine richtig ist. Du möchtest schnell fertig werden und liest Dir die Antwortmöglichkeiten gar nicht durch, sondern setzt zufällig je ein Kreuz bei jeder Frage. Wie wahrscheinlich ist es dann, dass Du den Test nicht bestehst, da Du höchstens 3 Fragen richtig beantwortet hast?
Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit dafür, höchstens drei Treffer zu haben. Das Zufallsexperiment ist eine Bernoulli-Kette der Länge n = 6. Betrachtest Du nur eine Frage mit 4 Antwortmöglichkeiten, ist die Wahrscheinlichkeit für zufällig eine richtige Antwort p = 0,25.
Das Ereignis "drei Fragen richtig beantwortet", also "höchstens drei Treffer" setzt sich zusammen aus "kein Treffer", "genau ein Treffer", genau zwei Treffer" und "genau drei Treffer". Deswegen addierst Du die Wahrscheinlichkeiten für diese einzelnen Möglichkeiten.
Die einzelnen Wahrscheinlichkeiten berechnest Du, indem Du die Werte für n, k und p in die Formel für Bernoulli-Ketten einsetzt.\begin{align}F_{6;0,25}(2)&=P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)\\&=\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix} \cdot 0{,25}^0\cdot(1-0{,}25)^{6-0}+\begin{pmatrix}6\\1\end{pmatrix} \cdot 0{,25}^1\cdot(1-0{,}25)^{6-1}+\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix} \cdot 0{,25}^2\cdot(1-0{,}25)^{6-2}\\&=0{,}1779 + 0{,}3559 + 0{,}2966\\&=0{,}8304\end{align}
Die Wahrscheinlichkeit für höchstens drei richtige Antworten ist 0,8304.
Da sich die kumulierte Wahrscheinlichkeit aus drei Summen zusammensetzt, berechnest Du hier bereits drei einzelne Wahrscheinlichkeiten. Wenn die maximale Trefferanzahl größer wird, müsstest Du noch mehr Wahrscheinlichkeiten bestimmen.
Das Summenzeichen verwendest Du in der Mathematik, um Summen mit mehreren Summanden übersichtlicher und zusammengefasst darzustellen. Du kannst es aber nur anwenden, wenn sich die einzelnen Summanden nur in einer Variablen unterscheiden.
An dem Summenzeichen stehen Zahlen und Buchstaben, die verschiedene Bedeutungen haben.
Abbildung 1: Summenzeichen mit Beschriftungen
Das unterhalb des Summenzeichens ist die Laufvariable. Du findest sie in jedem Summanden wieder. Dort nimmt sie jeweils einen anderen Wert an. Sie läuft durch.
Auf der anderen Seite des Gleichheitszeichens unter der Summe steht der Startwert. Dies ist der erste Wert, den die Laufvariable annimmt. Hier ist es die 0. Der Startwert wird auch untere Grenze genannt.
Oberhalb des Summenzeichens steht der Endwert. Dies ist der größte Wert, den die Laufvariable annimmt. Danach wird kein weiterer Summand gebildet. Hier ist der Endwert k. Häufig ist der Endwert aber eine Zahl.
Neben dem Summenzeichen steht die Funktion, die von der Laufvariablen abhängt. Mit ihr bildest Du jeden Summanden, indem Du für die Laufvariable eine Zahl einsetzt.
Die Summe \(\sum_{i=1}^k a_i\) kannst Du wie folgt aussprechen: "Die Summe über ai von i gleich 1 bis k."
Für eine Binomialverteilung mit n=10 und p=0,3 ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens k=4 Treffer gesucht. Sie ist eine Summe aus den Wahrscheinlichkeiten P(X=0), P(X=1), P(X=2), P(X=3), P(X=4). Dies kannst Du mit einem Summenzeichen zusammenfassen.\begin{align}P(X\leq k)&= P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)\\&=\sum_{i=0}^4P(X=i)\end{align}
Im Beispiel kannst Du erkennen, dass die Schreibweise mit dem Summenzeichen deutlich kürzer ist.
Kumulierte Binomialverteilung – Wahrscheinlichkeit aus Tabelle ablesen
Glücklicherweise gibt es eine andere Möglichkeit, als die kumulierte Wahrscheinlichkeit einer Binomialverteilung mit vielen Summanden zu berechnen. In Deiner Formelsammlung (oder Tafelwerk) findest Du für viele verschiedene p und n eine Tabelle mit den kumulierten Wahrscheinlichkeiten. Suche für das richtige p und n die Wahrscheinlichkeit für höchstens k Treffer in der Tabelle und lies sie ab.
Um den richtigen Wert abzulesen, suchst Du im ersten Schritt die Tabelle für die Länge n der Bernoulli-Kette. Achte bei der Wahl der Tabelle darauf, dass es Tabellen für Binomialverteilungen und für kumulierte Binomialverteilungen gibt. Manchmal heißen die kumulierten Binomialverteilungen auch summierte Binomialverteilungen.
In Abbildung 2 findest Du eine Tabelle für die kumulierte Binomialverteilung mit n = 10.
Abbildung 2: Wertetabelle zur kumulierten Binomialverteilung mit n=5
Jetzt wählst Du die Spalte mit der richtigen Wahrscheinlichkeit aus, zum Beispiel p = 0,1. Nun bestimmst Du die Zeile mit dem richtigen k und liest die Wahrscheinlichkeit ab. Für k=2 kannst Du beispielsweise ablesen, dass \(P(X\leq 2) = 0{,}9298\) ist.
Wenn die Wahrscheinlichkeit p oberhalb der Tabelle steht, bestimmst Du das k auf der linken Seite und kannst die Wahrscheinlichkeit direkt ablesen. Wahrscheinlichkeiten p > 0,5 stehen unterhalb der Tabelle. Hier ist das zugehörige k rechts von der Tabelle aufgeführt. Um die gesuchte Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, rechnest Du 1 minus die gegebene Wahrscheinlichkeit. Für größere n gibt es Werte für k, die nur auf der rechten Seite stehen.
Leere Felder bedeuten, dass die Wahrscheinlichkeit auf vier Nachkommastellen gerundet 1 ergibt.
Beachte, dass es auch Tabellen gibt, in denen die Zahl vor dem Komma nicht mit angegeben wird. Dort steht dann zum Beispiel nicht 0,9298, sondern nur 9298.
Wenn Du einen grafikfähigen Taschenrechner hast, kannst Du häufig die Tabellen für kumulierte Binomialverteilungen auch mit dem Taschenrechner erzeugen. Auch kannst Du mit diesem Taschenrechner die Summen direkt berechnen.
Rechenregeln für kumulierte Wahrscheinlichkeiten
Mit P(X < k) bestimmst Du die Wahrscheinlichkeit für höchstens k Treffer. Es gibt aber auch Situationen und Aufgaben, bei denen die Wahrscheinlichkeit für mindestens k Treffer, weniger als k Treffer oder mehr als k Treffer gesucht ist.
Mit den Rechenregeln für kumulierte Wahrscheinlichkeiten kannst Du diese berechnen.
Kumulierte Binomialverteilung – weniger als k Treffer
Wenn Du die Wahrscheinlichkeit für weniger als k Treffer einer binomialverteilten Zufallsgröße bestimmen möchtest, ist \(P(X < k)\) gesucht. Im Unterschied zu höchstens k Treffer ist hier X echt kleiner als k und nicht kleiner oder gleich k.
Was ist nun rechnerisch der Unterschied zwischen \(P(X < k)\) und \(P(X \leq k)\)?
\(P(X\leq k)\) enthält die Wahrscheinlichkeit \(P(X= k)\) für genau k Treffer. \(P(X< k)\) enthält diese Wahrscheinlichkeit nicht, da weniger als k Treffer auch bedeutet, dass es nicht genau k Treffer sein dürfen. Daher ist\[P(X<k)=P(X=0)+P(X=1)+\dots+P(X = k -1 )\]Es fehlt gewissermaßen der letzte Summand. Diese Summe kannst Du aber auch anders zusammenfassen.\[P(X=0)+P(X=1)+\dots+P(X = k -1 )=P(X\leq k-1\]
Für eine kumulierte Binomialverteilung \(F_{n; p}(k)\) entspricht die Wahrscheinlichkeit für weniger als k Treffer genau der Wahrscheinlichkeit für höchstens k-1 Treffer.\[P(X<k)=P(X\leq k-1)\]
Wenn Du die kumulierte Wahrscheinlichkeit für weniger als k Treffer bestimmen willst, liest Du in der zugehörigen Tabelle die Wahrscheinlichkeit für höchstens k-1 Treffer ab.
Du wirfst 25 Mal eine Münze und erzielst einen Treffer, wenn Kopf oben liegt. Die Zufallsgröße ist binomialverteilt und beschreibt die Anzahl an Treffern.
Es soll die Wahrscheinlichkeit für weniger als 10 Treffer bestimmt werden:\[P(X < 10)\]
Um die Wahrscheinlichkeit in der Tabelle ablesen zu können, schreibst Du sie um.\[P(X<10) = P(X\leq 9)\]Jetzt liest Du in der Tabelle für kumulierte Binomialverteilungen mit n = 25, p = 0,5 den Wert für k bei 9 ab.\[P_{0{,}5}^{25}(X\leq 9)\]
Die Wahrscheinlichkeit für weniger als 10 Treffer ist 0,1148.
Kumulierte Binomialverteilung – mindestens k Treffer
Du kannst bei einer Binomialverteilung auch die Wahrscheinlichkeit für mindestens k Treffer bestimmen, also \(P(X\geq k)\).
Rechnerisch ist\[P(X\geq k) = P(X=k) + P(X=k+1) + \dots + P(X=n)\]
Wenn die Summe aus wenigen Summanden besteht, kannst Du die Wahrscheinlichkeit für mindestens k Treffer so berechnen.
Hat die Summe jedoch viele Summanden, ist das Berechnen aufwendig und das Ablesen aus der Tabelle bietet sich an.
In den Tabellen sind aber keine Wahrscheinlichkeiten für mindestens k Treffer aufgeführt. Du rechnest daher \(P(X\geq k)\) um. Erinnere Dich dabei zuerst daran, dass Du die Wahrscheinlichkeit für ein Gegenereignis \(\bar E\) mit \(P(\bar{E})=1-P(E)\) berechnen kannst.
Das Gegenereignis zu "mindestens k Treffer ist "weniger als "k Treffer". Deswegen kannst Du die Wahrscheinlichkeit für "mindestens k Treffer" berechnen, indem Du die Wahrscheinlichkeit für "weniger als k Treffer" bestimmst und von der 1 abziehst.
Im vorherigen Abschnitt hast Du gelernt, dass die Wahrscheinlichkeit für weniger als k Treffer genau der Wahrscheinlichkeit für höchstens k-1 Treffer entspricht.
Für eine binomialverteilte Zufallsgröße X, mit den Parametern n und p, berechnest Du die Wahrscheinlichkeit für mindestens k Treffer mit\begin{align}P(X \geq k)& = 1 - P(X < k)\\&=1-P(X\leq k-1)\end{align}
Diese Umformung hat den Vorteil, dass Du \(P(X\leq k-1)\) in der Tabelle für kumulierte Binomialverteilungen ablesen kannst.
Du wirfst 25 Mal eine Münze und erzielst einen Treffer, wenn Kopf oben liegt. Die Zufallsgröße X ist binomialverteilt und beschreibt die Anzahl an Treffern.
Es soll die Wahrscheinlichkeit für mindestens 15 Treffer bestimmt werden. Um aus der Tabelle ablesen zu können, rechnest Du um:\begin{align}P(X\geq 15) &= 1 - P(X<15)\\ &= 1-P(X \leq 14)\end{align}
\(P(X\leq 14)\) mit n = 25, p = 0,5 kannst Du in der zugehörigen Tabelle für kumulierte Binomialverteilungen ablesen.
Es ist\[P_{0{,}5}^{25}(X\leq 14) = 0{,}7878\]
Und somit ist\[P(X\geq 15) = 1- 0{,}7878 = 0{,}2122\]Die Wahrscheinlichkeit beim 25-maligen Werfen einer Münze mindestens 15-mal Kopf zu werfen ist 0.2122
Kumulierte Binomialverteilung – mehr als k Treffer
Wenn Du bei einer Binomialverteilung die Wahrscheinlichkeit für mehr als k Treffer bestimmen willst, ist P(X > k) gesucht.
Auch hier ist der Unterschied zu "mindestens k Treffer", dass die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer bei P(X > k) nicht enthalten ist.
Besteht die Summe nur aus wenigen Summanden, so kannst Du \(P(X > k)\) berechnen:\[P(X > k) = P(X=k+1) + P(X = k + 2)+\dots+P(X=n)\]
Ist die Differenz zwischen k und n allerdings relativ groß, so rechnest Du P(X > k) um, sodass Du aus der Tabelle ablesen kannst. Das Gegenereignis zu "mehr als k Treffer" ist "höchstens" k Treffer.
Für eine Binomialverteilung mit Zufallsvariable X berechnest Du die Wahrscheinlichkeit für mehr als k Treffer mit\[P(X > k) = 1 - P(X\leq k)\]
Die Wahrscheinlichkeit \(P(X \leq k) kannst Du in der zugehörigen Tabelle für kumulierte Binomialverteilungen ablesen.
Du wirfst 25 Mal eine Münze und erzielst einen Treffer, wenn Kopf oben liegt. Die Zufallsgröße X ist binomialverteilt und beschreibt die Anzahl an Treffern.
Es soll die Wahrscheinlichkeit für mehr als 20 Treffer bestimmt werden. Um aus der Tabelle ablesen zu können, rechnest Du um:\[P(X > 20) = 1 - P(X \leq 20)\]Aus der zugehörigen Tabelle liest Du ab:\[P(X\leq 20) = 0{,}9995\]
Daraus ergibt sich:\[P(X > 20) = 1 - 0{,}9995 = 0{,}0005\]
Die Wahrscheinlichkeit beim 25-maligen Werfen einer Münze mehr als 20-mal Kopf zu erhalten liegt bei 0,0005.
Kumulierte Binomialverteilung – Histogramm
Wahrscheinlichkeitsverteilungen kannst Du in einem Histogramm darstellen. Es ist eine Art Säulendiagramm. Auf der x-Achse wird jeder Wert, den die Zufallsvariable annehmen kann, abgetragen. Diesem x-Wert wird die zugehörige Wahrscheinlichkeit auf der y-Achse zugeordnet. Die Höhe der Säule entspricht dieser Wahrscheinlichkeit.
Histogramme kumulierter Binomialverteilungen haben ein spezielles Aussehen. In Abbildung 3 siehst Du das Histogramm der kumulierten Binomialverteilung mit n = 10 und p = 0,4.
Abbildung 3: Histogramm der kumulierten Binomialverteilung mit n=10 und p=0,4
Charakteristisch für das Aussehen von Histogrammen kumulierter Binomialverteilungen ist, dass jede Säule höher ist als die vorherige links davon. Die Wahrscheinlichkeiten werden summiert, bei jeder Säule kommt ein Summand hinzu. Außerdem ist in jedem Diagramm die Säule für k = n, also die letzte Säule, genau 1 hoch. Die Wahrscheinlichkeit bei einem n-stufigen Zufallsversuch höchstens n Treffer zu erzielen ist immer 1.
Kumulierte Binomialverteilung – Aufgaben
Die folgenden Aufgaben kannst Du nutzen, um das Rechnen mit kumulierten Binomialverteilungen zu üben.
Aufgabe 1
Du schreibst schon wieder einen Mutiple-Choice-Test. Diesmal gibt es aber 20 Aufgabe und jede Aufgabe hat wieder 4 Antwortmöglichkeiten, von denen genau eine richtig ist. Auch hier möchtest Du möglichst schnell fertig werden und liest Dir die Antwortmöglichkeiten gar nicht durch, sondern setzt zufällig je ein Kreuz bei jeder Frage.
Berechne die Wahrscheinlichkeit für höchstens 10 richtige Antworten.
Lösung
Jede einzelne Aufgabe ist ein Bernoulli-Experiment, da zufällig ausgewählt wird. Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer ist p = 0,25. Durch die 20 Aufgaben entsteht eine Bernoulli-Kette der Länge n = 20. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl an richtigen Antworten (Treffer). Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 10 Treffer.
Du bestimmst also die Wahrscheinlichkeit \(P(X \leq 10) = 0{,}9961\). Dies ist eine kumulierte Wahrscheinlichkeit einer Binomialverteilung.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit kannst Du aus einer Tabelle in Deiner Formelsammlung ablesen. Du benötigst die Tabelle für kumulierte Binomialverteilungen (summierte Binomialverteilungen) für n = 20. Jetzt wählst Du die Spalte p = 0,25 und liest den Wert für k = 10 ab.\[P(X\leq 10) = 0{,}9961\]
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,9961 hast Du höchstens 10 richtige Antworten gegeben.
Aufgabe 2
Lisa und Max spielen ein Spiel. Max wirft 25-Mal einen Würfel. Lisa landet einen Treffer, wenn eine 6 gewürfelt wird.
Bestimmte die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Lisa mindestens 6 Treffer hat.
Lösung
Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette der Länge n = 25 mit \(p=\frac{1}{6}\). Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Trefferanzahl und ist binomialverteilt.
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 6 Treffer.\[P(X\geq 6)\]Aus der Tabelle für kumulierte Binomialverteilungen kannst Du nur \(P(X \leq k)\) ablesen. Du formst daher so um, dass die Zufallsgröße kleiner-gleich einem Wert ist. Dazu verwendest Du das Gegenereignis. Das Gegenereignis zu \(X \geq 6\) ist \(X < 6\).\[P(X\geq 6) = 1 - P(X < 6)\]Nun formst Du weiter um, da \(X\) noch echt kleiner als 6 ist und nicht kleiner-gleich 6.\begin{align} P(X\geq 6) &= 1 - P(X < 6)\\&=1-P(X\leq 5)\end{align}
Jetzt liest Du den Wert P(X\leq 5) aus der Tabelle für kumulierte Binomialverteilungen mit n = 25 und \(\frac{1}{6}\) ab.\[P(X\leq 5) = 0{,}772\]
Es folgt\[P(X\geq 6) = 1 - 0{,}772 = 0{,}228\]
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Lisa mindestens 6 Treffer hat ist 0,228.
Kumulierte Binomialverteilung – Das Wichtigste
- Eine Zufallsvariable X ist binomialverteilt, wenn das zugrundeliegende Zufallsexperiment eine Bernoulli-Kette ist.
- Eine kumulierte Wahrscheinlichkeit ist die Summe von mehreren Wahrscheinlichkeiten.
- In einer Binomialverteilung wird häufig die Wahrscheinlichkeit für höchstens k Treffer betrachtet. Dies ist eine kumulierte Wahrscheinlichkeit.
- Die Wahrscheinlichkeit für höchstens k Treffer ist \[P(X\leq k) = \sum_{i=0}^kP(X=i) = \sum_{i=0}^{k}\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}\cdot p^i(1-p)^{n-i}\]
- Kumulierte Wahrscheinlichkeiten \(P(X\leq k)\) von Binomialverteilungen kannst Du in den Tabellen in Deiner Formelsammlung ablesen.
- Es gelten folgende Rechenregeln:
- weniger als k Treffer: \(P(X < k) = P(X \leq k -1)\)
- mindestens k Treffer: \(P(X \geq k) = 1 - P(X\leq k-1)\)
- mehr als k Treffer: \(P(X > k) = 1 - P(X\leq k)\)
Nachweise
- Baum et al. (2009). Lambacher Schweizer 11/12, Mathematik für Gymnasien, Gesamtband Oberstufe Niedersachsen. Ernst Klett Verlag.
- Becker et al. (2016). Formelsammlung bis zum Abitur - Mathematik - Physik - Astronomie - Chemie - Biologie - Informatik. Duden Schulbuchverlag.
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