Masse

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Masse gehört, wie andere fundamentale Größen, zum Einmaleins der Naturwissenschaften. Von der Physik über Chemie bis hin zur Biologie hat die Masse eine große Bedeutung. Aber wie genau ist Masse eigentlich definiert, was ist eine molare Masse und wie berechnet sich eine Masse?

Masse in der Physik

In der Welt der Physik geht es ständig um Masse. Von den fernsten Galaxien und Sternen, über das Gewicht Deines neuen Fahrrads bis zu den kleinsten Teilchen. Die Masse scheint stets eine große Rolle zu spielen. Diese Erklärung liefert Dir zusammengefasst alle wichtigen Informationen, die Du über die Masse benötigst.

Masse Definition

Masse umgibt Dich, wohin Du auch gehst oder schaust. Wenn Du im Training Gewichte hebst, oder mal wieder den Einkauf hochtragen musst, wird Dir ihre Wirkung umso mehr bewusst.

Masse ist eine grundlegende physikalische Größe und trägt das Formelzeichen m. Die SI-Einheit der Masse ist das Kilogramm (kg).

$[m] = 1 k g$

Weitere, aber nicht alle, oft verwendeten Einheiten sind das Gramm (g) und die Tonne (t):

$\begin{array}{rcl} 1 k g & = & 1000 g \\ 0, 001 k g & = & 1 g \\ 1 k g & = & 0, 001 t \\ 1000 k g & = & 1 t \end{array}$

Eine der Haupteigenschaften von Masse ist, dass die sowohl auf sie wirkenden, als auch verursachten Gravitationskräfte proportional zu ihr sind. Mehr dazu in der Erklärung über die Gravitationskraft.

Das Kilogramm als SI-Einheit wurde lange Zeit durch das Ur-Kilogramm definiert – ein Zylinder von 39 mm Durchmesser und Höhe, bestehend aus einer Platin-Iridium-Legierung. Allerdings ist dieses Referenznormal anfällig für Messfehler, weshalb auf der Generalkonferenz für Maß und Gewicht 2019 das Urkilogramm als Silizium Kugel neu definiert wurde, über die Planck-Konstante ђ.

Masse Urkilogramm Siliziumkugel Definition StudySmarter Abbildung 1: Silizium-Kugel als neues ReferenzkilogrammQuelle: ptb.de⁴

Masse und Gewichtskraft werden im Alltag häufig als Synonym verwendet. Dabei handelt es sich aber um verschiedene physikalische Größen. Die Masse m eines Körpers ist überall gleich. Die wirkende Gewichtskraft F_g jedoch hängt von der Anziehungskraft des Ortes ab. Wenn Du also auf der Erde 70 kg wiegst, sind es auf dem Mond nur noch 11,6 kg und im Weltraum wärst Du sogar komplett schwerelos.

In jedem dieser Fälle bleibt die Masse jedoch gleich, lediglich die Fallbeschleunigung g ist variabel, deswegen gilt:

$\begin{matrix} m & \neq & F_{g} \\ F_{g} & = & m \cdot g \end{matrix}$

Woher kommt aber eigentlich die Masse eines Körpers?

Masse Elektron

Ein Atom wird stets von Elektronen umkreist, welche eine Art Hülle um das Atom bilden.

Elektronen sind negativ geladene Elementarteilchen. Sie sind dafür verantwortlich, dass Strom fließen kann und bilden auf kleinster Ebene eine sogenannte Elektronenhülle um ein Atom. Auch ein so kleines Teilchen wie ein Elektron hat eine Masse, sie beträgt $m_{e} = 5, 485 \cdot 10^{- 31} k g$ – damit wiegen Elektronen nach menschlichen Maßstäben fast nichts.

Eine Modellvorstellung eines Elektrons siehst Du in Abbildung 2.

Masse Atomkern Elektron StudySmarter Abbildung 2: Atomkern mit AussenelektronenQuelle: pixabay.com³

Bei einer so geringen Masse kannst Du keine normale Waage verwenden, wie haben also Forschende die Masse bestimmen können?

In einer Penningfalle wird ein einzelnes Elektron mithilfe eines starken Magnetfeldes in Schwingung versetzt. Je nach Verlauf der Schwingung lässt sich über den Vergleich mit anderen geladenen Teilchen, deren Masse bekannt ist, die Masse des Elektrons sehr genau ableiten.

Masse Penningfalle Elektron StudySmarter Abbildung 3: PenningfalleQuelle: Johannes Gutenberg-Universität Mainz⁵

Jetzt kennst Du die Masse von Elektronen. Ein Atom besteht jedoch nicht nur aus Elektronen – die schwersten Teilchen befinden sich im Kern. Ein Proton beispielsweise ist viel massereicher als ein Elektron.

Masse Proton

Elektronen machen nur einen kleinen Teil der Masse eines Atoms aus, der mit Abstand größte Teil stammt von anderen Teilchen, den Protonen.

Der Kern eines Atoms ist 10.000-100.000-mal kleiner als das Atom selbst, enthält aber mehr als 99,9 % seiner Masse. Im Kern von Atomen befinden sich positiv geladene Protonen und ungeladene Neutronen, zusammen bilden sie den eigentlichen Kern, auch Nukleon genannt. Ein Proton hat die Masse von $m_{p} = 1, 007 \cdot 10^{- 27} k g$ .

Das Bild visualisiert Dir, wie die Größenverhältnisse auf atomarer Ebene aussehen können.

Masse Größenvergleich Atomkern Proton StudySmarter

Abb. 4 - Atomkern Größenvergleich

Das Volumen eines Atoms ist fast komplett leerer Raum, dennoch beeinflussen die Ladungen und Massen seines Kerns maßgeblich die Eigenschaften des Atoms.

Viele Stoffe bestehen allerdings nicht nur aus einzelnen Atomen, sondern aus Molekülen, welche wiederum aus vielen einzelnen Atomen bestehen. In der Chemie wird daher für die Masse von Stoffen zusätzlich noch der Begriff der Molmasse eingeführt.

Was ist aber eine molare Masse und wie kannst Du damit die Masse bestimmen?

Molare Masse

Materie besteht aus Atomen, welche die Basis der zugrundeliegenden Masse als kleinste Bausteine bilden. Jedoch sind nicht alle Atome gleich schwer, daher ordnet das Periodensystem die Elemente nach ihrer Kernladungszahl, also der Anzahl der Protonen im Kern. Die molare Masse richtet sich nach der Teilchenanzahl an sich.

Die molare Masse M eines Stoffes ist die Masse von genau einem Mol des Stoffes. Ein Mol ist eine definierte Anzahl n von Teilchen. Du berechnest die molare Masse als Quotient von Masse m und untersuchter Stoffmenge/Teilchenanzahl n:

$\begin{array}{rcl} M & = & \frac{m}{n} \\ mit Teilchenanzahl n & = & 6, 022 \cdot 10^{23} Teilchen = 1 m o l \end{array}$

Stoffe mit großen Molekülen oder Atomen, welche im Periodensystem eine große Ordnungszahl haben, besitzen eine größere Molmasse, da jedes Molekül einzeln schwerer ist.

Ein Molekül entspricht einer chemischen Verbindung aus mehreren einzelnen Atomen. Im Bereich der Kunststoffchemie gibt es Polymere, dessen Moleküle so lang werden können, dass molare Massen von 40 Tonnen pro Mol erreicht werden. Zum Vergleich: 1 Mol Eisen wiegt 55,85 Gramm.

Die molare Masse von Stoffen findet überall in der Chemie Verwendung, wo Reaktionen vorher genau simuliert und berechnet werden müssen, beispielsweise in der Pharmaindustrie, bei der Medikamentenherstellung.

Wie aber lautet die Formel für die Masse allgemein und wie lässt sie sich berechnen?

Masse Formel

Um die Masse eines Körpers bestimmen zu können, benötigst Du zwei Informationen. Das Volumen eines Körpers sowie seine Dichte reichen aus, um die Masse zu berechnen. Je nach Geometrie oder Material können sich diese Eigenschaften allerdings unterscheiden.

Die Masse m eines beliebigen Körpers kann berechnet werden aus dem Produkt seines Volumens V mit seiner Dichte ρ.

$\begin{matrix} m & = & V \cdot ρ \end{matrix}$

Dabei hat die Dichte die Einheit $\frac{k g}{m^{3}}$ und das Volumen die Einheit $m^{3}$ . Bei der Multiplikation kürzt sich das m³ weg und es bleibt nur noch die Masse übrig. Wichtig hierbei ist, dass Du die passende Volumenformel zu jedem Körper verwendest. Die wichtigsten Geometrien sowie ihre Volumenformeln findest Du hier zusammengefasst:

Körper	Formel für das Volumen V	Beispielbild
Würfel	$V = a^{3}$	Abb. 5 - Würfel Volumen
Kugel	$V = \frac{4}{3} \cdot π \cdot r^{3}$	Abb. 6 - Kugel Volumen
Zylinder	$V = r^{2} \cdot π \cdot h$	Abb. 7 - Zylinder Volumen
Pyramide	$V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h$	Abb. 8 - Pyramide Volumen

Mit diesen Grundlagen kannst Du ab jetzt die Masse berechnen.

Masse berechnen

Damit Du etwas Übung darin erhältst, schau Dir die nachfolgenden Beispiele an:

Aufgabe 1

Der Inhaber eines Juweliergeschäfts erhält von einem Geschäftspartner das Angebot, einen goldenen Würfel mit der Kantenlänge $a = 2 c m$ zum Preis von 10.000 € zu kaufen. Der Goldpreis zum Zeitpunkt des Angebots liegt bei $50 \frac{€}{g}$ und die Dichte von Gold beträgt $ρ = 19, 3 \frac{g}{c m^{3}}$ .

Berechne die Masse m und den Wert des Würfels und begründe, weshalb der Juwelier das Angebot annehmen oder ablehnen sollte.

Masse goldener Würfel berechnen StudySmarter Abbildung 9: Goldener WürfelQuelle: pixabay.com⁶

Lösung

Im ersten Schritt berechnest Du das Volumen des Würfels.

$V = a^{3} = 2^{3} c m^{3} = 8 c m^{3}$

Nun kannst Du mithilfe des Volumens und der Dichte das Gewicht des Würfels bestimmen:

$\begin{array}{rcl} m & = & V \cdot ρ \\ m & = & 8 c m^{3} \cdot 19, 3 \frac{g}{c m^{3}} \\ m & = & 154, 4 g \end{array}$

Um den Warenwert des Würfels zu bestimmen, multiplizierst Du als letzten Schritt das Gewicht des Würfels mit dem Goldpreis und ermittelst die Differenz zum Kaufpreis von 10.000€:

$\begin{array}{rcl} W a r e n w e r t & = & m \cdot 50 \frac{g}{€} \\ = & 154, 4 g \cdot 50 \frac{€}{g} = 7.720 € \\ W a r e n w e r t - K a u f p r e i s & = & 7.720 € - 10.000 € = - 2.280 € \end{array}$

Der Würfel ist 2.280 € weniger wert als der angebotene Kaufpreis. Er sollte das Geschäft nicht machen.

Du kannst die Massen von allen möglichen Objekten berechnen, das folgende Beispiel stammt aus dem antiken Ägypten:

Aufgabe 2

Die alten Pyramiden von Gizeh in Ägypten zählen zu den sieben Weltwundern. Bereits vor 4.500 Jahren war es den Menschen möglich, solch ein gewaltiges Bauwerk zu errichten.

Masse Cheopspyramiden berechnen StudySmarter Abbildung 10: CheopspyramidenQuelle: pixabay.com⁷

Die Kantenlänge des Grundrisses der Cheopspyramide beträgt $a = 230 m$ und sie hat die Höhe $h = 140 m$ .

a) Berechne die Masse m_P der Cheopspyramide, wenn Du annimmst, dass sie massiv ist und die Steine eine Dichte von $ρ = 2, 6 \frac{t}{m^{3}}$ haben.

b) Bestimme anschließend, wie viele Steine für den Bau verwendet wurden, wenn ein Stein ein Gewicht von $m_{S} = 50 t$ hat.

Lösung a

Im ersten Schritt berechnest Du das Volumen der Pyramide:

$\begin{array}{rcl} V & = & \frac{1}{3} \cdot G \cdot h \\ = & \frac{1}{3} \cdot 230^{2} m^{2} \cdot 140 m \\ \approx & 2.469.000 m^{3} \end{array}$

Nun kannst Du das Gewicht m_P der Pyramide berechnen:

$\begin{array}{rcl} m_{P} & = & V \cdot ρ \\ = & 2.469.000 m^{3} \cdot 2, 6 \frac{t}{m^{3}} \\ = & 6.419.400 t \end{array}$

Lösung b

Anschließend teilst Du die Masse der Pyramide durch das Gewicht eines Steines, um die Anzahl der Steine zu berechnen:

$\begin{array}{rcl} Anzahl der Steine & = & \frac{m_{P}}{m_{S}} \\ = & \frac{6.419.400 t}{50 t} \\ = & 128.388 \end{array}$

Die Cheopspyramide ist 6.419.400 t schwer und für dessen Bau wurden 128.388 Steine mit einem Gewicht von 50 t benötigt.

Wie Du siehst, kannst Du auch ganz praktisch viele Massen aus dem Alltag berechnen, wenn Du die richtigen Formeln verwendest.

Masse – Das Wichtigste

Die Masse ist eine fundamentale naturwissenschaftliche Größe
Masse trägt das Formelzeichen m und ihre SI-Einheit ist das Kilogramm (kg): $[m] = 1 k g$
Das ursprüngliche Ur-Kilogramm, ein Zylinder aus einer Platin-Iridium-Legierung, wurde 2019 ersetzt durch das neue Referenzkilogramm, einer Silizium-Kugel.
Die Masse eines Körpers ist überall gleich, lediglich seine Gewichtskraft ist abhängig von der Fallbeschleunigung des jeweiligen Ortes.
Der Kern von Atomen ist 10.000-100.000 Mal kleiner als das gesamte Atom, besitzt allerdings über 99,99 % seiner Masse.
- Elektronenmasse $m_{e} = 5, 485 \cdot 10^{- 31} k g$
- Protonenmasse $m_{p} = 1, 007 \cdot 10^{- 27} k g$
Die molare Masse M eines Stoffes entspricht der Masse bei einer Teilchenmenge von 1 mol der Teilchenanzahl $n = 6, 022 \cdot 10^{23}$ .
Die Formel der Masse in Abhängigkeit des Volumens und der Dichte lautet:

$\begin{matrix} m & = & V \cdot ρ \end{matrix}$

Nachweise

Isaac Newton (1687): Philosophiae Naturalis Principia Mathematica
Peter Mittelstaedt: Klassische Mechanik. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim 1994.
www.pixabay.com Atommodell (05.08.2022)
www.ptb.de : Referenzkilogramm Siliziumkugel (05.08.2022)
www.docplayer.org
www.pixabay.com : Goldener Würfel (05.08.2022)
www.pixabay.com : Pyramiden von Gizeh (05.08.2022)

Häufig gestellte Fragen zum Thema Masse

Es gibt viele Wege, eine Masse zu berechnen. Ein Weg wäre, die Masse eines Körpers über das Produkt seines Volumens V und seiner Dichte ρ zu bestimmen: m = V*ρ.

Die Atommasse in u entspricht dem 12. Teil des Gewichts eines einzelnen Kohlenstoffatoms: 1·u=1,66056·10^-27kg

Die SI-Einheit der Masse m ist das Kilogramm (kg).

[m}=1kg

Die Molare Masse M berechnet sich aus dem Quotienten der Masse m und der Teilchenanzahl von einem Mol n=6,022⋅10²³.

M=m/n

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Begründe, weshalb die Masse eines Körpers überall gleich ist, sein Gewicht jedoch nicht.

Die Masse eines Körpers ist unabhängig von der Gravitation. Die Gewichtskraft bzw. dessen "Gewicht" jedoch ist abhängig von der Fallbeschleunigung des jeweiligen Ortes.

Nenne die Größe des Anteils der Masse eines Atomkerns am gesamten Atom in Prozent.

Der Kern eines Atoms enthält über 99,99 % der Masse des gesamten Atoms.

Berechne die Masse $m$ von $V=3\,m^3$ Wasser. Wasser besitzt eine Dichte von $ \rho = 1000 \, \frac{kg}{m^3} $.

$m = 3000 \, kg$

Wähle aus, ob Elektronen oder Protonen eine größere Masse besitzen.

Protonen besitzen eine größere Masse als Elektronen.

Ein Zentner Wasser hat die Masse $m=50\,kg$. Gib das Gewicht in Gramm und in Tonnen an.

$m = 50\, kg$

$m = \frac{50}{1000} \, t$

$m = 0,05 \, t$

$m = 50 \cdot 1000 \, g $

$m = 50.000 \, g$

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