Wenn ein Festkörper einer Belastung durch eine Kraft ausgesetzt wird, hat das eine elastische Auswirkung auf den Körper. Diese elastische Verformung kannst du besonders gut an Federn erkennen, z. B. an einem Slinky, welches Treppenstufen nach unten "springt" und sich durch die Gewichtskraft verformt.
Abbildung 1: Slinky Feder springt eine Treppe hinunterQuelle: savingtheplaces.com
Hookesche Gesetz – Definition
Das Hookesche Gesetz ist ein Gesetz in der Mechanik, welches die Verformung von elastischen Körpern beschreibt, wenn diese belastet werden oder Kräfte auf sie wirken.
Ein elastischer Körper geht nach einer Kraftwirkung in seine ursprüngliche Form zurück.
Als Beispiel können wir die Ausdehnung einer Feder betrachten. Diese Ausdehnung kann durch das Ziehen an ihr oder durch ein Gewicht hervorgerufen werden.
Abb. 2 - Ausdehnung einer Feder wenn ein Gewicht angehangen wird
Robert Hooke stellt 1678 einen Zusammenhang zwischen Kraft und der resultierenden Ausdehnung des beobachteten Festkörpers fest und stellte folgende Gesetzmäßigkeit fest:
"ut tensio, sic vis" – Robert Hooke
Die Aussage bedeutet so viel wie "je größer die Ausdehnung, so auch die Kraft". Das bedeutet, es gibt eine Proportionalität zwischen Ausdehnung und der wirkenden Kraft des Körpers.
Das Hookesche Gesetz besagt, dass die elastische Verformung eines Festkörpers sich linear zu der einwirkenden Belastung verhält. Je größer die Belastung, desto größer ist die elastische Verformung.
Allerdings musst du beachten, dass das Hookesche Gesetz nur für linear-elastisches Verhalten von Festkörpern gilt. Das Hookesche Gesetz gilt also nicht für plastische oder nicht-lineare Verformungen.
Nicht-linear-elastisches Verhalten ist ein Verformungsverhalten eines Körpers, bei dem die Belastung bzw. Spannung nicht linear-proportional zur Verformung des Körpers ist, wie es z. B. bei Gummi der Fall ist. Bei einer großen Belastung von Gummi ist die Verformung irreversibel (unumkehrbar).
Auch Festkörper wie Metall sind nur bis zu einer bestimmten Kraft elastisch verformbar, bis sie durch die Kraft brechen oder plastisch verformt werden. In diesem Fall kann das Hookesche Gesetz nicht mehr eingesetzt werden.
Auch für Federn gilt diese maximale Begrenzung an Kraft, bis die Feder überdehnt oder gebrochen ist. Das ist meistens nur etwas mehr als die maximal zulässige Kraft, die auf dem Gehäuse der Feder steht. In der Schule findest du meistens Federn, die mit bis zu 5000N belastet werden können.
Federnsysteme und das Hookesche Gesetz
Das Hookesche Gesetz lässt sich am einfachsten am Beispiel einer Feder veranschaulichen, an die ein Gewicht gehangen wird. Es handelt sich dabei um eine Art Zugversuch. Sobald ein Gewicht an diese Feder gehangen wird, dehnt sich die Feder um eine bestimmte Länge. Verdoppeln wir das Gewicht, verdoppelt sich auch die Ausdehnung der Feder.
Betrachten wir das Federsystem mal an einem Beispiel:
Abb. 3 - Dehnung der Feder durch unterschiedliche Gewichte
Wenn kein Gewicht an der Feder hängt, liegt überhaupt keine Verformung vor, so wie es bei Feder 1 der Fall ist.
Hängen wir nun an eine identische Feder, mit Nummer 2 markiert, ein Gewicht mit 20 Gramm an, so dehnt sich die Feder und der rot-weiße Messbereich verschiebt sich um vier Einheiten nach unten. Daraus lässt sich schließen, dass sich die Feder pro 5 Gramm um eine Längeneinheit dehnt.
Wenn wir jetzt weitere 20 Gramm an die Feder 3 hängen, und damit das Gewicht verdoppeln, so verdoppelt sich auch die Ausdehnung der Feder. Jetzt ist die Feder durch die Gewichtskraft der 40 Gramm Masse um acht Längeneinheiten gedehnt.
Aus dieser Beobachtung können wir darauf schließen, dass die Ausdehnung der Feder, proportional zur Gewichtskraft ist, welche auf die Feder wirkt.
Wenn wir zwei identische Federn (Feder 4 in Abb. 2) nehmen und die 40 Gramm Masse an beiden befestigen, fällt auf, dass sich beide Federn nur um vier Längeneinheiten dehnen. Die beiden Federn haben zusammen eine größere Federhärte und verdoppeln daher die Federkonstante.
Was es mit der Federkonstante auf sich hat und wie du das Hookesche Gesetz nun rechnerisch anwenden kannst lernst du in den Formeln.
Hookesche Gesetz – Formel
Jeder Festkörper besitzt unter Einwirkung einer Kraft eine unterschiedliche elastische Längenzunahme. Aus der wirkenden Kraft und der Längenänderung wird dann eine Konstante errechnet.
Bei Federn heißt diese Konstante Federhärte oder auch Federkonstante und wird mit dem Buchstaben D abgekürzt.
Um die Federkonstante D zu erhalten, teilen wir die wirkende Kraft F durch die Längenänderung \(\Delta s\) der Feder, die durch die wirkende Kraft entsteht.
Die Federkonstante beschreibt, wie leicht sich die Feder dehnen lässt. Ist die Federkonstante groß, so lässt dehnt sich die Feder auch bei höheren Kräften nur wenig, während bei einer Feder mit kleiner Konstante auch bei kleinem Kraftaufwand eine große Dehnung zu erkennen wäre.
Das Hookesche Gesetz besagt eine lineare Abhängigkeit von der wirkenden Kraft F und der daraus resultierenden Dehnung s. Die Dehnung ist dabei abhängig von der zuvor definierten Federkonstante D.
Die Formel für die wirkende Kraft F ist durch das Hookesche Gesetz definiert durch
Die Federkonstante D wird multipliziert mit der Ausdehnung \(\Delta s\) der Feder, die berechnet wird mit
\[\Delta s=s_n-s_v\]
Dabei ist \(s_n\) die Länge der gedehnten Feder und \(s_v\) die Länge der Feder vor der Kraftwirkung.
Um eine Feder zu spannen, muss Arbeit durch die wirkende Kraft, verrichtet werden.
Federspannarbeit und Spannenergie
Um eine Feder zu spannen, muss Arbeit verrichtet werden, um diese zu dehnen. Diese Arbeit nennen wir auch Federspannarbeit. Sobald die Feder gespannt ist, besitzt die Feder eine Spannenergie.
Federspannarbeit
Um eine Feder zu dehnen, muss Arbeit verrichtet werden. Diese Arbeit nennen wir auch Federspannarbeit. Die Federspannarbeit wird z. B. verrichtet, wenn du an einer Feder ziehst. Wenn ein Gewicht an eine Feder gehangen wird, dann wird die Arbeit durch die Gewichtskraft des Gewichtes verrichtet.
Die Kraft nimmt mit der Dehnung der Feder zu. Es gilt, dass die gedehnte Strecke s proportional zur angewandten Kraft F ist.
Für die Federspannarbeit gilt:
Um die zur erforderliche Federspannarbeit 
zu berechnen, verwenden wir die Formel:
mit der Kraft F und der gedehnten Strecke s.
Wenn wir in einem Kraft-Strecke Diagramm die erforderliche Kraft in Abhängigkeit zur Dehnung stellen, sähe das so aus.
Abbildung 4: Kraft-Dehnung Diagramm einer Feder
Der markierte Bereich unter den Graden ist die zu verrichtende Federspannarbeit.
Aufgabe 1
Eine Feder wird durch die Kraft \(F_E\) gespannt und dehnt sich um 10 cm aus. Wie groß ist die verrichtete Arbeit?
Lösung
Durch die Herleitung mithilfe der Grafik aus Abbildung 3 oder der Formel können wir die gegebenen Werte in die Formel für die Federspannarbeit einsetzen.
\[W=\frac{1}{2}\cdot 50\, N\cdot 0{,}1\, m=2{,}5\, Nm\]
Die Federspannarbeit wird in der Einheit für Arbeit, Newtonmeter, angegeben und beträgt in diesem Beispiel 2,5 Nm.
Wenn eine Feder durch eine Kraft gespannt wurde, ist diese gespannt und besitzt eine Energie.
Spannenergie
Die Spannenergie ist die potentielle Energie der Feder durch die Dehnung. Solange weiter an der Feder gezogen wird oder ein Gewicht an der Feder hängt, bleibt die potentielle Energie erhalten. Wird die Feder losgelassen, wandelt sich die potentielle Energie in kinetische Energie und die Feder bewegt sich elastisch in den Grundzustand zurück.
Die Spannenergie 
setzt sich zusammen aus der Federkonstante D und der Dehnung s der Feder.
Jetzt wollen wir die gelernten Formeln und Gesetze auch anwenden, anhand von einigen Beispielaufgaben.
Hookesches Gesetz – Aufgaben
Wir betrachten eine Feder, die eine unbelastete Länge von 
besitzt:
Aufgabe 2
Die Feder wird einer Belastung von 
ausgesetzt und dehnt sich von 12 cm auf 20 cm aus. Berechne die Federhärte D.
Lösung
Um die Aufgabe zu lösen, benötigen wir die Formel für das Hookesche Gesetz, um die Federkonstante D zu bestimmen.
\[D=\frac{F}{\Delta s}\]
Da die Feder eine ursprüngliche Länge von 12 cm besitzt und eine gedehnte Länge von 20 cm hat, müssen wir den Längenunterschied berechnen
\[\Delta s=s_1-s_0=20 \, cm- 12\, cm\]
Wenn wir diese Werte nun in die Formel einsetzen und ausrechnen, ergibt sich folgendes Ergebnis:
Die Federhärte beträgt \(0{,}25 \frac{N}{cm}\).
Jetzt kennen wir die Federhärte der Feder. In der nächsten Aufgabe wollen wir herausfinden, welche Kraft wir bei dieser Feder anwenden müssen, um sie zu einem bestimmten Maße zu dehnen.
Aufgabe 3
Jetzt wird die Ausdehnungsfähigkeit der Feder ausgereizt. Wie viel Kraft 
muss angewandt werden, um die Feder um ihr 2,5-faches zu dehnen?
Lösung
Wir erinnern uns an die Proportionalität zwischen angewandter Kraft und der Ausdehnung der Feder bei gleichbleibender Federhärte, bzw. Federkonstante. Um die Kraft zu berechnen, müssen wir erst berechnen wie groß die Feder nach der Ausdehnung überhaupt sein soll. Wir berechnen die 2,5-fache Länge der Feder:
Nun setzen wir den Wert der Federkonstante aus der Teilaufgabe zuvor ein, und berechnen die notwendige Kraft, um diese Dehnung zu vollziehen.
\[F=D\cdot \Delta s\]
Um die Streckung der Feder zu berechnen, verwenden wir für die Längenänderung der Feder die Formel und setzen die Längen ein:
\[\Delta s= s_1-s_0=30\, cm - 12\, cm\]
Diese Werte können wir nun wieder in die Formel für die Kraft einsetzen und erhalten folgendes Ergebnis:
Die notwendige Kraft um die Feder um 18cm zu strecken beträgt 4,5 N.
Diese Kraft kann beispielsweise durch ein kleines Gewicht erbracht werden. Dieses kleine Gewicht verrichtet also die Arbeit zur Dehnung der Feder.
Aufgabe 4
Wie groß ist die verrichtete Arbeit, um die Feder, um 
zu dehnen?
Lösung
Um die verrichtete Arbeit der Feder zu berechnen, kannst du auch hier eine der zuvor definierten Formeln verwenden. In diesem Fall verwenden wir die Formel für die Federspannarbeit:
Vergiss nicht in die Standardeinheiten (auch bekannt als SI-Einheiten) umzuformen. Das heißt cm in m umrechnen! Sonst bekommst du ein falsches Ergebnis raus.
Die errechnete Kraft aus der Teilaufgabe vorher und die angegebene Längenänderung \(s_2\) werden eingesetzt und Du erhältst folgendes Ergebnis:
Die zu verrichtende Arbeit beträgt 0,405J.
Hookesche Gesetz - Das Wichtigste
- Das Hookesche Gesetz beschreibt die lineare elastische Verformung eines Körpers, wenn eine Kraft auf diesen wirkt.
- Die lineare elastische Verformung ist proportional zur wirkenden Kraft.
- Es wird meistens eine Feder als Veranschaulichung verwendet, weil die Proportionalität zwischen Kraft und Ausdehnung genau beobachtbar ist.
- Der Widerstand einer Feder zur Längenänderung wird mit der Federkonstante angegeben: \(D=\frac{F}{\Delta s}\)
- Die wirkende Kraft kannst Du berechnen mit der Formel: \[F=D\cdot \Delta s\]
- Um eine Feder zu spannen, muss Spannarbeit verrichtet werden: \[W_S=\frac{1}{2}\cdot F\cdot s\]
- Die Energie, die diese Feder besitzt, nachdem sie gespannt wurde, nennen wir Spannenergie: \[E_S=\frac{1}{2}\cdot D\cdot s^2\]
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