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Gravitationskraft

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Physik

Warum stehen wir auf dem Boden und schweben nicht umher? Wieso fällt alles von allein herunter und nicht in irgendeine andere Richtung? Und weshalb können Astronauten auf dem Mond viel höher und weiter springen?


Dieser Artikel erklärt dir, was es mit der Gravitation auf sich hat. Mit Beispielen und Illustrationen werden dir Begriffe und Zusammenhänge nähergebracht, um diese Anziehungskraft zwischen Massen und dessen Bedeutung, nicht nur auf der Erde, sondern auch im Weltraum zu verstehen und zu berechnen.



Was ist Gravitation?


Jeder Körper wirkt auf Grund seiner Masse eine Anziehungskraft auf jeden anderen Körper in der Nähe aus. Je größer die Masse und kleiner der Abstand, desto stärker werden Körper angezogen. Diese Kraft nennt man Gravitationskraft.


Die Gravitation ist keine physikalische Größe, welche durch einen Körper allein definiert ist. Es gibt immer eine Wechselwirkung zweier oder mehrerer Körper, welche zu dieser Anziehung führt. Das heißt, auch mit der Person, welche neben dir im Bus sitzt, herrscht die gravitative Anziehung. Diese Kraft ist aber so klein, dass man sie weder spüren, noch messen kann!


Das Gravitationsgesetz


Knapp und veranschaulicht kannst du die Wirkung der Gravitation wie folgt definieren, egal wie groß ihr realer Einfluss ist:


Zwei Körper der angenommenen Punktmassen  und  im Abstand  wirken eine anziehende Kraft aufeinander aus. Die Kraft heißt Gravitationskraft.


Gravitationskraft, Gravitationsgesetz, StudySmarterAbbildung 1: Veranschaulichung Gravitationsgesetz


Die Kraft , mit welcher der Körper 1 den Körper 2 anzieht, ist vom Körper 2 auf den Körper 1 gerichtet. Sie ist betragsgleich, also gleich stark, und entgegengesetzt gerichtet der Kraft , mit welcher der Körper 2 den Körper 1 anzieht. Diese Kraft nennt man Gravitationskraft .


Als Vereinfachung sollte immer von Punktmassen ausgegangen werden, da fast kein Körper eine exakte Kugel mit perfekter Massenverteilung ist!


Geschichte des Gravitationsgesetzes


Bereits 1665 beschäftigte sich Isaac Newton indirekt mit der Schwerkraft. Für die physikalische Beschreibung von Planetenbahnen ging er von einer quadratisch abnehmenden Schwerkraft aus.

Ab 1678 arbeitet Newton zusammen mit Hooke und Flamsteed an den Gesetzen der Mechanik. Darin enthalten war wieder eine mit der Entfernung abnehmende Anziehungskraft.

1684 veröffentlichte Newton seine ersten Ergebnisse, welche er 1687 in weiteren Werken als Gravitationsgesetz ausführlich beschrieb. Diese Beschreibung war aber eine kompliziertere Beschreibung als unsere heutige explizite Form.

Mehr als 100 Jahre später, 1797, konnte Henry Cavendish zum ersten Mal die gravitative Anziehung mithilfe einer Drehwaage experimentell messen.

Knapp 200 Jahre nach Newtons Veröffentlichung, 1873, wurde die heute benutzte explizite Form des Gravitationsgesetzes von Alfred Cornu und Jean-Baptiste Baille formuliert. Sie beinhaltete die Abhängigkeiten der Kraft von den Massen und der Entfernung, jedoch noch keine Gravitationskonstante, obwohl diese schon experimentell bestimmt wurde.


Das Gravitationsfeld


Wie sich die Gravitation eines Körpers verhält, kannst du sehr gut mit dem Gravitationsfeld darstellen und beschreiben. Hierbei geht man idealerweise von einer Punktmasse  aus, von welcher sich das Gravitationsfeld in Form einer Kugel radialsymmetrisch (also kugelsymmetrisch) nach innen gerichtet homogen (also gleichmäßig aufgebaut) ausbreitet.


Je nach Position einer zweiten Punktmasse im Gravitationsfeld, wirkt diese eine Anziehung auf die Masse aus, ähnlich einer positiven Punktladung im Raum, welche negative Ladungen anzieht.


Gravitationskraft, Gravitationsfeld, StudySmarterAbbildung 2: Gravitationsfeld


Diese Darstellung ist besonders hilfreich, wenn es eine große zentrale Masse  gibt, wie z. B. die Erde. In dessen Gravitationsfeld  befinden sich andere Körper, wie z. B. Satelliten, dessen eigene Gravitationen vernachlässigbar klein gegenüber der Gravitation der Erde sind.


Umlaufbahn von Satelliten


Satelliten bewegen sich in einer etwa kreisförmigen Bahn um die Erde. Durch eine genaue Abstimmung von Geschwindigkeit und Abstand zur Erde sind die gegeneinander wirkenden Kräfte der Gravitations- und Zentrifugalkraft gleich groß. Der Satellit kann somit ohne Probleme die Umlaufbahn halten.


Wie berechne ich die Gravitationskraft?


Zur Berechnung der Gravitationskraft benötigst du die oben erklärten Größen sowie die dazugehörige Formel.


Der Betrag der Gravitationskraft  zwischen zwei Massen  und  im Abstand  wird mithilfe der Gravitationskonstante  und der folgenden Formel berechnet:


Gravitationskraft, Gravitationskraft Formel, StudySmarter


Die Einheitder Gravitationskraft ist das dir aus der Mechanik bekannte Newton.


 Gravitationskraft, Gravitationskraft Einheit, StudySmarter


Mithilfe dieser Formel und dem Gravitationsgesetz, kann man folgende Abhängigkeiten zweier Punktmassen und deren Anziehung ablesen!


  • Die Gravitationskraft ist proportional abhängig von den Massen  und

  • Sie ist umgekehrt quadratisch abhängig vom Abstand r² der Massen


Das heißt, je größer die Massen und je kleiner der Abstand der beiden Körper, desto größer deren gravitative Anziehung.


Diese proportionalen und antiproportionalen Zusammenhänge, kannst du auch wie folgt wiedergeben.


Die Gravitationskraft  ist proportional abhängig von dem Produkt der beiden Massen  und  



Das heißt, verdoppelst du eine der Massen, so wird auch die resultierende Gravitationskraft verdoppelt.


Die Gravitationskraft  ist antiproportional abhängig vom Quadrat des Abstandes  der beiden Körper



Wenn du den Abstand verdoppelst, so ist die resultierende Gravitationskraft nur noch ein Viertel.


Die Gravitationskonstante


Um nun die Gravitationskraft berechnen zu können, benötigst du noch die Definition der Gravitationskonstante .


Die Gravitationskonstante auf der Erde ist eine physikalische Naturkonstante und ist wie folgt definiert: 

Gravitationskraft, Gravitationskonstante, StudySmarter 


Die Messung, beziehungsweise die experimentelle Bestimmung, der Gravitationskonstante, ist nicht exakt möglich. Bei jedem Versuch gibt es unzählige Störfaktoren. Jede Person, jedes Auto, jeder Gegenstand in der Nähe übt einen gravitativen Einfluss auf die Versuchsmassen aus, wodurch Messergebnisse immer eine Abweichung enthalten.


Nach diesen vielen Definitionen kann jetzt gerechnet werden!


Aufgabe 1


Gravitationskraft, Gravitation Mensch auf Erde, Studysmarter

Berechne die Gravitationskraft  zwischen der Erde (mittlerer Radius , Masse ) und einem Menschen (Masse ), welcher auf der Erdoberfläche steht.

Hinweis: Gravitationskonstante


Lösung


Zuerst schauen wir uns die allgemeine Formel der Gravitationskraft an:


 


Die beiden Massen sind in dieser Aufgabe mit  und  gegeben. Die Entfernung entspricht dem Erdradius, da der Mensch auf der Erdoberfläche steht. G ist die bekannte Gravitationskonstante. Somit sieht die Formel für die Gravitationskraft zwischen der Erde und dem Menschen so aus:


 


Im nächsten Schritt setzt du alle Werte in SI-Einheiten (also den Radius in m, nicht in km) ein. Den Wert der Gravitationskonstante findest du in einer Formelsammlung, oder so wie hier auch in der Aufgabenstellung:


 


Nun rechnest du das Ergebnis aus, und solltest auf folgenden Wert für die Gravitationskraft zwischen der Erde und dem Menschen kommen:


 


Die Gravitationskraft zwischen der Erde und einem 75kg schweren Menschen beträgt .



Der Zusammenhang zwischen Gravitationskraft und Gewichtskraft


Wenn du mit der Gewichtskraft vertraut bist, ist dir mit Sicherheit aufgefallen, dass beide Größen im Allgemeinen die gleichen Symbole und Einheiten verwenden:


Gravitationskraft  

Gewichtskraft  


Dies rührt daher, dass sich die Gewichtskraft in der Nähe der Erdoberfläche nur minimal von der Gravitationskraft unterscheidet. Die Gravitationskraft lässt sich an der Erdoberfläche in den aller meisten Fällen, mithilfe des Ortsfaktors, der Gewichtskraft eines Gegenstandes gleichsetzen.


Zu sehr kleinen Abweichungen kommt es z. B. durch die Zentrifugalkraft, hervorgerufen durch die Erdrotation, oder abweichende Definitionen von physikalischen Konstanten.


Allgemein gilt in der Nähe der Himmelskörperoberfläche (abgekürzt mit HK), z. B. Erde, Mond, Sonne, unter Benutzung der dazugehörigen Werte der Himmelskörpermasse , dem Himmelskörperradius , dem daraus resultierenden Ortsfaktor  des Himmelskörpers, und der Gravitationskonstante G, dass die Gravitationskraft , zwischen Himmelskörper und einem Körper der Masse , gleich der Gewichtskraft  des Körpers der Masse  ist:


 


Somit gilt für die Erdoberfläche mit den jeweiligen Werten der Erdmasse , des Erdradius , und dem daraus resultierenden Ortsfaktors der Erde :


 


Bei großen Entfernungen ist diese Annäherung nicht mehr gültig. Stattdessen muss mit der Formel für die allgemeine Gravitation gerechnet werden!


Der Ortsfaktor


Bei der Berechnung der Gewichtskraft in der Mechanik hast du schon oft den Ortsfaktor  verwendet. Woher dieser Wert kommt und was er mit der Gravitation zu tun hat, findest du in folgender Definition heraus:


Der Ortsfaktor  ist die Beschleunigung durch die Gravitation eines Himmelskörpers auf einen oberflächennahen Körper.  Im Zusammenhang mit der Gravitation wird dieser auch Gravitationsfeldstärke genannt.

Er setzt sich, entsprechend des Himmelskörpers, aus der Gravitationskonstante , der Himmelskörpermasse (z.B. bzw.), und dem Himmelskörperradius (z.B. bzw.) zusammen.

Für einen Himmelskörper gilt:


 

 

Für die Erde gilt also:


 


Diesen Wert nennt man für die Erde auch Erdfallbeschleunigung.


Der Ortsfaktor ist ortsabhängig und deswegen an verschiedenen Stellen der Erde und sogar für andere Himmelskörper definiert!


Auf dem Mond beträgt dieser:



Das hängt mit den unterschiedlichen Werten für den Radius und die Masse zusammen! Auf dem Mond kannst du also wegen der deutlich geringeren Anziehung viel weiter und höher springen, als du es jemals auf der Erde könntest!


Die Erde, wie jeder andere Himmelskörper, ist keine perfekte Kugel und besitzt außerdem keine gleichmäßige Masseverteilung, wodurch abweichende Definitionen des Ortsfaktors, Erdradius, und der Gravitationskonstante, je nach Position, existieren.


Wenn du die allgemeinen Formeln für die Gravitations- und Gewichtskraft an der Erdoberfläche gleichsetzt, kannst du besser erkennen, woher der Näherungswert für den Ortsfaktor kommt.



 


Hier kann man das Gewicht des betrachteten Gegenstandes auf beiden Seiten der Gleichung dividieren und die Seiten umkehren.


 


Die einfacher zu berechnende Gewichtskraft der Gravitationskraft mithilfe des Ortsfaktors gleichzusetzen ist also naheliegend und meistens durchaus sinnvoll. Beachte jedoch, dass dieser Spezialfall nur auf der Planetenoberfläche gilt. Außerdem, für andere Himmelskörper gelten auch andere Ortsfaktoren!



Die Gravitationskraft (Anziehungskraft) der Erde


Alle uns umgebenden Gegenstände werden von der Erde durch ihre Gravitation angezogen. Viele mechanische Vorgänge funktionieren entweder direkt durch Gravitation (z. B. Haftung von Autoreifen) oder versuchen diese allgegenwärtige Gravitationskraft zu überwinden (z. B. etwas hochheben).


Die Gravitation zwischen einer Person und der Erde


In der Beispielaufgabe 1 weiter oben hast du die Gravitationskraft zwischen der Erde und einem 75kg schweren Menschen berechnet. Für die Person, sowie fast alle täglichen Gegenstände, ist diese Kraft aufgrund des im Vergleich extrem geringen Gewichts sehr deutlich als Fallbeschleunigung (Ortsfaktor) spürbar.


Da die Gravitation aber eine wechselwirkende Kraft ist, erfährt die Erde vom Menschen die gleiche Gravitationskraft. Die Auswirkungen der Gravitation einer Person auf unseren Planeten sind aber unmessbar klein.


Hier ein kleiner Vergleich der aus der Gravitationskraft resultierenden Beschleunigungen auf einen Menschen und auf die Erde  mithilfe der in Beispielaufgabe 1 berechneten Gravitationskraft .

Aus dem zweiten newtonschem Axiom geht hervor, dass gilt: .


Beschleunigung  auf Mensch mit Beschleunigung auf Erde mit







Die Beschleunigung , welche aus der Gravitationskraft zwischen einem Menschen und der Erde hervorgeht und auf die Erde wirkt, ist unvorstellbar klein, nicht messbar, und hat somit keinen reellen Einfluss.


Hier kann man sich die Frage stellen, wie viele Menschen es benötigt, einen gravitativen Einfluss auf die Erde zu haben. Falls dich das interessiert, schaue dir dazu die folgende Aufgabe an!


Aufgabe 2

Gravitationskraft, Gravitationseinfluss Mensch auf Erde, StudysmarterBerechne, wie viele Menschen mit einem Gewicht von  benötigt werden, um die Erde (Gewicht , Radius )

durch Gravitation einer Beschleunigung von  auszusetzen?

Hinweis: Gravitationskonstante


Lösung


Wie auch oben in der Tabelle, geht aus dem newtonschen Grundgesetz die Formel der Beschleunigung hervor. Da kannst du auch sofort die richtigen Bezeichnungen aus der Aufgabenstellung einfügen, da die Beschleunigung der Erde gesucht ist:


 


Für die Gravitationskraft können wir mit den Größen der Aufgabenstellung diese Formel aufstellen. Als zweite Masse, neben der Erdmasse, legen wir die Gesamtmasse der benötigten Menschen als fest.


 


Diese Formel der Gravitationskraft setzt du nun in die obige Formel für die Beschleunigung ein:


 


 hier kürzen, wodurch du auf diese Formel kommst:


 


Jetzt auf  umstellen:


 


Im nächsten Schritt alle Werte in SI-Einheiten einsetzen:


 


Für die Gesamtmasse der Menschen solltest du auf diesen Wert kommen:


 


Im letzten Schritt berechnest du ohne Umwege die Anzahl der Menschen, wenn ein Durchschnittsgewicht von 

75 kg angenommen wird:


Anzahl Menschen bei 75 kg pro Mensch:  

 


Zum Vergleich: Anzahl Erdbevölkerung August 2021


Das heißt, um selbst eine kleine Beschleunigung von auf die Erde aus zu üben, benötigt es das Milliardenfache der derzeitigen Weltbevölkerung!


Die Gravitationskraft zwischen Mond und Erde und deren Folgen


Damit eine Masse einen merkbaren gravitativen Einfluss auf unseren Planeten hat, muss diese viele Größenordnungen größer als die Masse eines Menschen sein.

Der Mond besitzt eine Masse von rund  der Erdmasse. Das ist hoch genug, um die gemeinsame Laufbahn von Erde und Mond zu beeinflussen. Außerdem "zieht" der Mond durch seine Gravitation an großen Wassermassen, wodurch die Gezeiten  entstehen. Das heißt, dass auf der dem Mond zugewandten Seite die Flut stattfinden kann.


Die Gravitation durch den Mond ist nicht die einzige Bedingung, welche zu Gezeiten führt. Wassertiefe, Wassermenge, Inseln, und die Position der Wassermenge auf dem Planeten sind auch ausschlaggebend.


Aufgabe 3

Gravitationskraft, Gravitation Erde Mond, Studysmarter

Berechne die Gravitationskraft zwischen der Erde ( ) und dem Mond () bei einem mittleren Abstand von .




Lösung: 

Zuerst schaust du dir die allgemeine Formel für die Gravitationskraft an. Du kannst auch schon die jeweiligen Namen der Größen aus der Aufgabenstellung einsetzen:


Jetzt kannst du alle Werte einsetzen. Denk daran, Werte immer in den SI-Einheiten (also m anstatt km) anzugeben. Den Wert der Gravitationskonstante findest du im Tafelwerk, einer Formelsammlung, oder manchmal auch in der Aufgabenstellung:


Nun kannst du den Wert berechnen und solltest folgendes Ergebnis erhalten:



Die Gravitationskraft zwischen Erde und Mond beträgt .


Die Gravitationskraft in unserem Sonnensystem


Die Gravitationskraft, welche zwischen der Erde und der Sonne wirkt, ist im Zusammenspiel mit der Fliehkraft für die grundsätzliche Bewegung unseres Planeten um die Sonne verantwortlich. Durch die riesige Masse der Sonne und dem relativ kurzen Abstand zwischen Erde und Sonne haben andere Planeten keinen reellen gravitativen Einfluss auf die Erde.


Aufgabe 4


Gravitationskraft, Gravitation Erde Sonne, Studysmarter

Berechne die Gravitationskraft zwischen der Erde () und der Sonne () bei einem mittleren Abstand von .



Lösung


Wie es dir aus vorherigen Aufgaben schon bekannt ist, nimmst du dir die Formel der Gravitationskraft und benutzt die gegebenen Bezeichnungen der Größen von Erde und Sonne:


 


Jetzt setzt du die Größen ein berechnest den Wert für die Gravitationskraft zwischen Erde und Sonne:


 

 

Die Gravitationskraft zwischen Erde und Sonne beträgt .


Auf der Suche nach neuen Ressourcen und einem Planeten, auf dem sich die Menschheit ansiedeln könnte, wird oft vom Mars gesprochen. Falls wir uns dort wirklich ansiedeln können, wie sehr unterscheidet sich dessen Gravitation mit der auf der Erde?


Aufgabe 5


Berechne den Ortsfaktor  an der Marsoberfläche () und vergleiche diesen mit dem Ortsfaktor  an der Erdoberfläche.


Lösung


Zuerst den Ortsfaktor an der Marsoberfläche berechnen. Dafür nimmst du die allgemeine Formel des Ortsfaktors auf der Himmelskörperoberfläche und ersetzt die Größen mit denen des Mars:


 


In diese Formel setzt du nun die Werte ein und berechnest den Ortsfaktor an der Marsoberfläche:


 


Als Nächstes machst du den Vergleich der beiden Ortsfaktoren. Dabei bietet es sich an, wenn du das Verhältnis der beiden Größen zueinander berechnest. Das geht, indem du die verglichene Größe (der neu berechnete Ortsfaktor des Mars) durch die Vergleichsgröße (Ortsfaktor der Erde) teilst und berechnest:


 


In den Antwortsatz gehört nicht nur der berechnete Wert, sondern auch eine kurze Einschätzung zu den berechneten Werten.

Der Ortsfaktor auf dem Mars beträgt . Das entspricht etwa einem Drittel des Ortsfaktors auf der Erde. Für einen Menschen wäre es also eine große Umstellung, auf dem Mars zu leben!



Grenzen der klassischen Beschreibung der Gravitation


Trotz gut definierter Größen, stößt man bei der Berechnung von Gravitation schnell an Grenzen. Vor allem bei mehr als zwei sich bewegenden Massen wird es analytisch fast unmöglich. Für Berechnungen innerhalb unseres Sonnensystems

werden deshalb starke Vereinfachungen angewendet, wie z. B. die Annahme, dass Massen als Punktmassen vorkommen, sowie, dass kleinere Himmelskörper und deren Gravitation ignoriert werden können. Das ermöglicht relativ genaue Näherungen.


Auch bei Extremfällen, wie z. B. schwarzen Löchern, kommt die klassische Beschreibung, nicht nur der Gravitation, sondern auch der Physik, an ihre Grenzen.




Gravitationskraft - Das Wichtigste auf einen Blick


  • Die Gravitation ist eine wechselwirkende Anziehungskraft
  • Zwei oder mehr Körper ziehen sich aufgrund ihrer Massen gegenseitig an
  • Je größer die Masse und je kleiner der Abstand, desto größer ist die Gravitationskraft
  • Die Gravitation wir mit dem Buchstaben F, der Einheit N (Newton), und mithilfe der Gravitationskonstante G beschrieben:

 


  • Folgende konstante Größen können in Oberflächennähe als Ortsfaktor g zusammengefasst werden:
    • Gravitationskonstante
    • Masse des Himmelskörpers
    • Abstand vom Massenmittelpunkt zum untersuchten Ort  (meist Radius des Himmelskörpers)

 


  • In Oberflächennähe ist die Gravitationskraft gleich der Gewichtskraft:

 


  • Die Gravitationskraft spielt in fast allen mechanischen Vorgängen, sowie für die Gezeiten und die Position und Bewegung von Himmelskörpern, eine große Rolle
  • Bei extrem unterschiedlichen Massen können kleine Massen und deren störende Gravitation vernachlässigt werden


Häufig gestellte Fragen zum Thema Gravitationskraft

Der Wert 9,81 m pro s Quadrat ist der Ortsfaktor g (auch Fallbeschleunigung genannt), auf und in der Nähe der Erdoberfläche, zum berechnen der Gewichtskraft.

Die Anziehungskraft der Erde ist die Gravitationskraft der Erde auf andere Gegenstände. Auf einen Menschen an der Erdoberfläche mit der Masse 75 kg beträgt diese 736,5 N (Newton) und ist gleich der Gewichtskraft mit dem Ortsfaktor g (Fallbeschleunigung) = 9,81 m / s Quadrat.

Die Anziehungskraft zwischen Körpern hängt umgekehrt quadratisch, vom Abstand r dieser Körper ab. Je weiter entfernt, desto stärker sinkt die Gravitationskraft.

Die wirkende Gravitationskraft der Erde auf einen Menschen der Masse 75 kg an der Erdoberfläche beträgt 736,5 N (Newton). Sie ist allgemein gleich der Gewichtskraft auf der Erdoberfläche mit dem Ortsfaktor (Fallbeschleunigung) g von 9,81 m / s Quadrat.

Finales Gravitationskraft Quiz

Frage

Benenne die physikalischen Größen und Konstanten, welche zur Berechnung der Gravitationskraft notwendig sind.

Antwort anzeigen

Antwort

  • Gravitationskonstante G
  • Massen m der betrachteten Körper
  • Abstand r der betrachteten Körper
Frage anzeigen

Frage

Welche der folgenden Aussagen des Zusammenhangs von Gravitations- und Gewichtskraft ist wahr?

Antwort anzeigen

Antwort

Es besteht kein Zusammenhang.

Frage anzeigen

Frage

Gib an, wie die Gravitationskraft wirkt.

Antwort anzeigen

Antwort

anziehend

Frage anzeigen

Frage

Ist der Ortsfaktor g überall gleich?

Antwort anzeigen

Antwort

ja

Frage anzeigen

Frage

Welchen Einfluss hat die Gravitation eines Menschen auf die Erde?

Antwort anzeigen

Antwort

keinen bzw. einen sehr geringen

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