Die harmonische Schwingung
In diesem Artikel geht es um die harmonische Schwingung. Wir erklären dir, was die harmonische Schwingung ist, leiten deren mathematische Beschreibung her und zeigen dir zudem ihre Bedeutung anhand eines Anwendungsbeispiels auf.
Dieser Artikel gehört zum Fach Physik und stellt ein Subtopic des Themas Schwingungen dar.
Harmonische Schwingung - Was ist das?
Zur Erinnerung: Eine Schwingung (Oszillation) ist im allgemeinen eine zeitlich periodische Änderung einer oder mehrerer physikalischer Größen in einem physikalischen System. Da sich verschiedene Disziplinen mit der Thematik Schwingung beschäftigen, werden wir uns bewusst auf deren Behandlung innerhalb der Mechanik beschränken. Denn harmonische Schwingungen sind zugleich mechanische Schwingungen, bei denen sich ein Körper regelmäßig um eine Gleichgewichtslage (Ruhelage) bewegt. Hat die Weg-Zeit-Funktion einer mechanischen Schwingung zudem die Form einer Sinus-Funktion, so bezeichnen wir sie als harmonisch, andernfalls als aharmonisch.
Uns soll es nun im Folgenden genau um jene harmonischen Schwingungen bzw. Bewegungen gehen. Doch wie leiten wir die Bewegungsgleichung für derartige ab?
Herleitung der Bewegungsgleichung für harmonische Schwingungen
Um eine Funktion für die Auslenkung (Elongation) in Abhängigkeit von der Zeit zu finden, stellen wir folgende Überlegung auf:
Die Projektion einer gleichförmigen Kreisbewegung entspricht der Bewegung eines harmonischen Schwingers (Oszillator). Unter jener können wir uns die Bewegung eines Körpers auf einer Kreisbahn vorstellen, bei der in gleich langen Zeitabschnitten gleich lange Wegstrecken zurückgelegt werden. Für uns ist es vor allem wichtig zu wissen, dass der Betrag der Bahngeschwindigkeit gleich bleibt, nicht aber die Richtung.
Der Radius r entspricht dabei der Amplitude ymax und die Umlaufdauer entspricht der Schwingungsdauer t:
Abb. 1: Die Projektion einer gleichförmigen Kreisbewegung
aus: https://physikunterricht-online.de/
Für die Elongation y gilt jeweils:
Der Winkel (phi), den man auch als Phasenwinkel oder nur als Phase bezeichnet, kannst du mit Hilfe der Umlaufzeit ausdrücken. Denn es gilt:
Für einen gesamten Umlauf bzw. einen kompletten Schwingungsvorgang (also für die Periodendauer T) gilt ferner:
Der Quotient 2T wird als Kreisfrequenz bzw. Winkelgeschwindigkeit (omega) bezeichnet:
Damit kann man für den Phasenwinkel auch schreiben:
Für den zeitlichen Verlauf der Auslenkung y gilt also:
Für eine gleichförmige Kreisbewegung ist die Kreisfrequenz konstant.
Es gilt also 
Wir haben also für eine harmonische Schwingung eine Funktion gefunden, die der Auslenkung y in Abhängigkeit von der Zeit t entspricht. Sie lautet:
Diese Funktion können wir Bewegungsgleichung für harmonische Schwingungen nennen.
Gleichung für harmonische Schwingungen
Die Gleichung für harmonische Schwingungen lässt sich ebenso mit Hilfe der Schwingungsdauer T oder der Frequenz f ausdrücken.
Dazu ersetzt du die Kreisfrequenz wieder durch 
Somit kannst du die Gleichung für harmonische Schwingungen auf verschiedene Art und Weise ausdrücken:
Zusatz: Alle schwingenden Systeme werden als Oszillatoren bezeichnet. Oszillatoren, deren Weg-Zeit-Funktion einer Sinusfunktion entspricht, heißen harmonische Oszillatoren.
Relevanz der harmonischen Schwingungsgleichung
Nun stellt sich uns die Frage, was wir denn mit der Schwingungsgleichung anfangen können. Die Antwort hierauf ist, dass wir bei einer bekannten Schwingungsdauer oder Frequenz sowie für eine bekannte Amplitude die Auslenkung eines harmonischen Oszillators zu jedem Zeitpunkt t berechnen können.
Je nachdem, welche der Größen , T oder f bekannt ist, wählen wir eine der drei o.g. Varianten der Schwingungsgleichung aus.
Anwendungsbeispiel für die harmonische Schwingungsgleichung
Ein harmonischer Oszillator schwingt mit einer Schwingungsdauer von 1,2 Sekunden. Die maximale Auslenkung beträgt 12 cm.
Zum Zeitpunkt t = 0 s befindet sich der Oszillator in der Ruhelage auf dem Weg nach oben in positive y-Richtung.
Frage: Wo befindet sich der Oszillator zu folgenden Zeitpunkten?
- t = 0,6 s
- t = 1 s
- t = 1,5 s
Lösung:
Gegeben sind folgende Werte:
T = 1,2 s
ymax = 12 cm
Wir setzen in die Schwingungsgleichung für harmonische Schwingungen die gegebenen Werte ein und berechnen so die jeweilige Auslenkung.
y(t) = ymax · sin(
· t)
(Achtung: Taschenrechner auf RAD einstellen!)
Für t = 0,6 s ergibt sich:
y(t) = 12 cm · sin(
· 0,6s) = 0 cm
Der Sinusterm ergibt 0, also erhält man auch für die Auslenkung den Wert y = 0.
Der Oszillator befindet sich also in der Ruhelage. Das ist auch logisch, denn die Zeit t = 0,6 s entspricht genau der halben Schwingungsdauer.
Für t = 1 s ergibt sich:
y(t) = 12 cm · sin(
· 1s) = -10,39 cm
Der Sinusterm ergibt nun den Wert -0,866. Multipliziert mit der Amplitude von 12 cm erhält man für die Auslenkung den Wert y = -10,39 cm.
Der Oszillator befindet sich also bei y = -10,39 cm, also 10,39 cm unterhalb der Ruhelage, da in der Aufgabenstellung „oben“ als positive y-Richtung vorgegeben war.
Für t = 1,5 s ergibt sich:
y(t) = 12 cm · sin(
· 1,5s) = 12 cm
Der Sinusterm ergibt den Wert 1.
Die Auslenkung entspricht also der Amplitude: y = ymax.
Der Oszillator befindet sich bei der maximalen Auslenkung 12 cm oberhalb der Ruhelage, also im oberen Umkehrpunkt.
Hinweis:
Die Auslenkung kann Werte zwischen ymax und -ymax annehmen. Der Sinusterm, mit dem die Amplitude multipliziert wird, schwankt zwischen 1 und -1.
Wichtig:
Bei allen Berechnungen muss der Taschenrechner auf RAD eingestellt sein, da der Phasenwinkel im Bogenmaß angegeben wird.
Bedingung für das Entstehen einer harmonischen Schwingung
Ob eine Schwingung harmonisch ist, also die Weg-Zeit-Funktion eine Sinusfunktion ist, hängt davon ab, ob folgende Bedingung erfüllt ist:
Bei einer harmonischen Schwingung ist die rücktreibende Kraft proportional zur Auslenkung.
Es muss also gelten: F ~ s
Anders ausgedrückt: Es gilt das lineare Kraftgesetz: F = -Ds bzw. F = -Dy
Dabei ist D die sogenannte Richtgröße - ein Proportionalitätsfaktor, der die Kraft beschreibt, die für eine bestimmte Auslenkung erforderlich ist.
Das negative Vorzeichen bringt zum Ausdruck, dass es sich um eine rücktreibende Kraft (Rückstellkraft) handelt, die der Auslenkung stets entgegen gerichtet ist, den Oszillator daher immer in Richtung Ruhelage zurückzieht.
Harmonische Schwingung - Alles Wichtige auf einen Blick!
- Hat die Weg-Zeit-Funktion einer mechanischen Schwingung die Form einer Sinus-Funktion, so ist sie harmonisch.
- Mit Hilfe der Gleichung für harmonische Schwingungen lässt sich die Auslenkung y in Abhängigkeit von der Zeit t darstellen.
- Der Betrag der Bahngeschwindigkeit bleibt gleich, nicht aber die Richtung.
- Die Schwingungsgleichung lässt sich wie folgt berechnen:
- y(t) = ymax · sin wt
- y(t) = ymax · sin(
· t) - y(t) = ymax · sin2
ft
- Mit Hilfe dieser kannst du die Auslenkung eines harmonischen Oszillators zu jedem Zeitpunkt t berechnen.
- Bei einer harmonischen Schwingung ist die rücktreibende Kraft proportional zur Auslenkung.
FERTIG! Zum einen weißt du jetzt was eine harmonische Schwingung ist und zum anderen bist du nun in der Lage mit dieser rechnerisch zu verfahren. Artikel zu diesem und vielen weiteren Themen, Übungsaufgaben und hilfreiche Literatur findest du auf StudySmarter.
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