Sicherlich bist du schon oft mit einem Fahrrad auf verschiedensten Untergründen gefahren. Dabei ist dir vielleicht aufgefallen, dass kleinere Unebenheiten im Boden meist kaum spürbar sind. Das liegt daran, dass die Federung deines Fahrrades viele Erschütterungen abfängt.
Was dabei physikalisch an der Feder passiert, erfährst du hier in diesem Artikel. Mit Beispielen, Definitionen und Berechnungen werden dir Größen wie die Federkonstante und Federkraft sowie das Hookesche Gesetz nähergebracht.
Federkonstante – Elastische und plastische Verformung
Bevor du aber alles als Feder festlegst, musst du wissen, um welche Art der Verformung es sich bei der untersuchten Situation handelt. Wirfst du einen Flummi und ein Stück Knete auf den Boden springt der Flummi zurück und die Knete bleibt flach am Boden liegen. Die Verformung am Flummi unterscheidet sich dabei stark von der Verformung an der Knete. Du solltest hierbei die elastische (Flummi) und plastische (Knete) Verformung trennen.
Elastische Verformung
Oft wird ein Körper, wie z. B. ein Flummi als perfekt elastisch angesehen. Die Eigenschaften des Körpers werden im Blick auf eine Verformung meist wie eine perfekt elastische Feder angesehen. Das bedeutet, dass der Körper nach einer Verformung von selbst in dessen Ausgangsform zurückkehrt.
Ist ein Körper elastisch verformbar, so kann dieser nach einer Verformung von selbst in dessen Ausgangslage bzw. Ausgangsform zurückkehren.
Wie viel Kraft eine bestimmte Verformung benötigt beschreibt die Elastizität eines Körpers.
Was passiert also an der Fahrradfederung?
Wenn du mit dem Fahrrad über einen Stein fährst, wird die Federung kurzzeitig gestaucht. Danach geht die Federung von allein in ihre ursprüngliche Form zurück. Die Fahrradfederung ist also elastisch.
Aber Vorsicht! Wird die Federung zu stark beansprucht kann diese kaputt gehen! Du darfst eine Feder nur in einem bestimmten Bereich beanspruchen, damit du dessen Eigenschaften nicht veränderst. Dieser Bereich wird elastischer Bereich genannt.
Der elastische Bereich einer Feder gibt an, wie stark diese gedehnt / gestaucht werden kann, bevor es zur permanenten (dauerhaften) Veränderung der federnden Eigenschaften kommt.
Bei normaler Benutzung eines Fahrrades entsprechend der Art (Mountainbike, Straßenrad, ...) musst du dir dabei aber keine Sorge machen. In der Regel geht dabei die Federung nicht kaputt!
Wenn jedoch etwas durch eine Krafteinwirkung kaputt geht, passiert auch meistens eine plastische Verformung.
Plastische Verformung
Nicht jede Verformung ist so ähnlich wie das Spannen / Stauchen einer Feder.
Wenn du Teig oder Knete knetest, bleiben Teig und Knete meistens in der Form in welche du diese drückst. Diese Verformung wird plastische Verformung genannt.
Wird ein Körper verformt und kehrt danach nicht von selbst in dessen Ausgangsform oder Ausgangslage zurück, dann wurde der Körper plastisch verformt.
Wie hoch die verformende Kraft für eine gewisse Verformung sein muss, gibt die Plastizität eines Körpers an.
In allen weiteren Betrachtungen schauen wir uns lediglich die elastische Verformung an einer perfekten Feder an. Sobald es um eine plastische Verformung geht, finden die folgenden Definitionen keine Anwendung mehr!
Eigenschaften & physikalische Größen einer elastischen Feder
Hast du also herausgefunden, dass es sich bei deiner zu untersuchenden Verformung um eine elastische Verformung handelt, kannst du die Situation ab jetzt als eine perfekt elastische Feder ansehen.
Um die physikalischen Größen der Feder zu untersuchen, schauen wir uns doch kurz noch einmal das Beispiel des Fahrrades an.
Du fährst mit deinem Fahrrad über einen kleinen Stein.
Je nach Geschwindigkeit des Fahrrads, der Größe des Steines, des Gesamtgewichts vom Fahrrad und weiteren Faktoren wirkt eine gewisse Kraft auf die Federung, die Spannkraft.
Die Federung wird dabei um eine gewisse Strecke gestaucht. Diese Strecke ist die Dehnung / Stauchung der Feder.
Je nachdem wie stark die Federung eingestellt ist, verändert sich wie weit die Federung gestaucht wird. Wie stark eine Federung ist, beschreibt die Federkonstante einer Feder.
Im Folgenden schauen wir uns diese physikalischen Größen und deren Zusammenhang genauer an. Beginnen wir dabei mit der Federkonstante.
Die Federkonstante
Dir ist sicherlich schon einmal aufgefallen, dass nicht alle Federn gleich sind. Deine Fahrradfederung ist für ganz andere Kräfte ausgelegt als eine Autofederung. Die Fahrradfederung kannst du meistens sogar noch selbst einstellen.
Was du an der Fahrradfederung einstellst, wird oft auch die Härte der Federung genannt. Physikalisch ausgedrückt heißt diese Eigenschaft die Federkonstante:
Die Federkonstante mit dem Formelzeichen 
einer Feder gibt an, wie stark eine Feder durch eine Krafteinwirkung gedehnt / gestaucht wird. Sie besitzt die Einheit Newton pro Meter:
Die Federkonstante ist bei jeder Feder unterschiedlich und wird auch Härte der Feder genannt.
Eine große Federkonstante bedeutet, die Feder ist hart. Es wird eine große Kraft benötigt, um die Feder um eine gewisse Strecke zu dehnen / stauchen.
Somit bedeutet eine kleine Federkonstante, dass die Feder weich ist. Es wird eine kleine Kraft benötigt, um die Feder um eine gewisse Strecke zu dehnen / stauchen.
Bei der Bezeichnung Federkonstante vermutest du vielleicht, dass diese Größe eine Naturkonstante ist. Das ist jedoch nicht der Fall. Im Allgemeinen besitzt jede Feder eine eigene Federkonstante. Konstant heißt an dieser Stelle, dass diese Eigenschaft der Feder unveränderlich ist, solange du im elastischen Bereich bleibst.
Beim Dehnen / Stauchen einer Feder wird eine Kraft benötigt. Um diese Kraft soll es jetzt gehen.
Die Feder- und Spannkraft an einer elastischen Feder
Eine Feder staucht / dehnt sich nicht von allein. Dafür ist eine Kraft notwendig, die Spannkraft.
Laut dem dritten newtonschen Gesetz (mehr dazu im dazugehörigen StudySmarter Artikel) wirkt einer Kraft auch immer eine gleich große Gegenkraft entgegen. Die Kraft, welcher bei der Feder der Spannkraft entgegenwirkt, ist die Federkraft:
Die Federkraft 
einer Feder wirkt beim Dehnen / Stauchen der Feder einer wirkenden Spannkraft 
entgegen und steigt mit der Anspannung der Feder.
Beide Kräfte sind dabei gleich groß und entgegengerichtet. Sie besitzen die Einheit Newton:
Die Spannkraft ist dabei nicht immer nur eine Kraft. Wenn du mit dem Fahrrad über einen Stein fährst, ändert sich die Spannkraft durch verschiedene Faktoren wie z. B. dem Gewicht des Fahrrads und der Größe des Steines über den du fährst. Bedenke also immer, um welche Situation es in einer Aufgabe geht!
Schauen wir uns jetzt an, wie die neuen Größen der Federkonstante und Spannkraft zusammenhängen.
Federkonstante – Hookesches Gesetz
Die Spannkraft 
hat entsprechend der Federkonstante 
einer Feder eine gewisse Dehnung / Stauchung 
und Federkraft 
der Feder zur Folge. Dieser Zusammenhang wird in einem physikalischen Gesetz formuliert, das Hookesche Gesetz:
Wenn du dir eine dieser drei Formeln merkst, kannst du daraus durch gezieltes Umstellen immer auch auf die anderen beiden Formeln kommen! In den meisten Fällen werden die Vektorpfeile über den Größen der Dehnung / Stauchung und der Kräfte hier weggelassen. Das liegt daran, dass davon ausgegangen wird, dass Kraft und Dehnung / Stauchung auf einer Ebene und gleichgerichtet wirken. Wir benutzen also der Einfachheit halber die Beträge dieser Größen.
Die Größen an einer Feder kannst du in der Abbildung 1 noch einmal sehen.
Abb. 1: Größen beim Spannen einer Feder
Die aufzuwendende Spannkraft ist laut den Formeln abhängig von der gewollten Dehnung / Stauchung der Feder. Das ist dir im Alltag vielleicht schon selbst aufgefallen. Je weiter du eine Feder spannst, desto schwieriger wird es sie weiter zu spannen. Probiere das doch das nächste Mal aus, wenn du eine Feder zur Hand hast! (Vorsicht: nicht überspannen, elastischen Bereich beachten!)
Für Berechnungen mit dem Hookeschen Gesetz bedeutet das, dass du je nach Situation darauf achten musst, ob die Feder schon vorher gespannt war oder nicht.
Das Hookesche Gesetz bei vorheriger Spannung einer elastischen Feder
Die wichtigen dabei zu beachtenden Größen sind also nicht immer eine gesamte Spannkraft 
oder die gesamte Dehnung / Stauchung 
. Vielmehr sind die Änderungen dieser Größen situationsbedingt wichtig, wobei das Hookesche Gesetz noch immer gilt:
Das Dreieck vor einer Größe ist das griechische Delta. Es beschreibt im mathematischen Zusammenhang, dass es um eine Änderung der Größe geht.
Gerade bei komplizierteren Sachverhalten ist es oftmals nützlich, alle Größen zusammen in einem Diagramm darzustellen.
Das Kraft-Weg-Diagramm einer elastischen Feder
Egal, ob du mehrere Federn verschiedener Federkonstanten oder eine einzelne Feder genauer untersuchen möchtest – hilfreich ist dabei immer das Kraft-Weg-Diagramm zu zeichnen:
Wie steil oder flach ein Wert in einem Diagramm ansteigt, wird mathematisch auch Anstieg genannt.
In der Abbildung 2 wird bei der Feder der Federkonstante 
mehr Spannkraft bei gleicher Dehnung gebraucht. Das bedeutet, die Feder 1 ist härter als die Feder 2.
Nun kommen wir zur Berechnung mit dem Hookeschen Gesetz.
Berechnung an einer Feder
Mit diesen neuen Größen, gelernten Formeln und Darstellungsmöglichkeiten bist du nun bestens gewappnet, eine große Aufgabe am Beispiel der Autofederung zu berechnen!
Du möchtest mit deiner Familie in den Urlaub fahren. Dafür nehmt ihr das Auto. Euer Auto wiegt im Leerzustand 
. Die Beladung, also deine Familie inklusive Gepäck wiegt insgesamt 
. Du bemerkst, dass sich das Auto durch die zusätzliche Beladung um weitere 
absenkt.
Hinweis: Die Autofederung wird als eine gesamte perfekt elastische Feder angenommen.
Aufgabe 1
a) Berechne die Spannkräfte, welche im Leerzustand des Autos 
, im voll beladenen Zustand 
, und durch die zusätzliche Beladung 
auf die Autofederung wirken.
b) Berechne die Federkonstante 
der Gesamtfederung des Autos.
c) Berechne die Stauchung 
an der Autofederung im leeren Zustand des Autos.
Lösung a
Hier musst du überlegen, durch welche Kraft die Federung gespannt wird. Das gesamte Gewicht des Autos inklusive jeglicher zusätzlicher Beladung sitzt auf der Federung des Autos. In diesem Falle wird die Feder also durch die Gewichtskraft gestaucht.
Eine Gewichtskraft berechnest du allgemein mit der Masse 
und der Erdbeschleunigung (Ortsfaktor) 
:
Hinweis: Der Ortsfaktor beträgt an der Erdoberfläche (findest du in deiner Formelsammlung):
Die Gewichtskraft entspricht hier der Spannkraft, da ansonsten keine weiteren Kräfte auf die Federung wirken.
Damit kannst du also die Kräfte berechnen, welche auf die Federung wirken.
Gehen wir an dieser Stelle Schritt für Schritt durch die Berechnung der wirkenden Kraft im voll beladenen Zustand 
. Diese Berechnung ist für alle drei Situationen weiter unten in einer Tabelle zusammengefasst.
Die wirkende Masse 
ist bei voller Beladung die Leermasse 
und die zusätzliche Masse der Beladung 
.
Du kannst 
an dieser Stelle also so berechnen:
Oftmals sparst du dir aber Rechen- und Schreibarbeit, wenn du erst ganz am Ende die Werte einsetzt.
Die Größen kannst du in die obenstehende Formel für 
einsetzen:
Jetzt ersetzt du 
mit den gegebenen Größen 
und 
und setzt diese in die Formel ein:
Jetzt hast du eine Formel, um die gesuchte Größe 
mit ausschließlich gegebenen Werte zu berechnen. Dafür setzt du Werte für 
, 
und 
zunächst ein:
Daraus berechnest du den Wert für 
:
Nun zu den anderen beiden Situationen:
Im leeren Zustand ist die wirkende Masse nur die des Autos. Die durch die Beladung zusätzlich wirkende Kraft wird durch das Gewicht der Beladung bestimmt. Um die Aufgabe hier etwas kürzer zu halten kannst du die Berechnungen in folgender Tabelle als Übersicht sehen:
| Leerzustand | voll beladener Zustand | nur Beladung |
wirkende Masse  | | | |
Formel der Spannkraft  | | | |
Berechnung der Spannkraft  | | | |
Lösung b
Um die Federkonstante der Autofederung zu berechnen, benötigst du eine Dehnung / Stauchung und die dazugehörige Kraft, welche diese Dehnung / Stauchung verursacht.
In dieser Aufgabe ist nur eine Stauchung gegeben, nämlich 
. Die Kraft welche diese Stauchung verursacht, ist die Spannkraft durch die zusätzliche Beladung 
.
Jetzt hast du also die für diesen Teil der Aufgabe interessanten Größen. Nun brauchst du die Formel für die Federkonstante bei gegebener Kraft und Dehnung / Stauchung:
In die Formel kannst du die interessanten Größen 
und 
einsetzen:
Bevor du die Werte zur Berechnung einsetzt, musst du darauf achten, dass du alle Werte in SI-Einheiten hast! Das bedeutet, anstatt km (Kilometer) oder cm (Zentimeter) die SI-Einheit m (Meter) benutzen. Für die Kraft das Gleiche: anstatt kN (Kilonewton) oder mN (Millinewton) die Kraft in N (Newton) umrechnen.
ist hier in cm gegeben. Das musst du also vorher in m umrechnen (cm zu m mit geteilt durch 100):
Nun setzt du die Werte der Größen in SI-Einheiten in die Formel ein:
Daraus berechnest du die Federkonstante 
der Autofederung:
Lösung c
Um die Stauchung 
an der Autofederung im Leerzustand zu berechnen, musst du wieder die in dieser Situation wirkende Kraft herausfinden. Hier ist es die Spannkraft im Leerzustand 
. Die Federkonstante 
ist hier die schon berechnete. Warum? Weil die Federung sich nicht geändert hat.
Nun brauchst du wieder die Formeln des Hookeschen Gesetzes. Dieses Mal die Stauchung 
in Abhängigkeit einer wirkenden Spannkraft 
auf eine Feder der Federkonstante 
.
Deine Größen kannst du in die Formel einsetzen:
Jetzt kannst du die Werte in SI-Einheiten einsetzen. Die resultierende Größe ist dadurch auch automatisch in SI-Einheiten:
Die Stauchung der Autofederung im Leerzustand 
kannst du jetzt berechnen:
In dieser Aufgabe hast du angenommen, dass alle Federn, welche bei der Autofederung eine Rolle spielen als eine einzige Feder angesehen werden.
Wenn du mehrere Federn im gleichen System benutzt, kannst du diese in fast allen Fällen als eine große Feder zusammenfassen. Wie das geht, erfährst du jetzt!
Die Federkonstante bei Zusammenschaltung von Federn
Im Beispiel des Autos sind alle Reifenfederungen nebeneinander. Die Kraft wirkt auf die Ebene, auf welcher die Federn nebeneinander sind. Diese Federschaltung heißt Parallelschaltung.
Eine andere Form der Zusammenschaltung von Federn ist die Reihenschaltung. Mehr zur Reihenschaltung erfährst du etwas weiter unten.
Schauen wir uns zunächst die Parallelschaltung von Federn etwas genauer an.
Die Federkonstante bei parallel geschalteten Federn
Am Auto werden alle Federn gleichzeitig gestaucht. Die Federn befinden sich dabei auf einer Ebene. Die gesamte Kraft wirkt (meist im rechten Winkel) auf diese Ebene. Dadurch wird die wirkende Kraft auf alle Federn aufgeteilt.
Abb. 3: Parallele Federn unterschiedlicher Federkonstanten einer Autofederung
Im Normalfall besitzen die Federn nicht die gleiche Federkonstante. Das hängt mit der Bauweise des Autos und der unterschiedlichen Belastung je nach Nutzung zusammen.
Die einzelnen parallelen Federkonstanten kannst du nun als eine Gesamtfederkonstante zusammenfassen:
Sind mehrere Federn parallel geschaltet, das heißt die Federn sind auf einer Ebene auf welche eine Kraft wirkt nebeneinander, so kannst du für die gesamte Federschaltung eine Gesamtfederkonstante 
ermitteln.
Die Gesamtfederkonstante (auch Ersatzfederkonstante genannt) 
der Parallelschaltung ist dabei die Summe der Federkonstanten der parallel geschalteten Federn:
Mit der Gesamtfederkonstante kannst du nun genau so weiterrechnen, wie wenn nur eine Feder gegeben wäre.
Die zweite grundsätzliche Art von Federschaltungen ist die Reihenschaltung. Schauen wir diese Schaltung nun etwas genauer an.
Die Federkonstante bei in Reihe geschalteten Federn
Die Reihenschaltung von Federn wird durch ein Beispiel etwas besser verständlich. Stelle dir vor, du legst dich auf dein Bett:
Dein Gewicht drückt dabei auf die Matratze und darunter auch auf den Lattenrost. Matratze und Lattenrost nehmen wir in der Betrachtung als perfekte elastische Federn an.
Abb. 4: Kraft wirkt von oben auf Matratze und darunter auf Lattenrost = Reihenschaltung
Die beiden Federn (Matratze und Lattenrost) sind dabei in Reihe geschaltet. Das bedeutet, die Federn sind in Kraftrichtung hintereinander angeordnet (Kraft von oben → auf Matratze → auf Lattenrost).
Auch in diesem Fall der Reihenschaltung von Federn kannst du für die gesamte Schaltung eine Gesamtfederkonstante ermitteln:
Sind mehrere Federn in Reihe geschaltet, das heißt die Federn sind in Kraftrichtung hintereinander, so kannst du für die gesamte Federschaltung eine Gesamtfederkonstante 
ermitteln.
Der Kehrwert der Gesamtfederkonstante (auch Ersatzfederkonstante genannt) der Reihenschaltung ist dabei die Summe der Kehrwerte der einzelnen Federkonstanten der in Reihe geschalteten Federn:
Nun weißt du, wie du die Ersatzfederkonstanten der Parallel- und Reihenschaltung von Federn ermittelst. Nicht jede Anordnung von Federn ist aber genau eine der beiden Schaltungen. Diese Schaltungen können auch gemischt vorkommen. Wenn dich interessiert, wie du in so einer Situation allgemein vorgehen kannst, schau dir doch die kurze Vertiefung an!
Du weißt nun, wie du die Gesamtfederkonstante einer beliebigen Federschaltung berechnest. Wende dein neues Können doch direkt an einer Aufgabe an!
Gesamtfederkonstante berechnen
In der folgenden Aufgabe berechnest du die Gesamtfederkonstante einer Parallel- und einer Reihenschaltung:
Gegeben sind zwei Federn der Federkonstanten 
und 
.
Aufgabe 2
a) Berechne die Gesamtfederkonstante 
der Schaltung, wenn du beide Federn parallel schaltest.
b) Berechne die Gesamtfederkonstante 
der Schaltung, wenn du beide Federn in Reihe schaltest.
Lösung a
Es geht hier um die Parallelschaltung von Federn. Du hast gelernt, dass sich die Gesamtfederkonstante 
einer Parallelschaltung aus der Summe der Federkonstanten der einzelnen Federn 
und 
ergibt.
Mit diesem Wissen kannst du also folgende Formel aufstellen:
Hier setzt du die Werte der Federkonstanten 
und 
ein. Achte dabei darauf, dass diese in der gleichen Einheit gegeben sein müssen. Die Gesamtfederkonstante 
besitzt dann die gleiche Einheit. In diesem Fall sind die Federkonstanten als normale SI-Größen gegeben. Du kannst also einfach einsetzen:
Mit dieser Summe berechnest du die Gesamtfederkonstante der Parallelschaltung 
:
Lösung b
Hier ist eine Reihenschaltung von Federn gegeben. Du weißt, dass sich der Kehrwert der Gesamtfederkonstante einer Reihenschaltung 
aus der Summe der Kehrwerte der Federkonstanten der einzelnen Federn 
und 
ergibt.
Du kannst also die folgende Formel aufstellen:
Jetzt kannst du die Werte einsetzen. Wie oben schon erwähnt musst du hier keine Einheiten umrechnen:
Aus der Summe berechnest du den Kehrwert der Gesamtfederkonstanten der Reihenschaltung 
:
Bildest du nun den Kehrwert von 
erhältst du die Gesamtfederkonstante der Reihenschaltung 
:
Hier setzt du nun den Wert ein:
Aus der Einheit wird dabei 
und den Kehrwert berechnest du mit 1 durch den Wert der Größe:
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(dadurch auch die gleich große entgegenwirkende benötigte Spannkraft 
) einer elastischen Feder der Federkonstante 
bei einer Dehnung / Stauchung 
der Feder.
ist gleich der wirkenden Spannkraft 
.
schon gespannt und wird durch eine Änderung der Spannkraft 
um eine weitere Strecke 
gespannt, dann gilt die folgende Formel zur Berechnung an einer Feder:
auf der y-Achse in Abhängigkeit der Dehnung 
auf der x-Achse einer Feder.
gibt dabei vor, wie stark oder schwach die Spannkraft 
mit der Dehnung 
ansteigt.
dieser komplizierten Schaltung zu ermitteln, fängst du am besten mit der innersten Verzweigung der Schaltung an und arbeitest dich nach und nach weiter nach außen:
ermitteln (Parallelschaltung von zwei Federn)
ist parallel zu 
, daraus ermittelst du 
ermitteln (Reihenschaltung von zwei Federn)
sind parallel, daraus ermittelst du 
welche deren physikalische Eigenschaft des Federns (die Härte der Feder) beschreibt. Die Federkonstante besitzt das Formelzeichen 
und die Einheit Newton pro Meter:
entgegen eine wirkende Spannkraft
. Beide Größen sind 
, der Federkraft
und der dabei vorkommenden Spannung der Feder
:
je nach Art der Schaltung mithilfe der Federkonstanten der vorkommenden Federn ermitteln:
