Volumen Physik

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Vielleicht hast Du schon einmal beim Frühstücken gelesen, dass eine Packung Milch einen Liter umfasst, oder dass Du pro Tag 1,5-2 Liter Wasser trinken solltest. Dabei ist die Angabe in Litern nichts anderes als eine Volumenangabe.

Volumina kommen in der Physik – aber auch im Alltag – häufig vor. Was ist eigentlich ein Volumen, wie kannst Du es über geometrische Formen – etwa Kugel oder Quader – berechnen und was für Einheiten gibt es?

Volumen Erklärung

Volumina begegnen Dir im Alltag in den verschiedensten Formen und können Dir teils wertvolle Informationen bieten. Möchtest Du beispielsweise wissen, wie viele Sachen in Deinen Rucksack passen, bevor Du ihn kaufst oder ob Dein Koffer für den nächsten Urlaub groß genug ist, solltest Du vorher einen Blick auf die Volumenangabe werfen.

Das Volumen, auch Rauminhalt genannt, beschreibt die räumliche Ausdehnung eines geometrischen Körpers. Es trägt das Formelzeichen $V$ und besitzt die SI-Einheit $\mathrm{m^3}$.

$$\left[V\right]=1 \, \mathrm{m^3}$$

SI-Einheiten sind international genormtes Einheitensystem und werden in Forschung und Wissenschaft weltweit verwendet. Möchtest Du mehr darüber erfahren, schau Dir gerne die Erklärung dazu an.

Du kannst Dir ein Volumen wie eine dreidimensionale Größe im Raum vorstellen. Ein Kubikmeter ist nichts anderes, als der Raum, der in einen 1 mal 1 mal 1 Meter großen Würfel hineinpasst. Dieser ist sehr groß. Gibt es auch andere, handlichere Einheiten für das Volumen?

Volumen Einheiten

Die SI-Einheit von Volumen ist zwar der Kubikmeter, in vielen praktischen Anwendungsfällen ist diese Einheit allerdings zu groß. Deswegen werden zur Beschreibung eines beliebigen Volumens verschiedene Einheiten verwendet. Mithilfe der folgenden Tabelle kannst Du zwischen den verschiedenen Einheiten umrechnen und sehen, woher sie kommen.

Bezeichnung	Einheit	Berechnung
Kubikmeter	m³	$1\: \mathrm{m}^{3} = 1000 \: \mathrm{L} = 1000 \: \mathrm{dm}^{3} $
Kubikdezimeter / Liter	dm³	$ 1\: \mathrm{dm}^{3}= 1 \: \mathrm{L} = 1000 \: \mathrm{cm}^{3} $
Kubikzentimeter / Milliliter	cm³	$ 1\: \mathrm{cm}^{3} = 1 \: \mathrm{mL} = 1000 \: \mathrm{mm}^{3} $
Kubikmillimeter	mm³	$ 1\: \mathrm{mm}^{3} = 0,001 \: \mathrm{cm}^{3} $

Liter wird öfter mit einem kleinen „L“, also „l“, angegeben, als mit dem großen „L“. Hier wurde „L“ genutzt, um bei den Formeln weiter unten klarzumachen, dass es sich hier bei „L“ um die Einheit Liter und bei „l“ um eine Kantenlänge handelt.

Ein paar Beispiele aus dem Alltag wären eine Packung Milch, bei der das Volumen 1 dm³ bzw. 1 Liter groß ist, oder ein Regentropfen, der bis zu 1 cm³ groß werden kann. Im Tierreich hat eine Ameise ein Volumen von ca. 2 mm³.

Je nach Form des betrachteten Körpers kannst Du das Volumen entsprechend einer Formel bestimmen.

Volumen Formel: Kugel, Quader & mehr

Wenn es um die Berechnung von Volumina geht, ist es wichtig, dass Du die richtige Formel verwendest. Welche genau Du benötigst, hängt von der Geometrie des Körpers ab, dessen Volumen Du bestimmen möchtest. Die folgende Tabelle zeigt Dir für einfache geometrische Körper die entsprechenden Formeln an:

Körper	Größen	Volumen Formel
Würfel	a = Kantenlänge	$$V= a^{3}$$
Quader	b = Breite, l = Länge, h = Höhe	$$V=b\cdot l \cdot h$$
Kegel	r = Radius, h = Höhe	$$V= \frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^{3}\cdot h$$
Pyramide	G = Grundfläche, h = Höhe	$$V= \frac{1}{3}\cdot G \cdot h$$
Kugel	r = Radius	$$V= \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot r^{3}$$

Sowohl das Umrechnen von Volumeneinheiten als auch das Berechnen von Volumina kannst Du anhand der folgenden zwei Beispielaufgaben üben.

Volumen berechnen

Das Volumen kann für einfachere Geometrien schnell berechnet werden. Es ist aber wichtig, dass die richtigen Formeln benutzt werden und die Einheiten stimmen.

Aufgabe 1

Du bist mit Deinen Freunden am Strand und möchtest einen Strandball aufpusten. Dazu hast Du eine elektrische Pumpe eingepackt, bei der Du aber das Füllvolumen angeben musst. Du weißt, dass der Ball einen Radius von $r=0,5 \mathrm{m}$ besitzt.

Berechne das Volumen $V$ des Strandballs.

Lösung

Im ersten Schritt überlegst Du Dir, um welchen geometrischen Körper es sich handelt, damit Du die richtige Formel verwendest. Da es sich in diesem Beispiel um eine Kugel handelt, benutzt Du zur Berechnung entsprechend die Formel für das Volumen einer Kugel.

$$V= \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot r^{3}$$

Das Volumen $V$ ist gesucht. Die Formel ist somit schon richtig aufgestellt und Du kannst einsetzen sowie berechnen.

\begin{align}V&= \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot 0,5m^{3} \\ \\ V&=0,524 m^{3}\end{align}

Das Volumen des Strandballs beträgt somit $V=0,524 \, \mathrm{m^3}$.

Da Du auch häufig mit verschiedenen Einheiten rechnen wirst, erhältst Du mit der zweiten Aufgabe etwas Übung mit dem Umrechnen von Einheiten.

Aufgabe 2

Ein Medikamenten-Hersteller kauft ein neues, flüssiges Medikament in Flaschen ein, welche ein Volumen von $ V_F = 1,2 \, \mathrm{dm^3}$ besitzen. Diese sollen umgefüllt werden in kleinere Verpackungen, die auch in Apotheken verkauft werden können. Der Hersteller gibt pro Verpackung ein Volumen von $V_V=5 \, \mathrm{cm^3}$ an.

Berechne, wie viele Verpackungen mit einer Flasche befüllt werden können.

Lösung

Im ersten Schritt überlegst Du Dir, wie viel $\mathrm{cm^3}$ in einem $\mathrm{dm^3}$ stecken und schreibst das als Formel genauso hin.

1. Wie viel $\mathrm{cm^3}$ stecken in einem $\mathrm{dm^3}$ und wie viel $\mathrm{cm^3}$ enthält eine Flasche?

\begin{align}1 \, \mathrm{dm^3}&=10 \, \mathrm{cm} \cdot 10 \, \mathrm{cm} \cdot 10 \, \mathrm{cm} \\1 \, \mathrm{dm^3}&=1000 \, \mathrm{cm^3}\\ \\V_F&= 1,2 \, \mathrm{dm^3} \\&= 1,2 \cdot 1 \, \mathrm{dm^3} \\&= 1,2 \cdot 1000 \, \mathrm{cm^3}\\&=1200 \, \mathrm{cm^3}\end{align}

2. Wie viele Verpackungen können mit einer Flasche befüllt werden?

\begin{align}\text{Anzahl Verpackungen} &= \frac{\text{Volumen Flasche}}{\text{Volumen Verpackung}} \\ \\&=\frac{V_F}{V_V} \\ \\&=\frac{1200 \cancel{\mathrm{cm^3}}}{5\cancel{\mathrm{cm^3}}} \\ \\&=240\end{align}

Damit können mit einer Flasche genau $240$ Verpackungen befüllt werden.

Je nach Situation kannst Du somit eine Formel für das Volumen aufstellen. Die jeweilige Einheit richtet sich dabei nach dem untersuchten Körper und dem Anwendungsgebiet. Im Alltag wird oft Liter verwendet, auch wenn es sich dabei nicht um eine Flüssigkeit handelt. Das liegt daran, weil es für viele Personen einfacher ist, sich einen Liter vorzustellen, als einen Kubikdezimeter.

Volumen – Das Wichtigste

Das Volumen, auch Rauminhalt genannt, beschreibt die räumliche Ausdehnung eines geometrischen Körpers.
Die SI-Einheit des Volumens ist der Kubikmeter.$$\left[V\right]=1 \, \mathrm{m^3}$$

Im Alltag werden oft auch andere – hauptsächlich kleinere – Einheiten für das Volumen verwendet.

Bezeichnung	Einheit	Berechnung
Kubikmeter	m³	$1\: \mathrm{m}^{3} = 1000 \: \mathrm{L} = 1000 \: \mathrm{dm}^{3} $
Kubikdezimeter / Liter	dm³	$ 1\: \mathrm{dm}^{3}= 1 \: \mathrm{L} = 1000 \: \mathrm{cm}^{3} $
Kubikzentimeter / Milliliter	cm³	$ 1\: \mathrm{cm}^{3} = 1 \: \mathrm{mL} = 1000 \: \mathrm{mm}^{3} $
Kubikmillimeter	mm³	$ 1\: \mathrm{mm}^{3} = 0,001 \: \mathrm{cm}^{3} $

\[ \]

Einfache Formeln für das Volumen sind lediglich bei geometrisch simpleren Körpernmöglich. Für komplexere Geometrien werden Integrale oder eine numerische Lösung benötigt.

Körper	Größen	Volumen Formel
Würfel	a = Kantenlänge	$$V= a^{3}$$
Quader	b = Breite, l = Länge, h = Höhe	$$V=b\cdot l \cdot h$$
Kegel	r = Radius, h = Höhe	$$V= \frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^{3}\cdot h$$
Pyramide	G = Grundfläche, h = Höhe	$$V= \frac{1}{3}\cdot G \cdot h$$
Kugel	r = Radius	$$V= \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot r^{3}$$

Häufig gestellte Fragen zum Thema Volumen Physik

Mithilfe der Differenzmethode kann das Volumen eines beliebigen Körpers bestimmt werden. Dabei wird der Körper vollständig in ein Flüssigkeitsbad getaucht und der Füllstand vorher mit nachher verglichen. Die verdrängte Flüssigkeitsmenge entspricht dem Volumen des Körpers.

Bei einfachen geometrischen Körpern, wie einem Würfel oder Quader, kann die Höhe mit der Breite und der Länge multipliziert werden, um das Volumen zu erhalten. Bei komplexeren Geometrien wird die Rechnung komplizierter oder nur noch numerisch lösbar.

Das Volumen eines Rechtecks erhält man, indem die Höhe mit der Breite und Länge multipliziert wird.

V=l*b*h

Um das Volumen einer Flüssigkeit zu berechnen, wird vorerst das Volumen eines Behälters bestimmt. Füllt man anschließend die Flüssigkeit in den Behälter, kann das Volumen anhand des Füllstandes abgelesen werden.

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Entscheide, welche der folgenden Einheiten zum Volumen gehören.

V³

Gib die Formel für die Berechnung des Volumens einer Kugel an.

$$V= \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot r^{3}$$

Nenne die Einheit, die im Alltag häufig anstelle von Kubikdezimeter verwendet wird.

Liter

Wähle aus, wie sich das Volumen eines Würfels verändert, wenn Du die Kantenlänge verdoppelst.

Volumen wird verdoppelt

Überlege Dir eine Vorgehensweise, wie Du das Volumen eines Körpers bestimmen kannst, wenn dieser keiner typischen geometrischen Form entspricht.

Du kannst den Körper in kleinere Teile unterteilen, die entweder fast identisch oder gleich einer typischen geometrischen Form sind. Die Volumina der jeweiligen Anteile kannst Du dann zusammenrechnen und so das Volumen des Körpers bestimmen.

Ein anderer Weg wäre – wenn der Körper es zulässt – den Körper mit Wasser zu füllen oder komplett in Wasser einzutauchen. Beim Füllen kannst Du das Volumen des Wassers über geeignete Gefäße bestimmen. Beim Eintauchen kannst Du schauen, wie viel Wasser verdrängt wird, wenn der Körper wasserdicht ist.

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