Körper | Größen | Volumen Formel |
| Würfel | a = Kantenlänge | $$V= a^{3}$$ |
Quader | b = Breite, l = Länge, h = Höhe | $$V=b\cdot l \cdot h$$ |
Kegel | r = Radius, h = Höhe | $$V= \frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^{3}\cdot h$$ |
| Pyramide | G = Grundfläche, h = Höhe | $$V= \frac{1}{3}\cdot G \cdot h$$ |
Kugel | r = Radius | $$V= \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot r^{3}$$ |
Sowohl das Umrechnen von Volumeneinheiten als auch das Berechnen von Volumina kannst Du anhand der folgenden zwei Beispielaufgaben üben.
Volumen berechnen
Das Volumen kann für einfachere Geometrien schnell berechnet werden. Es ist aber wichtig, dass die richtigen Formeln benutzt werden und die Einheiten stimmen.
Aufgabe 1
Du bist mit Deinen Freunden am Strand und möchtest einen Strandball aufpusten. Dazu hast Du eine elektrische Pumpe eingepackt, bei der Du aber das Füllvolumen angeben musst. Du weißt, dass der Ball einen Radius von \(r=0,5 \mathrm{m}\) besitzt.
Berechne das Volumen \(V\) des Strandballs.
Lösung
Im ersten Schritt überlegst Du Dir, um welchen geometrischen Körper es sich handelt, damit Du die richtige Formel verwendest. Da es sich in diesem Beispiel um eine Kugel handelt, benutzt Du zur Berechnung entsprechend die Formel für das Volumen einer Kugel.
$$V= \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot r^{3}$$
Das Volumen \(V\) ist gesucht. Die Formel ist somit schon richtig aufgestellt und Du kannst einsetzen sowie berechnen.
\begin{align}V&= \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot 0,5m^{3} \\ \\ V&=0,524 m^{3}\end{align}
Das Volumen des Strandballs beträgt somit \(V=0,524 \, \mathrm{m^3}\).
Da Du auch häufig mit verschiedenen Einheiten rechnen wirst, erhältst Du mit der zweiten Aufgabe etwas Übung mit dem Umrechnen von Einheiten.
Aufgabe 2
Ein Medikamenten-Hersteller kauft ein neues, flüssiges Medikament in Flaschen ein, welche ein Volumen von \( V_F = 1,2 \, \mathrm{dm^3}\) besitzen. Diese sollen umgefüllt werden in kleinere Verpackungen, die auch in Apotheken verkauft werden können. Der Hersteller gibt pro Verpackung ein Volumen von \(V_V=5 \, \mathrm{cm^3}\) an.
Berechne, wie viele Verpackungen mit einer Flasche befüllt werden können.
Lösung
Im ersten Schritt überlegst Du Dir, wie viel \(\mathrm{cm^3}\) in einem \(\mathrm{dm^3}\) stecken und schreibst das als Formel genauso hin.
1. Wie viel \(\mathrm{cm^3}\) stecken in einem \(\mathrm{dm^3}\) und wie viel \(\mathrm{cm^3}\) enthält eine Flasche?
\begin{align}1 \, \mathrm{dm^3}&=10 \, \mathrm{cm} \cdot 10 \, \mathrm{cm} \cdot 10 \, \mathrm{cm} \\1 \, \mathrm{dm^3}&=1000 \, \mathrm{cm^3}\\ \\V_F&= 1,2 \, \mathrm{dm^3} \\&= 1,2 \cdot 1 \, \mathrm{dm^3} \\&= 1,2 \cdot 1000 \, \mathrm{cm^3}\\&=1200 \, \mathrm{cm^3}\end{align}
2. Wie viele Verpackungen können mit einer Flasche befüllt werden?
\begin{align}\text{Anzahl Verpackungen} &= \frac{\text{Volumen Flasche}}{\text{Volumen Verpackung}} \\ \\&=\frac{V_F}{V_V} \\ \\&=\frac{1200 \cancel{\mathrm{cm^3}}}{5\cancel{\mathrm{cm^3}}} \\ \\&=240\end{align}
Damit können mit einer Flasche genau \(240\) Verpackungen befüllt werden.
Je nach Situation kannst Du somit eine Formel für das Volumen aufstellen. Die jeweilige Einheit richtet sich dabei nach dem untersuchten Körper und dem Anwendungsgebiet. Im Alltag wird oft Liter verwendet, auch wenn es sich dabei nicht um eine Flüssigkeit handelt. Das liegt daran, weil es für viele Personen einfacher ist, sich einen Liter vorzustellen, als einen Kubikdezimeter.
Volumen – Das Wichtigste
- Das Volumen, auch Rauminhalt genannt, beschreibt die räumliche Ausdehnung eines geometrischen Körpers.
- Die SI-Einheit des Volumens ist der Kubikmeter.$$\left[V\right]=1 \, \mathrm{m^3}$$
- Im Alltag werden oft auch andere – hauptsächlich kleinere – Einheiten für das Volumen verwendet.
Bezeichnung | Einheit | Berechnung |
Kubikmeter | m3 | \(1\: \mathrm{m}^{3} = 1000 \: \mathrm{L} = 1000 \: \mathrm{dm}^{3} \) |
Kubikdezimeter / Liter | dm3 | \( 1\: \mathrm{dm}^{3}= 1 \: \mathrm{L} = 1000 \: \mathrm{cm}^{3} \) |
Kubikzentimeter / Milliliter | cm3 | \( 1\: \mathrm{cm}^{3} = 1 \: \mathrm{mL} = 1000 \: \mathrm{mm}^{3} \) |
Kubikmillimeter | mm3 | \( 1\: \mathrm{mm}^{3} = 0,001 \: \mathrm{cm}^{3} \) |
\[ \] - Einfache Formeln für das Volumen sind lediglich bei geometrisch simpleren Körpernmöglich. Für komplexere Geometrien werden Integrale oder eine numerische Lösung benötigt.
Körper | Größen | Volumen Formel |
| Würfel | a = Kantenlänge | $$V= a^{3}$$ |
Quader | b = Breite, l = Länge, h = Höhe | $$V=b\cdot l \cdot h$$ |
Kegel | r = Radius, h = Höhe | $$V= \frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^{3}\cdot h$$ |
| Pyramide | G = Grundfläche, h = Höhe | $$V= \frac{1}{3}\cdot G \cdot h$$ |
Kugel | r = Radius | $$V= \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot r^{3}$$ |
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