Schwebung

Destruktive Interferenz tritt wiederum auf, wenn Wellenberg auf Wellental trifft. Dies ist der Fall, wenn die beiden Wellen um die halbe Wellenlänge zueinander verschoben sind. Bei gleich großen Amplituden der Teilwellen löschen sich diese vollständig aus.

Sind die Amplituden unterschiedlich groß, so kommt es ebenfalls zu destruktiver oder konstruktiver Interferenz. Allerdings löschen sie sich im Fall der destruktiven Interferenz dann nicht vollständig aus, die Amplitude der Gesamtwelle wird lediglich kleiner.

Schwebung Physik

Schau Dir die Überlagerung zweier Wellen an, deren Amplituden gleich sind, die Wellenlängen sich jedoch geringfügig voneinander unterscheiden:

Abb. 2 - Interferenz zweier Wellen unterschiedlicher Wellenlängen

Dabei ist die Wellenlänge der ersten Welle etwas kürzer als die der zweiten Welle. Wenn diese Wellen miteinander interferieren, so kommt es abwechselnd zur konstruktiven und destruktiven Interferenz:

1. Wellenberg trifft auf Wellenberg: Es kommt zur konstruktiven Interferenz, wobei sich die Amplituden der Teilwellen zur maximalen Amplitude der Gesamtwelle addieren.

2. Wellental trifft auf Wellenberg: Es kommt zur destruktiven Interferenz und die Teilwellen löschen sich an dieser Stelle aus. Die Amplitude der Gesamtwelle ist somit Null.

3. Wellenberg trifft erneut auf Wellenberg und es kommt wieder zur konstruktiven Interferenz. Die Amplitude der Gesamtwelle erreicht dabei ihr Maximum.

Zwischen dem 1. und dem 2. Punkt nimmt die Amplitude der Gesamtwelle stetig ab. Bevor es allerdings erneut zum Maximum bei Punkt 3 kommt, nimmt die Amplitude wieder zu. Das Zu- und Abnehmen der Amplitude erfolgt dabei periodisch.

Schwebung Definition

Durch Interferenz zweier Wellen mit unterschiedlichen Wellenlängen, die allerdings nahe beieinander liegen, kommt es abwechselnd zur konstruktiven und destruktiven Interferenz. Dadurch ändert sich die Amplitude der resultierenden Welle periodisch. Dies bezeichnest Du als Schwebung.

Bei der Schwebung ändert sich die Amplitude der Welle mit der Zeit – sie schwingt also.

Schwebung Formel

Da die beiden Wellen sich nach dem Superpositionsprinzip addieren, kannst Du die Formel der Schwebung \(x(t)\) durch Addition von \(x_1\) und \(x_2\) aufstellen:

\begin{align}{\color{gelb}x(t)}&={\color{gruen}x_1(t)}+{\color{blau}x_2(t)}\\ \\ &={\color{gruen}x_0\cdot \cos(2\cdot\pi\cdot f_1\cdot t)}+{\color{blau}x_0\cdot \cos(2\cdot\pi\cdot f_2\cdot t)}\\ \\ &=x_0\cdot\Big(\cos(2\cdot\pi\cdot f_1\cdot t)+\cos(2\cdot\pi\cdot f_2\cdot t)\Big)\end{align}

An dieser Stelle kannst Du die Formel durch folgende Umformung vom Cosinus weiter umformen:

$$\cos(a)+\cos(b)=2\cdot \cos\Bigg(\frac{a-b}{2}\Bigg)\cdot\cos\Bigg(\frac{a+b}{2}\Bigg)$$

Mit \(a=2\cdot\pi\cdot f_1\cdot t\) und \(b=2\cdot\pi\cdot f_2\cdot t\) erhältst Du daraus die Formel für die Schwebung:

\begin{align}x(t)&=2\cdot x_0\cdot\cos\Bigg(\frac{2\cdot\pi\cdot f_1\cdot t-2\cdot\pi\cdot f_2\cdot t}{2}\Bigg)\cdot\cos\Bigg(\frac{2\cdot\pi\cdot f_1\cdot t+2\cdot\pi\cdot f_2\cdot t}{2}\Bigg)\\ \\ &=2\cdot x_0\cdot\underbrace{\cos\Bigg(2\cdot\pi\cdot\frac{f_1- f_2}{2}\cdot t\Bigg)}_{{\color{gelb}\text{Schwebung (Einhüllende)}}}\cdot\underbrace{\cos\Bigg(2\cdot\pi\cdot\frac{ f_1+ f_2}{2}\cdot t\Bigg)}_{{\color{lila}\text{Welle}}}\end{align}

Dabei beschreibt der erste Cosinus-Term die Schwebung und der zweite Term beschreibt die resultierende Welle an sich. Vergleichst Du diese Terme mit den Formeln für \(x_1(t)\) bzw. \(x_2(t)\), so kannst Du die Ausdrücke

$$\frac{f_1- f_2}{2}\qquad\text{und}\qquad\frac{ f_1+ f_2}{2}$$

mit den jeweiligen Frequenzen assoziieren.

Schwebung Frequenz

Hier unterscheidest Du zwischen der Frequenz, mit der die – aus der Überlagerung resultierende – Welle schwingt und der Schwebungsfrequenz, die sich aus der einhüllenden Welle ergibt.

Abb. 5 - Bestimmung der Schwebungsfrequenz