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Schwebung

Schwebung

\(\definecolor{blau}{RGB}{20,120,200} \definecolor{gruen}{RGB}{0,220,180} \definecolor{gelb}{RGB}{255,205,0} \definecolor{lila}{RGB}{131,99,226}\)

Die Interferenz von Wellen erklärt einige interessante Welleneigenschaften – unter anderem die Schwebung. Diese findet etwa beim Stimmen von Instrumenten oder beim Entziffern von Morsenachrichten mit dem Schwebungssummer Anwendung.

In dieser Erklärung erfährst Du, wie die Schwebung in der Physik definiert wird und wie Du sie als Schwingung und Welle erklären kannst, so wie die Formel der Schwebungsfrequenz.

Interferenz

Wenn zwei Wellen aufeinandertreffen, können sie sich nach dem Superpositionsprinzip zu einer Gesamtwelle überlagern. Dabei addieren sich ihre Amplituden und je nach Lage zueinander kann es zur konstruktiven oder destruktiven Interferenz kommen.

Wenn sich die beiden Wellen verstärken und die resultierende Amplitude größer ist, als die Amplituden der Teilwellen, so sprichst Du von konstruktiver Interferenz. Destruktive Interferenz besteht wiederum, wenn sich die beiden Wellen auslöschen.

Du möchtest mehr zu Interferenz lesen? Dann schau gern in die entsprechende Erklärung.

Konstruktive Interferenz tritt dabei auf, wenn Wellenberg (bzw. Wellental) der ersten Welle auf Wellenberg (bzw. Wellental) der zweiten Welle treffen. Dies geschieht immer dann, wenn die Wellen um ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge zueinander verschoben sind. In diesem Fall ist die Amplitude der Gesamtwelle maximal:

Destruktive Interferenz tritt wiederum auf, wenn Wellenberg auf Wellental trifft. Dies ist der Fall, wenn die beiden Wellen um die halbe Wellenlänge zueinander verschoben sind. Bei gleich großen Amplituden der Teilwellen löschen sich diese vollständig aus.

Sind die Amplituden unterschiedlich groß, so kommt es ebenfalls zu destruktiver oder konstruktiver Interferenz. Allerdings löschen sie sich im Fall der destruktiven Interferenz dann nicht vollständig aus, die Amplitude der Gesamtwelle wird lediglich kleiner.

Überlagerst Du wiederum Wellen unterschiedlicher Wellenlänge (bzw. Frequenz), so kann es zur Schwebung kommen.

Schwebung Physik

Schau Dir die Überlagerung zweier Wellen an, deren Amplituden gleich sind, die Wellenlängen sich jedoch geringfügig voneinander unterscheiden:

Dabei ist die Wellenlänge der ersten Welle etwas kürzer als die der zweiten Welle. Wenn diese Wellen miteinander interferieren, so kommt es abwechselnd zur konstruktiven und destruktiven Interferenz:

  1. Wellenberg trifft auf Wellenberg: Es kommt zur konstruktiven Interferenz, wobei sich die Amplituden der Teilwellen zur maximalen Amplitude der Gesamtwelle addieren.

  2. Wellental trifft auf Wellenberg: Es kommt zur destruktiven Interferenz und die Teilwellen löschen sich an dieser Stelle aus. Die Amplitude der Gesamtwelle ist somit Null.

  3. Wellenberg trifft erneut auf Wellenberg und es kommt wieder zur konstruktiven Interferenz. Die Amplitude der Gesamtwelle erreicht dabei ihr Maximum.

Zwischen dem 1. und dem 2. Punkt nimmt die Amplitude der Gesamtwelle stetig ab. Bevor es allerdings erneut zum Maximum bei Punkt 3 kommt, nimmt die Amplitude wieder zu. Das Zu- und Abnehmen der Amplitude erfolgt dabei periodisch.

Schwebung Definition

Durch Interferenz zweier Wellen mit unterschiedlichen Wellenlängen, die allerdings nahe beieinander liegen, kommt es abwechselnd zur konstruktiven und destruktiven Interferenz. Dadurch ändert sich die Amplitude der resultierenden Welle periodisch. Dies bezeichnest Du als Schwebung.

Schwebung ist die periodische Änderung der Amplitude einer Welle.

Bei der Schwebung ändert sich die Amplitude der Welle mit der Zeit – sie schwingt also.

Schwebung Schwingung

Die Schwingung der Amplitude kannst Du Dir am besten im Vergleich mit einer Welle vorstellen, deren Amplitude konstant ist:

Im Gegensatz zur Welle mit einer konstanten Amplitude wird die Amplitude der Welle bei einer Schwebung mit der Zeit immer kleiner und dann größer.

Schwebung Welle

Die Schwingung der Amplituden breitet sich im Raum als Welle aus:

Die Frequenz \(f\), mit der die Amplitude schwingt, ist über die Geschwindigkeit \(v\) der Welle mit ihrer Wellenlänge \(\lambda\) verbunden:

$$\lambda=\frac{v}{f}$$

Daraus berechnest Du die Frequenz der Schwebung. Sowohl diese als auch die Schwebung selbst kannst Du durch Formeln ausdrücken.

Schwebung – mathematische Beschreibung

Die Schwebung entsteht als Überlagerung zweier Wellen. Da diese periodisch sind, kannst Du sie durch eine Sinus- oder Cosinusfunktion beschreiben. Mit der jeweiligen Frequenz \(f_1\) bzw. \(f_2\) lässt sich der zeitliche Verlauf der ersten oder der zweiten Welle durch \(x_1(t)\) bzw. \(x_2(t)\) beschreiben. Dabei gehst Du davon aus, dass beide Wellen dieselbe Amplitude \(x_0\) haben:

\begin{align}{\color{gruen}x_1(t)}&{\color{gruen}=x_0\cdot \cos(2\cdot\pi\cdot f_1\cdot t)}\\ \\ {\color{blau}x_2(t)}&{\color{blau}=x_0\cdot \cos(2\cdot\pi\cdot f_2\cdot t)}\end{align}

In diesem Fall wird der Cosinus verwendet. Genauso gut könntest Du die Formeln aber auch mit dem Sinus aufstellen.

Mithilfe dieser Gleichungen kannst Du nun auch Schwebung beschreiben.

Schwebung Formel

Da die beiden Wellen sich nach dem Superpositionsprinzip addieren, kannst Du die Formel der Schwebung \(x(t)\) durch Addition von \(x_1\) und \(x_2\) aufstellen:

\begin{align}{\color{gelb}x(t)}&={\color{gruen}x_1(t)}+{\color{blau}x_2(t)}\\ \\ &={\color{gruen}x_0\cdot \cos(2\cdot\pi\cdot f_1\cdot t)}+{\color{blau}x_0\cdot \cos(2\cdot\pi\cdot f_2\cdot t)}\\ \\ &=x_0\cdot\Big(\cos(2\cdot\pi\cdot f_1\cdot t)+\cos(2\cdot\pi\cdot f_2\cdot t)\Big)\end{align}

An dieser Stelle kannst Du die Formel durch folgende Umformung vom Cosinus weiter umformen:

$$\cos(a)+\cos(b)=2\cdot \cos\Bigg(\frac{a-b}{2}\Bigg)\cdot\cos\Bigg(\frac{a+b}{2}\Bigg)$$

Mit \(a=2\cdot\pi\cdot f_1\cdot t\) und \(b=2\cdot\pi\cdot f_2\cdot t\) erhältst Du daraus die Formel für die Schwebung:

\begin{align}x(t)&=2\cdot x_0\cdot\cos\Bigg(\frac{2\cdot\pi\cdot f_1\cdot t-2\cdot\pi\cdot f_2\cdot t}{2}\Bigg)\cdot\cos\Bigg(\frac{2\cdot\pi\cdot f_1\cdot t+2\cdot\pi\cdot f_2\cdot t}{2}\Bigg)\\ \\ &=2\cdot x_0\cdot\underbrace{\cos\Bigg(2\cdot\pi\cdot\frac{f_1- f_2}{2}\cdot t\Bigg)}_{{\color{gelb}\text{Schwebung (Einhüllende)}}}\cdot\underbrace{\cos\Bigg(2\cdot\pi\cdot\frac{ f_1+ f_2}{2}\cdot t\Bigg)}_{{\color{lila}\text{Welle}}}\end{align}

Dabei beschreibt der erste Cosinus-Term die Schwebung und der zweite Term beschreibt die resultierende Welle an sich. Vergleichst Du diese Terme mit den Formeln für \(x_1(t)\) bzw. \(x_2(t)\), so kannst Du die Ausdrücke

$$\frac{f_1- f_2}{2}\qquad\text{und}\qquad\frac{ f_1+ f_2}{2}$$

mit den jeweiligen Frequenzen assoziieren.

Schwebung Frequenz

Hier unterscheidest Du zwischen der Frequenz, mit der die – aus der Überlagerung resultierende Welle schwingt und der Schwebungsfrequenz, die sich aus der einhüllenden Welle ergibt.

Dabei kannst Du die Schwingungsfrequenz der Welle \(f\) als Mittelwert der beiden Teilfrequenzen \(f_1\) und \(f_2\) an der Formel für die Schwebung ablesen:

$$f=\frac{ f_1+ f_2}{2}$$

Die Schwebungsfrequenz \(f_S\) folgt wiederum aus der Frequenz \(f'\) der einhüllenden Welle, die Du an der Formel der Schwebung als

$$f'=\frac{f_1- f_2}{2}$$

ablesen kannst. Die Schwebung an sich hat die doppelte Frequenz, da sie bei halber Frequenz bereits zwei Maxima durchläuft. Deswegen entspricht die Schwebungsfrequenz \(f_S\) der doppelten Frequenz \(f'\), sodass der Faktor \(\frac{1}{2}\) aus der Formel entfällt. Da es nicht wichtig ist, ob die erste oder die zweite Welle eine höhere Frequenz hat, wird dabei stets der Betrag ihrer Differenz genommen.

Die Schwebungsfrequenz \(f_S\) entspricht der Schwingungsfrequenz der Amplitude. Du kannst sie berechnen mit:

$$f_S=|f_1- f_2|$$

Dabei sind \(f_1\) und \(f_2\) die Frequenzen der beiden Teilwellen, die sich zur Schwebung überlagern.

Der Betrag wird durch die Betragsstriche \(|...|\) symbolisiert und bedeutet, dass der darin stehende Wert immer ein positives Vorzeichen bekommt. Der Betrag von \(-1\), also \(|-1|\), ergibt genau 1.

Je kleiner die Differenz der beiden Teilfrequenzen ist, desto kleiner ist auch die Schwebungsfrequenz.

Nach so viel Theorie bleibt nur noch eine Sache zu klären: Wie wird die Schwebung erzeugt und wo kannst Du ihr im Alltag begegnen?

Schwebung Anwendung

Schwebung kann bei jeder Art von Wellen auftreten. Allerdings findet sie bei Schallwellen in der Akustik die häufigste Anwendung. Dort werden etwa Instrumente mit ihrer Hilfe gestimmt.

Schwebung in der Akustik

Töne, Klänge und Geräusche werden durch Schallwellen verursacht. Schall im Frequenzbereich zwischen \(20\,\mathrm{Hz}\) und \(20000\,\mathrm{Hz}\) kannst Du dabei hören. Die genaue Frequenz einer Schallwelle gibt sogar die Tonhöhe an: Hohe Frequenzen ergeben einen hohen Ton. Niedrige Frequenzen führen wiederum zu einem tiefen Ton.

Mehr dazu kannst Du bei „Töne“ oder der allgemeinen Erklärung zum Schall nachlesen.

Aus der Amplitude der Schallwelle kannst Du wiederum auf die Lautstärke schließen. Hat die Schallwelle etwa eine konstante Amplitude, so hört sie sich zu jedem Zeitpunkt gleich laut an. Die Schwebung hingegen macht sich als ein Ton bemerkbar, dessen Lautstärke periodisch lauter und leiser wird.

Je kleiner nun die Schwebungsfrequenz ist, desto schneller schwingt die Lautstärke der Schwebung. Unterhalb der Hörgrenze bei \(f_S=20\,\mathrm{Hz}\) kannst Du gar nicht mehr hören, dass die Lautstärke periodisch zwischen laut und leise schwingt. In diesem Fall hört sich der Ton an, als hätte er eine konstante Lautstärke. Dies wird etwa beim Stimmen von Instrumenten ausgenutzt.

Wenn Du Dein Instrument stimmen möchtest, so verwendest Du für jeden Ton einen Stimmton als Referenz. Spielst Du diesen gleichzeitig mit dem Ton Deines Instruments ab, so kommt es zur Schwebung, sofern sich die Frequenzen des Referenztons und Deines gespielten Tons unterscheiden. Dies äußert sich darin, dass die Lautstärke vom resultierenden Ton periodisch schwingt.

Jetzt stimmst Du Dein Instrument so lange, bis die Lautstärke konstant bleibt. In diesem Fall verschwindet die Schwebung, da die Frequenzen des Referenztons und des von Dir gespielten Tons entweder übereinstimmen oder so nahe beieinander liegen, dass Du sie nicht mehr auseinanderhalten kannst.

Außerhalb der Akustik kann sich Schwebung auch in der Kommunikationstechnik als äußerst nützlich erweisen.

Schwebungssummer

Hast Du schon mal etwas vom Morsen gehört?

Bevor es das Internet oder gar das Telefon gab, wurde Morsen als ein wichtiges Mittel zur Kommunikation verwendet. Dabei wurde die Nachricht im Morsecode – einer Abfolge von Strichen, Punkten und Pausen – als kurzwelliger Schall an einen Empfänger übertragen und von diesem ausgelesen. Mit modernen Kommunikationsmethoden rückte das Morsen immer weiter in den Hintergrund und wird heutzutage nur noch von Enthusiasten betrieben.

Allerdings liegen Morse-Signale nicht im hörbaren Frequenzbereich. Um sie dennoch hörbar zu machen, benötigst Du einen sogenannten Schwebungssummer. Am Schwebungssummer kannst Du nämlich eine Schallwelle erzeugen, die sich mit dem Morse-Signal überlagert. Dabei wählst Du die Frequenz möglichst so, dass sie nahe der Frequenz des Morse-Signals liegt.

Dabei kommt es zwar zwangsläufig zur Schwebung, doch das ist nur ein Nebeneffekt. Die praktischere Konsequenz ist nämlich die Frequenzverschiebung.

Stell Dir vor, Du erhältst eine Nachricht im Morsecode bei einer Frequenz \(f_{\text{Empfang}}=40000\,\mathrm{Hz}\). Leider kannst Du in diesem Frequenzbereich nicht mehr hören und deswegen benutzt Du einen Schwebungssummer.

Am Schwebungssummer stellst Du eine Frequenz von \(f_{\text{Schwebungssummer}}=35000\,\mathrm{Hz}\) ein. Die dabei erzeugte Schallwelle überlagert sich mit dem eintreffenden Signal und es kommt zur Schwebung. Die entsprechende Schwebungsfrequenz \(f_S\) beträgt:

\begin{align}f_S&=|f_{\text{Empfang}}-f_{\text{Schwebungssummer}}|\\ \\ &=|40000\,\mathrm{Hz}-35000\,\mathrm{Hz}|\\ \\ &=5000\,\mathrm{Hz}\end{align}

Diese Frequenz kannst Du nun problemlos durch das Gehör wahrnehmen.

Der Schwebungssummer hilft Dir also, nicht hörbare Frequenzen in den hörbaren Bereich zu verschieben. In modernen Geräten wird das modulierte Signal anschließend gefiltert und verstärkt, bevor Du die Nachricht entziffern kannst!

Schwebung – Das Wichtigste

  • Durch Interferenz können sich Wellen verstärken (konstruktive Interferenz) oder auslöschen (destruktive Interferenz).

  • Haben die interferierenden Wellen eine unterschiedliche Frequenz, so kommt es zur Schwebung.

    • Schwebung entsteht durch abwechselnde konstruktive und destruktive Interferenz.
    • Bei Schwebung ändert sich die Amplitude der resultierenden Welle periodisch.
    • Die Schwingung der Amplitude breitet sich als Welle im Raum aus.
  • Die Schwebungsfrequenz \(f_S\) gibt die Frequenz an, mit der die Amplitude schwingt. Sie kann als Differenz der Frequenzen der beiden Teilwellen \(f_1\) und \(f_2\) berechnet werden: $$f_S=|f_1-f_2|$$ Da dabei egal ist, welche Welle höhere Frequenz hat, wird der Betrag genommen.
  • Bei Schallwellen gibt die Frequenz der resultierenden Welle die Tonhöhe an. Die Schwebungsfrequenz bestimmt, mit welcher Frequenz sich die Lautstärke (Amplitude) ändert. Dies wird zum Stimmen von Instrumenten verwendet.

  • Mit einem Schwebungssummer kannst Du nicht hörbare Schallwellen in den hörbaren Bereich „verschieben“.

Nachweise

  1. physikbuch.schule: 8.7 Einfache Überlagerung von Schwingungen. (04.11.2022)
  2. ulfkonrad.de: Überlagerung von Schwingungen - Schwebung. (04.11.2022)
  3. mint-digital.de: Musikinstrumente stimmen: Schwebung sichtbar machen. (04.11.2022)
  4. qsl.net: Morsetelegrafieseite DK5KE. (04.11.2022)
  5. industrial-electronics.com: Radio & Electronic Projects: A beat-frequency oscillator. (04.11.2022)

Häufig gestellte Fragen zum Thema Schwebung

Eine Schwebung entsteht, wenn zwei Wellen unterschiedlicher, aber sehr ähnlicher Frequenz interferieren. Auf diese Weise kommt es periodisch zur konstruktiver und destruktiver Interferenz, wodurch auch die Amplitude der resultierenden Welle schwingt.

Wenn sich die Amplitude einer Welle periodisch ändert, dann bezeichnest Du dies als Schwebung.

Die Schwebungsfrequenz entspricht der Schwingungsfrequenz der Amplitude.

Wird ein schwingfähiges System einmalig zur Schwingung angeregt und in Ruhe gelassen, dann schwingt es in seiner Eigenfrequenz

Finales Schwebung Quiz

Frage

Erkläre, wie Du mit der Schwebung nicht hörbare Frequenzen hörbar machen kannst.

Antwort anzeigen

Antwort

Eine nicht hörbare Schallwelle kannst Du „hörbar“ machen, wenn Du eine weitere Schallwelle erzeugst, die in einem ähnlichen Frequenzbereich liegt. Wenn sich die beiden Wellen (mit den Frequenzen \(f_1\) und \(f_2\)) dann überlagern, entsteht eine Schwebung mit der Frequenz \(f_S\):

$$f_S=|f_1-f_2|$$

Diese kannst Du hören, wenn Du die Frequenz Deiner erzeugten Welle so wählst, dass \(f_S\) sich im hörbaren Frequenzbereich befindet.

Frage anzeigen

Frage

Durch Überlagerung zweier Wellen der Frequenzen \(f_1\) und \(f_2\) entsteht Schwebung. Vergleiche die Frequenz der resultierenden Welle mit der Frequenz der Schwebung.

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Antwort

Die resultierende Welle schwingt mit einer höheren Frequenz, als die Frequenz der Schwebung. Dies liegt daran, dass im ersten Fall die Schwingung der Welle an sich betrachtet wird, während die Schwebung die Schwingung der Amplitude berücksichtigt. Da sich die Amplitude langsamer ändert, als die Welle schwingt, ist auch die Frequenz der Schwebung geringer.

Frage anzeigen

Frage

Gib die Formel der Schwebungsfrequenz an.

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Antwort

Mit \(f_1\) und \(f_2\) als Frequenzen der interferierenden Wellen ergibt sich die Schwebungsfrequenz \(f_S\) als Betrag ihrer Differenz:

$$f_S=|f_1- f_2|$$

Frage anzeigen

Frage

Erläutere, wie Du Schwebung dazu nutzen kannst, um Dein Instrument zu stimmen.

Antwort anzeigen

Antwort

Um Dein Instrument zu stimmen, verwendest Du für jeden Ton jeweils einen Referenzton. Dabei spielst Du beide gleichzeitig ab. Die entstandenen Schallwellen interferieren und es kommt zur Schwebung, sofern sich ihre Frequenzen unterscheiden. Dabei hörst Du einen einzigen Ton, der periodisch lauter und leiser wird (Schwebung).


Nun kannst Du Dein Instrument so lange stimmen, bis die Lautstärke des entstandenen Tons konstant klingt. In diesem Fall sind beide Frequenzen nämlich gleich und die Schwebung verschwindet.

Frage anzeigen

Frage

Entscheide, wie sich die Schwebung anhört.

Antwort anzeigen

Antwort

Als ein Ton, dessen Lautstärke periodisch lauter und leiser wird.

Frage anzeigen

Frage

Nenne das Bauteil, das beim Morsen verwendet wird, um nicht hörbare Frequenzen in den hörbaren Bereich zu verschieben.

Antwort anzeigen

Antwort

Schwebungssummer

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe die Entstehung einer Schwebung.

Antwort anzeigen

Antwort

Damit Schwebung entsteht, müssen sich zwei Wellen unterschiedlicher, aber nahe beieinander liegender Frequenzen überlagern. Dadurch kommt es abwechselnd zur konstruktiven und destruktiven Interferenz, sodass die Amplitude der resultierenden Welle ab- und wieder zunimmt. Dies bezeichnest Du als Schwebung.

Frage anzeigen

Frage

Gib den Begriff für die periodische Änderung der Amplitude einer Welle an.

Antwort anzeigen

Antwort

Schwebung

Frage anzeigen

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