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Senkrechter Wurf

Nur noch ein Punkt trennt den Weltranglisten-Zweiten vom Satzgewinn und damit dem Sieg des Matches. Behält er in dieser Situation einen ruhigen Kopf? Er holt aus. Er wirft den Ball und schlägt zu. Und? Die Menge jubelt. Ein Ass!

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Nur noch ein Punkt trennt den Weltranglisten-Zweiten vom Satzgewinn und damit dem Sieg des Matches. Behält er in dieser Situation einen ruhigen Kopf? Er holt aus. Er wirft den Ball und schlägt zu. Und? Die Menge jubelt. Ein Ass!

In dieser Situation handelt es sich um einen möglichen Kommentar zu einem Tennisspiel. Der Aufschlag ist dabei zentraler Bestandteil, mit dem die Spieler und Spielerinnen schon einen direkten Punkt im Match holen können.

Der ideale Wurf für einen Aufschlag ist ein senkrechter Wurf. Was man darunter versteht und wie Du ihn berechnest, erfährst Du in diesem Artikel.

Senkrechter Wurf – Physik

Tennisspielerinnen und die Tennisspieler holen aus, schwingen den Arm mitsamt dem Tennisball nach oben und lassen den Ball vertikal mit einer gewissen Anfangsgeschwindigkeit v0 in einer Höhe y0 oder h0 los. Zunächst gewinnt der Tennisball noch weiter an Höhe. Doch ab einem gewissen Punkt fliegt dieser nicht mehr weiter nach oben, sondern sinkt wieder, bis er schließlich auf dem Boden landet. Dies beschreibt die Wurfbewegung eines senkrechten Wurfs nach oben mit Anfangshöhe. Es gibt aber auch noch weitere Arten des senkrechten Wurfs.

Senkrechter Wurf – Einteilung Bewegung

Der Tennisball kann beim Aufschlag vertikal nach oben geworfen, damit wird ein senkrechter Wurf ausgeführt. Einige Spielerinnen und Spieler bereiten sich auf den Aufschlag vor, indem sie den Ball vor sich her dribbeln. Auch das wäre ein senkrechter Wurf, jedoch nach unten. Folgende Einteilung kann bei einem senkrechten Wurf vorgenommen werden:

Abbildung 2 zeigt links, wie sich die senkrechten Würfe nach oben lediglich darin unterscheiden, dass der Wurf entweder in einer gewissen Höhe y0 oder bei einer Höhe y0=0 m beginnt. In beiden Fällen fliegt der Ball mit einer nach oben gerichteten Anfangsgeschwindigkeit v0 (grüne Markierung im Bild) bis zu einer gewissen Höhe ymax. Von dort an ändert er seine Richtung und fällt zu Boden.

Wird ein Ball oder ein anderes Objekt vertikal mit der nach unten gerichteten Anfangsgeschwindigkeit v0 nach unten geworfen, handelt es sich um einen senkrechten Wurf nach unten. Die grün eingezeichnete Anfangsgeschwindigkeit im rechten Teil der Abbildung 2 zeigt dies an. Die Anfangshöhe y0 entspricht hier der maximalen Höhe ymax.

Wird ein Körper mit einer Anfangsgeschwindigkeit v0 vertikal nach oben oder unten geworfen, so wird diese Bewegung in der Physik als senkrechter Wurf bezeichnet.

Diese und weitere Erkenntnisse lassen sich zu den Eigenschaften eines senkrechten Wurfs zusammenfassen.

Wird ein Körper nicht senkrecht nach oben oder unten abgeworfen, handelt es sich nicht mehr um einen senkrechten Wurf. Weitere Würfe sind z. B. der waagrechte Wurf und der schräge Wurf.

Senkrechter Wurf – Eigenschaften

Je nachdem, ob es sich um einen senkrechten Wurf nach oben oder nach unten handelt, können folgende Merkmale definiert werden:

Senkrechter Wurf nach obenSenkrechter Wurf nach unten
  • Senkrechter Abwurf (positive y-Richtung)
  • Senkrechter Abwurf (negative y-Richtung)
  • Abwurfgeschwindigkeit v0 nach oben gerichtet
  • Abwurfgeschwindigkeit v0 nach unten gerichtet
  • Aufwärts- und Abwärtsbewegung
  • nur Abwärtsbewegung
  • Abwurfhöhe y0 oder y0=0 m
  • Abwurfhöhe y0 ist maximale Höhe ymax
  • Überlagerung von gleichförmiger Bewegung und dem freien Fall

Die Wurfbewegung des senkrechten Wurfs wird als Überlagerung von zwei Teilbewegungen gesehen. Warum das so ist und wie sich die Wurfbewegung beschreiben und berechnen lässt, erfährst Du im Folgenden.

Senkrechter Wurf – Grundlagenwissen

Der zeitliche Verlauf einer Bewegung und die damit auftretenden Geschwindigkeiten v und Beschleunigungen a sind entscheidend dafür, in welche Kategorie eine Bewegung eingeteilt werden kann. Bewegt sich ein Körper mit einer konstanten Geschwindigkeit v0 fort (er wird also weder schneller noch langsamer), dann führt dieser eine gleichförmige Bewegung aus. Dies zeigt auch der linke Teil von Abbildung 3.

Ist die Geschwindigkeit v eines Körpers im Verlauf einer Bewegung nicht konstant (er wird also schneller oder langsamer), dann fällt die Bewegung in die Kategorie der ungleichförmigen Bewegung. Dabei kann noch zwischen Bewegungen mit konstanter Beschleunigung a (gleichmäßig beschleunigte Bewegung) und ungleichmäßig beschleunigten Bewegungen unterschieden werden, bei denen die Beschleunigung a nicht konstant ist.

Die Wurfbewegung des senkrechten Wurfs ist eine Überlagerung von zwei Teilbewegungen:

  • einer gleichförmigen Bewegung in positiver y-Richtung (nach oben oder nach unten)
  • und einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung (freier Fall) in negativer y-Richtung (nach unten)

Möglich ist diese Überlagerung aufgrund des sogenannten Superpositionsprinzips bzw. Unabhängigkeitsprinzips. Dieses besagt, dass sich Teilbewegungen zu einer Gesamtbewegung überlagern können, wenn sie sich gegenseitig nicht beeinflussen.

Senkrechter Wurf Superpositionsprinzip Überlagerung StudySmarter

In der Tabelle findest du eine kurze Wiederholung der wichtigsten Größen und Eigenschaften dieser beiden Bewegungsarten.

GrößeGleichförmige BewegungFreier Fall (Orientierung KOS nach oben)Freier Fall (Orientierung KOS nach unten)
Geschwindigkeit v(t) v(t)=v0=konst.v(t)=-g·tv(t)=g·t
Beschleunigung a(t) a(t)=0 ms2a(t)=-g=-9,81 ms2a(t)=g=9,81 ms2
Strecke s(t) s(t)=v0·ts(t)=s0-12·g·t2s(t)=12·g·t2

Je nach Orientierung des Koordinatensystems müssen beim freien Fall die Formeln angepasst werden. Dies ist auch beim senkrechten Wurf relevant, wie im Folgenden noch aufgezeigt wird.

Alle Infos zu den Bewegungsarten kannst du auch in den Artikeln zur "gleichförmigen Bewegung" und zur "gleichmäßig beschleunigten Bewegung" bzw. dem "freien Fall" nachlesen.

Senkrechter Wurf – Einfluss der Gewichtskraft

Wird ein Ball oder ein anderer Körper senkrecht nach oben abgeworfen, dann nimmt die Höhe bis zu einem gewissen Punkt zu. Danach kehrt die Flugrichtung des Balls um und er verliert an Höhe, bis er auf dem Boden aufprallt. Grund dafür ist die Erdanziehungskraft bzw. die Gewichtskraft FG, die für eine Anziehung zwischen massereichen Objekten und der Erde sorgt. Aufgrund des Newtonschen Grundgesetzes FG=m·gwird demnach jeder Körper mit der sogenannten Fallbeschleunigung g zum Erdmittelpunkt hin beschleunigt.

Diese Erdbeschleunigung g entspricht ungefähr dem Wert einer Beschleunigung von g=9,81 ms2. Da sich dieser Anziehungseffekt nie ausschalten lässt, kann auch ein vertikal nach oben geworfener Ball (wie in Abbildung 4) nie endlos weiter nach oben fliegen und sinkt daher früher oder später wieder zu Boden. Deshalb muss in y-Richtung eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung des freien Falls berücksichtigt werden.

Um Dich in das Thema zu vertiefen, lies Dir gerne die Artikel zur "Gravitationskraft" und dem "freien Fall" durch!

Senkrechter Wurf nach oben – Berechnung und Formeln

In der Einteilung hast du bereits gesehen, dass sich die Startsituation beim senkrechten Wurf nach oben und dem senkrechten Wurf nach unten unterscheidet. Zunächst zum senkrechten Wurf nach oben.

Senkrechter Wurf nach oben – Geschwindigkeiten und Beschleunigung

Um die Geschwindigkeiten beim senkrechten Wurf nach oben besser nachvollziehen zu können, wird das Beispiel eines Tennisaufschlags zur Hand genommen. Da sich bei den zwei senkrechten Würfen nach oben lediglich die Anfangshöhe unterscheidet, wird der Fall mit Anfangshöhe y0 betrachtet und später lediglich die Formel angepasst.

Bei der Geschwindigkeit handelt es sich um eine gerichtete Größe, weshalb sie mit Pfeil dargestellt wird. Da für Berechnungen aber meist nur der Betrag relevant ist, werden die Formeln ohne diesen Pfeil aufgezeigt.

Vor dem Start der Bewegung wird der Ball in der Hand des Spielenden beschleunigt und verlässt die Hand dann mit einer gewissen Anfangsgeschwindigkeit v0 in y-Richtung nach oben. Die Startgeschwindigkeit der gleichförmigen Bewegung in positiver y-Richtung wird daher als vGB(0) zum Zeitpunkt t=0 s deklariert.

vGB(0)=v0

Zum besseren Verständnis wird hier der Index GB = gleichförmige Bewegung verwendet.

Würde lediglich die gleichförmige Bewegung betrachtet werden, so ändert sich diese Geschwindigkeit vGB(t)nicht.

vGB(t)=v0

Zum Startzeitpunkt t=0 s gibt es noch keine weitere Geschwindigkeit. Schon kurz nach dem Start verringert der Ball seine anfängliche Geschwindigkeit. Der Grund dafür ist die Erdbeschleunigung g. Diese Geschwindigkeit lässt sich in Abhängigkeit von der Zeit t und der Fallbeschleunigung g berechnen.

vFF(t)=-g·t

Auch hier wird der Index zum Kennzeichnen der Bewegung verwendet: FF steht für freier Fall. Achte auch auf das Vorzeichen bei der Formel. Die Erdbeschleunigung muss hier negativ sein, da das Koordinatensystem entsprechend gewählt wurde.

Der senkrechte Wurf kann wie oben bereits beschrieben als Überlagerung der zwei Teilbewegungen gesehen werden. Um also die Geschwindigkeit des Balls oder Körpers zu bestimmen, müssen beide Einzelgeschwindigkeiten zusammengefasst werden. Die nachfolgende Tabelle zeigt die Geschwindigkeiten zu verschiedenen Zeitpunkten und Zeiträumen.

Geschwindigkeiten beim senkrechten Wurf nach oben
AufwärtsbewegungAbwärtsbewegung
t = 0 st < tSt = tS (Steigzeit)t > tS

Senkrechter Wurf Abwurfgeschwindigkeit Start Tennisball StudySmarterAbbildung 6: Abwurfgeschwindigkeit Start

Senkrechter Wurf Geschwindigkeit Aufwärtsbewegung StudySmarterAbbildung 7: Geschwindigkeiten bei Aufwärtsbewegung

Senkrechter Wurf Geschwindigkeiten bei Steigzeit Tennisball StudySmarterAbbildung 8: Geschwindigkeiten bei Steigzeit

Senkrechter Wurf Geschwindigkeiten Abwärtsbewegung Tennisball StudySmarterAbbildung 9: Geschwindigkeiten bei Abwärtsbewegung

vGB(0)=v0 vFF(0)=0
vGB(t) > vFF(t)
vGB(t)=vFF(t)
vGB(t) < vFF(t)
v(0)=v0
v(t)=v0-g·t
vtS= 0
v(t)=v0-g·t

Die Gesamtgeschwindigkeit v(t) kann also zu jedem Zeitpunkt berechnet werden, indem beide Teilformeln zu einer gesamten Formel zusammengesetzt werden.

Die Geschwindigkeit v(t) beim senkrechten Wurf nach oben in Abhängigkeit von den Teilgeschwindigkeiten vGB(t) der gleichförmigen Bewegung und vFF(t) des freien Falls wird wie folgt berechnet:

v(t)=vGB(t)+vFF(t)v(t)=v0-g·t

mit v(t): Geschwindigkeit in ms, v0: Anfangsgeschwindigkeit in ms, g: Erdbeschleunigung in ms2, t: Zeit in s

Die Geschwindigkeit des Balls bzw. des Körpers lässt sich damit bestimmen. In diesem Zuge ist auch die Beschleunigung a(t) zu nennen. Da eine Beschleunigung lediglich beim freien Fall existiert, kann die Gesamtbeschleunigung wie folgt zusammengefasst werden:

Beschleunigung a(t) beim senkrechten Wurf nach oben in Abhängigkeit der Erdbeschleunigung g:

a(t)=-g=-9,81 ms2

mit a(t): Beschleunigung in ms2, g: Erdbeschleunigung in ms2

Zu unterschiedlichen Zeitpunkten und damit Positionen des Balls herrschen unterschiedliche Geschwindigkeiten.

Senkrechter Wurf nach oben – Position

Die Position des Balls lässt sich nur mithilfe eines Bezugssystems bestimmen. Dieses ist das Koordinatensystem, in dem die Lage des Balls ermittelt werden kann. Das folgende Bild zeigt dabei die verschiedenen Positionen beim senkrechten Wurf nach oben mit Anfangshöhe.

Zum Startzeitpunkt t=0 s verlässt der Ball gerade die Hand der spielenden Person. Das Koordinatensystem wird meist so ausgerichtet, dass der Ursprung der Achsen genau mit dem Boden übereinstimmt. Zu Beginn der Bewegung ist die Position y(t) des Balls:

y(0)=y0

Oft wird statt der Position y(t) auch von der Höhe h(t) gesprochen.

Die Position zum Startzeitpunkt ist demnach schon vorgegeben. Wichtig ist es zu wissen, wo sich der Ball auf der y-Achse zu einem beliebigen Zeitpunkt t befindet. Dazu kann die Gesamtbewegung zunächst einzeln betrachtet werden. Bei einer gleichförmigen Bewegung lässt sich die Position y(t) durch die Anfangshöhe y0 und die Anfangsgeschwindigkeit v0 ermitteln.

yGB(t)=y0+v0·t

Hinzu kommt aber noch die zweite Teilbewegung des freien Falls. Einzeln betrachtet lässt sich die Position yFF(t) wie folgt berechnen:

yFF(t)=-12·g·t2

Damit die Position y(t) berechnet werden kann, sind die beiden Teilbewegungen wieder zusammenzusetzen, woraus sich Folgendes ergibt:

Die Position y(t) beim senkrechten Wurf nach oben mit Anfangshöhe y0 in Abhängigkeit der Teilbewegungen der gleichförmigen Bewegung und des freien Falls wird wie folgt berechnet:

y(t)=yGB(t)+yFF(t)y(t)=y0+v0·t-12·g·t2

mit y(t): Position in m, y0: Anfangshöhe in m, v0: Anfangsgeschwindigkeit in ms, t:Zeit in s, g: Erdbeschleunigung in ms2

Egal, ob sich der Ball aufwärts bewegt oder sich schon in der Abwärtsbewegung befindet, anhand dieser Formel lässt sich zu jedem Zeitpunkt die Position des Körpers bestimmen.

Es kann auch sein, dass ein senkrechter Wurf ohne Anfangshöhe y0 abgeworfen wird, dann gilt y0=0 m. Dies wird in der Formel berücksichtigt, indem der Anfangszustand eingesetzt wird. Es gilt:

Die Position y(t) beim senkrechten Wurf nach oben mit y0=0 m in Abhängigkeit der Teilbewegungen der gleichförmigen Bewegung und des freien Falls lautet:

y(t)=v0·t - 12·g·t2

mit y(t): Position in m, v0: Anfangsgeschwindigkeit in ms, t: Zeit in s, g: Erdbeschleunigung in ms2

Die Position des Balls kannst Du mit dieser Formel für jeden Zeitpunkt bestimmen.

Senkrechter Wurf nach oben – Wurfhöhe, Steigzeit, Wurfzeit

Anhand der bisherigen Formeln und Informationen können die maximale Wurfhöhe ymax, die Steigzeit tS und die Wurfzeit tW bestimmt werden.

Die Steigzeit tS ist die Zeit, die der Ball bis zum Erreichen der maximalen Höhe ymax benötigt. Der Ball wechselt genau in diesem Moment seine Richtung. Zu diesem Zeitpunkt sind die Teilgeschwindigkeiten vGB(t) der gleichförmigen Bewegung und vFF(t) des freien Falls gleich groß. Demnach ist die Gesamtgeschwindigkeit v(t) in diesem Punkt gleich null. Wird die Formel für die Berechnung der Gesamtgeschwindigkeit gleich null gesetzt, so ergibt sich die Steigzeit tS:

v(t)=v0-g·t 0=v0-g·t -v0-v0=-g·t : (-g) v0g=t=tS

Die Steigzeit tS beim waagrechten Wurf nach oben (unabhängig von der Anfangshöhe y0) lautet:

tS=v0g

mit tS: Steigzeit in s, v0: Anfangsgeschwindigkeit in ms2, g: Erdbeschleunigung in ms2

Um die maximale Wurfhöhe ymax zu bestimmen, muss lediglich die Steigzeit tS in die Formel zur Berechnung der y-Position gesetzt werden.

y(t)=y0+v0·t - 12·g·t2y(tS)=y0+v0·v0g -12·g·v0g2y(tS)=y0+v02g-12·v02gy(tS)=ymax=y0+v022·g

Die maximale Wurfhöhe ymax beim senkrechten Wurf nach oben mit Anfangshöhe y0 lautet:

ymax=y0+v022·g

ymax: Maximale Wurfhöhe in m, y0:Anfangshöhe in m, v0: Anfangsgeschwindigkeit in ms, g: Erdbeschleunigung in ms2

Wird der Ball aus einer Anfangshöhe y0=0 m abgeworfen, so verkürzt sich dementsprechend die Formel für die Wurfhöhe zu:

Maximale Wurfhöhe ymax beim senkrechten Wurf nach oben ohne Anfangshöhe:

ymax=v022·g

mit ymax: Maximale Höhe in m, v0: Anfangsgeschwindigkeit in ms, g: Erdbeschleunigung in ms2

Wie lang dauert es nun, bis der Ball wieder auf den Boden aufprallt? Beim senkrechten Wurf ohne Anfangshöhe kann dies berechnet werden, indem die Steigzeit tS verdoppelt wird. Der Ball braucht nämlich so lange zum Steigen, wie er zum Fallen benötigt.

Die Wurfdauer tW beim senkrechten Wurf nach oben ohne Anfangshöhe lautet:

tW=2·tStW=2·v0g

mit tw: Wurfdauer in s, tS: Steigzeit in s, v0: Anfangsgeschwindigkeit in ms, g: Erdbeschleunigung in ms2

Beim senkrechten Wurf mit Anfangshöhe lautet die Formel anders. Beim Aufprall auf den Boden erreicht der Ball im Koordinatensystem die Höhe y(tW)=0 m. Wird also die Formel zur Berechnung der Position y(t) gleich null gesetzt, kann die Wurfzeit tW des gesamten senkrechten Wurfs nach oben ermittelt werden.

Herleitung und Formel Wurfdauer tW:

y(t)=y0+v0·t -12·g·t2 0=y0+v0·t -12·g·t2 0=-12·g·t2+v0·t+y0tW=t1,2=-v0±v02+2·g·y0-g

mit tW: Wurfdauer in s, v0: Anfangsgeschwindigkeit in ms, g: Erdbeschleunigung in ms2, y0: Anfangshöhe in m

Über die Formeln und Gesetze im Abschnitt zum senkrechten Wurf nach oben lässt sich jede Größe dieser Wurfbewegung beschreiben und berechnen. Die Geschwindigkeits-Zeit-Gesetze sowie die Beschleunigungs-Zeit-Gesetze und die Ort-Zeit-Gesetze können auch anhand von Bewegungsdiagrammen visualisiert werden.

Senkrechter Wurf nach oben – Bewegungsdiagramme

In den folgenden Bewegungsdiagrammen ist dargestellt, wie sich die Größen beim senkrechten Wurf in Abhängigkeit von der Zeit tverhalten. Die Diagramme beim senkrechten Wurf nach oben mit oder ohne Anfangshöhe unterscheiden sich lediglich beim Ort-Zeit-Diagramm. Das Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm und das Beschleunigung-Zeit-Diagramm sind schematisch nahezu identisch.

Senkrechter Wurf nach oben mit Anfangshöhe

Senkrechter Wurf Bewegungsdiagramme senkrechter Wurf nach oben mit Anfangshöhe StudySmarterAbbildung 12: Bewegungsdiagramme senkrechter Wurf nach oben mit Anfangshöhe

Senkrechter Wurf nach oben ohne Anfangshöhe

Senkrechter Wurf Bewegungsdiagramme senkrechter Wurf nach oben ohne Anfangshöhe StudySmarterAbbildung 13: Bewegungsdiagramme senkrechter Wurf nach oben ohne Anfangshöhe

Mehr Infos zu Bewegungsdiagrammen einer Bewegung findest du im Artikel "Bewegung von Körpern".

Zu Beginn wurde bereits erwähnt, dass Tennisspielerinnen und Tennisspieler manchmal vor dem Aufschlag dribbeln. Die Bewegung dabei ist eine komplett andere, jedoch handelt es sich auch dabei um einen senkrechten Wurf. Wie können die Größen in diesem Fall bestimmt werden?

Senkrechter Wurf nach unten – Berechnung und Formeln

Für einen senkrechten Wurf nach unten gelten dieselben Überlagerungen wie auch beim senkrechten Wurf nach oben. Hier gibt es allerdings keine Aufwärts- und Abwärtsbewegung, sondern lediglich eine Abwärtsbewegung. Wie verhalten sich die Teilgeschwindigkeiten und Beschleunigungen in diesem Fall?

Senkrechter Wurf nach unten – Geschwindigkeiten und Beschleunigung

Zum besseren Verständnis wird die Wurfbewegung von Tennisspielenden aufgezeigt und alle relevanten Größen in die Skizze mit eingezeichnet. Zu beachten ist hierbei die Wahl des Koordinatensystems. Es gibt die Möglichkeit, den Ursprung des Koordinatensystems an den Boden zu legen und eine y-Achse nach oben zu wählen. Die zweite Möglichkeit wäre die Platzierung des Koordinatenursprungs zum Start der Bewegung in einer gewissen Höhe. Dementsprechend müsste man die y-Achse nach unten legen.

Nachfolgend wird die Herleitung der Formeln über die Achsorientierung nach oben ausgeführt. Die Formeln zur Orientierung nach unten findest Du jeweils in den Definitionsboxen.

Wie auch beim senkrechten Wurf nach oben wird der Ball zunächst in der Hand der Tennisspielenden beschleunigt und verlässt die Hand dann mit der Anfangsgeschwindigkeit v0, die in y-Richtung nach unten gerichtet ist. Dies entspricht wieder der Geschwindigkeit vGB(t) der gleichförmigen Bewegung, nur mit einem negativen Vorzeichen. Aber auch hier wirkt die Erdbeschleunigung g auf den Körper, weshalb es eine zweite Teilgeschwindigkeit vFF(t) in dieselbe Richtung gibt. Für die Achsorientierung nach oben gilt also:

vGB(t)=-v0vFF(t)=-g·t

Zum besseren Verständnis werden die Formeln analog zum senkrechten Wurf nach oben gekennzeichnet. FF = freier Fall,

GB = gleichförmige Bewegung.

Die Einzelgeschwindigkeiten müssen zur vollständigen Beschreibung des senkrechten Wurfs nach unten wieder zusammengefasst werden. In der Tabelle sind die Geschwindigkeiten zu verschiedenen Zeitpunkten und Zeiträumen zu sehen.

Geschwindigkeiten beim senkrechten Wurf nach unten
t=0 s
t > 0 s

Senkrechter Wurf Abwurfgeschwindigkeit Start Tennisball StudySmarterAbbildung 15: Abwurfgeschwindigkeit Start

Senkrechter Wurf Geschwindigkeiten Wurf nach unten StudySmarterAbbildung 16: Geschwindigkeiten Wurf nach unten

Senkrechter Wurf Geschwindigkeiten Wurf nach unten StudySmarterAbbildung 17: Geschwindigkeiten Wurf nach unten

Senkrechter Wurf Geschwindigkeiten Wurf nach unten StudySmarterAbbildung 18: Geschwindigkeiten Wurf nach unten

vGB(0)=-v0 vFF(0)= 0
vGB(t) > vFF(t)
vGB(t)=vFF(t)
vGB(t) < vFF(t)
v(0)=-v0
v(t)=-v0-g·t

Die beiden Teilgeschwindigkeiten vGB(t) und vFF(t) werden beim senkrechten Wurf nach unten genauso überlagert wie auch beim senkrechten Wurf nach oben. Je nach Anfangsgeschwindigkeit v0 können verschiedene Fälle auftreten, wie in der Tabelle rechts für t > 0 s angegeben ist.

Die Geschwindigkeit v(t) beim senkrechten Wurf nach unten in Abhängigkeit von den Teilgeschwindigkeiten vGB(t) der gleichförmigen Bewegung und vFF(t) des freien Falls (Achsorientierung nach oben) lautet:

v(t)=-v0-g·t

mit v(t): Geschwindigkeit in ms, v0: Anfangsgeschwindigkeit in ms, g:Erdbeschleunigung in ms2, t: Zeit in s

Wurde das Koordinatensystem anders gewählt und die Achsorientierung zeigt nach unten, kannst Du folgende Formel für die Geschwindigkeit v(t) anwenden:

Die Geschwindigkeit v(t) beim senkrechten Wurf nach unten in Abhängigkeit von den Teilgeschwindigkeiten vGB(t) der gleichförmigen Bewegung und vFF(t) des freien Falls (Achsorientierung nach unten) lautet:

v(t)=v0+g·t

mit v(t):Geschwindigkeit in ms, v0:Anfangsgeschwindigkeit in ms, g: Erdbeschleunigung in ms2, t: Zeit in s

In diesem Zuge kann auch wieder die Beschleunigung a(t) ermittelt werden. Auch hier gilt die Fallbeschleunigung g. In der Formel muss daher lediglich die Achsorientierung beachtet werden.

Beschleunigung a(t) beim senkrechten Wurf nach unten (Achsorientierung nach oben):

a(t)=-g=-9,81 ms2

Beschleunigung a(t) beim senkrechten Wurf nach unten (Achsorientierung nach unten):

a(t)=g=9,81 ms2

mit a(t): Beschleunigung in ms2, g: Erdbeschleunigung in ms2

Senkrechter Wurf nach unten – Positionen

Auch bei der Berechnung des senkrechten Wurfs nach unten ist die Wahl des Koordinatensystems zu beachten. Für die Herleitung und Erklärung wird wieder die Achsorientierung nach oben gewählt.

Die Formeln für das nach unten gewählte Koordinatensystem findest du in den Definitionsboxen.

Zum Startzeitpunkt t=0 s befindet sich der Ball auf der Höhe y0, die die maximale Höhe ymax darstellt. Sie kann, muss aber nicht immer gegeben sein. Das Ende der Bewegung stellt der Aufprall auf den Boden dar. Um die Position y(t) ermitteln zu können, muss sowohl die Position yGB(t) der gleichförmigen Bewegung als auch die Position yFF(t) des freien Falls berücksichtigt werden:

yGB(t)=y0-v0·tyFF(t)=-12·g·t2

Aus der Überlagerung beider Teilpositionen ergibt sich:

Die Position y(t) beim senkrechten Wurf nach unten in Abhängigkeit der Teilbewegungen der gleichförmigen Bewegung und des freien Falls (Achsorientierung nach oben) wird wie folgt berechnet:

y(t)=yGB(t)+yFF(t)y(t)=y0-v0·t -12·g·t2

mit y(t): Position in m, y0: Anfangshöhe in m, v0: Anfangsgeschwindigkeit in ms, t:Zeit in s, g:Erdbeschleunigung in ms2

Wird die y-Achse wieder nach unten orientiert, so müssen die Formeln erneut angepasst werden und es ergibt sich Folgendes:

Die Position y(t) beim senkrechten Wurf nach unten in Abhängigkeit der Teilbewegungen der gleichförmigen Bewegung und des freien Falls (Achsorientierung nach unten) wird wie folgt berechnet:

y(t)=v0·t +12·g·t2

mit y(t): Position in m, v0: Anfangsgeschwindigkeit in ms, g: Erdbeschleunigung in ms2, t: Zeit in s

Mit den Formeln kannst Du die Position des Balls für jeden Zeitpunkt bestimmen.

Senkrechter Wurf nach unten – Wurfzeit

Die Zeit vom Abwurf des Balls bis hin zum Aufprall auf den Boden wird als Wurfzeit tW definiert. In diesem Fall ist es nicht möglich, die Steigzeit zu verdoppeln, da es hier keine Zeit gibt, in der der Ball steigt. Die obige Abbildung zeigt, dass beim Aufprall die Höhe y(tW)=0 m ist. Zur Berechnung der Wurfzeit tW wird die Gleichung für die Position y(t) gleich null gesetzt.

Herleitung und Formel Wurfdauer tW:

y(t)=y0-v0·t -12·g·t2 0=y0-v0·t -12·g·t2 0=-12·g·t2-v0·t+y0tW=t1,2=v0±v02+2·g·y0-g

mit tW: Wurfdauer in s, v0: Anfangsgeschwindigkeit in ms, g:Erdbeschleunigung in ms2, y0: Anfangshöhe in m

Senkrechter Wurf nach unten – Bewegungsdiagramme

Auch beim senkrechten Wurf nach unten können analog zum senkrechten Wurf nach oben die Bewegungsdiagramme erstellt werden. Sie zeigen Visualisierungen der zeitabhängigen Gesetze Ort-Zeit-Gesetz, Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz und Beschleunigung-Zeit-Gesetz.

Senkrechter Wurf nach unten (Achsorientierung nach oben)

Senkrechter Wurf Bewegungsdiagramme senkrechter Wurf nach unten StudySmarterAbbildung 20: Bewegungsdiagramme senkrechter Wurf nach unten (KOS nach oben)

Senkrechter Wurf nach unten (Achsorientierung nach unten)

Senkrechter Wurf Bewegungsdiagramme senkrechter Wurf nach unten StudySmarterAbbildung 21: Bewegungsdiagramme senkrechter Wurf nach unten (KOS nach unten)

Senkrechter Wurf – Aufgabe

Im Folgenden findest Du nun eine Übungsaufgabe, anhand derer Du Dein Wissen üben kannst.

Aufgabe

Eine Person kratzt im Winter Schnee zusammen, formt einen Schneeball und wirft diesen in einer Höhe von y0=1 m senkrecht nach oben. Die Abwurfgeschwindigkeit v0 des Balls beträgt dabei v0=4,0 ms.

Senkrechter Wurf Beispiel Aufgabe Schneeball werfen StudySmarter

a) Auf welcher Höhe befindet sich der Ball nach t=0,5 s?

b) Wie lange benötigt der Ball, um die maximale Steighöhe ymax zu erreichen?

c) Wie hoch ist die maximale Steighöhe ymax?

d) Eine weitere Person wirft einen Schneeball ab. Der Ball fliegt zunächst von der Anfangshöhe y0=1,5 m bis zur maximalen Höhe ymax=2,0 m. Mit welcher Abwurfgeschwindigkeit v0,2 wurde der Schnellball abgeworfen?

Lösung

a) Die Höhe y(t) entspricht der Position bei einer Zeit von t=0,5 s. Daher müssen die Zeit t, die Anfangshöhe y0 und die Abwurfgeschwindigkeit v0 in die Formel eingesetzt werden:

y(t)=y0+v0·t -12·g·t2y(0,5 s)=1,0 m+ 4,0 ms·0,5 s - 12·9,81 ms2·0,5 s2y(0,5 s)=1,774 m

b) Bei der maximalen Steighöhe ymax beträgt die Geschwindigkeit v(t)=0 ms. Demnach muss die Steigzeit tS berechnet werden:

tS=v0gtS=4,0 ms9,81 ms2=0,41 s

c) Die Steighöhe ymax lässt sich durch die Formel zusammen mit der Anfangshöhe berechnen:

ymax=y(tS)=y0+v022·gymax=1,0 m + 4,0 ms22·9,81 ms2ymax=1,815 m

d) Gegeben ist die maximale Steighöhe ymax und die Anfangshöhe y0. Durch Umstellen der Formel für die maximale Höhe ymax kann die Abwurfgeschwindigkeit v0,2 berechnet werden:

ymax=y0+v022·g -y0 ymax-y0=v022·g · 2·g ymax-y0·2·g=v02ymax-y0·2·g=v0

Nach Einsetzen der Zahlenwerte ergibt sich:

v0,2=2,0 m-1,5 m·2·9,81ms2v0,2=3,13 ms

Nachfolgend sind die wichtigsten Formeln noch einmal in einer Tabelle zusammengefasst.

Senkrechter Wurf – Das Wichtigste

  • Der senkrechte Wurf ist eine Überlagerung zweier Teilbewegungen:
    • gleichförmige Bewegung
    • freier Fall (gleichmäßig beschleunigte Bewegung)
  • Beim senkrechten Wurf kann unterschieden werden zwischen:
    • senkrechter Wurf nach oben (mit und ohne Anfangshöhe y0)
    • senkrechter Wurf nach unten
  • GrößeWurf nach oben (mit Anfangshöhe)Wurf nach unten (ohne Anfangshöhe)Wurf nach unten (KOS nach oben)Wurf nach unten (KOS nach unten)
    Geschwindigkeit v(t)
    v(t)=v0-g·t
    v(t)=-v0-g·t v(t)=v0+g·t
    Beschleunigung a(t)
    a(t)=-g=-9,81 ms2
    a(t)=-g=-9,81 ms2a(t)=g=9,81 ms2
    Position y(t)y(t)=y0+v0·t -12·g·t2y(t)=v0·t -12·g·t2y(t)=y0-v0·t -12·g·t2y(t)=v0·t +12·g·t2
    Wurfhöhe ymax
    ymax=y0+v022·g
    ymax=v022·g
    ymax=y0
    /
    Steigzeit tS
    tS=v0g
    //

Häufig gestellte Fragen zum Thema Senkrechter Wurf

Ein senkrechter Wurf beschreibt eine Wurfbewegung, bei dem ein Körper senkrecht mit einer Anfangsgeschwindigkeit v0 abgeworfen wird. Der Abwurf kann sowohl senkrecht nach oben als auch senkrecht nach unten erfolgen.

Die Abwurfgeschwindigkeit v0 ist meist gegeben. Ist dies nicht der Fall, so kann sie über das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz, das Ort-Zeit-Gesetz oder die Wurfhöhe bestimmt werden.

Die Abwurfgeschwindigkeit v0 ist meist gegeben. Ist dies nicht der Fall, so kann sie über das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz, das Ort-Zeit-Gesetz oder die Wurfhöhe bestimmt werden.

Die Abwurfgeschwindigkeit v0 ist meist gegeben. Ist dies nicht der Fall, so kann sie über das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz, das Ort-Zeit-Gesetz oder die Wurfhöhe bestimmt werden.

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