Definition: die Drehwirkung einer Kraft
Das Drehmoment ist die Drehwirkung einer Kraft auf einen drehbar gelagerten Körper. Es ist ein Maß dafür, wie stark eine Kraft einen Körper um eine Achse dreht. Bei einer senkrecht wirkenden Kraft gilt M = F · r, dabei ist r der Hebelarm, der Abstand zur Drehachse.
| Steckbrief | Drehmoment |
|---|---|
| Formelzeichen | M (auch als Vektor) |
| Grundformel | M = F · r (Kraft senkrecht) |
| Allgemein | M = F · r · sin(alpha) |
| SI-Einheit | Newtonmeter (Nm) |
| Basiseinheit | kg·m²/s² |
| Gleichgewicht | Summe aller Drehmomente = 0 |
Formel und Einheit des Drehmoments
Wirkt die Kraft senkrecht zum Hebelarm, gilt M = F · r. Zeigt die Kraft schräg, nutzt man die allgemeine Formel M = F · r · sin(alpha). Die SI-Einheit ist das Newtonmeter (Nm), als Basiseinheit kg·m²/s².
In der einfachsten Form ist das Drehmoment also das Produkt aus Kraft und Hebelarm. Verdoppelst du die Kraft, verdoppelt sich das Drehmoment. Verdoppelst du bei gleicher Kraft den Hebelarm, verdoppelt sich das Drehmoment ebenfalls. Genau deshalb lässt sich eine Schraube mit einem langen Schraubenschlüssel viel leichter lösen als mit einem kurzen.
Steht die Kraft nicht senkrecht, sondern in einem Winkel alpha zur Verbindungslinie von Achse und Angriffspunkt, dann zählt nur der senkrechte Anteil. Die allgemeine Formel M = F · r · sin(alpha) berücksichtigt das über den Sinus. Bei alpha = 90° ist sin 90° = 1, das Drehmoment wird maximal; bei alpha = 0°, wenn die Kraft direkt zur Achse zeigt, ist sin 0° = 0 und das Drehmoment verschwindet.
Die Basiseinheit des Drehmoments (kg·m²/s²) sieht genauso aus wie die der Energie, trotzdem schreibt man das Drehmoment in Newtonmeter (Nm) und nie in Joule. Der Grund liegt in der Natur der Größen: Das Drehmoment ist ein Vektor, die Arbeit oder Energie dagegen ein Skalar. Mehr dazu findest du auf der Seite zum Joule.
Wie berechnet man das Drehmoment?
Der Hebelarm ist der senkrechte Abstand zwischen der Drehachse und der Wirkungslinie der Kraft. Er ist nicht einfach die Strecke bis zum Angriffspunkt, sondern das Lot von der Achse auf die Kraftrichtung. Mit ihm ergibt sich das Drehmoment aus M = F · r.
Der Hebelarm ist die entscheidende Größe beim Rechnen. Viele Fehler entstehen, weil man einfach den Abstand vom Drehpunkt bis zum Angriffspunkt der Kraft misst. Richtig ist der senkrechte Abstand der Drehachse zur Wirkungslinie der Kraft. Wirkt die Kraft senkrecht auf einen geraden Hebel, sind beide Werte gleich, das ist der einfachste Fall.
Ein konkretes Rechenbeispiel macht das deutlich. Du drehst eine Schraube mit einem Schraubenschlüssel der Länge r = 0,25 m und drückst am Ende mit der Kraft F = 40 N senkrecht auf den Griff. Dann ergibt sich das Drehmoment zu:
Das Ergebnis von 10 Nm sagt, wie stark du die Schraube drehst. Nimmst du einen doppelt so langen Schlüssel (0,50 m) und drückst mit der gleichen Kraft, verdoppelt sich das Drehmoment auf 20 Nm, du musst also nur halb so fest drücken, um dieselbe Wirkung zu erzielen.
| Größe | Wert | Bedeutung |
|---|---|---|
| Kraft F | 40 N | Druck auf den Griff |
| Hebelarm r | 0,25 m | Länge bis zur Drehachse |
| Drehmoment M | 10 Nm | Ergebnis: M = F · r |
Hebelgesetz und Gleichgewicht
Ein drehbar gelagerter Körper ist im Gleichgewicht, wenn die Summe aller Drehmomente null ist. Wirken zwei Kräfte, bedeutet das F1 · r1 = F2 · r2: Das linksdrehende Moment ist gleich dem rechtsdrehenden. Dieses Hebelgesetz erklärt, warum eine Wippe balanciert.
Rotationsgleichgewicht heißt: Der Körper dreht sich nicht, weil sich die Drehmomente gegenseitig aufheben. Bei genau zwei Kräften vereinfacht sich die Bedingung zum bekannten Hebelgesetz F1 · r1 = F2 · r2. Ein anschauliches Beispiel dafür ist der Hebel am Fahrrad, bei dem Kraft und Hebelarm zusammenspielen.
Ein Kontroll-Beispiel für die Klausur: Auf einer Wippe sitzt links ein Kind mit der Gewichtskraft F1 = 300 N im Abstand r1 = 1,0 m von der Drehachse. Das erzeugt ein Drehmoment von M1 = 300 N · 1,0 m = 300 Nm. Damit die Wippe im Gleichgewicht bleibt, muss rechts das gleiche Drehmoment entstehen. Sitzt dort ein Kind im Abstand r2 = 1,5 m, dann rechnet man:
Das rechte Kind darf also nur 200 N wiegen, sitzt aber weiter außen. Weil sein Hebelarm länger ist, gleicht der größere Abstand die kleinere Kraft aus. Genau dieses Prinzip nutzt du, wenn du dich auf einer Wippe weiter nach hinten setzt, um mit einer schwereren Person auszubalancieren.
Richtung: Vektor und Rechte-Hand-Regel
Das Drehmoment ist ein Vektor und steht senkrecht auf Hebelarm und Kraft. In Vektorform gilt M = r × F (Kreuzprodukt). Seine Richtung ergibt sich aus der Rechte-Hand-Regel. In der Schule nutzt man oft die Vorzeichenkonvention: gegen den Uhrzeigersinn positiv, im Uhrzeigersinn negativ.
Weil Kraft und Hebelarm eine Ebene aufspannen, muss der Drehmoment-Vektor senkrecht auf dieser Ebene stehen. Formal beschreibt das Kreuzprodukt M = r × F genau diese Richtung und den Betrag. Für die Rechte-Hand-Regel zeigst du die Finger in Richtung des Hebelarms r und krümmst sie zur Kraft F, dann zeigt der Daumen in Richtung des Drehmoments.
Für die meisten Schulaufgaben reicht eine einfachere Sichtweise. Man legt fest, welche Drehrichtung positiv zählt. Als Konvention gilt häufig: Ein Drehmoment gegen den Uhrzeigersinn ist positiv, eines im Uhrzeigersinn negativ. Damit lassen sich mehrere Drehmomente einfach addieren und die Gleichgewichtsbedingung bequem prüfen.
In der Rotationsmechanik gilt M = J · alpha, wobei J das Trägheitsmoment und alpha die Winkelbeschleunigung ist. Das ist das Rotations-Analogon zum Newtonschen Grundgesetz F = m · a. Achte darauf, das alpha aus M = F · r · sin(alpha), also den Winkel, nicht mit der Winkelbeschleunigung alpha zu verwechseln: Es sind zwei verschiedene Größen mit demselben Symbol.
Anwendungen im Alltag
Das Drehmoment steckt überall, wo etwas gedreht wird: im Schraubenschlüssel, im Türgriff, auf der Wippe und am Fahrradpedal. In allen Fällen gilt dieselbe Regel: Ein langer Hebelarm macht die Arbeit leichter, weil bei gleicher Kraft ein größeres Drehmoment entsteht.
Am Türgriff sieht man das besonders klar. Der Griff sitzt möglichst weit von den Angeln entfernt, also von der Drehachse. Dadurch ist der Hebelarm groß, und schon eine kleine Kraft reicht, um die Tür zu öffnen. Säße der Griff direkt neben der Angel, müsstest du mit voller Kraft drücken, weil der Hebelarm dann sehr kurz wäre.
Beim Fahrradpedal erzeugt dein Bein über den Kurbelarm ein Drehmoment, das die Kette antreibt. Auf der Wippe balancieren zwei Kinder über ihre Drehmomente, und der Schraubenschlüssel überträgt deine Handkraft als Drehmoment auf die Schraube. So unterschiedlich diese Beispiele wirken, physikalisch beschreibt sie alle die gleiche Formel M = F · r.
Häufige Fehler beim Drehmoment
Die häufigsten Fehler beim Drehmoment: Nm wird mit Joule gleichgesetzt, der Hebelarm falsch gemessen, der Winkel bei senkrechter Kraft übersehen, oder man denkt, eine größere Kraft bedeute automatisch ein größeres Drehmoment. Alle vier Punkte tauchen in Klausuren immer wieder auf.
Die Basiseinheit ist zwar identisch, doch das Drehmoment ist ein Vektor und wird in Newtonmeter angegeben, Arbeit und Energie dagegen als Skalar in Joule.
Der Hebelarm ist der senkrechte Abstand von der Drehachse zur Wirkungslinie der Kraft, nicht einfach die Distanz zum Angriffspunkt der Kraft.
Bei schräger Kraft zählt M = F · r · sin(alpha). Wirkt die Kraft senkrecht, ist sin 90° = 1, dann darf man den Sinus weglassen und rechnet einfach M = F · r.
Eine größere Kraft erzeugt nicht automatisch ein größeres Drehmoment. Der Hebelarm zählt mit: Eine kleine Kraft mit langem Hebelarm kann stärker drehen als eine große Kraft nah an der Achse.
Karteikarten zum Drehmoment
Sechs Karteikarten zu den wichtigsten Fakten über das Drehmoment, von der Formel über den Hebelarm bis zum Hebelgesetz, ideal zur schnellen Wiederholung. Klicke auf eine Karte, um die Antwort zu sehen, und navigiere mit den Pfeilen durch das Set.
Hol dir den ganzen Lernzettel. Kostenlos!
- Lernzettel, Karteikarten & Lernplan freischalten
- Auf deinem Niveau, in deinem Tempo
- Über 40 Millionen Lernende dabei
Drehmoment, das Wichtigste
Das Drehmoment beschreibt die Drehwirkung einer Kraft um eine Achse. Bei senkrechter Kraft gilt M = F · r, allgemein M = F · r · sin(alpha). Die Einheit ist Newtonmeter (Nm), nicht Joule. Ein Körper ist im Gleichgewicht, wenn die Summe aller Drehmomente null ist: F1 · r1 = F2 · r2.
- Definition: Drehmoment = Drehwirkung einer Kraft auf einen drehbar gelagerten Körper.
- Formel: M = F · r bei senkrechter Kraft, allgemein M = F · r · sin(alpha), als Vektor M = r × F.
- Einheit: Newtonmeter (Nm), Basiseinheit kg·m²/s², nicht mit Joule verwechseln.
- Hebelarm: senkrechter Abstand von der Drehachse zur Wirkungslinie der Kraft.
- Hebelgesetz: Gleichgewicht bei F1 · r1 = F2 · r2, Summe aller Drehmomente = 0.
- Merke: Beispiel Schraubenschlüssel, M = 40 N · 0,25 m = 10 Nm.
Häufige Fragen zum Drehmoment
Das Drehmoment ist die Drehwirkung einer Kraft auf einen drehbar gelagerten Körper. Es beschreibt, wie stark eine Kraft einen Körper um eine Achse dreht. Je größer Kraft und Hebelarm, desto größer das Drehmoment.
Bei einer Kraft senkrecht zum Hebelarm gilt M = F · r. Dabei ist F die Kraft und r der Hebelarm. Steht die Kraft schräg, gilt allgemein M = F · r · sin(alpha).
Die SI-Einheit ist das Newtonmeter (Nm), Basiseinheit kg·m²/s². Obwohl diese mit der von Energie identisch ist, schreibt man Drehmoment in Nm, nicht in Joule: Das Drehmoment ist ein Vektor, Energie ein Skalar.
Der Hebelarm ist der senkrechte Abstand zwischen der Drehachse und der Wirkungslinie der Kraft. Er ist nicht die reine Strecke bis zum Angriffspunkt, sondern das Lot von der Achse auf die Kraftrichtung.
Am größten ist es, wenn die Kraft senkrecht zum Hebelarm wirkt, also bei 90 Grad, weil sin 90° = 1 ist. Zeigt die Kraft direkt zur Achse (0 Grad), ist das Drehmoment null.
Ein Körper ist im Gleichgewicht, wenn die Summe aller Drehmomente null ist. Bei zwei Kräften gilt F1 · r1 = F2 · r2, also linksdrehendes Moment gleich rechtsdrehendes Moment.
Das Drehmoment ist ein Vektor und steht senkrecht auf Hebelarm und Kraft. Seine Richtung ergibt sich aus der Rechte-Hand-Regel. In der Schule gilt oft: gegen den Uhrzeigersinn positiv, im Uhrzeigersinn negativ.
Überall, wo etwas gedreht wird: beim Schraubenschlüssel, am Türgriff (weit von der Angel lässt sich die Tür leichter öffnen), auf der Wippe und am Fahrradpedal. Ein langer Hebelarm macht die Arbeit leichter.
Quellen
Die Erklärung stützt sich auf physikalische Standardquellen und ein Hochschul-Skript:
- Drehmoment. Wikipedia. de.wikipedia.org
- Drehmoment und Gleichgewicht. grund-wissen.de. grund-wissen.de
- Humboldt-Universität zu Berlin: Drehmoment (Physik-Skript). people.physik.hu-berlin.de