Ein Apfel am Baum, ein Buch im Bücherregal und der Stift in Deiner Hand. All diese Dinge haben etwas gemeinsam: sie befinden sich über dem Boden und besitzen daher eine potentielle Energie gegenüber diesem Boden.
Potentielle Energie – Übersicht
Potentielle Energie (manchmal auch als Höhenenergie bezeichnet) ist eine spezielle Form der Energie. Sie gehört zur Untergruppe der mechanischen Energie, wie Du in nachfolgender Abbildung sehen kannst.
Abb. 1: Energieformen (Auszug) und Beispiele
In der Abbildung siehst Du auch bereits zwei Beispiele, bei denen potentielle Energie eine Rolle spielt. Aber was beschreibt die potentielle Energie überhaupt?
Definition, Formel & Einheit
Potentielle Energie tritt immer dann auf, wenn ein Körper relativ zu einem definierten Nullniveau eine andere Höhenlage besitzt. Zum Beispiel, wenn Du den Boden deines Zimmers als Nullniveau definierst, besitzt ein Stift, der auf deinem Schreibtisch liegt, eine potentielle Energie.
Als Nullniveau wird meist der Boden betrachtet, aber Du kannst auch eine andere Ebene als Nullniveau definieren, z. B. das Regalbrett, von dem ein Gegenstand herabfällt.
Ob ein Körper potentielle Energie besitzt, hängt genau von diesem Nullniveau ab, das Du gerade definiert hast. Sieh Dir das Beispiel Apfel auf einem Tisch an: Der Apfel hat keine potentielle Energie gegenüber dem Tisch als Nullniveau. Definierst Du allerdings den Boden als Nullniveau, besitzt der Apfel eine potentielle Energie, da er nun eine Höhe \(h\cancel{=} 0\) hat.
Abb. 2: Nullniveau und Höhe des Apfels
Wichtig ist also immer, worauf Dein System bezogen ist. Ohne Angabe des Nullniveaus kann keine Aussage über die potentielle Energie eines Körpers getroffen werden.
Im homogenen Gravitationsfeld der Erde gilt für die potentielle Energie:
Ein Körper der Masse \(m\) besitzt dann potentielle Energie \(E_{pot}\), wenn er sich an einem Ort mit Ortsfaktor \(g\) in einer Höhe \(h\) gegenüber einem definierten Nullniveau (\(h=0\)) aufhält.
\[E_{pot}=m\cdot g\cdot h\]
Die potentielle Energie wird also als Kraftwirkung der Gewichtskraft \(F_G\) über eine Strecke \(h\) beschrieben:
\[E_{pot} = F_G\cdot h \quad\text{ mit }\quad F_G=m\cdot g\]
Die Einheit der potentiellen Energie ist das Joule.
\[[E_{pot}] = 1\frac{kg\cdot m^2}{s^2}=1\ J\]
Der Ortsfaktor in der Nähe der Erdoberfläche (homogenes Gravitationsfeld) kann allgemein mit \(g = 9{,}81\frac{m}{s^2}\) angenähert werden. Der Ortsfaktor gibt dabei das Verhältnis zwischen Masse m und Gewichtskraft \(F_G\) eines Körpers an. Er wird im Zusammenhang mit dem Gravitationsfeld der Erde auch oft als Erdbeschleunigung bezeichnet.
Das Gravitationsfeld der Erde ist nur nahe der Oberfläche homogen. In 100 km Höhe beträgt der Ortsfaktor beispielsweise noch 9,5. Bei einer Höhe von 1.000 km allerdings nur noch 7,3! Hier kannst Du nicht mehr von einem homogenen Gravitationsfeld ausgehen.
Eventuell hat Dein Taschenrechner auch eine Funktion, mit der Du Konstanten direkt einsetzen kannst, dann kannst Du auch den exakten Wert des Ortsfaktors auf der Erde einsetzen. Achtung: In manchen Aufgabenstellungen wird Dir auch ein anderer Näherungswert angegeben, z. B. \(g\approx 10\frac{m}{s^2}\). Dann nutze diesen für die Berechnung der Aufgabe!
Im Folgenden findest Du ein Beispiel zu Berechnung der potentiellen Energie:
Aufgabe 1
Du stehst am unteren Ende einer Treppe (Nullniveau) und möchtest diese hinaufsteigen. In der Hand hältst Du eine 3 kg schwere Einkaufstüte, sie befindet sich dadurch in einer Höhe \(h=80\ cm\) über dem Boden.
Welche potentielle Energie besitzt die Tüte, solange Du unten stehst? Und welche potentielle Energie hat die Tüte, wenn Du im Obergeschoss (\(h=2{,}4\ m\)) angekommen bist?
Hinweis: Als Ortfaktor kannst Du \(g=10\frac{m}{s^2}\) annehmen.
Lösung
Zunächst berechnest Du die potentielle Energie, solange Du noch nicht die Treppe hochgestiegen bist. Die Tüte hängt also 80 cm über dem Boden:
Geg.: \(m=3 \ kg\) \(h=0{,}8m\)
\begin{align} E_{pot}&=m\cdot g\cdot h\\&= 3\ kg\cdot 10\frac{m}{s^2}\cdot 0{,}8\ m \\&=24\ J\end{align}
Im nächsten Schritt berechnest Du die potentielle Energie der Tüte, wenn Du mit ihr die Treppe hinaufgegangen bist. Die Tüte hängt jetzt immer noch 80 cm über dem Boden, aber der Boden ist bereits auf einer Höhe von 2,4 m:
Geg.: \(m=3\ kg\), \(h=2{,}4\ m+0{,}8\ m = 3{,}2\ m\),
\begin{align} E_{pot}&=m\cdot g\cdot h\\&=3\ kg\cdot 10\frac{m}{s^2}\cdot 3{,}2\ m \\&=96\ J\end{align}
Du siehst also: Die potentielle Energie der Tüte hat sich vervierfacht, da sich auch die Höhe vervierfacht hat.
Wie Du andere Größen mithilfe der potentiellen Energie bestimmen kannst, erfährst Du im nächsten Abschnitt.
Potentielle Energie: Formel umstellen
Nun lernst Du, wie Du die Formel umstellen kannst. Du musst sie beispielsweise dann umstellen können, wenn Du in einer Aufgabe nach einer anderen Größe gefragt wirst und die potentielle Energie gegeben ist.
Zuerst löst Du die Formel nach der Masse \(m\) auf:
\begin{align}E_{pot} &= m\cdot g\cdot h \\ \frac{E_{pot}}{g}&=m\cdot h\\ m&= \frac{E_{pot}}{g\cdot h}\end{align}
Dasselbe kannst Du nun auch mit der Höhe \(h\) machen:
\begin{align}E_{pot}&=m\cdot g\cdot h\\\frac{E_{pot}}{m}&=g\cdot h\\ h=\frac{E_{pot}}{m\cdot g}\end{align}
Der Ortsfaktor \(g\) ist im Regelfall die Konstante \(g=9{,}81\frac{m}{s^2}\), sie gilt für alle Fälle nahe der Erdoberfläche (hier liegt ein homogenes Gravitationsfeld vor). Solltest Du doch einmal den Ortsfaktor z. B. auf einem anderen Planeten aus der potentiellen Energie bestimmen wollen, findest Du hier die Formel nach dem Ortsfaktor \(g\) umgestellt:
\begin{align} E_{pot}&=m\cdot g\cdot h\\\frac{E_{pot}}{m}&=g\cdot h\\g&=\frac{E_{pot}}{m\cdot h}\end{align}
Hier kannst Du später noch mal nachsehen, wenn Du die Formel für die Beispielaufgaben unten umstellen willst.
Sonderform: Spannenergie einer Feder
Die potentielle Energie besitzt eine Sonderform: die Spannenergie.
Eine Spannenergie findest Du zum Beispiel an einer Feder, wie Du sie aus dem Kugelschreiber kennst. Wenn Du sie weder zusammendrückst noch auseinander ziehst, sondern einfach auf den Tisch stellst, befindet sich die Feder in ihrer Ausgangslage.
Abb. 3: Auslenkung einer Feder
Um eine Feder nun aus der Ausgangslage auszulenken, benötigt es Energie. Die Energie, die dann in der ausgelenkten Feder gespeichert ist, nennt man Spannenergie.
Eine Feder mit der Federkonstanten \(D\) besitzt eine Spannenergie \(E_{Spann}\), wenn sie um einen Weg \(s\) aus ihrer Ruhelage ausgelenkt wird.
\[E_{Spann} = \frac{1}{2}\cdot D\cdot s^2\]
Die Federkonstante ist eine Größe, die jede Feder besitzt. Dabei kann sie für jede Feder einen anderen Wert besitzen. Sie gibt an, welche Längenänderung bei einer Feder auftritt, in Abhängigkeit der einwirkenden Kraft. Oft wird sie daher auch als Federhärte oder Federsteifigkeit bezeichnet.
Mehr zum Thema Auslenkung von Federn findest Du in unserem Artikel "Hooksches Gesetz".
Im Gravitationsfeld: Hubarbeit und potentielle Energie
Wenn die potentielle Energie im Zusammenhang mit einer Höhe betrachtet wird, die nicht mehr in der Nähe der Erdoberfläche liegt, müssen einige Dinge beachtet werden.
Die Formel \(E_pot=m\cdot g\cdot h\) gilt nur für Höhen, in denen der Ortsfaktor \(g\) noch greift. Zum Beispiel beträgt der Ortsfaktor 100 km über der Erdoberfläche noch circa 9,5. 1000 km über der Erdoberfläche beträgt er allerdings schon nur noch 7,3! Daher wird nur das Gravitationsfeld nahe der Erdoberfläche als homogen angesehen, da sich der Gravitationsfaktor dort nahezu nicht ändert.
Keine Sorge! Du wirst vermutlich keine Aufgaben finden, in denen Du die potentielle Energie eines Flugzeuges bestimmen sollst. Aber manchmal gibt es Aufgaben, für die die potentielle Energie bestimmt werden soll, die benötigt wird, um einen Körper aus dem Gravitationsfeld der Erde zu heben.
Für solche Aufgaben außerhalb des homogenen Gravitationsfeld gibt es eine weitere Formel für die potentielle Energie:
Die potentielle Energie im inhomogenen Gravitationsfeld kann allgemein bestimmt werden mit folgender Berechnung:
- Nullniveau = Erdoberfläche: \(E_{pot}=G\cdot m\cdot M\cdot\left(\frac{1}{r_{Erde}}-\frac{1}{r}\right)\)
- Nullniveau im Unendlichen: \(E_{pot}=\frac{G\cdot m\cdot M}{r}\)
(mit Gravitationskonstante \(G\), Masse \(m\) des Körpers im Gravitationsfeld des Körpers mit Masse \(M\), Erdradius \(r_{Erde}\) (Nullniveau) und Entfernung \(r\) des Körpers zum Erdmittelpunkt)
Im inhomogenen Feld der Erde kann also nicht mehr die vereinfachte Formel der potentiellen Energie benutzt, sondern es muss auf diese ausgewichen werden.
Du kannst die obige Formel auf zwei verschiedene Nullniveaus beziehen:
- Die erste Möglichkeit ist, die Erdoberfläche als Nullniveau anzusehen.
- Eine weitere Möglichkeit besteht darin, das Nullniveau ins Unendliche zu legen. Das heißt, die potentielle Energie ist nur bei unendlicher Entfernung gleich Null. Für alle anderen Entfernungen besitzt jeder Körper eine potentielle Energie.
Aufgabe 2
Welche Energie wird benötigt, um einen Gegenstand der Masse \(m= 120 \ kg\) von der Erdoberfläche 10.000 km weit zu entfernen?
Lösung
Da wir hier von sehr großen Entfernungen ausgehen, befinden wir uns nicht mehr im homogenen Gravitationsfeld der Erde. Wir benutzen also die Formel der potentiellen Energie auf Basis der Gravitationskraft!
\begin{align}\text{geg} : m &= 120,\text{kg}, r_E = 6.370,\text{km}, r = r_E + 10.000,\text{km} = 16.370,\text{km}, M = m_E = 5.97\times 10^{24},\text{kg}\end{align}
Annahme: Erdoberfläche = Nullniveau
\begin{align} E_{pot}&= G\cdot m\cdot M\cdot\left(\frac{1}{r_E}-\frac{1}{r}\right)\\ E_{pot}&= 6.67\times10^{-11}\frac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{kg}^2}\cdot120\,\text{kg}\cdot5.97\times10^{24}\,\text{kg}\cdot\left(\frac{1}{6370\,\text{km}}-\frac{1}{16370\,\text{km}}\right)\\ E_{pot}&= 4.58\times10^{12}\,\text{J}\end{align}
Die potentielle Energie kann auch zur Bestimmung der verrichteten Hubarbeit genutzt werden. Verändert sich die potentielle Energie eines Körpers, wurde nämlich Hubarbeit am Körper verrichtet.
Die Hubarbeit lässt sich sowohl im homogenen als auch im inhomogenen Gravitationsfeld der Erde allgemein definieren:
Hubarbeit wird verrichtet, um einen Körper von einem Höhenniveau in ein anderes zu bringen. Dabei ändert sich seine potentielle Energie.
\[W_{Hub}=\Delta E_{pot}\]
Im homogenen Gravitationsfeld kann die Hubarbeit über die einfache Formel der potentiellen Energie in Abhängigkeit der Höhe bestimmt werden:
\[W_{Hub} = m\cdot g\cdot \Delta h\]
Außerhalb des homogenen Gravitationsfeldes muss allerdings als Grundlage für die Arbeit die Gravitationskraft angenommen werden. Damit gilt für die Hubarbeit hier:
\[W_{Hub}=G\cdot m\cdot M\cdot \left(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\right)\]
Eine Arbeit ist allgemein definiert über die Kraft F, die entlang eines Weges s ausgeübt wird. Im homogenen Gravitationsfeld der Erde ist die Kraft, die für die Berechnung der Arbeit relevant ist, die Schwerkraft.
\begin{align} F&= m\cdot g\\W&=F\cdot s\\W&=m\cdot g\cdot \Delta h\end{align}
Außerhalb des homogenen Gravitationsfeldes wird die Gravitationskraft als Grundlage der Berechnung angenommen:
\begin{align}F&=\frac{G\cdot m\cdot M}{r_1\cdot r_2}\\ W&=F\cdot s\\ W&=G\cdot m\cdot M\cdot \left(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\right)\end{align}
Am folgenden Beispiel kannst Du Dein Wissen nun erproben:
Aufgabe 3
Ein Container (\(m=8\ t\)) befindet sich zunächst auf dem Auflieger eines LKWs (\(h=1\ m\)). Ein Kran hebt ihn vom LKW auf einen Containerstapel. Der Container besitzt nun eine potentielle Energie von \(E_{pot}=1{,}2\ MJ\). Auf welcher Höhe wurde der Container abgestellt? Und welche Hubarbeit wurde dabei verrichtet?
Lösung
Im ersten Schritt berechnest Du die Höhe, die der Container nun haben muss:
Wie die Formel nach der Höhe umgestellt wird, kannst Du im Abschnitt "Formel umstellen" nachlesen.
Geg.: \(m= 8000\ kg\), \(E_{pot}=1{,}2\ MJ\)
\begin{align} E_{pot}&= m\cdot g\cdot h\\ \\ h&= \frac{E_{pot}}{m\cdot g}\\ h&= \frac{1.2\,\text{MJ}}{8000\,\text{kg}\cdot9.81\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}\\ h&= 15.3\,\text{m}\end{align}
Der Container befindet sich also in einer Höhe von 15,3 m über dem Boden. Im zweiten Schritt berechnest Du noch die Hubarbeit, die geleistet wurde, um den Container dort hinaufzuheben:
Geg.: \(h_1=1\ m\), \(h_2=15{,}3\ m\), \(m=8000\ kg\)
\begin{align} \Delta h &= h_2 - h_1\\ \Delta h &= 15.3\,\text{m} - 1\,\text{m}\\ \Delta h &= 14.3\,\text{m}\\ \\ W_{Hub} &= m\cdot g\cdot\Delta h\\ W_{Hub} &= 8000\,\text{kg}\cdot9.81\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\cdot14.3\,\text{m}\\ W_{Hub} &= 1.1\,\text{MJ}\end{align}
Einem Körper kann allerdings nicht nur durch Hubarbeit potentielle Energie zugeführt werden! Auch durch Energieumwandlung kann ein Körper potentielle Energie erhalten.
Potentielle Energie berechnen: Zusammenhang mit der kinetischen Energie
Die potentielle Energie eines Körpers kann auch durch Energieumwandlung entstehen. Denn alle Energieformen können ineinander umgewandelt werden. Für solche Umwandlungen gilt der Energieerhaltungssatz:
Der Energieerhaltungssatz besagt, dass Energie in einem geschlossenen System weder vernichtet noch erzeugt werden kann.
Ein geschlossenes System ist dabei ein System, bei dem kein Teilchenaustausch mit der Umgebung stattfindet. Ein Energieaustausch über die Grenzen des Systems hinweg ist jedoch möglich.
So kann beispielsweise kinetische Energie in potentielle Energie umgewandelt werden.
Mehr Infos zur kinetischen Energie findest Du im gleichnamigen Artikel. Einen kurzen Überblick findest Du im Folgenden.
Die kinetische Energie wird auch als Bewegungsenergie bezeichnet und ist bei allen sich bewegenden Körpern zu finden.
Ein Körper der Masse m besitzt die kinetische Energie Ekin, wenn er sich mit der Geschwindigkeit v bewegt.
\[E_{kin}= \frac{1}{2}\cdot m \cdot v^2\]
Ein Auto, das zum Beispiel zunächst auf einer ebenen Straße rollt, besitzt eine kinetische Energie. Angenommen, es gibt keine Reibungsverluste, dann verändert sich die kinetische Energie des Autos nicht. Rollt das Auto nun auf einen Berg zu, verliert es an kinetischer Energie, es wird langsamer. Gleichzeitig nimmt allerdings die Höhenenergie zu, da es im Vergleich zur Höhe der ebenen Straße zunehmend an Höhe gewinnt.
Aber nicht nur beim Auto kann kinetische und potentielle Energie ineinander umgewandelt werden, sondern beispielsweise auch bei einem Flummi:
Aufgabe 4
Ein Flummi (\(m=50\ g\)) kommt mit einer Geschwindigkeit von \(v=21\frac{m}{s}\) auf dem Boden auf. Aus welcher Höhe ist der Flummi gefallen, wenn angenommen wird, dass keine Energieverluste durch Luftwiderstand o. ä. auftreten?
Tipp:
Energieerhaltung!
Lösung
Über die Geschwindigkeit kannst Du die kinetische Energie des Flummis bestimmen. Mithilfe der Energieerhaltung kannst Du anschließend die kinetische Energie mit der potentiellen Energie gleichsetzen und die Höhe bestimmen.
Geg.: \(m=0{,}05 \ kg\), \(v=21\frac{m}{s}\)
Schritt 1: Kinetische Energie bestimmen
\[E_{kin}=\frac{1}{2}\cdot m \cdot v^2 = \frac{1}{2}\cdot 0{,}05\ kg\cdot (21\frac{m}{s})^2= 11{,}0 J\]
Schritt 2: Energieerhaltungssatz
\[E_{kin}=E_{pot} = 11{,}0 J\]
Schritt 3: Höhe aus der potentiellen Energie bestimmen
Wie die Formel umgestellt wird, kannst Du im Abschnitt Formel umstellen sehen.
\begin{align} E_{pot} &= m\cdot g\cdot h\\ h &= \frac{E_{pot}}{m\cdot g} = \frac{11.0\,\text{J}}{0.05\,\text{kg}\cdot9.81\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}} = 22.4\,\text{m}\end{align}
Mehr zum Thema der Aufgabe findest Du in den Artikeln "Kinetische Energie" und "Energieerhaltungssatz".
Potentielle Energie - Das Wichtigste
- Potentielle Energie ist eine mechanische Energieform. Sie beschreibt die Energie eines Körpers, die er aufgrund seiner Höhe \(h\) besitzt.
- Ein Körper der Masse \(m\) besitzt potentielle Energie, wenn er in einem Gravitationsfeld vom Nullniveau \(h=0\) gehoben wird.
- Sie wird im homogenen Gravitationsfeld der Erde berechnet mit\[E_{pot} = m\cdot g\cdot h\]
- Außerhalb des homogenen Bereichs wird sie mit einer dieser Formeln berechnet:
\(E_{pot} = G\cdot m\cdot M\cdot \left(\frac{1}{r_E}-\frac{1}{r}\right)\) für Nullniveau = Erdoberfläche
\(E_{pot} = \frac{G\cdot m\cdot M}{r}\) für Nullniveau im Unendlichen.
- Die Einheit der potentiellen Energie ist das Joule.
- Die potentielle Energie benötigt immer die Angabe eines Nullniveaus. Meist ist dies der Erdboden, Du kannst aber auch ein anderes Nullniveau definieren.
- Eine Sonderform der potentiellen Energie ist die Spannenergie einer Feder:\[E_{Spann} = \frac{1}{2}\cdot k\cdot x^2\]
- Hubarbeit wird verrichtet, wenn ein Gegenstand in seiner Höhe verändert wird. Damit ändert sich die potentielle Energie des Gegenstandes: \[W_{Hub} = \Delta E_{Pot}\]
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