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Quantenmechanik

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Physik

In ihrer Anfangszeit hat die Quantenmechanik nicht gerade für Begeisterung gesorgt, weil Quantenphänomene oft eigenartig und komplex erscheinen und die Quantenmechanik sich anders verhält als unsere Alltagsphysik. So ist es auch nicht erstaunlich, dass es sogar Albert Einstein schwerfiel, die Prinzipien der Quantenmechanik zu akzeptieren:

Der Gedanke, dass ein einem Strahl ausgesetztes Elektron aus freiem Entschluss den Augenblick und die Richtung wählt, in der es fortspringen will, ist mir unerträglich.

Aber was macht die Quantenmechanik so besonders und welche Rolle spielt sie in der modernen Physik? Die Antworten darauf findest Du in diesem Artikel!

Quantenmechanik einfach erklärt

Während die klassische Physik sich mit der makroskopischen Welt beschäftigt, widmet sich die Quantenmechanik den Grundbausteinen unserer Welt – den sogenannten Quanten:

Damit zählt die Quantenmechanik zu den Teilgebieten der modernen Physik, deren Theorien weit über die Grenzen der klassischen Physik hinausgehen. Manche quantenmechanische Theorien sind sogar so abstrus, dass selbst die schlausten Köpfe der Wissenschaft sie seinerzeit kaum glauben konnten. Deswegen erfanden sie Gedankenexperimente, um die Gültigkeit dieser Theorien zu überprüfen oder aufzuzeigen, wie seltsam die Quantenmechanik doch ist.

Ob Schrödingers Katze oder der Laplace'scher Dämon (Determinismus), quantenmechanische Gedankenexperimente sprechen für sich: Es gibt wohl kaum ein physikalisches Gebiet, dass so viele interessante Fragen beantworten kann, wie die Quantenmechanik. Und sicher keines, was mindestens genauso viele Fragen seinerseits aufwirft.

Was wäre, wenn es einen allwissenden Dämon gäbe, der sowohl die Vergangenheit als auch die Zukunft beschreiben kann? Und was ist denn nun mit Schrödingers Katze – ist sie noch am Leben, bereits tot oder doch irgendetwas dazwischen? Gibt es eine spukhafte Fernwirkung, die Zeitreisen ermöglicht und die Existenz von Wurmlöchern belegt?

Damit zählt die Quantenmechanik zu den Teilgebieten der modernen Physik, deren Theorien weit über die Grenzen der klassischen Physik hinausgehen. Manche quantenmechanische Theorien sind sogar so abstrus, dass selbst die schlausten Köpfe der Wissenschaft sie seinerzeit kaum glauben konnten. Deswegen erfanden sie Gedankenexperimente, um die Gültigkeit dieser Theorien zu überprüfen oder aufzuzeigen, wie seltsam die Quantenmechanik doch ist.

Ob Schrödingers Katze oder der Laplace'scher Dämon (Determinismus), quantenmechanische Gedankenexperimente sprechen für sich: Es gibt wohl kaum ein physikalisches Gebiet, dass so viele interessante Fragen beantworten kann, wie die Quantenmechanik. Und sicher keines, was mindestens genauso viele Fragen seinerseits aufwirft.

Was wäre, wenn es einen allwissenden Dämon gäbe, der sowohl die Vergangenheit als auch die Zukunft beschreiben kann? Und was ist denn nun mit Schrödingers Katze – ist sie noch am Leben, bereits tot oder doch irgendetwas dazwischen? Gibt es eine spukhafte Fernwirkung, die Zeitreisen ermöglicht und die Existenz von Wurmlöchern belegt?

Das volle Kuriositätenkabinett der Quantenmechanischen Phänomene findest Du im Artikel zu den Gedankenexperimenten!

Fragen, mit der sich nicht nur die Physik, sondern auch die Philosophie seit nun fast einem Jahrhundert beschäftigt und die der Quantenmechanik ihren mystischen Ruf verleihen. Doch warum gilt sie als so schwer zu begreifen, dass sogar der große Albert Einstein daran verzweifelt ist? Die Antwort darauf findest Du in den Theorien der Quantenmechanik, die jeglicher klassischer Intuition widersprechen.

Quantenmechanische Phänomene

Quantenmechanische Phänomene beschränken sich keineswegs nur auf die Quantenwelt. Du könntest sie auch in der makroskopischen Welt wiederfinden. Allerdings sind sie in dieser so klein, dass sie weder beobachtet werden können, noch sich in irgendeiner anderen Weise bemerkbar machen. Ein klassisches Beispiel dafür ist der Welle Teilchen Dualismus

Welle Teilchen Dualismus

Die klassische Physik unterscheidet zwischen Wellen und Teilchen. Wellen entstehen beispielsweise, wenn ein Tropfen Wasser die Oberfläche eines Sees trifft. Teilchen hingegen sind winzige Krümel von Materie, aus denen Atome, Moleküle und somit die makroskopische Welt aufgebaut ist.

Mehr Informationen über Teilchen gibt es im Artikel Elementarteilchen.

Weil hier Wellen und Teilchen als zwei unterschiedliche Sachen betrachtet werden, werden ihnen auch unterschiedliche Eigenschaften zugesprochen:

Welle

Teilchen

Breitet sich im Raum aus und kann zu einem Zeitpunkt an unterschiedlichen Orten beobachtet werden

Kann zu einem bestimmten Zeitpunkt nur an einem Ort sein

Kann sich mit anderen Wellen überlagern

Kann durch Zusammenstöße Energie auf andere Teilchen übertragen (hier gilt Energie- & Impulserhaltung)

Erzeugen ein Interferenzmuster am Doppelspalt

Kein Interferenzmuster, sondern Ansammlung an Signalen hinter dem Doppelspalt

Wenn Du Dich näher für die Eigenschaften von Wellen interessierst, dann kannst Du mehr darüber im Artikel Grundlegende Eigenschaften von Wellen nachlesen.

Diese Unterscheidung ergibt auch Sinn, wenn makroskopische Teilchen wie Projektile oder Bälle betrachtet werden. Schießt Du beispielsweise mit einem Maschinengewehr auf einen Doppelspalt, so kommen die Projektile durch einen der beiden Spalte und die Einschusslöcher häufen sich an der Wand genau hinter den Spalten:

Diese Unterscheidung ergibt auch Sinn, wenn makroskopische Teilchen wie Projektile oder Bälle betrachtet werden. Schießt Du beispielsweise mit einem Maschinengewehr auf einen Doppelspalt, so kommen die Projektile durch einen der beiden Spalte und die Einschusslöcher häufen sich an der Wand genau hinter den Spalten:

Wenn Du allerdings das Maschinengewehr durch eine Elektronenkanone ersetzt, dann wirst Du das erwartete Muster nicht beobachten können. Stattdessen erscheint auf dem Schirm hinter dem Doppelspalt ein Interferenzmuster:

Im klassischen Sinne sind nur Wellen zur Interferenz fähig. Dass Du dieses Verhalten allerdings auch bei Elementarteilchen wie Elektronen beobachten kannst, gilt als wichtiger Nachweis dafür, dass Teilchen auch Welleneigenschaften haben. Dies wird als Welle Teilchen Dualismus bezeichnet.

Neben dem Doppelspaltexperiment gelten auch der Photoeffekt und der Compton-Effekt als Nachweis des Welle Teilchen Dualismus. Mehr dazu findest Du in den entsprechenden Artikeln.

Quantenmechanische Objekte haben sowohl Teilchen- als auch Welleneigenschaften. Dies wird durch den Welle Teilchen Dualismus beschrieben.

Du kannst Dir das auch so vorstellen, als würde das Teilchen Deinen Weg über den Berg nicht nehmen müssen. Stattdessen kann es einfach durch den Berg hindurchtunneln.

Der Tunneleffekt spielt eine besondere Rolle in chemischen Reaktionen und bei Kernumwandlungen. Aber worin gründet er, gemeinsam mit den anderen quantenmechanischen Theorien?

Postulate der Quantenmechanik

Die Grundlage der Quantenmechanik bilden die Postulate der Quantenmechanik. Dies sind eine Art Gebote, auf denen das entsprechende mathematische Gerüst baut.

Eine genauere Erklärung zu jedem Postulat findest Du im entsprechenden Artikel.

Um ein quantenmechanisches System beschreiben zu können, brauchst Du zunächst eine entsprechende mathematische Formulierung. Dieser entspricht das erste Postulat. Das zweite Postulat beschäftigt sich damit, wie Du eine Messung mathematisch beschreiben kannst.

1. Postulat: Der Zustand eines Systems wird durch eine Wellenfunktion vollständig beschrieben.

2. Postulat: Physikalische Messgrößen werden durch Operatoren beschrieben.

Ein quantenmechanischer Zustand besteht, bevor Du ihn misst, als Überlagerung aller möglichen Zustände. Durch Messung wird er eindeutig bestimmt - und wird somit verändert. Damit muss die Messung einer Rechenvorschrift entsprechen, die die Wellenfunktion verändert. Solche Rechenvorschriften heißen Operatoren.

Mit den ersten beiden Postulaten kannst Du also sowohl den Zustand eines Systems, als auch einen Messprozess mathematisch beschreiben. Wie sieht es allerdings mit Vorhersagen zu Messergebnissen aus?

Erwartungswert Quantenmechanik

Da der Zustand erst durch Messung bestimmt ist und jedes mögliche Messergebnis mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit auftreten kann, ist es vor der Messung nicht möglich, exakte Aussagen über das Messergebnis zu machen. Wenn Du allerdings dieselbe Messung am selben Teilchen sehr viele Male durchführst, dann wirst Du merken, dass im Mittel dasselbe Ergebnis erhalten wird. Dies ist der sogenannte Erwartungswert.

3. Postulat:

Der quantenmechanische Erwartungswert einer Messgröße E berechnet sich durch

Quantenmechanik Quantenmechanischer Erwartungswert StudySmarter

Dabei sind die möglichen Messwerte durch den Operator Λ bestimmt. ist die normierte Wellenfunktion und dieselbe Wellenfunktion, nur komplex konjugiert.

Eine genaue Erklärung zu dem quantenmechanischen Erwartungswert findest Du im Artikel Postulate der Quantenmechanik.

In der Quantenmechanik rechnest Du also mit Wahrscheinlichkeiten. Diese sind durch die Bornsche Wahrscheinlichkeitsinterpretation bestimmt.

4. Postulat (Bornsche Wahrscheinlichkeitsinterpretation):

Die Wahrscheinlichkeit dafür, ein Teilchen an einem bestimmten Ort x zu finden, wird durch die entsprechende Wahrscheinlichkeitsdichte angegeben. Sie ist proportional zum Betragsquadrat der Wellenfunktion :

Quantenmechanik Bornsche Wahrscheinlichkeitsinterpretation StudySmarter

Auch dieses Postulat wird ausführlicher im entsprechenden Artikel behandelt.

Jetzt hast Du alle Werkzeuge, um den Zustand eines Systems durch seine Wellenfunktion anzugeben und sogar die Möglichkeit, Messungen mathematisch zu beschreiben. Nun wird es Zeit, Dir anzuschauen, wie sich dieser Zustand mit Zeit verändern kann.

Schrödinger-Gleichung

Die Schrödinger Gleichung ist das letzte Postulat der Quantenmechanik und bildet die Grundlage zur Erklärung sämtlicher atomarer und elektronischer Vorgänge.

5. Postulat:

Die zeitliche Entwicklung einer Wellenfunktion wird durch die Schrödingergleichung beschrieben:

Quantenmechanik Schrödingergleichung StudySmarter

Dabei ist die imaginäre Zahl und das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum. Dieses hat den Wert

Quantenmechanik reduziertes Plancksches WirkungsquantumStudySmarter

H ist der Operator für Gesamtenergie und wird als Hamilton-Operator bezeichnet.

Wenn Du mehr über die Schrödinger Gleichung erfahren und sehen möchtest, wie Schrödinger darauf gekommen ist, dann schau doch im entsprechenden Artikel vorbei!

Die Frage nach dem Aufbau der Quantenmechanik, ist also mit ihren Postulaten beantwortet. Nun bleibt es nur noch zu klären, was Du damit anstellen kannst!

Quantenmechanische Systeme im Überblick

Mit den Postulaten der Quantenmechanik kannst Du nun sämtliche quantenmechanische Systeme beschreiben. Einige dieser Systeme, wie der harmonische oder anharmonische Oszillator, könnten Dir dabei aus der klassischen Mechanik bekannt vorkommen: Sie beschreiben harmonische oder anharmonische Schwingungen – nur auf Quantenebene. Aber bevor wir zu diesen kommen, fangen wir mit einem der einfachsten quantenmechanischen Systeme an: dem linearen Potentialtopf.

Schrödinger-Gleichung für Wasserstoff - Linearer Potentialtopf

Stell Dir nun ein Teilchen in einer offenen Box mit unendlich hohen Wänden vor. Somit kann sich das Teilchen innerhalb des Kastens frei bewegen, diesen allerdings nicht verlassen. Mathematisch wird dieser Kasten durch einen linearen Potentialtopf beschreiben. Den Potentialtopf kannst Du Dir dabei wie einen Energietopf vorstellen, der durch einen Energieabfall entsteht. Dabei sind unterschiedliche Formen möglich:

Die Potentialwand entspricht der Energiebarriere und diese wird durch den Energieabfall bestimmt. Je stärker dieser ist, desto höher ist die Barriere. Bei sehr großem Energieabfall (Bild ganz rechts) ist die Energiebarriere unendlich groß. Der Potentialtopf hat also praktisch unendlich hohe Wände.

Das Teilchen könnte auch den Potentialtopf verlassen, wenn es die Energiebarriere überwinden würde. Bei einer unendlich hohen Barriere bräuchte es dazu allerdings unendlich viel Energie.

Dieses Modell wird oft in der Chemie oder Festkörperphysik verwendet, um Elektronensysteme zu beschreiben: In einem Molekül oder einem Leiter können sich die Elektronen nämlich nur im begrenzten Raum frei bewegen, diesen aber nicht verlassen. Wie sich beispielsweise das Elektron im Wasserstoff-Atom verhält, erfährst Du im Artikel Schrödinger-Gleichung für Wasserstoff.

Harmonischer Oszilaltor

In der klassischen Mechanik kannst Du mit einem Pendel harmonische Schwingungen erzeugen. Schwingungen gibt es aber nicht nur in der makroskopischen Welt. Mit atomaren Schwingungen kannst Du beispielsweise sämtliche Alltagsphänomene erklären.

Hast Du Dich schonmal gefragt, warum metallische Oberflächen sich im Sommer so schnell erwärmen?

Das liegt an der Wärmeleitung in Metallen. Metalle sind nämlich so aufgebaut, dass die Atomkerne in der Metallstruktur zwar feste Plätze besetzen, sich gleichzeitig aber um ihren Platz herum minimal bewegen können. Wird dem Metall nun auf einer Seite Energie in Form von Wärme hinzugeführt, so fangen die Atome auf dieser Seite an, sich um ihre Ruhelage herumzubewegen. Sie schwingen also.

Damit regen sie auch nahegelegene Atome zur Schwingung an. So breitet sich die Schwingung über das gesamte Material aus und wir nehmen das als Wärme wahr. Im Artikel zur Wärmeleitung erfährst Du näheres zu ihrer Funktionsweise.

Wie beschreibst Du jedoch Schwingungen auf kleinster Ebene, wie atomare oder elektronische Schwingungen? Diese lassen sich nämlich nicht mit den klassischen Gesetzen der Physik erklären und müssen daher quantenmechanisch behandelt werden. In der Quantenmechanik wird dazu der harmonische Oszillator verwendet.

Hast Du Dich schonmal gefragt, warum metallische Oberflächen sich im Sommer so schnell erwärmen?

Das liegt an der Wärmeleitung in Metallen. Metalle sind nämlich so aufgebaut, dass die Atomkerne in der Metallstruktur zwar feste Plätze besetzen, sich gleichzeitig aber um ihren Platz herum minimal bewegen können. Wird dem Metall nun auf einer Seite Energie in Form von Wärme hinzugeführt, so fangen die Atome auf dieser Seite an, sich um ihre Ruhelage herumzubewegen. Sie schwingen also.

Damit regen sie auch nahegelegene Atome zur Schwingung an. So breitet sich die Schwingung über das gesamte Material aus und wir nehmen das als Wärme wahr. Im Artikel zur Wärmeleitung erfährst Du näheres zu ihrer Funktionsweise.

Wie beschreibst Du jedoch Schwingungen auf kleinster Ebene, wie atomare oder elektronische Schwingungen? Diese lassen sich nämlich nicht mit den klassischen Gesetzen der Physik erklären und müssen daher quantenmechanisch behandelt werden. In der Quantenmechanik wird dazu der harmonische Oszillator verwendet.

Der harmonische Oszillator stellt ein harmonisch schwingendes System dar. In diesem Fall ist die rücktreibende Kraft der Schwingung proportional zur Auslenkung.

Der harmonische Oszillator kann auch auf makroskopische Schwingungen angewendet werden. Harmonisch steht dabei für gleichmäßig und Oszillator ist der Fachbegriff für ein schwingendes System.

Auch hier wird eine Energiebarriere betrachtet. Diese entsteht, wenn ein Pendel sich von seiner Ruhelage (Energieminimum) bei der Schwingung entfernt. Dabei steigt die potentielle Energie gleichmäßig für beide Schwingungsrichtungen. Wird die Feder zusammengedrückt, so steigt die Energie genauso stark an, wie wenn die Feder auseinander gezogen wird:

Die Feder steht hier symbolisch für die Auslenkung aus der Ruhelage. Bei einem klassischen Pendel kann es auch einer realen Feder entsprechen. Bei Quantenmechanischen Systemen könnte sie z.B. die Atombindung symbolisieren.

Damit kannst Du nun die Schwingungen von Atomen oder Molekülen näherungsweise berechnen: Du stellst die Schrödinger Gleichung für den harmonischen Oszillator auf und löst sie nach der Wellenfunktion. Wie das funktioniert, erfährst Du im entsprechenden Artikel. Der harmonische Oszillator ist allerdings ein idealisiertes Modell und kann in der Quantenmechanik nur bedingt auf atomare Schwingungen angewendet werden. Interessanter wird deshalb der Fall des anharmonischen Oszillators.

Anharmonischer Oszillator Quantenmechanik

Im Gegensatz zum harmonischen Oszillator ist die Rückstellkraft nicht immer proportional zur Auslenkung. Dies gilt insbesondere bei Atombindungen.

Befinden sich gebundene Atome im Gleichgewichtsabstand zueinander, dann ist die Gesamtenergie minimal. Sie ergibt sich aus dem Gleichgewicht der Abstoßungs- und Anziehungskräfte.

Wird dieser Abstand verändert, so steigt auch die Energie der Teilchen. Wie sich der Abstand ändern kann, wird dabei in folgender Abbildung gezeigt.

Schau Dir nun an, was gleichzeitig mit der Energie passiert:

Schau Dir nun an, was gleichzeitig mit der Energie passiert:

Werden die Atome weiter zusammengedrückt (Bereich 1), dann steigt die Energie, da nun die Abstoßung der Teilchen überwiegt. Bei weiterem Auseinanderziehen (Bereich 2) steigt die Energie ebenfalls, da hier gegen die Anziehungskräfte gearbeitet wird.

Während beim harmonischen Oszillator die Energie ins unendliche steigen würde, wenn Du die Teilchen noch weiter auseinander ziehst, bleibt sie beim anharmonischen Oszillator ab einem gewissen Punkt konstant (Bereich 3). Dies liegt daran, dass die Atome nun so weit auseinander gebracht wurden, dass die Bindung nicht mehr bestehen kann. Da die Teilchen also nicht mehr gebunden sind, kann die Energie auch nicht weiter ansteigen.

Wenn Du die beiden Modelle direkt miteinander vergleichst, dann wirst Du sofort erkennen, weshalb der eine Oszillator als harmonisch und der andere als anharmonisch bezeichnet wird:

Beim harmonischen Oszillator nimmt die Energie nämlich gleichmäßig mit der Entfernung zur Ruhelage zu und der Graph ist auf beiden Seiten gleich. Beim anharmonischen Oszillator hingegen unterscheidet sich die rechte Seite des Graphen stark von der linken. Weil beide Graphen jedoch im Bereich um die Ruhelage herum qualitativ übereinstimmen, kann der harmonische Oszillator als Näherung für kleine Auslenkungen aus der Ruhelage verwendet werden.

Um Schwingungen und andere quantenmechanische Zustände auch quantitativ beschreiben zu können, brauchst Du jedoch zunächst einen Satz weiterer quantenmechanischer Wekzeuge: Die sogenannten Quantenzahlen!

Quantenzahlen

Ein quantenmechanischer Zustand wird durch entsprechende Quantenzahlen charakterisiert. Dabei entsprechen unterschiedliche Quantenzahlen unterschiedlichen Eigenschaften des Systems. Beispielsweise werden durch Haupt- und Nebenquantenzahlen zum einen das Energieniveau und zum anderen der Drehimpuls von Teilchen beschrieben. Darüber hinaus gibt es neben der Spinquantenzahl je nach System auch sämtliche weitere Quantenzahlen.

Eine ausführliche Erklärung zu den einzelnen Quantenzahlen findest Du in den entsprechenden Artikeln!

Knotensatz Quantenmechanik

Eine ausführliche Erklärung zu den einzelnen Quantenzahlen findest Du in den entsprechenden Artikeln!

Knotensatz Quantenmechanik

Vielleicht fragst Du Dich an dieser Stelle, wie das mit der Energie genauer funktioniert. Die Antwort darauf kommt von Max Planck, der die Quantisierung von Energie eingeführt hat.

Energie ist quantisiert. Das heißt, sie wird in diskreten Energiepaketen zwischen den Energieniveaus ausgetauscht. Diese werden dabei durch die Hauptquantenzahl n charakterisiert.

Daraus folgt, dass die Energie eines quantenmechanischen Systems eigentlich gar nicht kontinuierlich ist. Stattdessen existieren diskrete Energiezustände, zwischen denen das Teilchen wechseln kann. Diese gibt es in jedem System und Du kannst sie Dir wie "Stufen" einer Treppe vorstellen. Das jeweilige Energieniveau wird dabei durch die Hauptquantenzahl n angegeben:

Wie Du erkennen kannst, rücken die Energieniveaus im linearen Potentialtopf weiter auseinander, je höher die Energie ist. Beim harmonischen Oszillator hingegen bleiben die Abstände konstant und beim anharmonischen Oszillator rücken sie mit zunehmender Energie weiter zusammen.

Das Teilchen nimmt also unterschiedliche Energiezustände ein. Nach dem ersten Postulat der Quantenmechanik wird jeder dieser Zustände durch eine Wellenfunktion beschrieben. Einige dieser Wellenfunktionen sind in folgender Abbildung für die jeweiligen Energieniveaus dargestellt:

Dabei kannst Du hauptsächlich zwei Sachen erkennen: Einerseits entspricht die Anzahl der Knoten der Hauptquantenzahl n. Dies wird als Knotenregel bezeichnet.

Nach der Knotenregel hat die Wellenfunktion im Energiezustand mit der Quantenzahl n, beginnend bei , n Knoten.

Knoten sind die Nullstellen der Wellenfunktion.

Andererseits nimmt die Anzahl der Knoten mit steigender Energie zu. Je höher die Energie des Teilchens also ist, desto mehr Knoten weist die Wellenfunktion auf. Damit kannst Du aus der Anzahl der Knoten auf das entsprechende Energieniveau schließen.

Jetzt hast Du eine Vorstellung davon, was die Hauptquantenzahl aussagt. Wie sieht es allerdings mit den anderen Quantenzahlen aus?

Drehimpuls Quantenmechanik

Neben der Energie ist auch der Drehimpuls eine wichtige Größe der Quantenmechanik. Im Gegensatz zum klassischen Drehimpuls kann der quantenmechanische Drehimpuls noch weiter unterteilt werden in Spin und Bahndrehimpuls.

Der klassische Drehimpuls tritt immer bei Drehbewegungen auf. Er ist das Analogon zum Impuls bei geradlinigen Bewegungen.

In der Quantenmechanik entspricht der Bahndrehimpuls dem Drehimpuls, dem Du auch in der Mechanik begegnen könntest. Allerdings ist dieser, im Vergleich zum klassischen Drehimpuls, quantisiert und wird durch die Drehimpulsquantenzahl l angegeben.

Der Bahndrehimpuls ist in seiner Richtung quantisiert. Für jede Drehimpulsquantenzahl l sind dabei

Orientierungen möglich. Die Drehimpulsquantenzahl kann entweder ganz- oder halbzahlige Werte einnehmen.

Für ergeben sich somit mögliche Orientierungen:

Der Bahnimpulsvektor (dargestellt als Pfeil) kann in jede beliebige Raumrichtung zeigen. Betrachtest Du, wie in Abbildung 15, die z-Komponente, so kannst Du die Quantisierung entlang dieser Richtung wie dargestellt angeben. Da Du die z-Komponente des Bahndrehimpulses L betrachtest, wird diese Achse zur Lz-Achse.

Die einzelnen Komponenten des Drehimpulsvektors können nicht gleichzeitig beliebig genau bestimmt werden. Wenn Du Dir also schon die z-Richtung ausgesucht hast, kannst Du nicht genau sagen, wie der Vektor in y- oder x-Richtung orientiert ist. Diese Unschärfe wird dadurch dargestellt, dass der Vektor um die betrachtete Achse herum kreist. Durch seine Bewegung entstehen die dargestellten Kegel. Jeder dieser Kegel stellt also eine Orientierung im Raum dar.

Eine genauere Erklärung dazu kannst Du im Artikel zu den Haupt- und Nebenquantenzahlen nachlesen.

Ähnlich ergeht es auch dem Spin. Im Gegensatz zum Bahndrehimpuls gibt es in der klassischen Mechanik jedoch nichts, womit er verglichen werden könnte. Vielmehr kannst Du ihn als Eigenschaft von Elementarteilchen, genau wie Ladung oder Masse, verstehen.

Der Spin ist eine quantenmechanische Eigenschaft von Teilchen. Er kann ganzzahlige oder halbzahlige Werte einnehmen und wird durch die Spinquantenzahl charakterisiert.

So wie die Ladung im elektrischen Feld macht sich der Spin erst im Magnetfeld bemerkbar: Je nach seiner Ausrichtung kann er entweder positiv oder negativ sein und manchmal wird er auch mit Vektorpfeilen angegeben. Weil Du ihn Dir allerdings nicht bildlich vorstellen kannst, hat dies mit seiner tatsächlichen Erscheinung wenig zu tun und soll lediglich sein Verhalten beschreiben.

Anhand seines Verhaltens wurde der Spin auch entdeckt. Wenn Du Dich dafür interessierst, dann schau doch beim

Stern-Gerlach-Experiment vorbei!

Der Spin, insbesondere der Elektronenspin, spielt eine besondere Rolle im Atomaufbau und in der Chemie. Außerdem findet der Spin von Atomkernen auch in der Medizin eine wichtige Anwendung: Bei der Kernspintomografie, auch bekannt als MRT, wird die Orientierung des Kernspins dazu genutzt, um Gewebe und Organe präzise darzustellen.

Da beim MRT lediglich mit Magnetfeldern und nicht mit Kontrastmitteln oder ionisierender Strahlung gearbeitet wird, bietet es ein vergleichbar harmloses Diagnostikverfahren.

Quantenmechanik - Das Wichtigste

  • Während die klassische Physik sich mit der makroskopischen Welt beschäftigt, widmet sich die Quantenmechanik den Grundbausteinen unserer Welt – den sogenannten Quanten.
  • Gedankenexperimente, dienen dazu, die Gültigkeit von Theorien zu überprüfen.
  • Zu quantenmechanischen Phänomenenzählen:
  • Mathematische Grundlage bieten die fünf Postulate der Quantenmechanik:
    1. Der Zustand eines Systems wird durch eine Wellenfunktion vollständig beschrieben.
    2. Physikalische Messgrößen werden in der Quantenmechanik durch Operatoren angegeben.
    3. Der quantenmechanische Erwartungswerteiner Messgröße E berechnet sich für normierte Wellenfunktionen durch

      Quantenmechanik Quantenmechanischer Erwartungswert StudySmarter

    4. Die Wahrscheinlichkeit dafür, ein Teilchen an einem bestimmten Ort x zu finden, wird durch die entsprechende Wahrscheinlichkeitsdichte angegeben. Sie ist proportional zum Betragsquadrat der Wellenfunktion :

      Quantenmechanik Bornsche Wahrscheinlichkeitsinterpretation StudySmarter

    5. Die zeitliche Entwicklung einer Wellenfunktion wird durch die Schrödingergleichung beschrieben:

      Quantenmechanik Schrödingergleichung StudySmarter

  • Quantenmechanische Systeme sind beispielsweise der lineare Potentialtopf, der harmonische und der anharmonische Oszillator.
  • Der harmonische Oszillator stellt ein harmonisch schwingendes System dar. Er kann für kleine Auslenkung als Näherung für Atom- oder Molekülschwingungen oder für makroskopische Schwingungen verwendet werden.
  • Im anharmonischen Oszillator werden reale Wechselwirkungen zwischen den Atomen betrachtet.
  • Energiezustände sind in quantenmechanischen Systemen quantisiert. Nach der Knotenregel hat die Wellenfunktion im Energiezustand n, beginnend bei , n Knoten.
  • Auch der quantenmechanische Drehimpuls ist quantisiert. Er lässt sich in Bahndrehimpuls und Spin aufteilen.
    • Der Bahndrehimpuls ist in seiner Richtung quantisiert: Für jede Drehimpulsquantenzahl J sind dabei Orientierungen möglich.

    • Der Spin ist eine quantenmechanische Eigenschaft von Teilchen. Er kann ganzzahlige oder halbzahlige Werte einnehmen.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Quantenmechanik

Die Quantenmechanik ist ein Teilgebiet der Physik, das sich mit den kleinsten Objekten des Universums beschäftigt.

Quanten sind physikalische Objekte, die nicht den Gesetzen der klassischen Physik folgen. Mit ihnen beschäftigt sich die Quantenmechanik.

Die Quantenmechanik ist ein Teilgebiet der Physik. Während in der klassischen Physik der Zustand von Objekten exakt vorhergesagt werden kann, ist in der Quantenmechanik eine exakte Bestimmung nur durch Messung möglich.

Determinismus bedeutet, dass wenn du den Zustand eines Systems an einem bestimmten Punkt vollständig beschreiben kannst, so kannst du daraus Vorhersagen für den Zustand zu jedem beliebigen Zeitpunkt treffen. Darüber, ob die Quantenmechanik deterministisch ist, existieren gespaltene Meinungen. Vertreter der Theorie über verborgene Variablen gehen beispielsweise von einer deterministischen Quantenmechanik aus.

Finales Quantenmechanik Quiz

Frage

Woran wird die Röntgenstrahlung bei der Bragg-Reflexion reflektiert?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Röntgenstrahlung wird an einem Kristall reflektiert.

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe den Versuchsaufbau bei der Drehkristallmethode!

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Antwort

Bei der Drehkristallmethode wird die Strahlung einer Röntgenquelle auf einen Kristall gelenkt. An diesem wird die Strahlung reflektiert. Ein Detektor misst die Strahlung, die der Kristall reflektiert. Kristall und Detektor werden rotiert, um die Reflexion unter verschiedenen Winkeln zu messen.

Frage anzeigen

Frage

Welche der folgenden Größen ist kein Bestandteil der Bragg-Gleichung?

Antwort anzeigen

Antwort

Das Plancksche Wirkungsquantum h

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Frage

Wie lautet die Bragg-Gleichung?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Bragg-Gleichung lautet 

Frage anzeigen

Frage

Was muss auf den Kristall zutreffen, an dem die Bragg-Reflexion wirken soll?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Kristall muss gleichmäßige Abstände zwischen seinen Atomen haben.

Frage anzeigen

Frage

Was geschieht mit dem Großteil der Röntgenstrahlung, wenn diese auf den Kristall trifft?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Großteil der Strahlung passiert den Kristall.

Frage anzeigen

Frage

Warum gibt es bei der Bragg-Reflexion einen Gangunterschied?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Strahlenbündel treffen auf Atome in verschiedenen Schichten der Kristallstruktur. Dadurch legen sie unterschiedlich lange Strecken zurück bevor sie zum Detektor gelangen.

Frage anzeigen

Frage

Was muss auf die Lichtbündel vor der Reflexion zutreffen, damit diese wie in der Theorie stattfindet?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Lichtbündel müssen parallel zueinander auf den Kristall treffen. Nur dann ist der Einfallswinkel gleich, sodass sich der Gangunterschied korrekt berechnen lässt.

Frage anzeigen

Frage

Von welchen Größen hängt der Gangunterschied ab?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Gangunterschied wird durch den Einfallswinkel der Lichtbündel und den Gitterabstand bestimmt.

Frage anzeigen

Frage

Wie hängen Einfallswinkel, Gangunterschied und Gitterabstand zusammen?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Gitterabstand und die Hälfte des Gangunterschieds spannen ein Dreieck auf. Dem Gangunterschied gegenüber liegt im Dreieck der Einfallswinkel.

Frage anzeigen

Frage

In manchen Aufgaben musst du den Einfallswinkel der Röntgenstrahlung berechnen. Was gilt für den Sinus des Einfallwinkels?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Sinus berechnet sich durch .

Frage anzeigen

Frage

Wie lautet die Formel für den Gangunterschied?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Formel für den Gangunterschied lautet


Frage anzeigen

Frage

Was sind die Bedingungen für den Gangunterschied bei konstruktiver bzw. destruktiver Interferenz?

Antwort anzeigen

Antwort

Bei konstruktiver Interferenz gilt .

Bei destruktiver Interferenz gilt 

.


Frage anzeigen

Frage

Ein Kristall hat den Gitterabstand . Unter dem Glanzwinkel

 wird das zweite Maximum gemessen. Wie groß ist die Wellenlänge der verwendeten Strahlung? 


Antwort anzeigen

Antwort

Die Wellenlänge der verwendeten Strahlung beträgt .

Frage anzeigen

Frage

Strahlung der Wellenlänge

wird an einem Kristall mit dem Gitterabstand 

 reflektiert. Berechne die Winkel, unter denen die ersten drei Maxima zu beobachten sind.


Antwort anzeigen

Antwort

Die ersten drei Maxima finden sich unter folgenden Winkeln:

und


Frage anzeigen
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