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Goldene Regel der Mechanik

Hast Du schon einmal das Be- oder Entladen eines Lkws beobachtet? In vielen Fällen wird dabei eine Rampe (sogenannte Laderampe) vom Boden zur Ladefläche verwendet. Das erleichtert den Transport der Gegenstände, wenn ein Höhenunterschied überwunden werden muss. Bei der Laderampe handelt es sich um eine schiefe Ebene. Diese macht Nutzen von der Goldenen Regel der Mechanik, um die Arbeit zu erleichtern.

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Goldene Regel der Mechanik

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Hast Du schon einmal das Be- oder Entladen eines Lkws beobachtet? In vielen Fällen wird dabei eine Rampe (sogenannte Laderampe) vom Boden zur Ladefläche verwendet. Das erleichtert den Transport der Gegenstände, wenn ein Höhenunterschied überwunden werden muss. Bei der Laderampe handelt es sich um eine schiefe Ebene. Diese macht Nutzen von der Goldenen Regel der Mechanik, um die Arbeit zu erleichtern.

Dabei handelt es sich nicht nur um eine Regel, sondern auch um eine Formel, mit der Du gewisse Aufgaben in der Mechanik lösen kannst. Beispiele für die Anwendung sind etwa das Fahrrad oder die lose Rolle. Wie kannst Du die Goldene Regel der Mechanik einfach erklären?

Goldene Regel der Mechanik einfach erklärt

Bei der Goldenen Regel der Mechanik handelt es sich um einen Merksatz, den schon Galileo Galilei aufstellte:

Was man an Kraft spart, muss man an Weg zusetzen.

Was Du Dir darunter vorstellen kannst, kannst Du direkt selbst zu Hause probieren.

Nimm Dir eine leere Tasse mit Griff und hänge sie an einen starken Finger Deiner Hand. Die Tasse wird dann etwas schief am Finger hängen.

Dein Ziel ist es jetzt, die Tasse mithilfe eines Fingers Deiner anderen Hand aufzurichten. Das kannst Du auf zwei verschiedene Wege probieren:

  1. drücke die Tasse von unten am Boden nach oben

  2. drücke die Tasse nah unterhalb des haltenden Fingers am Griff nach oben

Du wirst deutlich merken können, dass Du im Fall 1 nur sehr wenig Kraft aufwenden musst, um die Tasse aufzurichten. Deinen Finger, mit dem Du drückst, musst Du dabei aber auch deutlich weiter bewegen.

Drückst Du hingegen nah am Finger, auf dem die Tasse hängt (Fall 2), wirst Du merklich mehr Kraft aufwenden müssen. Dafür musst Du die Kraft aber auch nur über eine kürzere Strecke aufrechterhalten.

In beiden Fällen erreichst Du zwar das gleiche Ergebnis, dass die Tasse aufgerichtet ist, jedoch mit unterschiedlichen Kräften und Strecken, auf denen Du die Kraft wirkst. Und genau das ist die Goldene Regel der Mechanik:

Im Fall 1 sparst Du Dir viel Kraft, musst diese Kraft aber über einen zusätzlichen Weg aufrechterhalten, um das gleiche Ergebnis zu erhalten, wenn Du es mit dem Fall 2 vergleichst.

Bei diesem Beispiel handelt es sich um einen Hebel. Mehr dazu findest Du allgemein in der Erklärung „Kraftwandler“ oder speziell bei „Hebel Physik“.

Du kannst Dir die Goldene Regel der Mechanik auch einfach erklären, indem Du Dir folgenden veränderten Merksatz einprägst:

Wenn Du Kraft sparen möchtest, musst Du im gleichen Maße mehr Weg zurücklegen. Möchtest Du hingegen für das gleiche Ergebnis einen kürzeren Weg zurücklegen, musst Du im gleichen Maße die aufgewandte Kraft erhöhen.

Ein Gerät oder eine Anwendung, die von diesem Prinzip Nutzen macht, nennst Du einen Kraftwandler.

In der Erklärung zum „Kraftwandler“ findest Du viele Beispiele, Formeln und Anwendungen.

„Zwei Größen“, im „gleichen Maße“, „gleiches Ergebnis“ … das klingt doch schon fast nach einer Formel, oder?

Goldene Regel der Mechanik Formel

Wendest Du eine Kraft über einen Weg an, verrichtest Du eine Arbeit.

Eine mechanische Arbeit \(W\) ist Kraft \(F\) mal Weg \(s\).

\[ W = F \cdot s \]

Es gibt verschiedene Formen der mechanischen Arbeit, über die Du mehr in der Erklärung über „Mechanische Arbeit“ erfahren kannst.

Laut der Goldenen Regel der Mechanik gilt: Wenn Kraft oder Weg abnimmt, muss die andere Größe im gleichen Maße zunehmen. In beiden Fällen soll das Ergebnis und entsprechend die dabei verrichtete Arbeit gleich sein. Daraus kannst Du die Formel der Goldenen Regel der Mechanik entwickeln.

Die Goldene Regel der Mechanik besagt: Um Kraft einzusparen \(\left(F_2 < F_1\right)\) musst Du dafür eine weitere Strecke \(\left(s_2 > s_1\right)\) überwinden – und zwar genau in dem Maße, sodass die dabei verrichtete mechanische Arbeit \(W\) gleich bleibt.

\begin{align}W &= F_1 \cdot s_1 \\ W &= F_2 \cdot s_2 \\ \\ \rightarrow \, F_1 \cdot s_1 &= F_2 \cdot s_2 \end{align}

Daraus folgt, dass auch das Verhältnis der Kräfte gleich dem umgekehrten Verhältnis der Strecken ist:

\[\frac{F_1}{F_2} = \frac{s_2}{s_1}\]

Da eine Arbeit auch immer einer Energie entspricht, ist die Goldene Regel der Mechanik im Grunde genommen eine Anwendung des Energieerhaltungssatzes, über den Du mehr in „Energieerhaltungssatz der Mechanik“ finden kannst.

Einfach erklärt bedeutet das, wenn Du Dir die Hälfte der Kraft sparen möchtest, musst Du dafür diese Kraft über die doppelte Strecke anwenden. Wenn Du also wie bei dem Versuch mit der Tasse eine besonders kleine Strecke zurücklegen möchtest, kann die notwendige Kraft schnell sehr groß werden. Die Goldene Regel der Mechanik findet aber nicht nur Anwendung im kleinen Selbstexperiment mit der Tasse.

Goldene Regel der Mechanik Beispiele

Klassische Beispiele für die Goldene Regel der Mechanik in der Physik sind die schiefe Ebene (Laderampe, Treppe, Serpentinenstraßen etc.) oder der Seilzug mit loser Rolle. Das sind aber nicht nur Beispiele, um Schüler zu ärgern, sondern diese werden im Alltag tatsächlich angewandt.

Ein Kraftwandler (= Gerät/Anwendung, die die Goldene Regel der Mechanik nutzt) ist auch der Hebel. Er wird etwa beim Schrauben mithilfe eines Schraubendrehers oder mehrfach beim Fahrrad eingesetzt.

Stelle Dir vor, Du fährst mit dem Fahrrad und stehst unten an einem beträchtlich hohen Hang. Welche der folgenden Situationen würde Dir besser gefallen?

  1. Die gesamte Höhe des Hangs auf einem super steilen, extrem mühsamen, aber demnach kurzen, Weg hochfahren.

  2. Die gesamte Höhe des Hangs einer geringen Steigung, die Du sehr einfach in einem gemächlichen Tempo überwinden kannst, über eine längere Strecke hochfahren.

Stehst Du unter Zeitdruck und hast die Kraftreserven eines Profisportlers, wäre vermutlich Fall 1 bevorzugt. Deutlich angenehmer wäre aber die zweite Situation.

Du kannst also, um das gleiche Ziel zu erreichen, mithilfe der Goldenen Regel der Mechanik Kraft sparen, indem Du eine längere Strecke zurücklegst. Dieses Prinzip wird bei der schiefen Ebene angewandt.

Goldene Regel der Mechanik schiefe Ebene

Beim Anfangsbeispiel der Laderampe des LKWs und beim oben stehenden Beispiel mit dem Hang handelt es sich um die schiefe Ebene. Die Problemstellung beider Beispiele ist gleich: mit einem Gewicht einen Höhenunterschied überwinden.

Hier kannst Du wieder die Fallunterscheidung machen, wobei gilt, dass die gleiche Höhe \(h\) erreicht werden soll:

  1. steiler Anstieg: hohe Kraft \(F_1\) notwendig, kurze Strecke \(s_1\) überwinden

  2. geringer Anstieg: niedrige Kraft \(F_2\) notwendig, lange Strecke \(s_2\) überwinden

Eine ausführliche Erklärung zu allen Größen, Formeln und anderen Gegebenheiten dazu findest Du bei „Schiefe Ebene“.

In beiden Fällen verrichtest Du die gleiche mechanische Arbeit. Laut der Goldenen Regel der Mechanik kannst Du also entsprechend Deiner Kraft oder der Anwendung entscheiden:

  1. große Kraft über kurze Strecke aufwenden

  2. kleine Kraft über lange Strecke aufwenden

Du kannst es Dir auch so vorstellen, dass über die gesamte Strecke die gleiche Energie aufgebracht werden muss. Verlängerst Du die Strecke, verringerst Du somit die Rate, mit der Du die Energie aufbringen musst. Die Rate der Energie steht in diesem sinnhaften Beispiel für die Kraft.

Selbst wenn Du die Goldene Regel der Mechanik auf das Fahrrad am Hang anwenden kannst, hat sich Dir vielleicht die Frage gestellt: warum mit dem Fahrrad nicht einfach in einen sehr niedrigen Gang schalten, um somit den sehr steilen Hang zu überwinden?

Goldene Regel der Mechanik Fahrrad

Schaltest Du am Hang in einen niedrigen Gang, verringert sich dadurch die Kraft, mit der Du strampeln musst. Problem gelöst! So kannst Du einfach jeden noch so steilen Berg befahren und sparst Dir sogar Energie, weil Du deutlich weniger Kraft aufwenden musst und trotzdem die kurze Strecke fährst! Nicht so schnell!

Die Pedale und die Gangschaltung des Fahrrads nutzen den Kraftwandler Hebel an mehreren Stellen. Das heißt, auch hier gilt die Goldene Regel der Mechanik.

Wie genau das funktioniert, welche Hebel es gibt und wie Kraft, Strecke und Gangschaltung miteinander wechselwirken, zeigt Dir die Erklärung „Hebel am Fahrrad“.

Schaltest Du einen Gang herunter, verringerst Du zwar die Kraft, mit der Du strampelst. Gleichzeitig verringert sich dadurch aber auch der zurückgelegte Weg der Kette bei einer Pedalumdrehung. Entsprechend verringert sich auch die Strecke, um die sich das Hinterrad dreht.

Moment!

Kraft und Strecke verringern sich hier gleichzeitig? Das widerspricht aber der Goldenen Regel der Mechanik, oder?

Die Goldene Regel der Mechanik ist nur dann anwendbar, wenn Du mit dem gleichen Hebel (Kraftwandler) die gleiche Arbeit verrichten möchtest und Reibung vernachlässigbar ist.

Beim Fahrrad gibt es verschiedene Hebel. Für die Anwendung der Goldenen Regel darfst Du aber nur den gleichen Hebel (Kraftwandler) betrachten. Das wäre hier der Hebel an den Pedalen.

Schaltest Du einen Gang herunter, verringerst Du die notwendige Kraft auf die Pedale. Um am Ende jedoch die gleiche Strecke mit dem Fahrrad zurückzulegen (gleiche Arbeit zu verrichten), musst Du jetzt mehr strampeln, also die Pedale an sich um eine deutlich weitere Strecke bewegen.

Du siehst, es gibt kein Entkommen von der Goldenen Regel der Mechanik. Das ist auch gut so, denn ansonsten würden Anwendungen wie ein Seilzug nicht funktionieren.

Goldene Regel der Mechanik lose Rolle am Seilzug

Stelle Dir vor, Du musst einen kaum tragbaren Gegenstand in die dritte Etage der Höhe \(h\) bringen. Glücklicherweise ist das Treppenhaus so gebaut, dass Du Dir einen Seilzug basteln kannst.

Eine feste Rolle befestigst Du dafür an der Decke, zusammen mit einem festen Haken. An den schweren Gegenstand, der eine hohe Gewichtskraft \(F_1\) wirkt, befestigst Du eine lose Rolle. Lose Rolle heißt sie, weil sie aus Sicht der Gesamtkonstruktion lose (beweglich) ist. Hier ist sie mit dem losen, zu hebenden Gegenstand verbunden.

Als Nächstes benötigst Du ein langes Seil, das Du beginnend am festen Haken befestigst, danach zuerst über die lose Rolle, dann über die feste Rolle und schließlich nach unten zum Erdgeschoss legst. Beachte dabei, dass das Seil jeweils senkrecht verläuft.

Ziehst Du jetzt am Ende des Seils, wirst Du feststellen können, dass Du weniger Kraft aufwenden musst, als wenn Du den Gegenstand ohne den Seilzug heben würdest. Das liegt an der Goldenen Regel der Mechanik.

Die mechanische Arbeit \(W_2\), die Du mithilfe der Kraft \(F_2\) am Seilende verrichtest, wird über das Seil auf den Gegenstand übertragen. Beide mechanische Arbeiten, Deine \(W_2\) und die am Gegenstand \(W_1\), sind somit gleich.

Dass Deine Kraft \(F_2\) geringer als die Gewichtskraft \(F_1\) des Gegenstandes ist, kannst Du mithilfe der losen Rolle erklären. Schau Dir die jeweiligen zurückgelegten Strecken von Gegenstand \(s_1\) und Deinem Seilende \(s_2\) an.

Aufgrund der losen Rolle musst Du das Seil doppelt so weit ziehen \(\left(s_2 = 2 \cdot h\right)\), als Du den Gegenstand anheben möchtest \(\left(s_1 = 1 \cdot h\right)\). Du wirkst Deine Kraft \(F_2\) somit über die doppelte Strecke \(s_2 = 2 \cdot s_1\), als die der Gegenstand hochgezogen wird (\(s_1\)) und seine Kraft \(F_1\) wirkt.

Laut der Goldenen Regel der Mechanik zieht eine Veränderung der Strecke eine gleich starke, entgegengesetzte Veränderung der aufgewandten Kraft nach sich. Somit wird bei doppelter Strecke die Kraft halbiert und das Heben vereinfacht.

Du könntest es Dir auch so erklären, dass die Gewichtskraft des Gegenstandes jeweils zur Hälfte auf den festen Haken und auf die feste Rolle wirkt. Du ziehst dann nur bei der festen Rolle – musst also lediglich die Hälfte der Gewichtskraft überwinden.

Kräne nutzen noch kompliziertere Seilzüge, um extreme Massen mit so geringem Kraftaufwand wie möglich zu heben. Die dadurch langen Stahlseile stellen oftmals keine Probleme dar. Was dabei an Kraft gespart werden kann, kannst Du nun mithilfe der Goldenen Regel der Mechanik selbst ermitteln.

Goldene Regel der Mechanik Aufgaben

Viele mechanische Beispiele und Anwendungen machen Nutzen von der Goldenen Regel der Mechanik. So kannst Du auch die Entscheidungen etwa bei der Konzeption von Werkzeugen anhand der Goldenen Regel erklären.

Aufgabe 1

Erkläre mithilfe der Goldenen Regel der Mechanik, ob das Lösen einer Schraube mit einem kurzen oder langen Schraubenschlüssel einfacher ist.

Lösung

Ein Schraubenschlüssel nutzt den Kraftwandler Hebel. Somit wird auch die Goldene Regel der Mechanik angewandt. Damit ein Vorgang einfacher ist, sollte die Kraft so gering wie möglich sein.

Drehst Du eine Schraube mithilfe eines Schraubenschlüssels, wirkst Du die Kraft etwa auf einer Kreisbahn mit Radius entsprechend der Länge des Schraubenschlüssels. Erhöhst Du den Radius (Länge des Schraubenschlüssels) einer Kreisbahn, auf der Du die Kraft wirkst, erhöhst Du auch die Strecke, über die die Kraft wirkt.

Die Goldene Regel der Mechanik besagt, um Kraft zu sparen, muss die Strecke verlängert werden. Durch den längeren Schraubenschlüssel hast Du die Strecke verlängert. Demnach ist Deine Kraft, die Du zum Schrauben aufwendest, geringer – das Schrauben also einfacher – wenn Du den längeren Schraubenschlüssel verwendest.

Die Goldene Regel der Mechanik bringt aber nicht immer Vorteile.

Aufgabe 2

Erkläre anhand der Goldenen Regel der Mechanik, warum die Grifffläche eines Schlüssels (die Stelle, an der Du den Schlüssel hältst und die Kraft zum Drehen wirkst) eine gewisse Größe haben sollte. Gehe dabei darauf ein, was passieren kann, wenn diese Fläche sehr klein oder sehr groß ist.

Lösung

Ist die Fläche sehr klein, wirkt ein kürzerer Hebel und somit die Kraft auf einer geringeren Strecke. Laut der Goldenen Regel der Mechanik müsstest Du also eine deutlich größere Kraft aufwenden, um das gleiche Ergebnis zu erreichen. Bei älteren Schlössern oder Schlössern, die sehr schwergängig sind, könnte das bedeuten, dass Deine Kraft nicht zum Öffnen des Schlosses ausreicht.

Ist die Fläche hingegen sehr groß, wirkt ein längerer Hebel und entsprechend die Kraft auf einer längeren Strecke. Aufgrund der Goldenen Regel der Mechanik bedeutet das zwar, dass Du weniger Kraft aufwenden musst, um den Schlüssel im Schloss zu drehen. Jedoch könnte das auch dazu führen, dass Du aus Versehen zu viel Kraft aufwendest und der Schlüssel bricht.

Du siehst – wie fast alles im Leben – hat auch die Goldene Regel der Mechanik zwei Seiten. Sie ist dennoch wichtig für kraftaufwendige mechanische Anwendungen und Hauptgrund dafür, dass Werkzeuge genau so designt sind, wie Du sie im Alltag nutzt.

Goldene Regel der Mechanik – Das Wichtigste

  • Die Goldene Regel der Mechanik besagt: Was man an Kraft spart, muss man an Weg zusetzen.
  • Ein Gerät oder eine Anwendung, die von der Goldenen Regel der Mechanik Nutzen macht, nennst Du einen Kraftwandler.
  • Die Goldene Regel gilt nur, wenn durch den gleichen Kraftwandler das gleiche Ergebnis erreicht / die gleiche Arbeit verrichtet werden soll und Reibung vernachlässigbar ist.
  • Wenn Du Kraft sparen möchtest, musst Du im gleichen Maße mehr Weg zurücklegen. Möchtest Du hingegen für das gleiche Ergebnis einen kürzeren Weg zurücklegen, musst Du im gleichen Maße die aufgewandte Kraft erhöhen.
  • Hast Du zwei Wertepaare (Kräfte \(F_1,F_2\) über Strecken \(s_1, s_2\)), bei denen an einem Kraftwandler die gleiche mechanische Arbeit verrichtet wird, so sind die Formeln der Goldenen Regel der Mechanik wie folgt:\begin{align}F_1 \cdot s_1 &= F_2 \cdot s_2 \\ \\ \frac{F_1}{F_2} &= \frac{s_2}{s_1}\end{align}
  • Die Goldene Regel der Mechanik einfach erklärt bedeutet: Möchtest Du nur die Hälfte / ein Drittel / ein Viertel etc. der Kraft aufwenden, musst Du dafür die Strecke, über die die Kraft wirkt, verdoppeln / verdreifachen / vervierfachen etc.
  • Beispiele zur Anwendung der Goldenen Regel der Mechanik sind etwa die Hebel am Fahrrad, ein Seilzug mit einer losen Rolle oder die meisten Werkzeuge aus dem Alltag.

Nachweise

  1. Sailer Gymnasium (Herausgabedatum unbekannt). Goldene Regel der Mechanik. sailer-gymnasium.de. (17.10.2022)
  2. Lehrerschmidt (28.05.2018). Lose Rolle | Physik - Mechanik - einfach erklärt. youtube.com. (14.10.2022)
  3. maschinenbau-wissen.de: Die goldene Regel der Mechanik. (17.10.2022)

Häufig gestellte Fragen zum Thema Goldene Regel der Mechanik

Beispiele zur Anwendung der Goldenen Regel der Mechanik sind etwa die Hebel am Fahrrad, ein Seilzug mit einer losen Rolle oder die meisten Werkzeuge aus dem Alltag.

Die Regel gilt nur, wenn durch den gleichen Kraftwandler das gleiche Ergebnis erreicht / die gleiche Arbeit verrichtet werden soll und Reibung vernachlässigbar ist.

Die Goldene Regel der Mechanik ist eine Grundregel und eine Anwendung des Energieerhaltungssatzes in der Mechanik. Sie besagt: Was man an Kraft spart, muss man an Weg zusetzen.

An der schiefen Ebene kannst Du Kraft sparen, indem Du die Länge der Ebene vergrößerst (den Winkel verkleinerst), um trotzdem die gleiche Höhe zu erreichen.

Wähle aus, wie Du die Neigung einer schiefen Ebene ändern kannst, um zwar Kraft zu sparen, dafür aber die Strecke zu verlängern.

Neigung hat keinerlei Einfluss

Wähle aus, was für die Anwendung der Goldenen Regel der Mechanik gleich sein muss, um sie nutzen zu können.

das zu erreichende Ergebnis

Gib die Bezeichnung für ein Gerät / eine Anwendung an, die Nutzen von der Goldenen Regel der Mechanik macht.

Kraftwandler

Wähle aus, wie sich die aufzuwendende Kraft laut der Goldenen Regel der Mechanik verhält, wenn Du die Strecke, über die Du die Kraft wirkst, verdreifachst.

Kurz: Strecke dreifach, Kraft?

Kraft wird gedrittelt

Erkläre anhand der Goldenen Regel der Mechanik, warum eine Treppe zu nutzen einfacher ist, als die gleiche Höhe an einer senkrechten Leiter zu überwinden?

An der senkrechten Leiter ist die zurückgelegte Strecke sehr kurz – genau die Höhe.

Nutzt Du stattdessen eine Treppe, ist der Aufstieg deutlich angenehmer, weil Du eine geringere Kraft aufwendest. Dafür ist die reine Strecke, die Du zurücklegst, auch deutlich länger.

Überlege Dir und gib entsprechend ein Beispiel für eine Situation an, in der die Goldene Regel der Mechanik eine negative Wirkung zeigt.

Eins der folgenden oder ein eigenes Beispiel:


Schlüssel: Ist der Schlüssel zu groß, könnte die aus Versehen angewandte Kraft zu groß sein und den Schlüssel / das Schloss beschädigen.


Reibung an der schiefen Ebene: Sobald Reibung eine große Rolle spielt, kommt bei einer langen Strecke zusätzlich oftmals auch mehr Reibung zustande. Im Alltag kannst Du die Goldene Regel deshalb nicht unendlich weit skalieren.

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