Du hast sicherlich schon mal einen Ball beim Sport schräg nach oben geworfen. Wie verhält sich ein schräger Wurf in der Physik? Welchen Unterschied machen Anfangshöhe oder Winkel? Wie sieht die Wurfparabel oder die passenden Formeln zum schrägen Wurf aus? Und wie weit ist die Wurfweite Deines Wurfes? In dieser Erklärung kannst Du diese Eigenschaften des schrägen Wurfes genauer betrachten.
Schräger Wurf Physik
Vielleicht kennst Du bereits den senkrechten oder den waagrechten Wurf als einfachere Form der Würfe in der Physik. Dabei wurde festgestellt, dass mechanische Würfe, zu denen auch der schräge Wurf gehört, Überlagerungen von mehreren Teilbewegungen sind.
Falls Dir die anderen mechanischen Wurfbewegungen noch unbekannt sind, kannst Du in die entsprechenden Erklärungen schauen.
Auch für den schrägen bzw. schiefen Wurf gibt es eine Überlagerung von Teilbewegungen. Doch welche Bewegungen sind das?
Betrachte zunächst eine Skizze zur Wurfbewegung. Dort siehst Du die Wurfparabel des schrägen Wurfes.
Normalerweise wirfst Du einen Ball nicht komplett horizontal, wie es bei der Bewegung des waagrechten Wurfes der Fall ist, sondern schräg nach oben. Genau diese Wurfbewegung beschreibt den schiefen Wurf. Wie auch bei den anderen mechanischen Würfen müssen bei der Beschreibung der Bewegung die einzelnen Teilbewegungen in zwei Richtungen betrachtet werden: x-Achse und y-Achse.
Würdest Du zunächst die zweite Teilbewegung außer Acht lassen, also nur den Wurf an sich betrachten, dann bewegt sich der Körper mit der Abwurfgeschwindigkeit unter einem bestimmten Winkel schräg nach oben. Jedoch sorgt die Erdanziehung dafür, dass der Ball nicht immer weiter in Richtung Himmel fliegt, sondern ab einem gewissen Punkt wieder zu Boden fällt. Was bedeutet das jetzt für die Teilbewegungen?
Schräger Wurf Winkel berechnen
Um die Frage zu klären, wie die einzelnen Teilbewegungen des schrägen Wurfes aussehen, zerlegst Du die Anfangsgeschwindigkeit \(v_0 \) in eine x- und y-Komponente. Dabei hängt die Zerlegung vom Abwurfwinkel ab.
Zur Berechnung der Komponenten oder des Winkels vom schrägen Wurf kannst Du folgende Formel nutzen:
Die Anfangsgeschwindigkeit \(v_0 \) des schrägen Wurfs in x und y Richtung kann berechnet werden mit der Formel:
\[v_0,_x = v_0 \cdot \cos \alpha \]
\[v_0,_y = v_0 \cdot \sin \alpha \]
Du erhältst für den schrägen Wurf somit eine Geschwindigkeit in x-Richtung und eine Geschwindigkeit in y-Richtung.
Die Bewegung in x-Richtung kann dabei als gleichförmige Bewegung angenommen werden, wie auch bereits beim waagrechten Wurf.Die Erdanziehung sorgt bei der Bewegung in y-Richtung dafür, dass der Körper nach einer gewissen Zeit wieder in Richtung Boden fällt. Er steigt also bis zu einem bestimmten Punkt und fällt danach wieder runter.Diese Bewegung kennst Du vielleicht vom senkrechten Wurf nach oben. Daher findet in y-Richtung eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung statt. Für den schrägen Wurf gilt damit:
Wie sieht die horizontale und vertikale Komponente für Geschwindigkeit, Beschleunigung und Strecke jeweils aus?
Schräger Wurf horizontal
Die Bewegung in x-Richtung, also horizontal, wird beim schrägen Wurf als gleichförmige Bewegung, mit der Anfangsgeschwindigkeit \(v_0 \), betrachtet.
Du kannst die Komponenten für die Geschwindigkeit \(v_x \), Beschleunigung \(a_x \) und Strecke \(s_x \) in x-Richtung in Abhängigkeit der Zeit \(t \) folgendermaßen berechnen:
\[v_x = v_0,_x = konstant \]
\[a_x = 0 \]
\[s_y = v_0,_x \cdot t \]
Wie sieht im Vergleich dazu die Bewegung nach unten aus?
Schräger Wurf nach unten
Die Teilbewegung in y-Richtung des schrägen Wurfes, also nach oben und dann nach unten, stellt eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung dar. Die Bewegung entspricht einem senkrechten Wurf nach oben. Das Objekt wird dabei mit einer gewissen Anfangsgeschwindigkeit nach oben geworfen und gleichzeitig sorgt die Erdanziehung \(g\) dafür, dass Objekt wieder in Richtung Boden nach unten sinkt.
Die Bewegung in y-Richtung, also nach oben und unten, wird beim schrägen Wurf als senkrechter Wurf betrachtet. Dabei ist die Gewichtskraft \(g \) für die Beschleunigung nach unten verantwortlich.
Du kannst die Komponenten für die Geschwindigkeit \(v_y \), Beschleunigung \(a_y \) und Strecke \(s_y \) in y-Richtung in Abhängigkeit der Zeit \(t \) folgendermaßen berechnen:
\[v_y = v_0,_y - g \cdot t \]
\[a_y = - g \]
\[s_y = s_0,_y + v_0,_y \cdot t - \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2\]
Wird der schräge Wurf anfänglich nach unten geworfen, statt schräg nach oben, ändert sich an den Formeln nichts. Die Geschwindigkeit in y-Richtung \(v_0,_y \) ist dann aber negativ.
Damit hast Du Grundlagen für die Berechnung des schrägen Wurfes kennengelernt. Nachfolgend kannst Du die Überlagerung der beiden Bewegungen genauer anschauen.
Grundsätzlich kann der schräge Wurf unterteilt werden in einen schrägen Wurf mit Anfangshöhe und einen schrägen Wurf ohne Anfangshöhe.
Schräger Wurf mit Anfangshöhe
Betrachtest Du einen schrägen Wurf mit Anfangshöhe, wie etwa einen Ballwurf von Schulterhöhe auf den Boden, so wirst Du die Komponenten der Bewegung in senkrechte Richtung, nach oben und nach unten wieder erkennen.
Du kannst nun also die verschiedenen Kenngrößen des schrägen Wurfes einzeln betrachten, jeweils in x und y Richtung.
Beschleunigung schräger Wurf
Betrachte die Beschleunigung des schrägen Wurfs in x und y Richtung.
Für die x-Richtung gilt eine gleichförmige Bewegung. Somit findet in diese Richtung keine Beschleunigung statt und es gilt daher:
\[a_x = 0 \]
Im Gegensatz dazu wird der Körper in y-Richtung durch die Erdbeschleunigung \(g \) zunächst abgebremst und bei der Fallbewegung in Richtung Boden nach unten beschleunigt, bis er dort aufprallt. Die Beschleunigung entspricht damit der Fallbeschleunigung.
\[a_y = -g \]
Nach der Beschleunigung kannst Du die Geschwindigkeiten betrachten, welche mit der Zeit sich je nach Beschleunigung ändern.
Geschwindigkeit schräger Wurf
Die Geschwindigkeit des Objektes beim schrägen Wurf in x Richtung hängt alleine von der Anfangsgeschwindigkeit \(v_0\) und dem Abwurfwinkel \( \alpha \) ab.
\[v_x = v_0,_x = v_0 \cdot \cos \alpha \]
In y Richtung herrscht bereits eine Geschwindigkeit durch die Zerlegung von \(v_0\). Jedoch wird der Körper durch die Erdbeschleunigung nach oben abgebremst, bis er am höchsten Punkt eine Geschwindigkeit von 0 hat und dann in Richtung Boden fällt. Dies entspricht der Bewegung des senkrechten Wurfs nach oben und damit gilt für die Geschwindigkeit eines Körpers in y-Richtung bei einem schrägen Wurf:
\[v_y = v_0,_y - g \cdot t = v_0 \sin \alpha - g \cdot t \]
Doch wie weit kannst Du mit der Anfangsgeschwindigkeit werfen, wenn das Objekt durch die Gravitation nach einer gewissen Zeit am Boden landet?
Wurfweite schräger Wurf
Neben der Geschwindigkeit des Körpers beim schrägen Wurf ist die Wurfweite von Relevanz. Es ist nicht nur möglich, die maximale Wurfweite zu wissen, sondern auch zu welchem Zeitpunkt sich das Objekt wo befindet. Den Ort kannst Du analog zu den Geschwindigkeiten jeweils in x-Richtung und in y-Richtung betrachten.
Die Strecke in x und y Richtung, die das Objekt zur Zeit \( t \) innehat, kannst Du folgendermaßen berechnen.
Horizontal entspricht die Bewegung der gleichförmigen Bewegung und es gilt daher für die Position des Körpers in x-Richtung:
\[s_x = v_x \cdot t = v_0,_x \cdot t = v_0 \cdot \cos \alpha \cdot t \]
Mithilfe der Formel für den senkrechten Wurf kann ebenfalls die Position des Körpers in y-Richtung bestimmt werden: Dazu addierst du die Anfangshöhe \( s_0 \).
\[s_y = s_0,_y + v_0,_y \cdot t - \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 \]
\[s_y = s_0,_y + v_0 \cdot \sin \alpha \cdot t - \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 \]
Dabei wird von der Abwurfhöhe \( s_0 \) die zurückgelegte Strecke nach oben addiert und die Strecke durch den freien Fall abgezogen.
Die Einzelkomponenten des Ortes können zu einer Bahngleichung zusammengefasst werden. Diese beinhaltet die Position sowohl in x-Richtung als auch in y-Richtung. Dazu kann die Formel zur Berechnung von \( s_x \) in die Formel zur Berechnung von \( s_y \) eingesetzt werden.
Die Bahngleichung des Ortes in y Richtung für den schrägen Wurf lautet:
\[s_y = s_0,_y + \tan \alpha \cdot s_x - \frac{g}{2 \cdot v_0^2 \cdot ( \cos \alpha)} \cdot s_x^2 \]
Zusätzlich zur Position und der Geschwindigkeit können noch verschiedene wichtige Variablen bestimmt werden, die Du als Nächstes betrachten kannst.
Schräger Wurf Formeln für Wurfdauer, Wurfhöhe
Die Zeit des gesamten schrägen Wurfes vom Abwurf bis zum Aufprall kann als Wurfdauer \( t_w \) beschrieben werden. Diese setzt sich aus der Steigzeit \( t_s \) und der Fallzeit \( t_f \) zusammen.
Die Formeln für Steigzeit und Fallzeit lauten:
\[t_s = \frac{v_0 \cdot \sin \alpha }{g} \]
\[t_f = t_w - t_s \]
Du benötigst also die gesamte Wurfdauer zur Berechnung der Fallzeit:
\[t_w = \frac{-v_0 \cdot \sin \alpha \pm \sqrt{(v_0 \cdot \sin \alpha )^2 + 2 \cdot g \cdot s_0,_y } }{-g} \]
Die gesamte geworfene Strecke kannst Du nun mit der obigen Formel für die Strecke und der gesamten Wurfdauer berechnen.
Die gesamte geworfene Strecke in x-Richtung entspricht der Wurfweite \( s_w,_x \)
\[s_w,_x = v_0 \cdot \cos \alpha \cdot t_w \]
Die Wurfhöhe \( s_w,_y \) entspricht dem höchsten Punkt den das Objekt erreicht. An diesem Punkt hat er in y-Richtung die Geschwindigkeit von 0.
\[s_w,_y = s_0,_y + \frac {v_0^2 \cdot (\sin \alpha)^2 }{2 \cdot g} \]
Wie sehen jedoch die verschiedenen Formeln für einen schrägen Wurf ohne Anfangshöhe aus?
Wurfparabel schräger Wurf ohne Anfangshöhe
Für den Fall, dass keine Anfangshöhe \( s_0,_y = 0 \) für den schrägen Wurf gegeben ist und der schiefe Wurf somit im Nullpunkt beginnt, vereinfachen sich einige Formeln. Der Wurfverlauf entspricht dann einer Parabel. Denn das Objekt beginnt und endet auf der gleichen Höhe der Wurfparabel.
Die Vorgehensweise der Berechnung bleibt dabei gleich. Es werden ausschließlich die Formeln mit der Anfangshöhe \( s_0,_y \) abgeändert. Die Beschleunigungen und die Geschwindigkeiten bleiben erhalten.
Für die Höhe beim schrägen Wurf ohne Anfangshöhe gilt damit:
\[s_y = v_0 \cdot \sin \alpha \cdot t - \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 \]
Die Steigzeit entspricht der Fallzeit, dank des Verlaufes der Wurfparabel. Für die Wurfweite und Wurfhöhe und die gilt dementsprechend:
\[s_w,_x = v_0 \cdot \cos \alpha \cdot \frac{2 \cdot v_0 \cdot \sin \alpha}{2 \cdot g}\]
\[s_w,_y = \frac {v_0^2 \cdot (\sin \alpha)^2 }{2 \cdot g} \]
Die maximale Wurfweite bei einem schrägen Wurf ohne Anfangshöhe erreichst Du übrigens bei einem Winkel von 45°. Bei einem 90°-Winkel würdest Du dementsprechend die maximale Wurfhöhe erhalten. Das wäre dann ein senkrechter Wurf nach oben.
Schräger Wurf Aufgaben
Du kannst am folgenden praktischen Beispiel für Aufgaben zum schrägen Wurf die Formeln anwenden.
Aufgabe:
Du schießt einen Ball mit einem Tennisschläger in einem Winkel von 32° und einer Geschwindigkeit von \( 144 \frac{km}{h} \). Nach welcher Zeit ist der höchste Punkt erreicht?
Lösung:
Zunächst solltest Du die Geschwindigkeit in \( \frac{m}{s} \) umrechnen. Dafür teilst Du durch 3,6.
\[144\frac{km}{h} = 40 \frac {m}{s} \]
Du kannst nun die Formel für die vertikale Geschwindigkeit \( v_y \) auf null setzen. Denn am höchsten Punkt ist die Geschwindigkeit des Balles in y-Richtung Null.
\[v_y = v_0 \sin \alpha - g \cdot t = 0 \]
Nun kannst du nach t auflösen:
\[t = \frac { v_0 \sin \alpha}{g} \]
Die gegeben Werte und die Erdbeschleunigung von \( g= 9,81 \frac{m}{s}\) kannst Du nun einsetzen:
\[t = \frac { 40 \frac ms \sin 32° }{9,81 \frac ms} \]
Berechnest Du das Ergebnis, so erhälst Du eine Wurfdauer von etwas über zwei Sekunden bis zum höchsten Punkt.
\[t = 2,16 s \]
Schräger Wurf - Das Wichtigste
- Die Bewegung des schrägen Wurfes lassen sich in zwei Teilbewegungen aufteilen:
- Anfangsgeschwindigkeit \(v_0 \) und Winkel des schrägen Wurfes mit Anfangshöhe können berechnet werden mit der Formel:
\[v_0,_x = v_0 \cdot \cos \alpha \]
\[v_0,_y = v_0 \cdot \sin \alpha \]
Für die Beschleunigung gilt:
\[a_x = 0 \]
\[a_y = -g \]
Für die Geschwindigkeit des schrägen Wurfes gilt:
\[v_x = v_0,_x = v_0 \cdot \cos \alpha \]
\[v_y = v_0,_y - g \cdot t = v_0 \sin \alpha - g \cdot t \]
Um die Wurfweite zu berechnen, kannst Du folgende Formeln nutzen:
\[s_x = v_x \cdot t = v_0,_x \cdot t = v_0 \cdot \cos \alpha \cdot t \]
\[s_y = s_0,_y + v_0 \cdot \sin \alpha \cdot t - \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 \]
Die Steigzeit, Fallzeit und Wurfdauer:
\[t_s = \frac{v_0 \cdot \sin \alpha }{g} \]
\[t_f = t_w - t_s \]
\[t_w = \frac{-v_0 \cdot \sin \alpha \pm \sqrt{(v_0 \cdot \sin \alpha )^2 + 2 \cdot g \cdot s_0,_y } }{-g} \]
Beim schrägen Wurf nach unten ist die Anfangsgeschwindigkeit negativ.
Der schräge Wurf ohne Anfangshöhe vereinfacht die Formeln, indem \(s_0,_y \) Null entspricht.
Nachweise
- wiki.ifs-tud.de: KIN3 Wurf & Sprung (1.12.2022)
- Demtröder, Wolfgang (2021). Experimentalphysik 1: Mechanik eines Massenpunktes. Springer Berlin.
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