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Archimedisches Prinzip

Im alten Griechenland gibt es eine Geschichte von Archimedes und der Krone von König Hieron. Archimedes sollte damals prüfen, ob die Krone des Königs aus purem Gold ist, ohne diese zu beschädigen. Beim Versuch, die Reinheit der Krone nachzuweisen, machte er wichtige Erkenntnisse über das Verhalten von Flüssigkeiten und anderen Fluiden. Diese Erkenntnisse werden seither als Archimedisches Prinzip bezeichnet. Wenn Du…

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Archimedisches Prinzip

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Im alten Griechenland gibt es eine Geschichte von Archimedes und der Krone von König Hieron. Archimedes sollte damals prüfen, ob die Krone des Königs aus purem Gold ist, ohne diese zu beschädigen. Beim Versuch, die Reinheit der Krone nachzuweisen, machte er wichtige Erkenntnisse über das Verhalten von Flüssigkeiten und anderen Fluiden. Diese Erkenntnisse werden seither als Archimedisches Prinzip bezeichnet.

Archimedisches Prinzip Definition

Wenn Du eine Metallkugel in eine Schüssel voller Wasser gibst, fällt Dir auf, dass die Höhe der Wasseroberfläche in der Schüssel steigt. Die Menge des verdrängten Wassers hat mit dem Volumen zu tun, aber wieso können dann einige Körper auf der Wasseroberfläche schwimmen, und gehen nicht unter?

„Der statische Auftrieb eines Körpers in einem Medium ist genauso groß wie die Gewichtskraft des vom Körper verdrängten Mediums.“ -Archimedes

Der Auftrieb von Körpern ist eine Konsequenz des Archimedischen Prinzips.

Das Archimedische Prinzip besagt, dass auf Körper, die sich in Fluiden (Flüssigkeiten und Gase) befinden, eine nach oben gerichtete Auftriebskraft wirkt, weil das verdrängte Volumen entgegen der Schwerkraft den Körper nach oben drückt.

Vereinfacht gesagt besagt das Archimedische Prinzip, dass auf Körper in Fluiden das Volumen des Fluides verdrängt und dieses Volumen nur nach oben entweichen kann, wo es dann entgegen dem verursachenden Körper drückt.

Wenn Du eine Metallkugel in einen Behälter voller Wasser gibst, dann wird die Kugel dafür sorgen, dass der Wasserstand im Behälter ansteigt.

Archimedisches Prinzip Wasser Kugel verdrängen Definition StudySmarterAbb. 1 - Wasserstand eines Behälters mit Kugel

Wie Du in der Abbildung siehst, verdrängt die Kugel Wasser, sodass der Wasserstand steigt. Das Volumen der Kugel ist dabei gleich dem verdrängten Volumen an Wasser. Die Kugel ersetzt sozusagen das Wasser an dieser Stelle.

Das Volumen des verdrängten Wassers muss ausweichen, sodass dieses sich woanders hinbewegen muss. Da es sich um einen geschlossenen Behälter handelt, kann das Wasser nur nach oben ausweichen. Der Wasserstand steigt, weil das Wasser im Behälter nur nach oben und nicht zur Seite ausweichen kann.

Dabei drückt dieses verdrängte Volumen an Wasser nach oben, gegen die Kugel und sogt für die Auftriebskraft. Der Wasserstand steigt demnach und das Wasser lässt eine Auftriebskraft auf die Kugel wirken.

Die Kraft dieser verdrängten Flüssigkeit kannst Du mit einer Formel berechnen.

Archimedisches Prinzip Formel

Wenn vom Archimedischen Prinzip die Rede ist, dann wird meistens die Auftriebskraft in Fluiden gemeint. Diese nach oben gerichtete Kraft kann berechnet werden.

Die Auftriebskraft \(F_A\) wird mit der folgenden Formel berechnet:

\[ F_A=\rho_M \cdot V_K \cdot g \]

\(\rho_M: \) Dichte des Mediums

\(V_K: \) Volumen des Körpers

\(g: \) Fallbeschleunigung

Beim Betrachten dieser Formel ist es wichtig zu verstehen, dass das verdrängte Volumen des Mediums \(V_M\) gleich dem Volumen des Körpers \(V_K\) ist, welcher die Verdrängung verursacht. Die Dichte des Mediums \(\rho_M\) multipliziert mit dem Volumen des Körpers \(V_K\) ist die verdrängte Masse des Mediums. Diese Masse des Mediums, die sich nach oben bewegt, bildet die nach oben gerichtete Auftriebskraft, die auf den Körper wirkt.

Schau Dir jetzt noch einmal die Auftriebskraft etwas genauer an.

Auftriebskraft

Es gibt zwei Arten der Auftriebskraft, die dynamische und die statische Auftriebskraft.

Die dynamische Auftriebskraft gehört zum Fachbereich der Strömungsmechanik, denn hier geht es um die entstehende Auftriebskraft, die auf von Fluiden umströmte Körper wirkt.

Ein klassisches Beispiel für die dynamische Auftriebskraft sind die Tragflächen eines Flugzeugs, die mit ihrer Bewegung durch die Luft einen dynamischen Auftrieb generieren.

Der statische Auftrieb wirkt auf Körper, die in ein ruhendes Fluid eintreten oder sich bereits darin befinden. Der dazugehörige Fachbereich der Mechanik heißt Hydrostatik.

Klassische Beispiele für den statischen Auftrieb, sind Schiffe, die nicht im Wasser untergehen, weil der Auftrieb entgegen der Schwerkraft wirkt und damit diese ausgleicht.

Wenn Du erfahren möchtest, wie genau die Auftriebskraft es ermöglicht, dass Schiffe nicht untergehen, dann kannst Du Dir die Erklärung zum Auftrieb durchlesen.

Die statische Auftriebskraft wirkt entgegen der Gewichtskraft. Daher ist die Bewegung des Körpers im Fluid auch abhängig vom Verhältnis der beiden Kräfte zueinander.

Überwiegt eine der beiden Kräfte, so verändert sich die Bewegungsrichtung des betroffenen Körpers.

Der Körper sinkt oder fällt im Fluid, wenn:

\[F_A<F_G\]

Herrscht ein Kräftegleichgewicht, dann schwimmt der Körper im Fluid:

\[F_A=F_G\]

Wenn die Auftriebskraft größer als die Gewichtskraft ist, dann steigt der Körper:

\[F_A>F_G\]

Die statische Auftriebskraft wirkt auf alle Körper, die sich in Fluiden befinden, also auch beispielsweise auf Steine, die ins Wasser geworfen werden oder auch auf Fallschirmspringer, die aus einem Flugzeug springen.

Archimedisches Prinzip Versuch

Diese Erkenntnisse zum statischen Auftrieb wurden gemacht, als Archimedes vom damaligen König beauftragt wurde, die Reinheit des Goldes seiner Krone zu untersuchen.

Doch wie konnte er das beweisen, ohne die Krone zu beschädigen?

Archimedisches Prinzip Dichte bestimmen

Archimedes ist auf die Lösung des Problems gekommen, als er ein Bad nehmen wollte. Der Überlieferung nach stieg er in ein bis zum Rand hin gefülltes Bad und stellte beim Eintreten in die Wanne fest, dass ganz viel Wasser dabei überfloss. Ihm fiel auf, dass genau so viel Wasser übergeflossen ist, wie sein Körper verdrängte.

Dadurch ist ihm ein Versuch eingefallen, um die Krone zu untersuchen.

Archimedes nahm sich einen Goldbarren und legte sie in eine Schüssel voller Wasser und schaute, wie viel Wasser übergelaufen ist.

Archimedisches Prinzip Goldbarren in Wasser Schüssel Dichte bestimmen StudySmarterAbb. 2 - Goldbarren in Schüssel mit Wasser

Die Schüssel ist nun genau bis zum Rand gefüllt. Der Goldbarren war genauso schwer wie die Krone. Im nächsten Schritt holte er den Goldbarren aus dem Wasser und legte die Krone in die wassergefüllte Schüssel.

Archimedisches Prinzip Goldkrone in Wasser Schüssel überlaufen Dichte bestimmen StudySmarterAbb. 3 - Angebliche Goldkrone lässt Wasser überlaufen

Es ist erneut Wasser aus der Schüssel übergelaufen. Wie konnte das aber sein?

Gold ist schwerer als die meisten anderen Materialien. Der Goldbarren ist aus purem Gold und besaß ein bestimmtes Volumen, womit dieser das überschüssige Wasser aus der Schüssel verdrängte. Die Krone war aber eben nicht aus purem Gold. Die Masse von der Krone und dem Goldbarren waren zwar gleich, aber die Dichte der Krone war geringer als die des Goldbarrens.

Im Falle der Krone ist die gleiche Masse auf mehr Volumen verteilt, wodurch das zusätzliche Volumen der Krone noch mehr Wasser verdrängt, wodurch noch mehr Wasser überläuft. Die Krone wurde demnach wahrscheinlich nur mit Gold angemalt.

Jetzt kannst Du Dein Verständnis des Archimedischen Prinzips bei einer Aufgabe anwenden.

Archimedisches Prinzip Aufgaben

Damit Boote und Schiffe schwimmen können, muss die Gewichtskraft gleich der wirkenden Auftriebskraft sein.

Aufgabe

Ein kleines Schiff soll gebaut werden, und die Abmessungen und damit die Größe stehen bereits fest. Der Bug, also der untere Teil des Schiffes, welches das Wasser verdrängt und somit unter der Wasseroberfläche liegt, soll ein Volumen von \(V_s=16 m^3\) einnehmen. Berechne, wie viele Tonnen das Schiff maximal wiegen darf, damit das Schiff nicht zu tief im Wasser sitzt. Verwende für die Dichte des Wassers \(\rho_M=997 \frac {kg}{m^3}\).

Lösung

Die Formel für die Gewichtskraft und die Auftriebskraft sind bekannt.

\[F_g=m \cdot g\]

und

\[F_A=\rho_M \cdot V_s \cdot g\]

Damit das Schiff nicht untergehen wird, setzt Du beide Kräfte gleich, sodass ein Kräftegleichgewicht gilt.

\[m \cdot g=\rho_M \cdot V_s \cdot g\]

Gesucht ist die maximale Masse, also kannst Du die Formel nun nach \(m\) umstellen.

\[m=\frac {\rho_M \cdot V_s \cdot g}{g}\]

Die Fallbeschleunigung \(g\) kann gekürzt werden, sodass nur noch folgende Formel übrig bleibt.

\[m= \rho_M \cdot V_s\]

In diese Formel kannst Du jetzt die Werte aus der Aufgabe einsetzen.

\[m=997 \frac{kg}{m^3} \cdot 16 m^3\]

Die maximale Masse beträgt \(m=15,952 kg\) also knapp unter 16 Tonnen.

Archimedisches Prinzip – Das Wichtigste

  • Körper in Flüssigkeiten und Gasen verdrängen dieses, sodass das Medium ausweichen muss.
  • „Der statische Auftrieb eines Körpers in einem Medium ist genauso groß wie die Gewichtskraft des vom Körper verdrängten Mediums.“ -Archimedes
  • Die Auftriebskraft ist eine nach oben gerichtete Kraft, die entgegen der Schwerkraft wirkt.
  • Um die Auftriebskraft \(F_A\) zu berechnen, benötigst Du die Dichte des Mediums \(\rho_M\), das Volumen des Körpers \(V_K\) und die Gewichtskraft \(g\)

\[ F_A=\rho_M \cdot V_K \cdot g \]

  • Es gibt den statischen und den dynamischen Auftrieb.
  • Durch die Entdeckung, dass das verdrängte Volumen gleich dem Volumen des Körpers ist, konnte eine Bestimmung der Dichte ermöglicht werden.
  • Archimedes entdeckte dieses Phänomen bei der Untersuchung einer angeblichen Goldkrone.

Nachweise

  1. www.mathematik.uni-mainz.de: Archimedes und die königliche Krone (04.09.2022)
  2. uni-koeln.de: 3.2 Hydrostatik (04.09.2022)

Häufig gestellte Fragen zum Thema Archimedisches Prinzip

Das Archimedische Prinzip besagt, dass auf Körper in Fluiden eine nach oben gerichtete Auftriebskraft wirkt, die abhängig von der Masse und Dichte des Körpers ist.

Die Auftriebskraft kannst Du berechnen mit der Formel FA= ρ· V · g  

Das Archimedische Gesetz wird auch Archimedisches Prinzip oder Auftriebsgesetz genannt. Das Prinzip von Archimedes gehört zum Themengebiet der Hydrostatik.

Das Archimedische Prinzip gilt für alle Körper, die sich in Flüssigkeiten oder Gasen befinden.

Finales Archimedisches Prinzip Quiz

Archimedisches Prinzip Quiz - Teste dein Wissen

Frage

Erkläre, in welche Richtung die Auftriebskraft wirkt.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Auftriebskraft ist eine nach oben gerichtete Kraft, die entgegen der Schwerkraft wirkt.

Frage anzeigen

Frage

Nenne die Entdeckung, die Archimedes angeblich machte als er in ein randvoll gefülltes Bad stieg.

Antwort anzeigen

Antwort

Archimedes entdeckte, dass das verdrängte Volumen an Wasser dem Volumen seines Körpers glich. Daraus folgerte er, dass das verdrängte Volumen immer gleich dem Volumen des verdrängenden Körpers ist.

Frage anzeigen

Frage

Gib die Formel der statischen Auftriebskraft wieder.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Formel lautet: 


\[ F_A=\rho_M \cdot V_K \cdot g \]


\(\rho_M: \) Dichte des Mediums

\(V_K: \) Volumen des Körpers

\(g: \) Fallbeschleunigung

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, was der dynamische Auftrieb ist.

Antwort anzeigen

Antwort

Der dynamische Auftrieb ist der Auftrieb, der auf Körper wirkt, die von Fluiden umströmt werden. Das gilt beispielsweise für die Flügel eines Flugzeugs.

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, was der statische Auftrieb ist.

Antwort anzeigen

Antwort

Der statische Auftrieb wirkt auf Körper, die in ein ruhendes Fluid eintreten oder sich bereits darin befinden. Ein klassisches Beispiel dafür sind Schiffe.

Frage anzeigen

Frage

Entscheide, von welcher physikalischen Größe, das verdrängte Volumen des Mediums abhängt.

Antwort anzeigen

Antwort

Volumen des eintretenden Körpers.

Frage anzeigen

Frage

Stell Dir vor, Du hast zwei gleich schwere Kugeln vor Dir. Beide Kugeln legst Du nacheinander in einer Schüssel voller Wasser. Dabei misst Du jeweils den Wasserstand mit den Kugeln im Wasser.


Bei einer der beiden Kugeln steigt der Wasserstand weiter an, als bei der anderen. Erkläre, was das über die Dichte der Kugeln aussagt.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Kugel, die den Wasserstand weniger ansteigen lässt, besitzt eine höhere Dichte. Die Masse der Kugel ist also auf ein kleines Volumen verteilt.

Bei der anderen Kugel ist das Gegenteil der Fall. Im Vergleich zur anderen Kugel ist weniger Masse auf ein größeres Volumen verteilt.

Frage anzeigen

Frage

Eine Kugel mit einem Volumen von \(V=0,03 m^3\) wird in einen Behälter, gefüllt mit Wasser 

(Dichte: \(\rho_W=997 \frac{kg}{m^3}\) ) gelegt. 

Die Fallbeschleunigung beträgt \(g=9,81 \frac{m}{s^2}\)

Berechne die Auftriebskraft \(F_A\).

 

Antwort anzeigen

Antwort

Die Auftriebskraft beträgt \(F_A=293,42N\).

Frage anzeigen

Frage

Benenne die Art der Auftriebskraft, die auf von einem Fluid umströmten Körper, wirkt.

Antwort anzeigen

Antwort

Dynamische Auftriebskraft

Frage anzeigen

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