Im alten Griechenland gibt es eine Geschichte von Archimedes und der Krone von König Hieron. Archimedes sollte damals prüfen, ob die Krone des Königs aus purem Gold ist, ohne diese zu beschädigen. Beim Versuch, die Reinheit der Krone nachzuweisen, machte er wichtige Erkenntnisse über das Verhalten von Flüssigkeiten und anderen Fluiden. Diese Erkenntnisse werden seither als Archimedisches Prinzip bezeichnet.
Archimedisches Prinzip Definition
Wenn Du eine Metallkugel in eine Schüssel voller Wasser gibst, fällt Dir auf, dass die Höhe der Wasseroberfläche in der Schüssel steigt. Die Menge des verdrängten Wassers hat mit dem Volumen zu tun, aber wieso können dann einige Körper auf der Wasseroberfläche schwimmen, und gehen nicht unter?
„Der statische Auftrieb eines Körpers in einem Medium ist genauso groß wie die Gewichtskraft des vom Körper verdrängten Mediums.“ -Archimedes
Der Auftrieb von Körpern ist eine Konsequenz des Archimedischen Prinzips.
Das Archimedische Prinzip besagt, dass auf Körper, die sich in Fluiden (Flüssigkeiten und Gase) befinden, eine nach oben gerichtete Auftriebskraft wirkt, weil das verdrängte Volumen entgegen der Schwerkraft den Körper nach oben drückt.
Vereinfacht gesagt besagt das Archimedische Prinzip, dass auf Körper in Fluiden das Volumen des Fluides verdrängt und dieses Volumen nur nach oben entweichen kann, wo es dann entgegen dem verursachenden Körper drückt.
Wenn Du eine Metallkugel in einen Behälter voller Wasser gibst, dann wird die Kugel dafür sorgen, dass der Wasserstand im Behälter ansteigt.
Abb. 1 - Wasserstand eines Behälters mit Kugel
Wie Du in der Abbildung siehst, verdrängt die Kugel Wasser, sodass der Wasserstand steigt. Das Volumen der Kugel ist dabei gleich dem verdrängten Volumen an Wasser. Die Kugel ersetzt sozusagen das Wasser an dieser Stelle.
Das Volumen des verdrängten Wassers muss ausweichen, sodass dieses sich woanders hinbewegen muss. Da es sich um einen geschlossenen Behälter handelt, kann das Wasser nur nach oben ausweichen. Der Wasserstand steigt, weil das Wasser im Behälter nur nach oben und nicht zur Seite ausweichen kann.
Dabei drückt dieses verdrängte Volumen an Wasser nach oben, gegen die Kugel und sogt für die Auftriebskraft. Der Wasserstand steigt demnach und das Wasser lässt eine Auftriebskraft auf die Kugel wirken.
Die Kraft dieser verdrängten Flüssigkeit kannst Du mit einer Formel berechnen.
Archimedisches Prinzip Formel
Wenn vom Archimedischen Prinzip die Rede ist, dann wird meistens die Auftriebskraft in Fluiden gemeint. Diese nach oben gerichtete Kraft kann berechnet werden.
Die Auftriebskraft \(F_A\) wird mit der folgenden Formel berechnet:
\[ F_A=\rho_M \cdot V_K \cdot g \]
\(\rho_M: \) Dichte des Mediums
\(V_K: \) Volumen des Körpers
\(g: \) Fallbeschleunigung
Beim Betrachten dieser Formel ist es wichtig zu verstehen, dass das verdrängte Volumen des Mediums \(V_M\) gleich dem Volumen des Körpers \(V_K\) ist, welcher die Verdrängung verursacht. Die Dichte des Mediums \(\rho_M\) multipliziert mit dem Volumen des Körpers \(V_K\) ist die verdrängte Masse des Mediums. Diese Masse des Mediums, die sich nach oben bewegt, bildet die nach oben gerichtete Auftriebskraft, die auf den Körper wirkt.
Schau Dir jetzt noch einmal die Auftriebskraft etwas genauer an.
Auftriebskraft
Es gibt zwei Arten der Auftriebskraft, die dynamische und die statische Auftriebskraft.
Die dynamische Auftriebskraft gehört zum Fachbereich der Strömungsmechanik, denn hier geht es um die entstehende Auftriebskraft, die auf von Fluiden umströmte Körper wirkt.
Ein klassisches Beispiel für die dynamische Auftriebskraft sind die Tragflächen eines Flugzeugs, die mit ihrer Bewegung durch die Luft einen dynamischen Auftrieb generieren.
Der statische Auftrieb wirkt auf Körper, die in ein ruhendes Fluid eintreten oder sich bereits darin befinden. Der dazugehörige Fachbereich der Mechanik heißt Hydrostatik.
Klassische Beispiele für den statischen Auftrieb, sind Schiffe, die nicht im Wasser untergehen, weil der Auftrieb entgegen der Schwerkraft wirkt und damit diese ausgleicht.
Wenn Du erfahren möchtest, wie genau die Auftriebskraft es ermöglicht, dass Schiffe nicht untergehen, dann kannst Du Dir die Erklärung zum Auftrieb durchlesen.
Die statische Auftriebskraft wirkt entgegen der Gewichtskraft. Daher ist die Bewegung des Körpers im Fluid auch abhängig vom Verhältnis der beiden Kräfte zueinander.
Überwiegt eine der beiden Kräfte, so verändert sich die Bewegungsrichtung des betroffenen Körpers.
Der Körper sinkt oder fällt im Fluid, wenn:
\[F_A<F_G\]
Herrscht ein Kräftegleichgewicht, dann schwimmt der Körper im Fluid:
\[F_A=F_G\]
Wenn die Auftriebskraft größer als die Gewichtskraft ist, dann steigt der Körper:
\[F_A>F_G\]
Die statische Auftriebskraft wirkt auf alle Körper, die sich in Fluiden befinden, also auch beispielsweise auf Steine, die ins Wasser geworfen werden oder auch auf Fallschirmspringer, die aus einem Flugzeug springen.
Archimedisches Prinzip Versuch
Diese Erkenntnisse zum statischen Auftrieb wurden gemacht, als Archimedes vom damaligen König beauftragt wurde, die Reinheit des Goldes seiner Krone zu untersuchen.
Doch wie konnte er das beweisen, ohne die Krone zu beschädigen?
Archimedisches Prinzip Dichte bestimmen
Archimedes ist auf die Lösung des Problems gekommen, als er ein Bad nehmen wollte. Der Überlieferung nach stieg er in ein bis zum Rand hin gefülltes Bad und stellte beim Eintreten in die Wanne fest, dass ganz viel Wasser dabei überfloss. Ihm fiel auf, dass genau so viel Wasser übergeflossen ist, wie sein Körper verdrängte.
Dadurch ist ihm ein Versuch eingefallen, um die Krone zu untersuchen.
Archimedes nahm sich einen Goldbarren und legte sie in eine Schüssel voller Wasser und schaute, wie viel Wasser übergelaufen ist.
Abb. 2 - Goldbarren in Schüssel mit Wasser Die Schüssel ist nun genau bis zum Rand gefüllt. Der Goldbarren war genauso schwer wie die Krone. Im nächsten Schritt holte er den Goldbarren aus dem Wasser und legte die Krone in die wassergefüllte Schüssel.
Abb. 3 - Angebliche Goldkrone lässt Wasser überlaufen
Es ist erneut Wasser aus der Schüssel übergelaufen. Wie konnte das aber sein?
Gold ist schwerer als die meisten anderen Materialien. Der Goldbarren ist aus purem Gold und besaß ein bestimmtes Volumen, womit dieser das überschüssige Wasser aus der Schüssel verdrängte. Die Krone war aber eben nicht aus purem Gold. Die Masse von der Krone und dem Goldbarren waren zwar gleich, aber die Dichte der Krone war geringer als die des Goldbarrens.
Im Falle der Krone ist die gleiche Masse auf mehr Volumen verteilt, wodurch das zusätzliche Volumen der Krone noch mehr Wasser verdrängt, wodurch noch mehr Wasser überläuft. Die Krone wurde demnach wahrscheinlich nur mit Gold angemalt.
Jetzt kannst Du Dein Verständnis des Archimedischen Prinzips bei einer Aufgabe anwenden.
Archimedisches Prinzip Aufgaben
Damit Boote und Schiffe schwimmen können, muss die Gewichtskraft gleich der wirkenden Auftriebskraft sein.
Aufgabe
Ein kleines Schiff soll gebaut werden, und die Abmessungen und damit die Größe stehen bereits fest. Der Bug, also der untere Teil des Schiffes, welches das Wasser verdrängt und somit unter der Wasseroberfläche liegt, soll ein Volumen von \(V_s=16 m^3\) einnehmen. Berechne, wie viele Tonnen das Schiff maximal wiegen darf, damit das Schiff nicht zu tief im Wasser sitzt. Verwende für die Dichte des Wassers \(\rho_M=997 \frac {kg}{m^3}\).
Lösung
Die Formel für die Gewichtskraft und die Auftriebskraft sind bekannt.
\[F_g=m \cdot g\]
und
\[F_A=\rho_M \cdot V_s \cdot g\]
Damit das Schiff nicht untergehen wird, setzt Du beide Kräfte gleich, sodass ein Kräftegleichgewicht gilt.
\[m \cdot g=\rho_M \cdot V_s \cdot g\]
Gesucht ist die maximale Masse, also kannst Du die Formel nun nach \(m\) umstellen.
\[m=\frac {\rho_M \cdot V_s \cdot g}{g}\]
Die Fallbeschleunigung \(g\) kann gekürzt werden, sodass nur noch folgende Formel übrig bleibt.
\[m= \rho_M \cdot V_s\]
In diese Formel kannst Du jetzt die Werte aus der Aufgabe einsetzen.
\[m=997 \frac{kg}{m^3} \cdot 16 m^3\]
Die maximale Masse beträgt \(m=15,952 kg\) also knapp unter 16 Tonnen.
Archimedisches Prinzip – Das Wichtigste
- Körper in Flüssigkeiten und Gasen verdrängen dieses, sodass das Medium ausweichen muss.
- „Der statische Auftrieb eines Körpers in einem Medium ist genauso groß wie die Gewichtskraft des vom Körper verdrängten Mediums.“ -Archimedes
- Die Auftriebskraft ist eine nach oben gerichtete Kraft, die entgegen der Schwerkraft wirkt.
- Um die Auftriebskraft \(F_A\) zu berechnen, benötigst Du die Dichte des Mediums \(\rho_M\), das Volumen des Körpers \(V_K\) und die Gewichtskraft \(g\)
\[ F_A=\rho_M \cdot V_K \cdot g \]
- Es gibt den statischen und den dynamischen Auftrieb.
- Durch die Entdeckung, dass das verdrängte Volumen gleich dem Volumen des Körpers ist, konnte eine Bestimmung der Dichte ermöglicht werden.
- Archimedes entdeckte dieses Phänomen bei der Untersuchung einer angeblichen Goldkrone.
Nachweise
- www.mathematik.uni-mainz.de: Archimedes und die königliche Krone (04.09.2022)
- uni-koeln.de: 3.2 Hydrostatik (04.09.2022)
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