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Fadenpendel

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Physik

Das Fadenpendel ist ein Versuchsaufbau der Physik. Es gehört zum Bereich der mechanischen Schwingungen und wird oft, auch in der Schule, verwendet. Alles, was du über das Fadenpendel wissen musst und wie du die dazugehörigen Aufgaben löst, lernst du in diesem Artikel.

  • Das Fadenpendel ist ein einfaches Experiment, mit dem harmonische Schwingungen untersucht werden können
  • Für kleine Winkel unter  gilt die sogenannte Kleinwinkelnäherung. Dann ist das Fadenpendel eine harmonische Schwingung
  • Die Periodendauer berechnet sich durch
  • Der Energieerhaltungssatz lässt sich gut zeigen, da immer gilt  


Was ist ein Fadenpendel?

Das Fadenpendel besteht aus einem Körper, der an einem Faden frei schwingen kann. Dieser Körper wird bei Schwingungen auch Oszillator genannt. 

Wenn du mit deinem Pendel Versuche durchführen willst, ist es auch hilfreich eine Skala zum Messen des Winkels anzubringen. Zum Experimentieren solltest du außerdem lieber ein größeres, als ein kleineres Pendel wählen, da größere Werte leichter messbar sind.

Das Gewicht des Fadens ist im Vergleich zu dem des Pendelkörpers so klein, dass es vernachlässigt werden kann. Außerdem gehen wir davon aus, dass sich der Faden auch unabhängig vom Gewicht, das daran hängt nicht ausdehnt.

  • Für Versuche und Aufgaben können folgende Größen eine Rolle spielen: 
    • Die Länge L des Fadens
    • Die Periodendauer T
    • Die Masse m des Oszillators
    • Die maximale Auslenkung A (Amplitude)  


Fadenpendel mit Fadenlänge l und der Masse m 


Im Folgenden möchten wir alle notwendigen Begriffe für das Fadenpendel klären!

Die Periodendauer

Eine Periode ist ein Abschnitt einer Schwingung an dessen Start- und Endpunkt sich das System im gleichen Zustand befindet. Das bedeutet beim Fadenpendel, dass der Pendelkörper am gleichen Ort ist und sich mit der gleichen Geschwindigkeit in die gleiche Richtung bewegt. Die Periodendauer ist die Zeit, die das Pendel braucht, um eine Periode zu durchlaufen, also wieder in die Ausgangsposition zurück zu gelangen.


Die Amplitude

Die Amplitude einer Schwingung wird auch maximale Auslenkung genannt. Sie beschreibt, wie weit ein schwingender Körper maximal von seinem Ausgangspunkt entfernt sein kann. Beim Fadenpendel ist es der Abstand zwischen der Ruhelage, in der das Pendel senkrecht herabhängt, und dem äußersten Punkt, den das Pendel erreicht.

 

                                                                   

Die Auslenkung, wie sie hier dargestellt ist, ist eine gerade Linie. In der Realität ist das nicht ganz richtig, da das Pendel sich ja auf einer runden Bahn bewegt. Bei kleinen Winkeln ist der Unterschied zwischen der realen Kreisbahn und der geraden Bahn sehr gering. Daher kann diese Auslenkung als Näherungswert angenommen werden.


Experimentieren mit dem Fadenpendel

Willst du nun mit dem Fadenpendel experimentieren, läuft es so ab: Du hebst den Pendelkörper an und hältst dabei den Faden leicht auf Spannung. Lässt du den Körper nun fallen, bewegt er sich am Faden hin und her. Dabei solltest du das Pendel nicht zu weit auslenken. Du erfährst später noch, warum die Messergebnisse sonst ungenau werden können.


Das Pendel schwingt zwischen zwei Extrempunkten, die gleich weit von der Ruhelage entfernt sind


Dabei kannst du alle beschriebenen Größen bestimmen. Die Amplitude kannst du schon während der Vorbereitung messen, wenn du das Pendel auslenkst. Das Pendel kann nämlich nie höher schwingen, als die Höhe aus der es startet. Die Periodendauer misst du am besten, indem du mehrere Perioden hintereinander misst und die Zeit dann durch die Anzahl dieser teilst. So kannst du den Messfehler verringern.  


Die Formel für die Periodendauer

Die Periodendauer hat das Formelzeichen T und lässt sich mit  berechnen.



Wie du siehst brauchst du dafür nur die Länge des Fadens l und die Erdbeschleunigung g. Die Periodendauer ist damit unabhängig von der Masse des Oszillators und auch von der Amplitude. Solange du dein Experiment auf der Erde durchführst, ist eine unterschiedliche Fadenlänge das einzige, was eine Veränderung der Periodendauer verursacht.


                                                                    

                                                           


Für die beiden Fadenpendel in der Abbildung kannst du also mithilfe der obenstehenden Formel die Periodendauer berechnen, obwohl du nur die Fadenlänge kennst. 


Dafür setzt du diese und die Erdbeschleunigung in die Formel ein. Zuerst berechnen wir die Periodendauer mit einem Faden der Länge :


 


Das gleiche können wir nun für die Fadenlänge  machen:


 


Wir haben jetzt also für zwei Fadenpendel die Periodendauern  und  bestimmt. Das ist vollkommen ohne die Angabe der Masse des Pendelkörpers möglich. Diese spielt keine Rolle für die Periodendauer.


 

Das Fadenpendel als harmonische Schwingung

Eine harmonische Schwingung erkennst du daran, dass die rücktreibende Kraft immer proportional zur Auslenkung ist. Beim Fadenpendel ist die Rücktreibende Kraft der Teil der Gewichtskraft, der in Bewegungsrichtung zeigt. Grundsätzlich ist dieser nicht so leicht zu berechnen, da durch die Bewegung auch der Winkel dieser Kraft sich ständig verändert. Gehen wir allerdings von einem kleinen Auslenkungswinkel aus, ist die Auslenkung beinahe geradlinig.


                                                        

 Die Abweichung zur Kreisbahn ist bei kleinen Winkeln minimal


Da wir die Bewegung als geradlinig betrachten, gibt es einen rechten Winkel zwischen der rückstellenden Kraft  in Bewegungsrichtung und der Gewichtskraft , die senkrecht nach unten wirkt. Im Dreieck, das die beiden aufspannen, kommt der Auslenkungswinkel α vor. Das können wir uns zunutze machen und die Kräfte mit ihm in Verbindung setzen.

Es gilt dann .


 

                                                           




Damit ist die rückstellende Kraft proportional zum Sinus des Winkels, aber nicht zur Auslenkung selbst. Allerdings sind wir bereits davon ausgegangen, dass es sich um einen kleinen Auslenkungswinkel handelt. In der Physik gilt die sogenannte Kleinwinkelnäherung. Das bedeutet, dass für kleine Winkel gilt:



Das bedeutet, dass wir bei kleinen Winkeln auch mit dem Winkel selbst anstelle seines Sinus rechnen können. Du hast bereits gesehen, dass die rückstellende Kraft  proportional zu  ist. Aufgrund der Kleinwinkelnäherung ist  daher auch proportional zu  selbst. 


Daher kann das Fadenpendel bei kleinen Auslenkungen als harmonisch schwingendes System betrachtet werden. Dafür müssen allerdings einige Näherungen verwendet werden. Damit die Ergebnisse trotzdem stimmen, wird eine Grenze benötigt, wann mit der Kleinwinkelnäherung gerechnet werden kann. Diese ist mit  festgelegt.


Energieumwandlung am Fadenpendel

Während das Fadenpendel schwingt werden laufend Energien ineinander umgewandelt. Wir gehen von einem optimalen Versuch aus und vernachlässigen daher Reibung und Luftwiderstand. Während der Bewegung wird aber ständig Energie umgewandelt. 

Dabei bleibt die Gesamtenergie des Systems gemäß dem Energieerhaltungssatz immer gleich und es werden nur zwei Energieformen ineinander umgewandelt: Kinetische Energie und Potentielle Energie.


                                                                           

 


Die kinetische Energie wird auch die Bewegungsenergie genannt. Sie ist die Energie, die in einem Körper in Form von Bewegung gespeichert ist.  ist abhängig von der Geschwindigkeit .

Die potentielle Energie  wird auch Höhenenergie genannt. Sie benötigt immer einen Bezugspunkt und gibt die Energie an, die benötigt wird, um einen Körper von diesem Bezugspunkt zur aktuellen Position zu bringen.  ist abhängig von der Höhe .


Da diese sich nur ineinander und nicht in andere Energieformen umwandeln, muss ihre Summe immer gleich bleiben.


 

An einigen Punkten in der Bewegung des Pendels ist es leicht, die Verteilung der Gesamtenergie auf diese beiden zu bestimmen. Das liegt daran, dass an diesen Stellen jeweils nur eine der beiden vorkommt.



An den Punkten der maximalen Auslenkung, also der Amplitude, an denen das Pendel die Richtung wechselt, bleibt es kurz stehen. Es gibt daher einen Zeitpunkt, zu dem der Oszillator sich nicht bewegt. Die kinetische Energie beträgt dann genau null. Gleichzeitig ist das Pendel am höchsten Punkt in seiner Bewegung angekommen. Damit hat es die höchstmögliche potentielle Energie. An diesem Punkt ist also die gesamte Energie des Systems in potentieller Energie gespeichert.

 


                                                                   


Das genaue Gegenteil ist die Ruhelage. Befindet sich der Pendelkörper senkrecht unterhalb der Aufhängung, ist er am tiefsten Punkt der Schwingung angekommen. Die Potentielle Energie beträgt damit null. Gleichzeitig fällt das Pendel bis zu diesem Punkt, beschleunigt also und bremst anschließend wieder ab. Damit hat es hier seine maximale Geschwindigkeit und damit die maximale kinetische Energie erreicht. Die gesamte betrachtete Energie ist nun in kinetische Energie umgewandelt.


                                                               



Die Beiden Energien und auch die Auslenkung können wir als Sinusfunktionen beschreiben. Das geht nur, weil wir von einer harmonischen Schwingung ausgehen. Die Zusammenhänge zwischen den Größen werden noch deutlicher, wenn wir die drei Funktionen übereinanderlegen. In der Abbildung sind  in schwarz,  in blau und die Auslenkung in rosa zu sehen.


               


Am Ursprung ist die Auslenkung null. Das heißt, das Pendel befindet sich gerade in der Ruhelage. Oben hast du gelernt, wie sich hier die Energien verhalten. Das erkennst du auch in der Abbildung: Die kinetische Energie hat hier einen Hochpunkt und die potentielle Energie ist bei null. 

Erreicht die Auslenkung einen Extrempunkt ist es genau andersherum. 

Da das Pendel in beide Richtungen auslenkt, findet die gesamte Umwandlung zwei mal in einer Periode des Pendels statt. Dadurch kommt die gestreckte Kurve der Auslenkung im Vergleich zu den Energien zustande. Die Kurven der Energien sind nach oben verschoben, da diese nicht wie die Auslenkung um null als Mittelwert pendeln, sondern sich nur im positiven Bereich befinden.


 

 


 

 


Rechnen mit dem Fadenpendel

In diesem Abschnitt lernst du einige der typischen Aufgaben zum Thema kennen und erfährst, wie du sie Schritt für Schritt lösen kannst.


Bestimmung der Periodendauer

Für die Bestimmung der Periodendauer benötigst du die Formel 



Gegeben wird dann meist nur die Fadenlänge. Du kannst davon ausgehen, dass die Experimente auf der Erde stattfinden, wenn nichts anderes beschrieben wird und daher von der normalen Erdbeschleunigung ausgehen. In unserem Beispiel ist die Fadenlänge 50cm. Du musst diese dann nur in Meter umwandeln und alles in den Taschenrechner eingeben:


 


  


Die Periodendauer für ein Pendel der Länge 50cm beträgt daher 1,42 Sekunden.



In manchen Aufgaben wird dir die Fadenlänge nicht sofort verraten, du musst teilweise noch andere Rechnungen durchführen, um diese herauszufinden. Ein Beispiel dafür ist die Berechnung durch Auslenkung y und Winkel α.


Gegeben sind y = 3 cm und α = 4°. 



Wie in der Abbildung erkennbar gibt es einen Zusammenhang zwischen der Auslenkung y, der Fadenlänge l und dem Auslenkungswinkel α:

 Dieser lässt sich umstellen zu 

Einsetzen ergibt dann 


Damit hast du deine Fadenlänge berechnet und kannst die Rechnung wie oben abschließen.


 


Bestimmung der maximalen Geschwindigkeit

Aufgaben dieser Art verwenden die energetischen Zusammenhänge des Fadenpendels. Ist dies der Fall, wird meist keine Auslenkung mehr angegeben, sondern eine Höhe, um welche die schwingende Masse angehoben wird. Diese ist wichtig, um eine potentielle Energie bestimmen zu können. Außerdem kommen hier teilweise auch große Auslenkungen vor, da die harmonische Eigenschaft der Schwingung hier nicht mehr notwendig ist.


Gegeben sind die Masse m=500g  und der Höhenunterschied h=5cm.


Da sich das Pendel hier an einem Extrempunkt befindet, können wir die Energie, die umgewandelt werden kann bereits berechnen durch



Soll nun die maximale Geschwindigkeit berechnet werden, die der Oszillator erreicht, musst die die kinetische Energie verwenden. Der Punkt mit der höchsten Geschwindigkeit ist schließlich der Punkt, an dem die kinetische Energie maximal ist.


Für die kinetische Energie gilt allgemein:



Das kannst du wie folgt umformen:




Darin kannst du nun deine Werte einsetzen:




Damit ist  die maximale Geschwindigkeit, die der Pendelkörper erreichen kann.


 

Geschafft! Jetzt weißt du alles über das Fadenpendel und kannst Aufgaben dazu lösen. Prüfe dein Wissen am besten noch mit unseren Karteikarten! Zu harmonischen Schwingungen und vielen anderen physikalischen Themen kannst du direkt auf StudySmarter weiterlesen. Dann kann die nächste Klausur auch schon kommen!


 

 

helge.wittenberg@studysmarter.de

Key Takeaways


  • Das Fadenpendel besteht aus einem Oszillator, der an einem theoretisch masselosen und nicht elastischen Faden frei pendeln kann.
  • Weitere wichtige Größen sind die Periodendauer und die Amplitude.
  • Die Periodendauer berechnet sich durch .
  • Die Periodendauer ist nur von der Fadenlänge abhängig.
  • Das Fadenpendel schwingt nur für kleine Winkel annähernd harmonisch.
  • Am Fadenpendel werden potentielle und kinetische Energie periodisch ineinander umgewandelt. Ihre Summe ist dabei konstant.
  • Sowohl die Auslenkung als auch die Energien können bei kleiner Amplitude als Sinusfunktionen dargestellt werden.

12:27 31.08.2021

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Fadenpendel - Das Wichtigste auf einen Blick

  • Das Fadenpendel besteht aus einem Oszillator, der an einem theoretisch masselosen und nicht elastischen Faden frei pendeln kann.
  • Weitere wichtige Größen sind die Periodendauer und die Amplitude.
  • Die Periodendauer berechnet sich durch T = 2π · lg.
  • Die Periodendauer ist nur von der Fadenlänge abhängig.
  • Das Fadenpendel schwingt nur für kleine Winkel annähernd harmonisch.
  • Am Fadenpendel werden potentielle und kinetische Energie periodisch ineinander umgewandelt. Ihre Summe ist dabei konstant.
  • Sowohl die Auslenkung als auch die Energien können bei kleiner Amplitude als Sinusfunktionen dargestellt werden.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Fadenpendel

Um das Fadenpendel als harmonische Schwingung darzustellen, wird näherungsweise die geradlinige Auslenkung mit der tatsächlichen, kreisförmigen Auslenkung gleichgesetzt. Je größer die Amplitude wird, desto stärker wird die Abweichung der Formel von der Realität.

Ein Fadenpendel ist ein Pendel, bei dem ein Oszillator (Pendelkörper) an einem Faden gleichmäßig hin und her schwingt. Dies ist eine der einfachsten mechanischen Schwingungen.

Die Amplitude ist die maximale Auslenkung. Sie beschreibt, wie weit sich das Pendel an seinem höchsten Punkt von der Ruhelage entfernt.

Nein, ein Fadenpendel schwingt nicht harmonisch. Bei kleinen Auslenkungen können allerdings Formeln verwendet werden, die von einer harmonischen Schwingung ausgehen, da hier die Abweichung ausreichend gering ist.

Finales Fadenpendel Quiz

Frage

Was brauchst du um ein Fadenpendel zu bauen?

Antwort anzeigen

Antwort

Einen Faden und einen Oszillator

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Frage

Welcher der Faktoren beeinflusst die Periodendauer nicht?

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Antwort

Die Masse des Pendelkörpers

Frage anzeigen

Frage

Was ist die Amplitude?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Amplitude ist der Abstand zwischen der Ruhelage und dem Punkt, an dem das Pendel die Richtung wechselt. 

Frage anzeigen

Frage

Wo ist der Unterschied zwischen der Amplitude und der maximalen Auslenkung?

Antwort anzeigen

Antwort

Es gibt keinen.

Frage anzeigen

Frage

Wie lautet die Formel für die Periodendauer?

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Antwort

 

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Frage

Wie lange ist die Periode eines Pendels mit der Fadenlänge 3m?

Antwort anzeigen

Antwort

1. Die benötigte Formel ist

2. Einsetzen ergibt 

Frage anzeigen

Frage

Berechne wie lang der Faden eines Pandels ist, das mit der Periode T= 2,43 s schwingt!

Antwort anzeigen

Antwort

1. Die benötigte Formel ist

2. Umstellen ergibt


3. Einsetzen ergibt

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Frage

Erkläre, wann das Fadenpendel als harmonische Schwingung betrachtet werden kann!

Antwort anzeigen

Antwort

Bei der sogenannten Kleinwinkelnäherung (also bei kleinen Auslenkungen) etwa bis 5°.

Frage anzeigen

Frage

Warum kann das Fadenpendel bei kleinen Winkeln als harmonisch betrachtet werden?

Antwort anzeigen

Antwort

Bei kleinen Winkeln sind Näherungen möglich. Die geradlinige Auslenkung entspricht fast der tatsächlichen und der Winkel im Bogenmaß beinahe seinem Sinus.

Frage anzeigen

Frage

Welche Energien wandelt das Fadenpendel ineinander um?

Antwort anzeigen

Antwort

Das Fadenpendel wandelt kinetische und potentielle Energie ständig ineinander um.

Frage anzeigen

Frage

Wie hoch sind kinetische und potentielle Energie bei maximaler Auslenkung?

Antwort anzeigen

Antwort

 

Frage anzeigen

Frage

Gebe an, wie hoch die kinetische und potentielle Energie eines bewegten Pendels mit der Amplitude A=0 sind.

Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Welcher Zusammenhang gilt für die Energien im System des Pendels?

Antwort anzeigen

Antwort

 

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Frage

Wie hoch kann ein Pendel mit der Masse m = 400g maximal schwingen, wenn es sich mit einer maximalen Geschwindigkeit von  bewegt?

Antwort anzeigen

Antwort

1. Die kinetische Energie berechnet sich durch


2. Die maximale potentielle Energie entspricht der kinetischen Energie:


3. Es gilt

4. Durch umformen ergibt sich



5. Durch einsetzen erhalten wir  

Frage anzeigen

Frage

Wie viel Arbeit verrichtet ein Pendel mit folgenden Vorgaben durchschnittlich pro Sekunde?

;

Antwort anzeigen

Antwort

1. Die kinetische Energie beträgt

2. Während jeder Periode wird die Energie vier mal vollständig umgewandelt.

3. Die Energie die pro Periode umgewandelt wird beträgt damit

4. Die Arbeit, die pro Sekunde durchschnittlich geleistet wird ist also 

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