Fadenpendel

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Vielleicht hast Du schon mal in einem Vergnügungspark eine Schiffsschaukel als Attraktion gesehen oder bist auch selbst darauf gefahren. Wusstest Du, dass Du eine solche Schaukel physikalisch beschreiben kannst, um die Geschwindigkeit zu berechnen, mit der die Schaukel vorbeirast? Dabei hilft Dir das Modell des Fadenpendels.

Fadenpendel Definition

Das Fadenpendel, oft auch als mathematisches Pendel bezeichnet, besteht aus einem ein Faden der Länge l an dem ein Körper der Masse m hängt. Durch eine Auslenkung x₀ aus der Gleichgewichtslage beginnt das Pendel zu schwingen.

Das Fadenpendel besteht aus einem frei aufgehängten Faden der Länge l an dessen Ende eine Masse m befestigt ist.

Die Berechnungen des Fadenpendels erfolgen alle unter der Annahme, dass das Gewicht des Fadens vernachlässigt werden kann. Ebenso wird die Ausdehnung des Fadens durch das Gewicht nicht beachtet.

Des Weiteren gilt zu beachten: Die Länge l des Fadens wird von der Aufhängung bis zum Schwerpunkt der Masse m gemessen. Du solltest also darauf achten, nicht nur die Länge bis zur Oberfläche der Masse m zu berücksichtigen.

Wie kannst Du nun mit den grundlegenden Eigenschaften des Fadenpendels Berechnungen durchführen?

Fadenpendel Formeln

Nun geht es darum, verschiedene mathematischen Größen am Fadenpendel zu beschreiben. Dabei betrachtest Du hier kleine Auslenkungen, um die Berechnungen simpel zu halten. Die Formeln beruhen dabei auf einer geradlinigen Auslenkung. Kleine Auslenkungen können näherungsweise als geradlinig angenommen werden, anstatt wie in der Realität kreisförmig. Du kannst bei den Berechnungen auch meistens die Reibungsverluste ignorieren. Das Fadenpendel schwingt dann mit einer harmonischen Schwingung.

Zu den wichtigsten Größen einer harmonischen Schwingung zählen vor allem die Amplitude A und die Perioden- bzw. Schwingungsdauer T. Aber auch die Geschwindigkeit des Massekörpers kann bestimmt werden.

Beim Fadenpendel sind der tiefste Punkt und der Punkt der maximalen Auslenkung die wichtigsten Punkte im Verlauf des Fadenpendels.

Fadenpendel Auslenkung

Die Auslenkung x wird vom mittleren Punkt des Fadenpendels aus gemessen. Dabei ist x₀ der Punkt der maximalen Auslenkung, der auch die Auslenkung zu Beginn festlegt.

Die Auslenkung x kann in Abhängigkeit der Zeit t bestimmt werden. Dabei kannst Du jegliche Reibung des Pendels, wie der Luftwiderstand, die zum Energieverlust führen könnte, vernachlässigen.

Die Auslenkung x eines Fadenpendels der Länge l zum Zeitpunkt t und der Winkelfrequenz ω₀ kannst Du folgendermaßen berechnen:

$x (t) = x_{0} \cdot \cos (ω_{0} \cdot t) mit: ω_{0} = \sqrt{\frac{g}{l}}$

Dabei ist x₀ der Punkt der maximalen Auslenkung und g der Ortsfaktor für das Fadenpendel.

Beachte, dass Du zur Berechnung der Auslenkung die Masse m nicht benötigst, die Auslenkung ist also unabhängig von der Masse.

Du kannst mit dieser Formel also zu jedem beliebigen Zeitpunkt t die Auslenkung x des Pendels bestimmen.

ω₀ beschreibt dabei die Winkelfrequenz, mit der das Pendel schwingt. Darauf geht der Abschnitt zur Schwingungsdauer genauer ein.

Was ist nun die Amplitude des Fadenpendels, wenn Du die Auslenkung schon kennst?

Fadenpendel Amplitude

Die Amplitude einer Schwingung wird auch maximale Auslenkung genannt. Sie beschreibt, wie weit ein schwingender Körper maximal von seiner Gleichgewichtslage entfernt sein kann.

Für das Fadenpendel gilt: Die Amplitude ist die maximale Distanz x zwischen der Ruhelage ( $x = 0$ ) und der maximalen Auslenkung x₀. Da das Fadenpendel ohne weitere Krafteinwirkung seine Auslenkung nicht erhöhen kann, ist die anfängliche Auslenkung x₀ in unseren Betrachtungen gleich der Amplitude des Pendels.

Beim Fadenpendel entspricht die Amplitude der anfänglichen Auslenkung x₀. Das ist, wie weit das Pendel maximal von seiner Gleichgewichtslage entfernt sein kann.

Würde das Fadenpendel Reibung erfahren, wie z. B. Luftwiderstand, würde sich die Auslenkung x mit jeder Periode immer weiter verringern. Du würdest es zum Beispiel mit einer Auslenkung x₀ anfangen, aber bis das Pendel auf die andere Seite geschwungen ist, wäre die Auslenkung schon kleiner als x₀.

Wie lange dauert eine solche Schwingung beim Fadenpendel?

Periodendauer Schwingungsdauer Fadenpendel

Das Fadenpendel schwingt mit einer bestimmten Periodendauer. Oft findest Du auch die Bezeichnung Schwingungsdauer. Sie bezeichnet die Dauer, die das Fadenpendel für eine Schwingung bzw. eine Periode benötigt.

Eine Schwingung bzw. eine Periode ist dabei das zeitliche Intervall, in dem das Fadenpendel von der Auslenkung x wieder zurück zu dieser selben Position x mit gleicher Bewegungsrichtung wie zuvor schwingt.

Die Periodendauer T eines Fadenpendels der Länge l beschreibt die Dauer, die das Pendel für eine ganze Schwingung benötigt.

$T = 2 \cdot π \cdot \sqrt{\frac{l}{g}}$

Zur Berechnung benötigst Du den Ortsfaktor g.

Alternativ kannst Du auch die Winkelfrequenz, mit der das Fadenpendel schwingt, berechnen. Im Gegensatz zur Frequenz gibt sie aber nicht die Anzahl der Schwingungsperioden in einer Zeitspanne an, sondern den überstrichenen Phasenwinkel der Schwingung pro Zeitspanne, also wie groß der zurückgelegte Winkel pro Sekunde ist.

Die Winkelfrequenz $ω_{0}$ eines Fadenpendels berechnest Du mit der Länge l und dem Ortsfaktor g:

$ω_{0} = \sqrt{\frac{g}{l}}$

Wie Du siehst, brauchst Du zur Berechnung der Periodendauer nur die Länge l des Fadens und die Erdbeschleunigung g. Die Periodendauer ist damit unabhängig von der Masse m des Schwingkörpers und auch von der Amplitude x_0.

Solange Du Dein Experiment also auf der gleichen Stelle durchführst, ist eine variierende Fadenlänge das Einzige, das eine Veränderung der Periodendauer verursacht.

Fadenpendel Geschwindigkeit

Um die Geschwindigkeit des Fadenpendels zu berechnen, kannst Du einen Blick auf die Energien im Fadenpendel werfen. Je nach dem, zu welchem Zeitpunkt Du das Pendel betrachtest, besitzt es verschiedene Mengen an kinetischer und potentieller Energie. Die beiden Energien werden ineinander umgewandelt.

In den Artikeln "Energieumwandlung", "Kinetische Energie" und "Potentielle Energie" kannst Du Dich noch einmal genauer einlesen zu dem energetischen Themenkomplex.

Bei der Schwingung des Fadenpendels gibt es zwei besondere Punkte bei dem Verhältnis zwischen potentieller und kinetischer Energie:

Erreicht das Pendel seine größte Auslenkung x₀, besitzt es dort nur potentielle Energie E_pot. Dabei ist das Pendel um die Höhe h über der Ruhelage bei $x = 0$ . Die kinetische Energie E_kin an diesem Punkt ist null, da das Pendel für einen kurzen Moment stillsteht, während es die Richtung ändert.

Am untersten Punkt, mit der Auslenkung $x = 0$ , beträgt die potentielle Energie null und die kinetische Energie des Pendels ist maximal. Hier bewegt sich das Pendel mit der maximalen Geschwindigkeit v.

Im Folgenden siehst du das Ganze noch mal genauer definiert:

Erreicht das Pendel seine größte Auslenkung x_0, besitzt es dort nur potentielle Energie E_pot.

Am untersten Punkt beträgt die potentielle Energie Null und die kinetische Energie E_kin des Pendels ist maximal.

Die beiden Energien werden im Verlauf des Pendelvorgangs ständig ineinander umgewandelt.

Dabei gilt:

$E_{G e s a m t} = E_{k i n} + E_{p o t} = k o n s t a n t$

In der Abbildung 4 siehst Du das Prinzip der Energieumwandlung beim Fadenpendel noch einmal grafisch dargestellt. Zwischen den beiden abgebildeten Zeitpunkten besitzt das Pendel anteilhaft sowohl eine kinetische als auch eine potentielle Energie.

Doch wie kannst Du nun die maximale Geschwindigkeit des Pendels bestimmen?

Indem Du die beiden Energien mithilfe der Energieerhaltung zusammenführst.

Du kannst die Höhe des Pendels bei der maximalen Auslenkung bestimmen und damit die maximale potentielle Energie berechnen.

Für die Auslenkung $x = 0$ ist die gesamte potentielle Energie in kinetische Energie umgewandelt. Das heißt, hier ist die kinetische Energie und damit auch die Geschwindigkeit maximal.

Um nun diese maximale Geschwindigkeit v zu berechnen, setzt Du die potentielle Energie E_pot und die kinetische Energie E_kin gleich. Aufgrund des Energieerhaltungssatzes gilt: die maximale potentielle Energie ist gleich der maximalen kinetischen Energie, wenn ausschließlich und komplett zwischen diesen beiden Energieformen umgewandelt wird.

$\begin{array}{rcl} E_{p o t} & = & E_{k i n} \\ m \cdot g \cdot h & = & \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^{2} \end{array}$

Als Nächstes löst Du die Gleichung nach der gesuchten Geschwindigkeit v auf. Dabei ist h die Höhe des Pendels in der Position x₀.

$\begin{array}{rcl} m \cdot g \cdot h & = & \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^{2} \\ g \cdot h & = & \frac{1}{2} \cdot v^{2} \\ 2 \cdot g \cdot h & = & v^{2} \\ v & = & \sqrt{2 \cdot g \cdot h} \end{array}$

Somit erhältst Du die Formel für die Berechnung der maximalen Geschwindigkeit.

Die maximale Geschwindigkeit des Pendels ist also allein von der Höhe des Pendels abhängig.

Du kannst die maximale Geschwindigkeit v des Fadenpendels mit der Höhe h des Pendels in der Position x₀ und mit dem Ortsfaktor g berechnen:

$v = \sqrt{2 \cdot g \cdot h}$

Dabei ist die Geschwindigkeit, die Du berechnest, die maximale Geschwindigkeit des Fadenpendels, wenn es bei $x = 0$ ist. Wie sieht jedoch die Geschwindigkeit im restlichen Verlauf der Schwingung aus?

Fadenpendel-Physik Verlauf

Die Zusammenhänge zwischen den energetischen Größen werden deutlich bei Betrachtung des zeitlichen Verlaufs. In der Abbildung 5 sind E_kin in Blau, E_pot in türkis und die Auslenkung in rot zu sehen.

Fadenpendel Verlauf Zeitlich StudySmarter Abbildung 5: Zeitlicher Verlauf der Energien im Fadenpendel

Du siehst in der Abbildung den Prozess der Energieumwandlung zwischen kinetischer und potentieller Energie. Immer, wenn eine der beiden Energien ihren maximalen Betrag erreicht hat, ist die andere Energie null.

Auch kannst Du erkennen, wann welche Energie ihr Maximum erreicht. Die kinetische Energie ist maximal, wenn die Auslenkung null ist, die potentielle Energie ist maximal, wenn der Betrag der Auslenkung maximal ist.

Die kinetische Energie entspricht der Geschwindigkeit des Fadenpendels. Du könntest hier also auch den Verlauf der Geschwindigkeit im Vergleich zur Auslenkung ablesen.

Genau so fühlt sich die Fahrt auf der Schiffschaukel an: An den Punkten der maximalen Auslenkung bist Du am weitesten oben, hast also die maximale potentielle Energie.

Bei der Fahrt nach unten beschleunigst Du, bis Du am tiefsten Punkt vorbeirast, mit der maximalen Geschwindigkeit. Danach bremst das Schiff ab, bis Du auf der anderen Seite oben angekommen bist und das Ganze beginnt von Vorne.

Fadenpendel Experiment Berechnen

Hier findest Du noch eine Aufgabenstellung zum Thema Fadenpendel, mit der Du Dein Wissen anwenden kannst.

Aufgabe

An einem Fadenpendel der Länge $l = 25 c m$ hängt ein Körper der Masse $m = 0, 2 k g$ .

a) Berechne die Periodendauer T des Pendels.

b) Wie groß muss die anfängliche Auslenkung x₀ sein, wenn die Auslenkung zum Zeitpunkt $t = 5 s$ genau $x = 2 c m$ beträgt?

Lösung

a) Setze die beiden Angaben der Aufgabenstellung in die Gleichung für die Periodendauer ein.

$T = 2 \cdot π \cdot \sqrt{\frac{l}{g}} 2 \cdot π \cdot \sqrt{\frac{0, 25 m}{9, 81 \frac{m}{s^{2}}}} \approx 1, 0 s$

Du hast nun Periodendauer von etwa einer Sekunde berechnet.

b) Um die anfängliche Auslenkung des Pendels zu bestimmen, kannst Du die allgemeine Schwingungsgleichung eines Pendels betrachten.

$x (t) = x_{0} \cdot \cos (ω_{0} \cdot t)$

Beim Fadenpendel gilt für die Frequenz $ω_{0} = \sqrt{\frac{g}{l}}$ . Daher kannst Du die Schwingungsgleichung des Fadenpendels auch schreiben als:

$x (t) = x_{0} \cdot \cos (\sqrt{\frac{g}{l}} \cdot t)$

Nun stellst Du die Formel nach der Amplitude x₀ um und setzt die Angaben zum Zeitpunkt $t = 5 s$ ein (Auslenkung $x (t = 5 s) = x = 2 c m$ ).

$\begin{array}{rcl} x_{0} & = & \frac{x (t)}{c o s (\sqrt{\frac{g}{l}} \cdot t)} \\ = & \frac{0, 02 m}{c o s (\sqrt{\frac{9, 81 \frac{m}{s^{2}}}{0, 25 m}} \cdot 5 s)} \\ x_{0} & = & 0, 023 m = 2, 3 c m \end{array}$

Die nötige anfängliche Auslenkung beträgt also 2,3 cm.

Fadenpendel - Das Wichtigste

Das Fadenpendel besteht aus einem frei aufgehängten Faden der Länge l, an dessen Ende eine Masse m befestigt ist.
Die Auslenkung x eines Fadenpendels der Länge l zum Zeitpunkt t kannst Du folgendermaßen berechnen:
$x (t) = x_{0} \cdot \cos (ω_{0} \cdot t) mit: ω_{0} = \sqrt{\frac{g}{l}}$
Die Periodendauer T eines Fadenpendels der Länge l beschreibt die Dauer, die das Pendel für eine ganze Schwingung benötigt.
$T = 2 \cdot π \cdot \sqrt{\frac{l}{g}}$
Die Winkelfrequenz $ω_{0}$ eines Fadenpendels berechnest Du mit der Länge l und dem Ortsfaktor g:
$ω_{0} = \sqrt{\frac{g}{l}}$

Du kannst die Geschwindigkeit v des Fadenpendels mit der Höhe h des Pendels in der Position x₀ und dem Ortsfaktor g berechnen:
$v = \sqrt{2 \cdot g \cdot h}$
Erreicht das Pendel seine größte Auslenkung x₀ , besitzt es dort nur potentielle Energie E_pot. Am untersten Punkt beträgt die potentielle Energie null und die kinetische Energie des Pendels ist maximal. Hier bewegt sich das Pendel mit der maximalen Geschwindigkeit v. Die beiden Energien werden im Verlauf des Pendelvorgangs ständig ineinander umgewandelt.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Fadenpendel

Um das Fadenpendel als harmonische Schwingung darzustellen, wird näherungsweise die geradlinige Auslenkung mit der tatsächlichen, kreisförmigen Auslenkung gleichgesetzt. Je größer die Amplitude wird, desto stärker wird die Abweichung der Formel von der Realität.

Ein Fadenpendel ist ein Pendel, bei dem ein Oszillator (Pendelkörper) an einem Faden gleichmäßig hin und her schwingt. Dies ist eine der einfachsten mechanischen Schwingungen.

Die Amplitude ist die maximale Auslenkung. Sie beschreibt, wie weit sich das Pendel an seinem höchsten Punkt von der Ruhelage entfernt.

Nein, ein Fadenpendel schwingt nicht harmonisch. Bei kleinen Auslenkungen können allerdings Formeln verwendet werden, die von einer harmonischen Schwingung ausgehen, da hier die Abweichung ausreichend gering ist.

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Beschreibe, welche Komponente Du brauchst, um ein Fadenpendel zu bauen.

Einen Faden und einen Oszillator, also einen schwingungsfähigen Körper, den Du anhängen kannst.

Wähle aus, welcher der Faktoren die Periodendauer nicht beeinflusst.

Die Masse des Pendelkörpers

Erkläre, was die Amplitude beschreibt.

Die Amplitude ist der Abstand zwischen der Ruhelage und dem Punkt, an dem das Pendel die Richtung wechselt.

Beschreibe den Unterschied zwischen der Amplitude und der maximalen Auslenkung.

Es gibt keinen Unterschied. Die Amplitude entspricht der maximalen Auslenkung.

Erkläre, warum nur kleinere Auslenkungen beim Fadenpendel betrachtet werden.

Um die Berechnungen simpel zu halten. Denn die Auslenkung wird näherungsweise geradlinig angenommen anstatt wie in der Realität kreisförmig. Das Fadenpendel schwingt dann mit einer harmonischen Schwingung.

Nenne den tiefsten Punkt und den Punkt der maximalen Auslenkung.

Die Auslenkung x wird vom mittleren Punkt, der Ruhelage des Fadenpendels aus gemessen. Dies ist der tiefste Punkt des Fadenpendels.

x₀ ist der Punkt der maximalen Auslenkung (Amplitude), der auch die Auslenkung zu Beginn festlegt.

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