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Mechanische Arbeit

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Mechanische Arbeit

Im Alltag geht es sehr oft um Arbeit. Was man im Sprachgebrauch unter Arbeit versteht, ist aber meist etwas anderes, als du im Physikunterricht abgefragt wirst! Den Satz Arbeit ist Kraft mal Weg hast du sicherlich schon mal gehört.

Was es damit auf sich hat, insbesondere mit der mechanischen Arbeit und deren Formen erfährst du in diesem Artikel. Mit Definitionen, Abbildungen und Beispielen lernst du, die mechanische Arbeit zu berechnen und sogar grafisch zu ermitteln!

Mechanische Arbeit - Was ist Arbeit?

Unter Arbeit versteht man im deutschen Sprachgebrauch viele verschiedene Dinge. In der Schule eine Arbeit schreiben, wobei die Arbeit ein Test oder eine Klausur ist. Auch heißt es auf die Arbeit gehen, ganz egal, welche Arbeit man dann macht, z. B. körperliche Arbeit auf einer Baustelle oder kreative Arbeit beim Designen. Was genau ist dann Arbeit im physikalischen Sinn, insbesondere mechanische Arbeit?

Die physikalische Bedeutung von Arbeit

Im Physikunterricht wird in den meisten Fällen von der physikalischen Größe der Arbeit geredet.

Präge dir für den Unterricht die folgende Ausdrucksweise ein! Arbeit wird an einem Körper verrichtet.

Jetzt schauen wir uns die Definition der Arbeit in der Physik an:

Unter der Größe der Arbeit versteht man in der Physik allgemein die Änderung der Energie eines Systems.

Allgemein gilt:

Mechanische Arbeit, Formel mechanische Arbeit ist Änderung der Energie, StudySmarter

Die Einheit der Arbeit ist:

Mechanische Arbeit, Einheit mechanische Arbeit, StudySmarter

Mechanische Arbeit, Einheit mechanische Arbeit Bedeutung, StudySmarter

Das Dreieck vor dem Formelzeichen der Energie E spricht man Delta. Zusammen also Delta E.

Diese allgemeine Definition ist wichtig für das Verständnis in verschiedenen Bereichen der Arbeit. Rechnen wirst du in den meisten Fällen aber mit den Formeln für die jeweilige Art der Arbeit.

Wenn es direkt um Energien als Arbeit geht, dann wird meistens Joule als Einheit benutzt. Bei mechanischer Arbeit spricht man meistens von Newtonmeter und bei elektrischer Arbeit von Wattsekunde.

Wenn du dir bei der Einheit bzw. der Anwendung nicht sicher bist, gib die Arbeit in Joule an! Wenn du die Arbeit in Newtonmetern oder Wattsekunden angibst, musst du im Allgemeinen auch keinen Malpunkt zwischen N und m bzw. W und s setzen!

Im Artikel soll es hauptsächlich um die mechanische Arbeit gehen. Was also ist die mechanische Arbeit?

Mechanische Arbeit – Definition

Die Arbeit, welche im Physikunterricht am meisten diskutiert wird, ist die mechanische Arbeit. Wenn du z. B. eine Kiste schiebst oder diese anhebst, verrichtest du Arbeit an der Kiste, wodurch du dessen Zustand (in diesem Fall die Position) änderst.

Um die Arbeit an der Kiste zu verrichten und diese zu heben, musst du eine Kraft aufwenden. Das Resultat der anhaltenden Kraft ist das Heben der Kiste über eine Strecke .

Dabei wirkt dir in diesem Fall eine Kraft (Gewichtskraft) entgegen, welche definiert, wie viel Kraft du mindestens anwenden musst, um den Zustand der Kiste zu verändern, also diese anzuheben.

Mechanische Arbeit Definition Skizze zu Kräfte Strecke und Masse beim Heben StudySmarterAbbildung 1: Kräfte, Strecke und Masse beim Heben

Du wendest also eine Kraft über eine Strecke an. Das Produkt dieser beiden Größen ist deine verrichtete mechanische Arbeit an der Kiste.

Somit ergibt sich die folgende vereinfachte Definition der mechanischen Arbeit:

Die mechanische Arbeit ist die Zustandsänderung eines Körpers durch eine Kraft über eine Strecke .

Wenn die wirkende Kraft und die Strecke gleichgerichtet, also parallel zueinander und in dieselbe Richtung sind, gilt folgende Formel zur Berechnung der mechanischen Arbeit:

Mechanische Arbeit, Formel mechanische Arbeit, StudySmarter

Für die mechanische Arbeit benutzt man die Einheit Joule bzw. Newtonmeter:

Mechanische Arbeit, Einheit mechanische Arbeit, StudySmarter

Mechanische Arbeit Definition mechanische Arbeit StudySmarterAbbildung 2: Arbeit bei gleichgerichteten parallelen Größen

Je größer die Kraft ist, mit welcher du die Kiste schieben musst, desto größer ist auch deine verrichtete mechanische Arbeit an der Kiste. So ist es auch bei der Strecke: je weiter du die Kiste schiebst, desto größer ist deine verrichtete Arbeit!

Die mechanische Arbeit ist proportional abhängig von der angewandten Kraft und der Strecke , über welche diese Kraft wirkt. Bei doppelter Kraft oder doppelter Strecke verdoppelt sich also auch die mechanische Arbeit.

Mechanische Arbeit Definition Skizze zur Proportionalität StudySmarterAbbildung 3: mechanische Arbeit ist proportional zu Kraft und Strecke

Diese proportionalen Abhängigkeiten kannst du auch wie folgt angeben:

Die mechanische Arbeit ist proportional abhängig von der wirkenden Kraft :

Die mechanische Arbeit ist proportional abhängig von der Strecke :

Hier eine kurze Beispielaufgabe, damit du das Gelernte direkt anwenden kannst:

Aufgabe 1

Berechne die mechanische Arbeit , wenn du zum Schieben einer Kiste die Kraft aufbringen musst, um diese um zu verschieben.

Mechanische Arbeit Skizze zu Kraft und Strecke beim Schieben StudySmarterAbbildung 4: Kraft und Stecke beim Schieben

Lösung

Zuerst suchst du dir die Formel für die allgemeine Arbeit heraus. Mit dem Merksatz Arbeit ist Kraft mal Weg musst du dafür auch nicht deine Formelsammlung aufschlagen:

In der Formel musst du hier nichts umstellen, also kannst du die gegebenen Werte jetzt einsetzen. Beachte dabei immer, die Werte in SI-Einheiten einzusetzen!

Jetzt fehlt noch der letzte Schritt, das Berechnen der verrichteten Arbeit und ein kurzer Antwortsatz. Du solltest auf folgenden Wert kommen:

Die an der Kiste verrichtete Arbeit beträgt .

Die besprochenen Abhängigkeiten kannst du dir zu Nutze machen!

Die goldene Regel der Mechanik und die mechanische Arbeit

Wenn du die Kraft , welche du zum nach oben Schieben eines Gegenstandes brauchst, halbieren möchtest, kannst du mithilfe einer längeren schiefen Ebene (z. B. Rampe) für eine Verdoppelung der zurückgelegten Strecke sorgen.

Wenn die Höhe in beiden Fällen gleich ist, halbierst du somit laut der goldenen Regel der Mechanik, Was du an Kraft sparst, musst du an Weg zusetzen, die benötigte Kraft!

Mechanische Arbeit Goldene Regel der Mechanik StudySmarterAbbildung 5: Goldene Regel der Mechanik

Das Interessante dabei ist, dass die verrichtete mechanische Arbeit in beiden Fällen gleich ist!

Das kannst du bei schweren Gegenständen nutzen, um diese mit deutlich geringerem Kraftaufwand, jedoch über eine längere Strecke, nach oben zu befördern.

Als Merksatz könntest du die goldene Regel der Mechanik im Blick auf die mechanische Arbeit auch umformulieren:

Was du an Kraft sparst, musst du an Weg zusetzen, wobei die verrichtete mechanische Arbeit gleich bleibt!

Die goldene Regel der Mechanik lautet:

Was du an Kraft sparst, musst du an Weg zusetzen, wobei die verrichtete mechanische Arbeit gleich bleibt!

In einer Aufgabe könnte dein neues Wissen angewandt so aussehen:

Beim Heben eines Körpers um die Höhe musst du die Kraft aufwenden. Diese ist dir zu groß, also entscheidest du dich, eine Rampe als Hilfe zu nutzen.

Wie lang muss diese Rampe sein, damit deine jetzt benötigte Kraft nur halb so groß ist, wie die ursprünglich benötigte Kraft ? Wie groß sind die jeweils verrichteten mechanischen Arbeiten?

Reibung wird hierbei vernachlässigt.

Mechanische Arbeit Skizze als Beispiel zu goldenen Regel der Mechanik StudySmarterAbbildung 6: Beispielaufgabe zu goldenen Regel der Mechanik

Aufgabe 2

a) Berechne die Strecke , wenn du bei gleicher Endhöhe nur noch die Hälfte der Kraft aufwenden möchtest.

b) Berechne außerdem in beiden Fällen die mechanischen Arbeiten und .

Lösung a

Die goldene Regel der Mechanik besagt, dass bei gleicher mechanischer Arbeit (die Endhöhe ist in beiden Fällen gleich) die Änderung der Kraft eine gleiche, aber umgekehrte, Änderung der Strecke bedeutet.

In dieser Aufgabe soll die neue Kraft nur noch halb so groß sein, also:

Das bedeutet, die Strecke wird laut goldener Regel der Mechanik nicht halbiert, sondern verdoppelt:

Um die benötigte Kraft mithilfe einer Rampe zu halbieren, muss die Rampe die doppelte Länge der Endhöhe besitzen. Die Länge der Rampe beträgt .

Lösung b:

Zum Berechnen der mechanischen Arbeit nimmst du dir die schon bekannte Formel für die jeweiligen Größen, setzt die Werte ein, und berechnest die mechanische Arbeit:

Die verrichtete mechanische Arbeit ist in beiden Fällen gleich, diese beträgt 100Nm.

In allen bisherigen Beispielen und Betrachtungen bist du davon ausgegangen, dass Kraft und Strecke parallel sind und in die gleiche Richtung zeigen. Dadurch ist es sehr einfach die mechanische Arbeit mit Arbeit ist Kraft mal Weg zu berechnen.

Die mechanische Arbeit bei nicht gleichgerichteten Größen

Dass Kraft und Strecke genau gleichgerichtet sind, ist ein Spezialfall.

Stelle dir dazu vor, du ziehst eine Kiste an einem Seil hinter dir her:

Da die Kiste weiter unten am Boden ist als dein Arm, ist das Seil nicht parallel zum Boden bzw. der Strecke . Die Richtung stimmt zwar, jedoch wirkst du die Kraft in einem Winkel aus.

Nur der Anteil der Kraft, welcher gleichgerichtet der Strecke ist, resultiert in der verrichteten mechanischen Arbeit über die Strecke. Das bedeutet, dass der Betrag der Kraft nun größer sein muss, um die gleiche gewünschte Arbeit zu verrichten.

Mechanische Arbeit Skizze zu Kraft und Strecke im Winkel beim Ziehen StudySmarterAbbildung 7: Winkel zwischen Kraft und Strecke

Dadurch verändert sich die Definition der mechanischen Arbeit:

Wirkt eine Kraft in einem Winkel auf einen Körper entlang der Strecke , so berechnet sich die verrichtete mechanische Arbeit wie folgt:

Mechanische Arbeit, Formel mechanische Arbeit mit Winkel, StudySmarter

und sind hierbei die Beträge von Kraft und Strecke.

Die Einheit der Arbeit ist Joule bzw. Newtonmeter:

Mechanische Arbeit, Einheit mechanische Arbeit mit Winkel, StudySmarter

Mechanische Arbeit Definition mechanische Arbeit mit Winkel StudySmarterAbbildung 8: Mechanische Arbeit bei Winkel zwischen Kraft und Strecke

Man könnte hier also sagen, Arbeit ist anteilige Kraft mal Weg.

Die mechanische Arbeit ist auch hier proportional abhängig von der Kraft und der Strecke. Der Winkel bringt jedoch eine neue Abhängigkeit in die Betrachtung.

In dieser Abbildung siehst du den Cosinus in Abhängigkeit des Winkels:

Mechanische Arbeit Abbildung des Cosinus StudySmarterAbbildung 9: Cosinus

Der wichtigste Abschnitt für unsere Betrachtung ist der für Winkel zwischen 0° und 90°. Du kannst erkennen, dass der Cosinus des Winkels dabei von 1 auf 0 sinkt. Das geschieht weder konstant noch abrupt. Deswegen ist ein Abschätzen des Cosinus meist schwierig und ein Berechnen sinnvoll.

Schauen wir uns die folgenden drei Fälle für bestimmte Winkel etwas genauer an:

ist zwischen 1 und 0
Spezialfall:Kraft und Strecke sind gleichgerichtet, es gilt .Spezialfall:Kraft und Strecke sind im rechten Winkel zueinander. Die Kraft hat somit keine Wirkung über die Strecke und die verrichtete Arbeit beträgt über die Strecke.Normalfall:Kraft wirkt im Winkel über die Strecke. Nur der Anteil der Kraft, welcher gleichgerichtet zur Strecke ist, verrichtet die gewollte Arbeit.

In der ersten Aufgabe hast du berechnet, welche Arbeit du an der Kiste verrichtet hast. Dabei hast du deine Kraft parallel zur Verschiebungsrichtung angewendet. Bei einer unhandlichen oder schweren Kiste willst du aber vielleicht ein Seil benutzen, um das Verschieben angenehmer zu machen. Welche Kraft musst du jetzt in einem Winkel anwenden, um die gleiche Arbeit über die gleiche Strecke zu verrichten?

Aufgabe 3

Berechne den Betrag der Kraft welche du anwenden musst, um eine mechanische Arbeit von über eine Strecke von beim Verschieben der Kiste von Aufgabe 1 zu verrichten, wenn der Winkel zwischen Kraft und Weg ist.

Mechanische Arbeit Skizze zu Kraft und Strecke im Winkel beim Ziehen StudySmarterAbbildung 10: Aufgabe zu Winkel zwischen Kraft und Strecke

Lösung

Zuerst suchst du dir die Formel für die mechanische Arbeit für einen Winkel zwischen der Kraft und dem Weg im Tafelwerk oder der Formelsammlung. Du kannst sie dir auch mit Arbeit ist anteilige Kraft mal Weg merken. Wobei der Anteil der Kraft mit dem Cosinus des Winkels berechnet wird:

In dieser Aufgabe kannst du davon ausgehen, dass der Weg schon als Betrag gegeben ist:

Jetzt kannst du die Formel der mechanischen Arbeit für die gegebenen Bezeichnungen der Größen anpassen:

Die gesuchte Größe ist der Betrag der Kraft, also musst du die Formel auf den Betrag der Kraft umstellen:

Die gesuchte Größe steht nun links. Auf der rechten Seite sind nur gegebene Größen (mechanische Arbeit, Strecke, Winkel), also kannst du die Werte jetzt einsetzen:

Als letzten Schritt berechnest du nun den Betrag der Kraft und formulierst dein Ergebnis in einem kurzen Antwortsatz:

Der Betrag, der im Winkel angewendeten Kraft, beträgt .

In der obigen Tabelle findest du nur Winkel, für welche der Cosinus positiv ist. In der Abbildung 9 dazu kannst du aber sehen, dass der Cosinus auch negativ sein kann. Was bedeutet das für die mechanische Arbeit?

Das Vorzeichen der Arbeit

Für Winkel > 90° wird der Cosinus negativ, das heißt, die Kraft wirkt rückwärts. Dem Körper wird also Energie bzw. Arbeit genommen. An der Berechnung ändert sich in diesem Fall nur das Vorzeichen der resultierenden mechanischen Arbeit.

Da der Winkel zwischen der betrachteten Bewegungsrichtung und der einwirkenden Kraft festgelegt wird, ist der Sachverhalt meistens wichtig, um das Vorzeichen zu interpretieren. Das passiert zum Beispiel bei einer beschleunigenden Kraft. Diese resultiert in einer Geschwindigkeitsänderung. Ob diese Änderung die Geschwindigkeit erhöht, verringert, oder ablenkt, kommt auf den Sachverhalt an. Eine mechanische Arbeit wird aber in allen Fällen verrichtet!

Egal ob Winkel oder anderes Vorzeichen, die mechanische Arbeit kann anders, als nur mit bloßen Zahlen und Skizzen dargestellt werden.

Die mechanische Arbeit grafisch darstellen

Um nicht nur einfache, sondern gerade kompliziertere Aufgaben zu veranschaulichen, kannst du eine Kraft in Abhängigkeit des Weges im Kraft-Weg-Diagramm grafisch darstellen. In diesem Diagramm kannst du dann auch die mechanische Arbeit ablesen: Die mechanische Arbeit ist die Fläche, welche durch die Kraft über einen Weg aufgespannt wird.

Stellt man die wirkende Kraft über dem Weg grafisch im Kraft-Weg-Diagramm dar, so ist die mechanische Arbeit gleich dem Flächeninhalt der Fläche unter der Kraft aufgespannt über einem Wegstück von bis .

Mechanische Arbeit Definition mechanische Arbeit im Kraft-Weg-Diagramm StudySmarterAbbildung 11: mechanische Arbeit im Kraft-Weg-Diagramm

Bei sich sehr kompliziert verhaltenden Kräften, wie oben dargestellt, kannst du dir sicher vorstellen, dass das Ermitteln der Fläche äußerst schwierig wird.

Um den Flächeninhalt unter einer Funktion zu berechnen, benötigt man das Integral. Hier wäre es das Integral der Kraft über ein Wegstück zu .

Löst man dieses Integral, berechnet man die Fläche unter dem Funktionsgraphen für das Wegstück zu und somit die mechanische Arbeit .

In diesem Fall gilt:

Wenn du dir unsicher bist, ob du das Integral in der Schule ausrechnen musst, frag am besten bei deinem Lehrer nach! Zum Integral kannst du dir auch den Mathe-Artikel auf StudySmarter anschauen!

Die Kraft in der Abbildung 11 ist nicht wie sonst angenommen konstant. Was also tun, wenn verschiedene Kräfte entlang einer Strecke auftreten?

Betrachtung von verschiedenen Kräften & Wegstücken gleichzeitig

Nicht jede Kraft ist gleichmäßig oder konstant. Deswegen bietet es sich an, die Kräfte und Wege sinnvoll aufzuteilen!

Gehen wir davon aus, dass du einen Holzschlitten mit Stahlkufen über einen Weg ziehen möchtest. In der Mitte des 5,5m breiten betonierten Weges liegt eine 1,5m breite Stahlplatte über dem Beton ist.

Mechanische Arbeit Aufgabe mechanische Arbeit mit Streckenabschnitten StudySmarterAbbildung 12: Beispiel Schlitten mit verschiedenen Kräften über bestimmte Strecken

Den gesamten Weg und die verrichtete mechanische Arbeit kannst du jetzt in drei Teilen betrachten:

  1. Teil: mit und (Reibungskraft des Schlittens mit Stahlkufen auf Beton)
  2. Teil: mit und (Reibungskraft des Schlittens mit Stahlkufen auf Stahl)
  3. Teil: gleicht dem ersten Teil, , ,

Da es an dieser Stelle um die Aufteilung der allgemeinen mechanischen Arbeit gehen soll, sind die Reibungskräfte schon gegeben. Das ist normalerweise nicht der Fall. Wenn es dich interessiert, wie diese Kräfte berechnet werden, schaue dir dazu die folgende Vertiefung an:

Wie die Reibungskraft berechnet wird, ist etwas weiter unten und im Artikel zur Reibungsarbeit bzw. Reibungskraft erklärt. Hier aber die Rechnung zum Nachvollziehen:

(sprich ) ist die Reibungszahl. Diese ist je nach aneinander reibenden Oberflächen definiert.

Die Reibungskraft im Teil 1 und 3 (Stahl auf Beton), darauffolgend im Teil 2 (Stahl auf Stahl):

Nun zum eigentlichen grafischen Darstellen und Berechnen im Kraft-Weg-Diagramm:

Zuerst solltest du alle wichtigen gegebenen Größen in das Diagramm packen.

Aufgabe 4.1

Stelle die über den drei Wegstücken wirkenden Kräfte in einem Diagramm (Kraft-Weg-Diagramm) dar.

Lösung

Du zeichnest ein Koordinatensystem mit dem Weg s als x-Richtung und der Kraft F als y-Richtung.

Die Werte sind hierbei wichtig, überlege dir also eine sinnvolle Skalierung.

Die Kräfte sind in jedem Wegabschnitt definiert und konstant. Also kannst du die konstanten Kräfte im jeweiligen dazugehörigen Wegabschnitt als eine Gerade einzeichnen.

Mechanische Arbeit Aufgabe Kraft-Weg-Diagramm mit Streckenabschnitten StudySmarterAbbildung 13: Beispiel von Kräften und Wegen im Kraft-Weg-Diagramm

Als nächstes untersuchst du, wo im Diagramm welche mechanischen Arbeiten zu finden sind.

Aufgabe 4.2

Trage die mechanischen Arbeiten in das Kraft-Weg-Diagramm ein und markiere diese eindeutig.

Lösung

Mit dem Merksatz "Die Arbeit ist im Kraft-Weg-Diagramm die Fläche unter der Kraft aufgespannt über dem Weg", kannst du ganz einfach die Flächen markieren.

Über dem Weg , unten mit der x-Achse begrenzt, nach oben mit der Kraft begrenzt, findest du die Fläche bzw. die Arbeit . Das Gleiche gilt für , hier nun zwischen und , und bei ist es in diesem Fall und über .

Mechanische Arbeit Aufgabe mechanische Arbeit im Kraft-Weg-Diagramm mit Streckenabschnitten StudySmarterAbbildung 14: Beispiel der mechanischen Arbeit im Kraft-Weg-Diagramm

Wie genau du die mechanische Arbeit im Kraft-Weg-Diagramm berechnest kommt darauf, um welche Flächen es sich handelt. Im Beispiel sind es Rechtecke.

Aufgabe 4.3

Berechne die mechanischen Arbeiten und die gesamte verrichtete Arbeit .

Lösung

Zunächst suchst du dir die Formel für die mechanische Arbeit, denkst an den Merksatz Arbeit ist Kraft mal Weg, oder denkst an das grafische Berechnen der Arbeit.

Im Kraft-Weg-Diagramm ist die mechanische Arbeit die Fläche, aufgespannt von der dazugehörigen Kraft über dem dazugehörigen Weg. Im Falle dieser Aufgabe sind die Flächen jeweils Rechtecke. Somit benötigst du die allgemeine Formel zur Berechnung des Flächeninhaltes eines Rechtecks der Seitenlängen und :

Der Flächeninhalt entspricht in unserer Aufgabe der Arbeit . Die Seitenlängen sind und . Daraus ergibt sich für unsere grafische Lösung die Formel:

Diese Formel kommt dir sehr bekannt vor. Es ist hier (bei rechteckigen Flächen) schlichtweg die allgemeine Formel der mechanischen Arbeit mit Arbeit ist Kraft mal Weg.

Mit dieser Formel kannst du nun die Formeln für die jeweiligen drei Kräfte aufstellen:

Fangen wir mit der Arbeit an. Du weißt aus vorherigen Betrachtungen, dass und gilt. Da die mechanische Arbeit in diesem Fall nur von der Kraft und dem Weg abhängt, kannst du also folgendes festlegen:

Du musst also nur einen Wert ausrechnen und bekommst das Ergebnis für beide mechanische Arbeiten und . Dafür setzt du die entsprechenden Werte in die Formel ein und berechnest die mechanischen Arbeiten:

Nun berechnest du den Wert für die mechanische Arbeit . Die Formel hast du schon wenige Schritte weiter oben festgelegt. Dort setzt du die jeweiligen Werte ein und berechnest die Arbeit:

Um die Gesamtarbeit zu berechnen, bildest du die Summe aller Arbeiten:

Hier setzt du die Werte der mechanischen Arbeiten ein und berechnest die Summe:

Da du in der Aufgabe mehrere Werte ausgerechnet hast, ist es meistens gern gesehen, nochmal alle Werte am Schluss aufzuschreiben und einen kurzen Antwortsatz zu bilden:

Die mechanischen Arbeiten über den jeweiligen Wegstücken betragen .

Die gesamt verrichtete mechanische Arbeit am Schlitten beträgt .

Die Kräfte waren bis hier alle konstant. Was bei komplizierteren Kräften zu tun ist, erfährst du in der folgenden Vertiefung.

Arbeit bei linearen nicht konstanten Kräfte

Dass die Kräfte konstant sind, wie in den Aufgaben oben, ist nicht immer der Fall. Meistens wird von konstanten Kräften ausgegangen, was ist aber bei z. B. einer linear steigenden / sinkenden Kraft?

Schauen wir uns dazu das folgende Kraft-Weg-Diagramm an:

Mechanische Arbeit Aufgabe mechanische Arbeit im Kraft-Weg-Diagramm mit Streckenabschnitten bei nicht konstanter Kraft StudySmarterAbbildung 15: mechanische Arbeit im Kraft-Weg-Diagramm bei nicht konstanter Kraft

Zunächst kannst du gegebene Größen ablesen:

Die Fläche der mechanischen Arbeit ist ein rechtwinkliges Dreieck mit und , wobei dies die Seiten sind, welche den rechten Winkel aufspannen. Zur Berechnung der Flächeninhalts eines rechtwinkligen Dreiecks, und somit der mechanischen Arbeit , gilt folgende allgemeine Formel:

Damit kannst du die Formel der mechanischen Arbeit erstellen, die Werte einsetzen, und ausrechnen:

Für die Arbeit ist dies nicht ganz so einfach. Hier ist es sinnvoll, dass du die Fläche in leicht berechenbare Flächen aufteilst. Der obere Teil, die mechanische Arbeit , wäre hier wieder ein rechtwinkliges Dreieck. Der untere Teil, die mechanische Arbeit , ist ein Rechteck.

Schauen wir uns zunächst den oberen Teil, welcher der mechanischen Arbeit entspricht, an. Für das rechtwinklige Dreieck gilt wieder:

Eine der beiden Seiten entspricht der Länge :

Die Länge der anderen, am rechten Winkel befindlichen, Seite kannst du ablesen. Es ist der Wert der Kraft minus den der Kraft :

Mit diesen beiden Seitenlängen kannst du jetzt also die Formel für den Flächeninhalt des oberen Teils, also für die mechanische Arbeit aufstellen, einsetzen und ausrechnen:

Der untere Teil ist ein Rechteck, welches du schon in anderen Aufgaben berechnet hast. Hier also eine etwas kürzere Beschreibung:

Der Flächeninhalt des Rechtecks entspricht der mechanischen Arbeit :

Den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet man über die Seitenlängen wie folgt:

Aus dem Kraft-Weg-Diagramm abgelesen:

Für die mechanische Arbeit folgt daraus:

Die mechanische Arbeit berechnest du als Summe der beiden Teilarbeiten über dem Weg :

Somit kannst du die mechanische Gesamtarbeit über den kompletten gegebenen Weg als Summe aller mechanischen Arbeiten berechnen:

Alle Arbeiten, welche du bis hier hin ausgerechnet hast, haben wir bis jetzt immer nur als mechanische Arbeit benannt. Beim Schieben bzw. Ziehen verrichtest du aber eine andere Art der Arbeit, als beim Heben. Das gilt auch für das Verformen und Beschleunigen. Eine Einordnung der verrichteten mechanischen Arbeit macht also Sinn.

Mechanische Arbeit – Arten

Wie schon weiter oben erwähnt, musst du beim Verrichten von Arbeit immer eine Kraft aufwenden. Die Art der mechanischen Arbeit wird nach der Kraft benannt, die du für sie aufwenden bzw. überwinden musst:

Übersicht der Arten der mechanischen Arbeit

Zu jeder Art dieser mechanischen Arbeiten gibt es bei StudySmarter einen ausführlichen Artikel mit Definitionen, Abbildungen und Beispielen. Diese Übersicht soll dir aber schon ein paar der Unterschiede zeigen, damit du dich einfacher zurechtfinden kannst!

EigenschaftHubarbeit Reibungsarbeit Federspann- bzw. Verformungsarbeit Beschleunigungsarbeit
wirkende KraftGewichtskraftReibungskraftFederkraftBeschleunigungskraft
Formel der Kraft
WegstreckeHubhöhe hStrecke s, über welcher die Reibung stattfindetDehnung der Feder sStrecke s, über welcher beschleunigt wird
Formel
veränderte Energiepotentielle Energie des gehobenen Körpersthermische Energie der beiden aufeinander reibenden Flächenpotentielle Energie der gespannten Federkinetische Energie des beschleunigten Körpers

In vielen mechanischen Vorgängen wird nicht nur eine klar definierte Arbeit verrichtet. Das folgende Beispiel hilft dir dabei, verschiedene mechanische Arbeiten einzuordnen.

Aufgabe 5

Ordne die folgenden Situationen einer oder mehreren Arten von mechanischer Arbeit zu. Welcher Gegenstand verrichtet die mechanische Arbeit an welchem Gegenstand?

  • Auto beschleunigt
  • Auto bremst
  • Auto stößt gegen einen starken Baum
  • Auto wird mit Kran auf einen Anhänger geladen
  • Anhänger wird von anderem Auto weggezogen

Lösung

  • Auto beschleunigt: Beim Beschleunigen des Autos verrichtet der Motor Beschleunigungsarbeit am gesamten Auto.
  • Auto bremst: Beim Betrachten des gesamten Autos, verrichten die Bremsen eine negative Beschleunigungsarbeit am Auto. Beim genaueren Betrachten wird das Auto jedoch aufgrund der Reibung zwischen Bremse und Rad entschleunigt. Das Resultat der Reibungsarbeit der Bremsen ist also hauptsächlich als negative Beschleunigungsarbeit sichtbar.
  • Auto stößt gegen einen Baum: Über einen sehr kurzen Weg wird am Auto eine große negative Beschleunigungsarbeit durch den Baum verrichtet. Gleichzeitig verrichtet der Baum auch eine Verformungsarbeit an der Motorhaube des Autos.
  • Auto wird auf einen Anhänger geladen: Das Auto wird durch die verrichtete Hubarbeit des Krans angehoben und kann auf den Anhänger geladen werden.
  • Anhänger wird weggezogen: Das andere Auto (Motor) verrichtet eine Beschleunigungsarbeit am Anhänger. Während der Fahrt verrichtet die Straße eine Reibungsarbeit an den Reifen, sowie die Luft eine Reibungsarbeit am Gespann. Aus diesen Reibungsarbeiten resultiert eine negative Beschleunigungsarbeit an Anhänger und Auto.

In jeder dieser Situationen kannst du sehr viele verschiedene verrichtete mechanische Arbeiten finden. Du solltest also immer bedenken, aus welchem Blickwinkel eine Situation betrachtet wird.

Spricht man vom Beschleunigen eines Autos, ist meistens nur die resultierende Beschleunigungsarbeit am Auto interessant.

Du kannst auch genauer sein, und über den Einfluss der Luft- oder Straßenreibung diskutieren. Noch genauer kannst du sein, wenn du die chemische Arbeit des Treibstoffs und Verluste durch Wärme und weitere interne Reibungsstellen untersuchst.

Du siehst also, dass der Kontext der Aufgabe entscheidend dafür ist, welche Arbeit du untersuchen musst!

In einem Test oder einer Klausur kannst du meistens einen Hinweis darauf finden, wie genau du sein sollst. Schau dir an, wie viele Punkte es für die Aufgabe gibt!

Mechanische Arbeit - Das Wichtigste

  • Unter der Arbeit versteht man in der Physik eine Energie- / Zustandsänderung eines Körpers / Systems:

Mechanische Arbeit Gleichgewicht Arbeit und Energieunterschied StudySmarter

  • Die Arbeit wird, je nach Anwendungsbereich, in verschiedenen Einheiten angegeben, welche 1 zu 1 ineinander umwandelbar sind:

Mechanische Arbeit Einheiten Arbeit StudySmarter

  • Unter mechanischer Arbeit versteht man eine verrichtete Arbeit, wenn diese durch eine Kraft eine Zustandsänderung über einen Weg zur Folge hat. Es gilt allgemein:

Arbeit ist Kraft mal Weg

Mechanische Arbeit Formel Arbeit StudySmarter

  • Die goldene Regel der Mechanik im Zusammenhang mit der mechanischen Arbeit lautet:

Was du an Kraft sparst, musst du an Weg zusetzen, wobei die verrichtete mechanische Arbeit gleich bleibt.

  • Wenn die Größen der Kraft und des Weges nicht gleichgerichtet sind, ist nur der Anteil der Kraft in Richtung des Weges ausschlaggebend. Berechnet wird die verrichtete Arbeit nun durch den Weg und den Kraftanteil, mithilfe des Winkels zwischen der Kraft und dem Weg:

Mechanische Arbeit Formel Arbeit StudySmarter

  • Die Arbeit kann mithilfe eines Kraft-Weg-Diagramms (Kraft in Abhängigkeit des Weges) auch grafisch ermittelt werden. Der Flächeninhalt der aufgespannten Fläche unter der Kraft über ein bestimmtes Wegstück entspricht hierbei der Arbeit.

Mechanische Arbeit im Kraft Weg Diagramm StudySmarterAbbildung 16: mechanische Arbeit grafisch im Kraft-Weg-Diagramm

Häufig gestellte Fragen zum Thema Mechanische Arbeit

Die mechanische Arbeit kann man in vier Arten unterteilen: Hubarbeit, Reibungsarbeit, Federspannarbeit (Verformungsarbeit), Beschleunigungsarbeit

Die mechanische Leistung P ist Arbeit W geteilt durch die Zeit t. P = W / t

Die Arbeit W berechnet man mit Kraft F mal Weg s. W = F * s

Die mechanische Arbeit wird grafisch mit dem Kraft-Weg-Diagramm (Kraft in y-Richtung, Weg in x-Richtung) ermittelt. Die Arbeit entspricht dann der Fläche unter dem Funktionsgraphen der Kraft.

Finales Mechanische Arbeit Quiz

Frage

Welche Einheit der Arbeit wird meistens benutzt, wenn man von mechanischer Arbeit spricht?

Antwort anzeigen

Antwort

J "Joule"

Frage anzeigen

Frage

Welche Formulierung verwendet man im Zusammenhang mit der Arbeit?

"Arbeit wird an einem Körper ... ."

Antwort anzeigen

Antwort

verrichtet

Frage anzeigen

Frage

Vollende den folgenden Satz.

"Arbeit ist physikalisch im Allgemeinen ... ."

Antwort anzeigen

Antwort

eine Änderung der Energie

Frage anzeigen

Frage

Welcher Merksatz gilt für die allgemeine mechanische Arbeit?

Antwort anzeigen

Antwort

"Arbeit ist Kraft mal Weg"

Frage anzeigen

Frage

Wie hängt die Arbeit von der Kraft bzw. der zurückgelegten Strecke ab?

"Die verrichtete Arbeit ist ... ."

Antwort anzeigen

Antwort

proportional zur Kraft

Frage anzeigen

Frage

Ist es bei der Betrachtung einer Aufgabe zur Berechnung der mechanischen Arbeit wichtig, ob die wirkende Kraft und die resultierende Strecke gleichgerichtet sind?

Antwort anzeigen

Antwort

ja

Frage anzeigen

Frage

Wähle aus, welche der folgenden Aussagen zur grafischen Bestimmung der mechanischen Arbeit wahr ist.

Antwort anzeigen

Antwort

Im Kraft-Weg-Diagramm ist die mechanische Arbeit die Fläche unter der Kraft aufgespannt über ein Wegstück.

Frage anzeigen

Frage

Gib die vier verschiedenen Arten mechanischer Arbeit mit je einem kurzen Beispiel an.

Benenne die Kräfte, welche man bei diesen Arten der mechanischen Arbeit aufwenden bzw. überwinden muss.

Antwort anzeigen

Antwort

Hubarbeit: das Hochheben einer Kiste

zu überwindende Kraft: Gewichtskraft der Kiste


Reibungsarbeit: das Verschieben einer Kiste

zu überwindende Kraft: Reibungskraft der Kiste auf dem Untergrund während der Bewegung


Federspannarbeit (Verformungsarbeit): Spannen einer Feder

zu überwindende Kraft: Feder(spann)kraft der Feder


Beschleunigungsarbeit: Beschleunigen / Bremsen eines Autos

aufzuwendende Kraft: Beschleunigungskraft am Auto

Frage anzeigen

Frage

Ordne jedem der folgenden Beispiele (mindestens) eine Art der mechanischen Arbeit zu.

  1. ​ein Fahrrad rollt einen Berg hinunter
  2. Treppensteigen
  3. Ball rollt über einen Rasen
  4. Auto fährt mit gleichbleibender Geschwindigkeit
  5. Kokosnuss wird mit elastischem Netz aufgefangen
Antwort anzeigen

Antwort

  1. Beschleunigungsarbeit (und Reibungsarbeit) durch Gewichtskraft
  2. Hubarbeit
  3. Beschleunigungs- / Reibungsarbeit aufgrund Reibung
  4. Reibungsarbeit (Luftreibung, Reibung der Reifen auf Straße), und dagegen steuernd Beschleunigungsarbeit
  5. erst Beschleunigungsarbeit durch Gewichtskraft, dann Verformungs(Feder)arbeit mit elastischem Netz
Frage anzeigen

Frage

Ordne den verrichteten mechanischen Arbeiten eine Bezeichnung mit Vorzeichen zu. Betrachte dabei das folgende Szenario:

  1. Ein Kran hebt eine Stahlkugel in die Luft.
  2. Die Kugel wird fallen gelassen.
  3. ​Sie landet auf einer Feder.
  4. Sie springt von der Feder ab.
  5. Sie fällt auf eine Holzbank und zerbricht diese.
Antwort anzeigen

Antwort

  1. Kran verrichtet positive Hubarbeit an der Kugel
  2. Gewichtskraft verrichtet positive Beschleunigungsarbeit an der Kugel, die zuvor verrichtete Hubarbeit wird in Beschleunigungsarbeit gewandelt
  3. Kugel verrichtet positive Federarbeit an der Feder, Feder verrichtet negative Beschleunigungsarbeit an der Kugel
  4. Feder verrichtet positive Beschleunigungs- und Hubarbeit an der Kugel
  5. Kugel verrichtet Verformungsarbeit an der Holzbank
Frage anzeigen

Frage

Welcher Form der Arbeit gehört die Hubarbeit an?

Antwort anzeigen

Antwort

mechanische Arbeit

Frage anzeigen

Frage

Welche Kraft wirkt dir beim Heben eines Körpers allgemein entgegen?

Antwort anzeigen

Antwort

Gewichtskraft

Frage anzeigen

Frage

Muss beim Heben eines Körpers die Hubkraft kleiner oder größer der Gewichtskraft sein?

Antwort anzeigen

Antwort

Hubkraft < Gewichtkraft

Frage anzeigen

Frage

Welche Einheit wird für die Hubarbeit verwendet?

Antwort anzeigen

Antwort

Nm (Newtonmeter), selten auch J (Joule)

Frage anzeigen

Frage

Wie hängt die verrichtete Hubarbeit an einem Körper von dessen Masse und der zurückgelegten Strecke ab?

Antwort anzeigen

Antwort

Hubarbeit ist proportional abhängig von der gehobenen Masse

Frage anzeigen

Frage

Wie verändert sich die verrichtete Hubarbeit an einem Körper, wenn die Masse des Körpers halbiert und gleichzeitig die zurückgelegte Strecke verdoppelt wird?

Antwort anzeigen

Antwort

keine Veränderung der Hubarbeit

Frage anzeigen

Frage

Wie lautet der Merksatz zur mechanischen Arbeit?

Antwort anzeigen

Antwort

Arbeit ist Kraft mal Weg

Frage anzeigen

Frage

Der Merksatz der mechanischen Arbeit lautet Arbeit ist Kraft mal Weg.
Wie wird die Kraft und der Weg bei der Hubarbeit allgemein genannt?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Kraft ist die Gewichtskraft.

Der Weg ist die Hubhöhe.

Frage anzeigen

Frage

Wie lautet die goldene Regel der Mechanik im Zusammenhang mit der mechanischen Arbeit?

Antwort anzeigen

Antwort

Was du an Kraft sparst, musst du an Weg zusetzen, wobei die verrichtete mechanische Arbeit gleich bleibt.

Frage anzeigen

Frage

Eine verrichtete Arbeit bedeutet gleichzeitig auch immer eine Änderung der Energie. Welche Energie wird beim Verrichten der Hubarbeit verändert?

Antwort anzeigen

Antwort

potentielle Energie

Frage anzeigen

Frage

Gehört die Verformungsarbeit zu den mechanischen Arbeiten?

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ja

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Benenne die beiden grundsätzlichen Arten einer Verformung.

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elastische Verformung und plastische Verformung

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Beschreibe anhand eines Beispiels die plastische Verformung.

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Beispiel: Autounfall

Das Auto prallt gegen einen Gegenstand, wodurch Teile des Autos verformt werden. Die beschädigten Teile gehen dabei nach dem Aufprall nicht von allein in ihre Ausgangsform zurück. Diese Verformung wird plastische Verformung genannt.

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Beschreibe anhand eines Beispiels die elastische Verformung.

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Beispiel: Spannen einer Feder

Wird eine Feder gespannt und dadurch verformt, kehrt diese von allein in deren Ausgangsform zurück. Die Feder darf dabei nicht zu sehr gespannt werden. Die Verformung wird elastische Verformung genannt.

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Wie wirken Feder- und Spannkraft an einer elastischen Feder miteinander?

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betragsgleich und entgegengerichtet

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Wie wird die Federkonstante einer Feder noch bezeichnet?

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Härte der Feder

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Was bedeutet eine Feder ist hart bzw. weich?

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Eine harte Feder besitzt eine große Federkonstante. Es wird mehr Kraft benötigt, um diese um eine gewisse Strecke zu dehnen bzw. ist bei gleicher Kraft die Dehnung / Stauchung kürzer.


Eine weiche Feder besitzt eine kleine Federkonstante. Es wird weniger Kraft benötigt, um diese um eine gewisse Strecke zu dehnen bzw. ist bei gleicher Kraft die Dehnung / Stauchung länger.

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Wie hängt die Federkraft einer elastischen Feder von der Dehnung / Stauchung ab?

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je größer die Dehnung / Stauchung, desto größer die Federkraft

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Stelle dir einen Bürostuhl vor. Das Kissen kann als Feder angesehen werden. Außerdem besitzt der Bürostuhl eine elastische Gasdruckfeder zwischen Sitzfläche und Fußkreuz. Wie wirken diese beiden Federn zusammen, wenn du dich oben auf das Kissen setzt?

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Parallelschaltung

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Wie sind Federn in einer Parallelschaltung zueinander und bezüglich einer wirkenden Kraft ausgerichtet?

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Die Federn sind auf einer Ebene nebeneinander. Die Kraft wirkt senkrecht auf diese Ebene und verteilt sich dabei auf die Federn.

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Wird ein Trampolin beim Trampolinspringen plastisch oder elastisch verformt?

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elastisch

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Wie wird die Energie einer gespannten Feder genannt?

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potentielle Energie, auch Federenergie

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In welcher Einheit wird die Spannarbeit an einer mechanischen Feder beschrieben?

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Nm: Newtonmeter

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Welche Einheit wird für die potentielle Energie einer gespannten Feder verwendet?

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J: Joule

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Ist die Reibungsarbeit eine mechanische Arbeit?

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ja

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Mit welcher Einheit wird die Reibungsarbeit allgemein angegeben?

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Nm: Newtonmeter

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In welcher der folgenden Situationen ist die Reibung maßgeblich beteiligt?

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Bremsen eines Autos

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Wie lautet der Merksatz zur Berechnung der mechanischen Arbeit allgemein?

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Arbeit ist Kraft mal Weg

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Welche Größen sind bei der Reibungsarbeit beteiligt?

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Reibungskraft

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Welcher Reibungskoeffizient ist allgemein kleiner?

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Rollreibungskoeffzient

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Was bedeutet ein kleiner Reibungskoeffizient?

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die Körper reiben stark aneinander

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Wie groß ist die umgewandelte Energie im Verhältnis zur verrichteten Reibungsarbeit?

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beide Größen sind betragsgleich

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Beschreibe die Umwandlung der Energien, wenn ein fahrendes Auto abbremst.

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Das fahrende Auto besitzt eine kinetische Energie. Bremst das Auto, so wird in der Bremse eine Reibungsarbeit verrichtet. Dabei wird die kinetische Energie in thermische Energie umgewandelt.

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Du schiebst eine Kiste über den Boden. An welcher Stelle wird dabei die Reibungsarbeit verrichtet?

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dein Verschieben der Kiste ist die Reibungsarbeit

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Bei welchen der folgenden Reibungsvorgänge ist die Reibung erwünscht?

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Bremsen eines Autos

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Was bewirkt eine Beschleunigungsarbeit an einem Körper?

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Veränderung der Geschwindigkeit

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Welche physikalische Größen spielen für die Berechnung der Beschleunigungsarbeit eine Rolle?

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Beschleunigungskraft auf den Körper

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Was bedeutet ein negatives Vorzeichen einer verrichteten Beschleunigungsarbeit?

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Allgemein bedeutet ein negatives Vorzeichen bei einer mechanischen Arbeit, dass dem Körper Energie entnommen wird. Dabei kommt es darauf an, welche Bewegungsrichtung und welcher Vorgang betrachtet wird.


Ist die verrichtete Beschleunigungsarbeit positiv, dann wird der Körper entlang der Bewegungsrichtung beschleunigt (Geschwindigkeit erhöht).


Ist die verrichtete Beschleunigungsarbeit negativ, dann wird der Körper entlang der Bewegungsrichtung entschleunigt (Geschwindigkeit verringert).

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Ein Körper bewegt sich mit einer Anfangsgeschwindigkeit. An diesem wird nun eine Beschleunigungsarbeit verrichtet und der Körper bewegt sich danach mit einer Endgeschwindigkeit weiter. Welche der Geschwindigkeiten ist wichtig, um die verrichtete Beschleunigungsarbeit zu berechnen?

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Um die verrichtete Beschleunigungsarbeit zu ermitteln, sind beide Geschwindigkeiten wichtig. Aus diesen beiden Geschwindigkeiten kannst du die Geschwindigkeitsdifferenz und damit die Veränderung an der kinetischen Energie bzw. der verrichteten Beschleunigungsarbeit ermitteln.

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Wie wird die Geschwindigkeits- oder Bewegungsenergie genannt?

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thermische Energie

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