\(\definecolor{blau}{RGB}{20,120,200} \definecolor{pink}{RGB}{250,50,115} \definecolor{lila}{RGB}{131,99,226}\)
Schwingungen umgeben Dich überall – egal, ob die Schaukel auf dem Spielplatz, das Pendel im Labor oder der Ton aus Deinem Lautsprecher. Allerdings handelt es sich in den meisten Fällen um gedämpfte Schwingungen, auch wenn dies zur Vereinfachung oft vernachlässigt wird. Diese Schwingungen können auch erzwungen sein.
Doch wie ist eine gedämpfte (harmonische) Schwingung definiert und welche Beispiele finden sich dafür im Alltag? Diese Fragen werden in dieser Erklärung beantwortet! Außerdem erfährst Du hier, wie Du die Eigenfrequenz der gedämpften Schwingung mit einer Formel ausdrücken, ihre Periodendauer bestimmen und die Schwingung an sich durch eine Differentialgleichung beschreiben kannst.
Schwingungen
Eine Schwingung hast Du bestimmt schon mindestens einmal in Deinem Leben selbst erzeugt – auf einer Schaukel auf dem Spielplatz:
Um die Schaukel zum Schwingen zu bringen, versuchst Du Dich aus der Ruhelage auszulenken. Während Du hin und her schwingst, ändert sich Dein Abstand zur Ruhelage periodisch.
Die periodische Änderung einer physikalischen Größe bezeichnest Du als Schwingung.
Während in dieser Erklärung mechanische Schwingungen behandelt werden (Beispiele dazu findest Du etwa in Schwingungen Physik, beim Fadenpendel oder Feder-Masse Pendel), gibt es noch viele weitere Formen von Schwingungen. Eine davon sind Elektromagnetische Schwingungen.
Dieser Abstand wird am Umkehrpunkt am größten und die Schwingung ändert an diesem Punkt ihre Richtung.
Die Auslenkung einer Schwingung beschreibt den Abstand des schwingenden Körpers von der Ruhelage und ändert sich zu jedem Zeitpunkt. Die Amplitude einer Schwingung bezeichnet wiederum die maximale Auslenkung.
Das Hin- und Her-Schwingen der Schaukel kannst Du in Abhängigkeit der Zeit darstellen. Wenn der zeitliche Verlauf nicht von der Auslenkung abhängt – d. h. die Schaukel nicht schneller schwingt, je höher Du kommst – so sprichst Du von einer harmonischen Schwingung. Stellst Du die Auslenkung einer harmonischen Schwingung grafisch in Abhängigkeit der Zeit dar, so erhältst Du den folgenden Verlauf:
Abb. 2 - Ungedämpfte Harmonische Schwingung
Die Schwingungsdauer entspricht dabei der Zeit, die für eine volle Schwingung benötigt wird. Im Falle einer harmonischen Schwingung bleibt diese konstant. Auch die Amplitude einer harmonischen Schwingung bleibt konstant, sofern die Schwingung nicht gedämpft wird.
Oft wird in der Physik zur Vereinfachung davon ausgegangen, dass Schwingungen nicht gedämpft sind. Mit anderen Worten werden sie also durch nichts abgeschwächt.
Stell Dir vor, Du sitzt auf einer Schaukel und wirst einmal angeschubst. Führt die Schaukel eine ungedämpfte Schwingung durch, so würdest Du bei jeder Schwingung gleich hoch kommen – und das (theoretisch) unendlich lange.
In diesem Fall würde es sich um eine ungedämpfte Schwingung handeln.
Bei einer ungedämpften Schwingung würde sich die Amplitude (maximale Auslenkung) mit der Zeit also nicht ändern. Ganz anders sieht es bei einer gedämpften Schwingung aus.
Gedämpfte harmonische Schwingung
Auf eine gedämpfte harmonische Schwingung triffst Du bei der Schaukel: Du schubst die Schaukel (entweder von außen durch eine zweite Person oder mit Deinen Beinen) nämlich immer wieder an, um die Bewegung aufrechtzuerhalten. Ohne weitere Anregung würde die Schaukel zügig zum Stillstand kommen.
Gedämpfte Schwingung Beispiele für Dämpfung
Dass die Schwingung ohne zusätzliches „Anschubsen“ schnell zum Erliegen kommt, liegt daran, dass es sich um eine gedämpfte Schwingung handelt. Ein Beispiel für Dämpfung ist die Luftreibung.
Luft – genau wie jedes andere Medium – besteht aus unterschiedlichen Molekülen, die einen bestimmten Abstand zueinander aufweisen. Wenn Du Dich durch die Luft bewegst, so „schiebst“ Du diese Moleküle gewissermaßen auseinander, um voranzukommen.
Dies kannst Du mit der Bewegung im Wasser vergleichen: Auch da schiebst Du die Wassermoleküle auseinander, wenn Du Dich im Wasser bewegst. Allerdings spürst Du es viel eher im Wasser, da die Moleküle dort dichter beisammen sind.
Je schneller Du Dich durch Luft bewegst, desto stärker spürst Du auch den Luftwiderstand, der Deine Bewegung ausbremst. Es wirkt somit eine Kraft entgegen Deiner Bewegungsrichtung. Diese bezeichnest Du als Luftreibung.
Den Luftwiderstand – bzw. die Luftreibung – spürst Du beim Schaukeln auch als Gegenwind, der in Dein Gesicht weht und Deine Haare fliegen lässt. Was Du allerdings nicht spüren kannst, ist die Reibung der Aufhängung.
Die Schaukel ist über die Kette mit Schrauben befestigt, die wiederum im Gestell der Schaukel verankert sind. Beim Schwingen reibt das letzte Kettenglied gegen die Schraube, sodass ein Teil der Energie, die Du ins Schaukeln reinsteckst, an dieser Stelle in Reibungsarbeit umgesetzt wird.
Dadurch wird die Schwingung ebenfalls abgeschwächt und Du müsstest mehr Energie hinzuführen, um auf dieselbe Höhe zu kommen, die Du ohne Reibung erreicht hättest.
Jegliche Form der Reibung erschwert also die Bewegung und wirkt somit als Dämpfung. Darauf basierend kannst Du eine allgemeine Definition der gedämpften Schwingung aufstellen.
Gedämpfte Schwingung Definition
Abgesehen von Bedingungen, die Du im Labor schaffen kannst, sind fast alle Schwingungen auf der Erde gedämpft. Durch Reibung wird der Schwingung Energie entzogen und als Wärme an die Umgebung abgegeben.
Im Weltraum sieht es wiederum ganz anders aus: Da im Vakuum z. B. kaum Teilchen vorhanden sind, die eine Bewegung behindern könnten, gibt es dort auch keine Luftreibung. Deswegen sind ungedämpfte Schwingungen im Weltraum möglich.
Allerdings muss die dämpfende Kraft nicht unbedingt Reibung sein. Vielmehr kann eine Schwingung durch jegliche Kraft gedämpft werden, die ihr entgegenwirkt und die Amplitude verkleinert.
Im Fall einer gedämpften Schwingung gibt es eine oder mehrere Kräfte, die der Schwingung entgegenwirken und sie abschwächen. Deswegen wird die Amplitude der Schwingung mit der Zeit kleiner.
Wird die Schwingung nicht mehr von außen angeregt, so kommt sie zum Stillstand. Wie schnell dies eintrifft, hängt wiederum von der Stärke der Dämpfung ab. Somit beeinflusst die Dämpfung also den Verlauf der Schwingung.
Gedämpfte Schwingung Formel
Schwingungen, so wie andere Formen von Bewegungen, werden durch entsprechenden Gleichungen beschrieben. Diese kennst Du vielleicht aus der Bewegung von Körpern als Ort-Zeit- (\(s(t)\)), Geschwindigkeit-Zeit- (\(v(t)\)) oder Beschleunigung-Zeit-Formel (\(a(t)\)). Ähnliche Gleichungen kannst Du auch für Schwingungen aufstellen – dazu benötigst Du lediglich die entsprechende Differentialgleichung.
Gedämpfte Schwingung Differentialgleichung
Mit Differentialgleichungen kannst Du Änderungen bestimmter physikalischer Größen beschreiben. Möchtest Du die Schwingung Deiner Schaukel darstellen, so stellst Du sie Dir wie ein Fadenpendel vor. Um dann die Bewegung zu beschreiben, benötigst Du folgende Überlegungen:
Das Pendel erreicht zu unterschiedlicher Zeit \(t\) die Auslenkung \(x\). Somit ist die Auslenkung \(x(t)\) zeitabhängig.
Sofern Du Reibungskräfte – wie Luftreibung – betrachtest, so sind diese proportional zur Geschwindigkeit des Pendels. In diesem Fall benötigst Du also auch die Geschwindigkeit \(v(t)\).
Damit die Schwingung überhaupt entstehen kann, wird das Pendel stets beschleunigt. Somit benötigst Du auch die Beschleunigung \(a(t)\).
In der Physik werden Geschwindigkeit \(v(t)\) und Beschleunigung \(a(t)\) auch als Ableitungen der Ortsfunktion \(x(t)\) dargestellt:
\begin{align}v(t)&=\dot x(t)\\ \\ a(t)&=\dot v(t)=\ddot x(t)\end{align}
Während die Ableitung nach dem Ort oft durch ein ' angegeben wird, wird die zeitliche Ableitung durch einen Punkt oberhalb der Funktion markiert. Wie das mit den Bewegungsgleichungen konkret funktioniert, erfährst Du in der Erklärung „Bewegungsgleichungen“.
Der Zusammenhang zwischen Auslenkung, Geschwindigkeit und Beschleunigung einer Schwingung wird in der Schwingungsgleichung angegeben.
Die Schwingungsgleichung ist eine spezielle Form der Differentialgleichungen, mit der Schwingungen beschrieben werden können. Nach dieser besteht folgender Zusammenhang zwischen der Beschleunigung \(\ddot x(t)\), Geschwindigkeit \(\dot x(t)\) und Auslenkung \(x(t)\) einer Schwingung:
\[\ddot x(t)=-2 \cdot \delta \cdot \dot x-\omega_0^2\cdot x\]
Dabei ist \(\delta\) die Dämpfungskonstante und \(\omega_0\) die Eigenfrequenz der Schwingung
Diese Formel erhältst Du, wenn Du alle wirkenden Kräfte mit entsprechenden Vorzeichen aufstellst und anschließend umformst. Üblicherweise erhält dabei die Kraft, die in Schwingungsrichtung wirkt, ein positives und alle anderen Kräfte, die der Schwingung entgegenwirken, ein negatives Vorzeichen:
\[ {\color{pink}\ddot x(t)}=\underbrace{{\color{blau}-2\cdot \delta \cdot \dot x}}_{\text{Reibung}}\underbrace{{\color{lila}-\omega_0^2\cdot x}}_{\text{Rückstellkraft}}\]
Die dämpfende Wirkung durch Reibung wird in der Dämpfungskonstanten \(\delta\) zusammengefasst. Dabei wird berücksichtigt, dass im Fall einer harmonischen Schwingung eine rücktreibende Kraft das Pendel immer wieder in die entgegengesetzte Richtung „zieht“. Ungestört schwingt das Pendel dabei mit seiner Eigenfrequenz \(\omega_0\).
Eigenfrequenz gedämpfte Schwingung Periodendauer
Die Frequenz einer Schwingung gibt an, wie „schnell“ eine Schwingung abläuft – also die Anzahl der Schwingungen innerhalb einer bestimmten Zeit. Wenn Du das Pendel nur ein einziges Mal auslenkst und es frei schwingen lässt, so entspricht die Frequenz der Schwingung der Eigenfrequenz.
Wenn ein schwingungsfähiges System nach einmaliger Anregung frei schwingt, so führt es Eigenschwingungen aus. Die entsprechende Frequenz bezeichnest Du als Eigenfrequenz \(f_0\).
Alternativ kann die Eigenfrequenz über ihre Kreisfrequenz \(\omega_0\) angegeben werden. Die entsprechenden Werte unterscheiden sich um den Faktor \(2\cdot \pi\):
\[\omega_0=2\cdot \pi \cdot f_0\]
Da bei einer freien Schwingung keine äußeren Kräfte wirken, hängt die Eigenfrequenz nur von den Eigenschaften des schwingenden Systems ab.
Im Fall des Fadenpendels ergibt sich die Eigenfrequenz \(f_0\) (oder \(\omega_0\)) mit der Erdbeschleunigung \(g=9{,}81\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}\) und der Fadenlänge \(l\):
\[f_0=\frac{1}{2\cdot\pi}\cdot\sqrt{\frac{g}{l}}\qquad\text{bzw.}\qquad\omega_0=\sqrt{\frac{g}{l}}\]
Bei einem längeren Faden ist die Eigenfrequenz kleiner. Damit ist auch die Schwingung langsamer.
In der Natur werden freie Schwingungen allerdings durch äußere Einflüsse gedämpft. In diesem Fall schwingt eine Schwingung nicht mehr mit ihrer Eigenfrequenz.
Die Frequenz \(\omega_D\) einer gedämpften Schwingung ergibt sich aus der Eigenfrequenz \(\omega_0\) und der Dämpfungskonstanten \(\delta\):
\[\omega_D=\sqrt{\omega_0^2-\delta^2}\]
Die Schwingfrequenz einer gedämpften Schwingung wird also durch die Dämpfung vermindert. Dies hat direkte Auswirkungen auf die Periodendauer.
Die Periodendauer (bzw. Schwingungsdauer) \(T\) wird durch die Frequenz \(f\) oder die Kreisfrequenz \(\omega\) bestimmt:
\[T=\frac{2\cdot\pi}{\omega}=\frac{1}{f}\]
Für kleinere Frequenzen – wie im Falle einer Dämpfung – wird die Periodendauer größer. Es vergeht also mehr Zeit für eine einzige Schwingung und die Schwingungen werden verlangsamt. Wie stark die Schwingung dabei verlangsamt wird und ob das System überhaupt weiter schwingt, hängt von der Stärke der Dämpfung ab.
Gedämpfte Schwingung Fälle
Die Schwingungsfrequenz \(\omega_D\) und daher die Periodendauer hängt von der Eigenfrequenz \(\omega_0\) und der Dämpfung \(\delta\) ab:
\[\omega_D=\sqrt{\omega_0^2-\delta^2}\qquad (1)\]
Je nach Stärke der Dämpfung sind dabei unterschiedliche Fälle möglich.
Der Verlauf einer gedämpften Schwingung lässt sich in drei Fälle einteilen:
- Schwache Dämpfung (\(\delta<\omega_0\)): Schwingfall
- Mittlere Dämpfung (\(\delta\approx\omega_0\)): Aperiodischer Grenzfall
- Starke Dämpfung (\(\delta>\omega_0\)): Kriechfall
Während beim aperiodischen Grenzfall und Kriechfall keine Schwingung mehr stattfindet, klingt die Amplitude im Schwingfall mit der Zeit ab.
Gedämpfte Schwingung Schwingfall
Bei schwacher Dämpfung einer Schwingung sprichst Du vom Schwingfall.
Da im Schwingfall die Dämpfung \(\delta\) kleiner als die Eigenfrequenz \(\omega_0\) ist (\(\delta<\omega_0\)), ist die Schwingungsfrequenz \(\omega_D\) größer Null:
\[\omega_D=\sqrt{\omega_0^2-\delta^2}>0\]
Wenn Du dies in der Schwingungsgleichung berücksichtigst und diese nach der Auslenkung \(x(t)\) löst, so erhältst Du die entsprechende Funktion, mit der die Schwingung beschrieben werden kann.
Bei kleinen Dämpfungskonstanten \(\delta\) wird der Schwingungsverlauf durch die Funktion
$$x(t)=x_0\cdot {\color{pink} e^{-\delta\cdot t}}\cdot {\color{blau}\cos(\omega_0\cdot t)}$$
beschrieben. Dabei ist \(x_0\) die Amplitude der Schwingung und \(\omega_0\) die Eigenfrequenz.
Diese Funktion beschreibt auch, wie die Amplitude mit der Zeit kleiner wird:
Abb. 3 - Schwingfall gedämpfte Schwingung
Der Cosinus-Anteil beschreibt dabei die Schwingung an sich. Dass ihre Amplitude exponentiell abnimmt, wird durch die Exponentialfunktion berücksichtigt. Wie stark dieser Abfall ist, wird durch die Dämpfungskonstante \(\delta\) bestimmt: Je größer sie ist, desto stärker ist der exponentielle Abfall.
Gedämpfte Schwingung aperiodischer Grenzfall
Der Grenzfall, ab dem keine Schwingung mehr stattfindet, wird bei \(\delta=\omega_0\) erreicht.
Der aperiodische Grenzfall tritt ein, wenn die Dämpfungskonstante \(\delta\) der Eigenfrequenz \(\omega_0\) entspricht (\(\delta=\omega_0\)). In diesem Fall ergibt sich die Schwingungsfrequenz nach Gleichung 1 nämlich zu Null:
\[\omega_D=\sqrt{\omega_0^2-\delta^2}=0\]
Im aperiodischen Grenzfall findet keine Schwingung mehr statt. Lenkst Du Dein Pendel bei der entsprechenden Dämpfung aus, so kehrt es lediglich wieder in seine Ruhelage zurück:
Abb. 4 - Schwingfall und aperiodischer Grenzfall im Vergleich
Die Rückkehr in die Ruhelage ist dabei deutlich langsamer, als im Schwingfall. Dies liegt daran, dass auch diese Bewegung durch die Dämpfung verlangsamt wird.
Gedämpfte Schwingung Kriechfall
Ist die Dämpfung noch größer, so verläuft die Rückkehr in die Ruhelage noch langsamer.
Bei größeren Dämpfungen mit \(\delta>\omega_0\) sprichst Du vom Kriechfall. Auch hier kehrt das schwingende System nach Auslenkung langsam in seine Ruhelage zurück.
Dieser Prozess ist wegen der starken Dämpfung allerdings viel langsamer als beim aperiodischen Grenzfall:
Abb. 5 - Vergleich von Kriechfall, aperiodischer Grenzfall und Schwingfall bei einer gedämpften Schwingung
In Luft wird Dir weder der Kriechfall noch der aperiodische Grenzfall auf natürliche Weise begegnen, da hier die Dämpfung zu gering ist. Glücklicherweise – denn sonst wäre das Schaukeln auf dem Spielplatz gar nicht möglich. Um es aber mal selbst zu sehen, kannst Du diese beiden Fälle auch selbst auslösen.
Nimm einen Stift und halte ihn an einem Ende zwischen Zeigefinger und Daumen fest. Nun kannst Du ihn mit der anderen Hand zum Schwingen anregen: Wenn Du ihn nicht allzu fest fixierst, so schwingt der Stift paar Mal hin und her.
Versuche nun, ihn mehrfach zum Schwingen anzuregen und festige dabei Deinen Griff. Bei einer gewissen Griffstärke wirst Du merken, dass der Stift nicht mehr hin und her schwingt, sondern direkt zur Ruhelage zurückkehrt. Je fester Du danach zudrückst, desto langsamer ist seine Bewegung.
Neben der Reibung, die zwischen Deinem Finger und dem Stift besteht, und der Luftreibung, dämpfst Du die Schwingung zusätzlich durch die aufgewandte Kraft.
Doch auch im Schwingfall hört die Schwingung früher oder später auf – es sei denn, sie wird von außen angeregt.
Erzwungene gedämpfte Schwingung
Führst Du einer Schwingung Energie von Außen zu, so handelt es sich um eine erzwungene Schwingung. Sitzt Du auf einer Schaukel, so kannst Du es etwa mit Deinen Beinen machen.
Wird eine Schwingung von außen angeregt, so handelt es sich um eine erzwungene Schwingung. Das „anregende“ System bezeichnest Du als Erreger. Dieser schwingt selbst oder regt die Schwingung mit der Erregerfrequenz an.
Eine erzwungene Schwingung erreicht ihre höchste Amplitude, wenn die Erregerfrequenz mit der Eigenfrequenz \(f_0\) des schwingenden Systems übereinstimmt. Diesen Fall nennst Du auch Resonanz.
In der Erklärung zur Resonanz findest Du alles zu diesem Thema! Außerdem erfährst Du dort ebenfalls, wo Du im Alltag auf Resonanz triffst und was es mit der Resonanzkatastrophe auf sich hat.
Allerdings ist Resonanz stark von der Dämpfung abhängig:
Abb. 6 - Resonanzkurven bei unterschiedlichen Dämpfungskoeffizienten
Je größer die Dämpfung, desto kleinere maximale Amplituden werden erreicht. Bei kleineren Dämpfungskoeffizienten wird die maximale Amplitude wiederum sehr groß, was unter Umständen zu Problemen führen kann. Du fragst Dich, weshalb große Amplituden ein Problem darstellen könnten? Dann schau doch bei Resonanz vorbei!
Gedämpfte Schwingung – Das Wichtigste
- Eine Schwingung ist die periodische Änderung einer physikalischen Größe. Dabei wird zwischen gedämpften und ungedämpften Schwingungen unterschieden.
- Die Auslenkung bezeichnet den Abstand des schwingenden Systems von der Ruhelage.
- Die Amplitude beschreibt die maximale Auslenkung
- Die Frequenz einer Schwingung gibt an, wie schnell eine Schwingung ist.
- Die Eigenfrequenz \(f_0\) einer Schwingung ist die Frequenz, mit der ein System nach einmaliger Anregung frei schwingt. Oft wird sie auch über die Kreisfrequenz \(\omega_0\) angegeben: \[\omega_0=2\cdot\pi\cdot f_0\]
- Du kannst den Verlauf einer gedämpften harmonischen Schwingung mit der Schwingungsgleichung (Differentialgleichung) beschreiben: \[\ddot x(t)=-2\cdot \delta \cdot \dot x-\omega_0^2\cdot x\] Diese gibt den Zusammenhang zwischen der Beschleunigung \(\ddot x(t)\), Geschwindigkeit \(\dot x(t)\) und Auslenkung \(x(t)\) einer Schwingung an, wobei die Dämpfungskonstante \(\delta\) die Dämpfung und \(\omega_0\) die Eigenfrequenz der Schwingung berücksichtigt.
- Für kleine Dämpfungskonstanten \(\delta\) wird die Schwingungsgleichung durch die Funktion $$x(t)=x_0\cdot e^{-\delta\cdot t}\cdot \cos(\omega_0\cdot t)$$gelöst. Diese beschreibt den Verlauf einer gedämpften Schwingung. Dabei ist \(x_0\) die Amplitude der Schwingung und \(\omega_0\) die Eigenfrequenz.
- Die Frequenz \(\omega_D\) einer gedämpften Schwingung wird durch die Dämpfungskonstante \(\delta\) beeinflusst und ist mit der Eigenfrequenz \(\omega_0\): \[\omega_D=\sqrt{\omega_0^2-\delta^2}\]
- Je nach Stärke der Dämpfung unterscheidest Du drei Fälle:
- Schwingfall (kleine Dämpfung): Die Amplitude klingt exponentiell ab.
- Aperiodischer Grenzfall (mittlere Dämpfung): Die Auslenkung kehrt direkt zur Ruhelage zurück.
- Kriechfall (starke Dämpfung): Die Auslenkung kehrt langsam zur Ruhelage zurück.
- Wird eine Schwingung von außen angeregt, so nennst Du sie erzwungene Schwingung. Ist die Erregerfrequenz dabei genauso groß, wie die Eigenfrequenz, so kommt es zur Resonanz und die Amplitude wird maximal. Dieser Effekt ist von der Stärke der Dämpfung abhängig.
Nachweise
- chemgapedia.de: Gedämpfte harmonische Schwingungen. (14.11.2022)
- people.physik.hu-berlin.de: Freie gedämpfte Schwingungen. (14.11.2022)
- ingenieurkurse.de: Gedämpfte harmonische Schwingungen. (14.11.2022)
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