Gedämpfte Schwingung

Die gedämpfte Schwingung

In diesem Artikel geht es um die gedämpfte Schwingung. Wir erklären dir, was die gedämpfte Schwingung ist, welche Energieumwandlung bei einer solchen stattfindet und wie sich die gedämpfte Schwingung mathematisch beschreiben lässt. Dieser Artikel gehört zum Fach Physik und stellt ein Subtopic des Themas Schwingungen dar.

Gedämpfte Schwingung - einfach erklärt!

Zur Erinnerung:

Eine Schwingung (Oszillation) ist im allgemeinen eine zeitlich periodische Änderung einer oder mehrerer physikalischer Größen in einem physikalischen System.

Da sich verschiedene Disziplinen mit der Thematik Schwingung beschäftigen, werden wir uns bewusst auf deren Behandlung innerhalb der Mechanik beschränken. Denn harmonische Schwingungen sind zugleich mechanische Schwingungen, bei denen sich ein Körper (Oszillator) regelmäßig um eine Gleichgewichtslage (Ruhelage) bewegt.

Hat die Weg-Zeit-Funktion einer mechanischen Schwingung zudem die Form einer Sinus-Funktion, so bezeichnen wir sie als harmonisch.

Wir haben es also mit einer mechanischen Schwingung zu tun, die zugleich harmonisch ist. Welche Eigenschaft nun hinzutreten kann, ist diejenige, ob sie gedämpft oder ungedämpft ist. Darum soll es uns im Folgenden gehen.

Ungedämpfte und gedämpfte Schwingungen

Derartige Schwingungen können ungedämpft oder gedämpft verlaufen.

Ungedämpfte Schwingungen verlaufen ohne Reibungsverlust. Das bedeutet, dass die Schwingung nie zum Stillstand kommt und der Oszillator somit unendlich weiter schwingt. Dies ist z.B. der Fall bei einem Uhrenpendel, bei welchem ein Gewicht zu dem kontinuierlichen Schwingungsvorgang führt.

Ganz anders verhält es sich bei den gedämpften Schwingungen und zwar so, dass bei diesen Reibungseffekte auftreten. Dies ist z.B. der Fall bei einer Stimmgabel oder auch bei einer Gitarre, die einmal angeschlagen werden, dann weiter schwingen und schließlich zum Stillstand kommen und in ihrer Gleichgewichtslage verharren.

Energieumwandlung bei gedämpften Schwingungen

Bei gedämpften Schwingungen treten also Reibungseffekte wie z.B. Luftwiderstand auf. Aufgrund dieser Effekte wird stetig ein Teil der mechanischen Energie, die dem Oszillator eigen ist, in thermische Energie umgewandelt. Wie schnell dieser Prozess vor sich geht, hängt von der Stärke der Dämpfung ab.

Für eine gedämpfte Schwingung gilt ferner der Energieerhaltungssatz in der Form:

Allerdings bleibt die thermische Energie dem Oszillator nicht erhalten. Vielmehr verlässt sie sein System und wird in Form von Wärme an die Umgebung abgegeben. Einfach ausgedrückt, sie geht ihm verloren.

Mit der Verringerung der mechanischen Energie bei einer solchen gedämpften Schwingung bleibt die Amplitude demnach auch nicht konstant. Wie du an dem unteren Bild erkennen kannst, nimmt sie ab und wird stetig kleiner.

Abb. 1: Gedämpfte (oben) und ungedämpfte (unten) Schwingungen

aus: https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/physik-abitur/artikel/gedaempfte-harmonische-schwingungen

Der Verlauf der Amplitude in Abhängigkeit von der Zeit (rote Kurve) stellt sich uns als exponentiell und somit als abnehmende Exponentialfunktion (Zeit-Elongation-Gesetz) dar. Um zu überprüfen, ob es sich tatsächlich um eine solche handelt, dafür kannst du jeweils den Quotienten zweier aufeinanderfolgender Amplituden ermitteln. Bei einer Exponentialfunktion müsste dieser konstant sein.

Die Formel zur Ermittlung des Quotienten lautet:

(n = die gewählte Amplitude)

Abb. 2: Der Verlauf der Amplitude ((y)t-Funktion) bei einer gedämpften Schwingung

aus: https://physikunterricht-online.de/wp-content/uploads/2014/10/Gedämpfte-Schwingung.jpg

Mathematische Beschreibung gedämpfter Schwingungen (H2)

Mit der Anfangsamplitude y0 kann die maximale Auslenkung (Elongation) zu jedem beliebigen Zeitpunkt t dargestellt werden. Die Formel lautet:

Wenn du nun die Elongation einer gedämpften Schwingung erfassen willst, dann musst du den Ausdruck für ymax in die Schwingungsgleichung einsetzen.

Somit ergibt sich für die Elongation einer gedämpften Schwingung folgende Gleichung:

Dämpfungsmaß bei gedämpften Schwingungen

Der Verlauf des Oszillators kann mit dem Dämpfungsmaß D erfasst werden. Es gilt:

(Masse m, Dämpfungskonstante d und Eigenkreisfrequenz des ungedämpften Systems 0)

Schwingungsgleichung gedämpfter Schwingungen

Eine gedämpfte Schwingung lässt sich auch in Form einer Differenzialgleichung erfassen. Sie lautet:

Als Lösung dieser Differenzialgleichung erhältst du dann die Schwingungsgleichung für gedämpfte Schwingungen:

Daraus ergibt sich:

• Die maximale Elongation (=Amplitude) verringert sich mit der Zeit.

• Die Frequenz der Schwingungen und damit auch die Schwingungsdauer verändern sich mit Verringerung der Amplitude nicht.

Alles Wichtige zur gedämpften Schwingung auf einen Blick!

• Eine mechanisch harmonische Schwingung kann ungedämpft oder gedämpft sein.
• Ungedämpfte Schwingungen verlaufen ohne Reibungsverlust und schwingen endlos weiter.
• Bei gedämpften Schwingungen hingegen treten Reibungseffekte auf, sie kommen zum Stillstand und verharren in der Gleichgewichtslage.
• Aufgrund der Reibungseffekte wird ein Teil der mechanischen Energie in thermische Energie umgewandelt.
• Die Amplitude verringert sich stetig, die Frequenz der Schwingungen sowie die Schwingungsdauer bleiben gleich.
• Wie schnell dieser Prozess abläuft, hängt von der Stärke der Dämpfung ab.

FERTIG! Zum einen weißt du jetzt was eine gedämpfte Schwingung ist und zum anderen bist du nun in der Lage diese rechnerisch zu erkennen und zu beschreiben. Artikel zu diesem und vielen weiteren Themen, Übungsaufgaben und hilfreiche Literatur findest du auf StudySmarter.