Feder-Masse Pendel

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Vielleicht hast Du schon einmal einen Kugelschreiber auseinandergebaut. Eines der Einzelteile ist eine Feder, mit der Du vermutlich schon etwas zwischen Deinen Fingern herumgespielt hast. Angenommen, Du hast dabei vielleicht noch ein zusätzliches Gewicht angehängt und die gemeinsame Schwingung beobachtet. Hier stellt sich die Frage: Wie ist solch ein Feder-Masse-Pendel aufgebaut und wie funktioniert es?

Feder-Masse-Pendel: Aufbau

Bevor es zu einer Schwingung kommen kann, benötigst Du zunächst ein funktionierendes Feder-Masse-Pendel. Dieses besteht, wie es die Bezeichnung vermuten lässt, aus einer Feder und einer angehängten Masse m, wie in Abbildung 1 dargestellt.

Achte dabei darauf, das Federpendel so zu befestigen, dass es frei hängen und schwingen kann.

Feder-Masse-Pendel: Ablauf der Schwingung

Bevor Du das Feder-Masse-Pendel (kurz Federpendel) zum Schwingen bringst, schau Dir an, wo es sich in Ruhelage befindet. Die Feder ist dabei durch die Masse etwas gespannt. Jetzt lenkst Du das Federpendel aus, indem Du es zum Beispiel an der Masse nach unten ziehst. Nun lässt Du das Feder-Masse-Pendel los und kannst eine schwingende Bewegung der Masse beobachten.

Die Auslenkung s kannst Du Dir dabei wie in einem Koordinatensystem als y-Richtung vorstellen, wobei $s = 0$ der y-Achse entspricht. Auf der x-Achse würde sich dann die Zeit befinden, während das Federpendel schwingt.

Angefangen bei der negativen Auslenkung $- \hat{s}$ nach unten, schwingt die Masse nach oben über die Ruhelage der Auslenkung $s = 0$ hinweg. Nachdem eine maximale obere Auslenkung $\hat{s}$ erreicht ist, schwingt die Masse wieder nach unten und die Schwingung fängt von vorn an. Schaust Du etwas genauer hin, kannst Du erkennen, dass dabei die maximalen Auslenkungen der Masse unter und über der Ruhelage genau die gleiche Entfernung $\hat{s}$ zur Ruhelage besitzen.

Du betrachtest hier ideale Verhältnisse ohne Reibung und mit einer idealen, als masselos angesehenen, Feder. Bei nicht idealen Verhältnissen wird die Auslenkung immer kleiner, bis sich die Masse wieder im Ruhezustand befindet.

Die abgebildete Bewegung ähnelt einer Sinus- oder Kosinusfunktion. Und genau mithilfe einer solchen Funktion kannst Du die Schwingung beschreiben.

Schwingungsfunktion Feder-Masse-Pendel: Formel

Gehst Du davon aus, dass sich das Federpendel anfangs in maximaler Auslenkung befindet und dann schwingt, kannst Du die Auslenkung als eine Kosinusfunktion betrachten.

Die Schwingungsfunktion s(t) eines Feder-Masse-Pendels beschreibt die Auslenkung s zu jedem Zeitpunkt t.

$s (t) = \hat{s} \cdot \cos (ω \cdot t)$

Die Amplitude $\hat{s}$ ist dabei die maximale Auslenkung in beide Richtungen um die Ruhelage und $ω$ ist die Kreisfrequenz der harmonischen Schwingung.

Du kannst die Schwingung auch ab dem Zeitpunkt betrachten, in dem sich die Masse in Ruhelage befindet und danach nach oben ausgelenkt wird. Dafür verwendest Du dann eine Sinusfunktion mit jeweiligem Vorzeichen anstelle des Cosinus.

Die Abbildung 3 zeigt Dir den zeitlichen Verlauf dieser periodischen Schwingung s(t). Dieser würde entstehen, wenn Du zu jedem Zeitpunkt t die Auslenkung s einträgst und das Federpendel anfangs nach oben auslenkst.

Feder-Masse Pendel Diagramm Verlauf Schwingungsfunktion StudySmarter Abbildung 3: Schwingungsfunktion im s-t-Diagramm

Diese Funktion entspricht genau der Bewegung im Koordinatensystem, die Du in Dir in Abbildung 2 überlegt hast. Lediglich die anfängliche Auslenkung ist hier positiv.

Zu einer solchen zeitlich periodischen Schwingung gehört auch immer eine sogenannte Periodendauer T.

Feder-Masse-Pendel: Periodendauer

Nicht nur die Abstände, zwischen denen die Masse schwingt, sind gleich, sondern auch die Zeit für jede Schwingung bleibt bei der idealen Betrachtung konstant.

Die Periodendauer T (auch Schwingungsdauer genannt) ist die Zeit, die eine periodische Schwingung zum Durchlaufen einer gesamten Periode benötigt. Sie ist der Kehrwert der Frequenz f und hängt über den Proportionalitätsfaktor 2π mit der Kreisfrequenz ω zusammen.

$T = \frac{1}{f} = \frac{2 π}{ω} = 2 π \cdot \sqrt{\frac{m}{D}}$

D ist dabei die Federkonstante der Feder des Feder-Masse-Pendels und m die Masse des angehängten Körpers.

Mehr zu den Größen der Periodendauer (Schwingungsdauer), Frequenz und wie Du eine Schwingung beschreiben kannst, erklären Dir die Artikel "Mechanische Schwingungen" und "Beschreiben von Schwingungen".

Federkonstante und Masse kannst Du selbst einstellen und somit Deine Periodendauer bzw. Schwingung anpassen. Beide Größen verändern das Verhalten des Federpendels und die bei der Schwingung wirkenden Kräfte.

Was genau die Federkonstante angibt, erfährst Du im Artikel "Feder".

Feder-Masse-Pendel: Wirkende Kräfte

Laut den Newtonschen Gesetzen bedeutet Beschleunigung auch eine Kraftwirkung. Beim Federpendel schwingt eine Masse auf und ab und verändert dabei ständig ihre Geschwindigkeit und Richtung. Ein Indiz dafür, dass auch hier Kräfte wirken.

Du unterscheidest beim Federpendel die Gewichtskraft F_G durch die Masse auf die Feder und die Federkraft F_F der ausgelenkten Feder auf die Masse.

Die Gewichtskraft F_G der angehängten Masse m berechnest Du mithilfe des Ortsfaktors g:

$F_{G} = m \cdot g$

Die Federkraft F_F der Feder bestimmst Du mit der Federkonstante D und der Auslenkung s_F der Feder aus ihrer Ruhelage ohne angehängte Masse:

$F_{F} = D \cdot s_{F}$

Die Federkonstante D gibt an, wie "stark" eine Feder ist. Mehr dazu findest Du im Artikel "Feder".

Die Gewichtskraft F_G wirkt stets zum Erdboden hin nach unten und bleibt gleich, solange Du die Masse nicht veränderst. Da sich die Federkraft F_F der Feder je nach Auslenkung verändert, lohnt es sich, diese mithilfe der Abbildung 4 etwas genauer zu betrachten.

Lenkst Du das Feder-Masse-Pendel um $- \hat{s}$ aus der Ruhelage des Federpendels nach unten aus, ist die Federkraft der Feder größer als die Gewichtskraft. Das Federpendel wird also nach oben beschleunigt.

In der Ruhelage bei angehängter Masse sind beide Kräfte gleich groß und es gilt:

$F_{G} = F_{F}$ bzw. $m \cdot g = D \cdot s_{0}$

An diesem Punkt gibt es also keine Kraft auf das Federpendel. Durch dessen Geschwindigkeit schwingt es aber trotzdem weiter.

Schwingt die Masse nach oben, wird die Federkraft geringer. Sie kann sogar ihre Richtung wechseln, wenn die maximale Auslenkung $\hat{s}$ des Federpendels größer als die Grundauslenkung s₀ der Feder durch die Masse m ist.

s₀ ist die Auslenkung der Feder durch die angehängte Masse, also wie weit die Feder allein durch die Masse im Vergleich zu ihrer unbelasteten Form gedehnt wird, siehe Abbildung 5.

Die Abbildung 5 veranschaulicht den Unterschied zwischen den hier genannten Auslenkungen (maximale Auslenkung $\hat{s}$ , Grundauslenkung s₀, Auslenkung der Feder s_F, Auslenkung des Feder-Masse-Pendels s) und Ruhelagen (Ruhelage mit Masse bei $s = 0$ , Ruhelage der unbelasteten Feder bei $s_{F} = 0$ ).

Die momentane Auslenkung der Feder s_F kannst Du also auch stets mit der Grundauslenkung des Pendels s₀ und der aktuellen Auslenkung des Pendels s bestimmen. Damit, und über eine Betrachtung der Formeln der beiden wirkenden Kräfte, kannst Du die Kreisfrequenz oder auch die Schwingungsgleichung herleiten!

Herleitung Kreisfrequenz Feder-Masse-Pendel

In der Definition etwas weiter oben hast Du die Formeln der Kräfte gegeben. Zusammen mit den Auslenkungen kannst Du über das Newtonsche Grundgesetz einen Zusammenhang herstellen, um auf die Formel der Schwingungsgleichung und der Kreisfrequenz zu kommen. Dabei wirst Du eine Differentialgleichung aufstellen und lösen.

Wie das Aufstellen und Lösen von Differentialgleichungen genau funktioniert, erklären die Mathematikartikel zur Differentialrechnung.

Schwingungsgleichung Feder-Masse-Pendel bestimmen

Das zweite Newtonsche Gesetz besagt, dass eine Kraft F gleich Masse m mal Beschleunigung a ist:

$F = m \cdot a$

Die Masse m am Federpendel ist stets konstant. Die betrachtete Bewegung beim Feder-Masse-Pendel unterliegt einer ständigen Beschleunigung a. Die Beschleunigung hängt von der resultierenden Kraft F auf die Masse am Federpendel ab. Dabei gilt außerdem, dass die resultierende Kraft F die Summe der beiden Kräfte (Gewichtskraft F_G und Federkraft F_F) auf die Masse ist.

$F = F_{G} + F_{F}$

Setzt Du diese beiden Formeln gleich, erhältst Du:

$m \cdot a = F_{G} + F_{F}$

Alle Größen, außer der Beschleunigung a, könntest Du mit den oben definierten Formeln angeben. Unser Ziel ist hier aber die Schwingungsgleichung bzw. die Kreisfrequenz. Deswegen wird jetzt die Beschleunigung ersetzt. Die Bewegungsgesetze bei der Bewegung von Körpern besagen, dass eine Beschleunigung a gleich der zweiten Ableitung (mit Doppelpunkt über der Größe gekennzeichnet) des Ortes s nach der Zeit t ist:

$a = \overset{. .}{s} (t)$

Ableitungen nach der Zeit werden mit einem Punkt und nach dem Ort mit einem Strich gekennzeichnet.

Das kannst Du für a in die vorherige Formel einsetzen und auf die zweite Ableitung umstellen:

$\overset{. .}{s} (t) = \frac{F_{G} + F_{F}}{m}$

Die Formeln für F_G und F_F hast Du oben bereits definiert und kannst diese hier einsetzen. Aber Achtung: die Kräfte sind entgegengesetzt, also setzt Du vor die Gewichtskraft F_G ein Minuszeichen:

$\overset{. .}{s} (t) = \frac{- m \cdot g + D \cdot s_{F}}{m}$

In dieser Formel befindet sich jetzt die Gesamtauslenkung der Feder s_F. Da das Ziel aber die Beschreibung der Schwingung des Feder-Masse-Pendels ist, wird somit die Auslenkung vom Federpendel s benötigt. In der Abbildung 5 weiter oben kannst Du erkennen, dass Du die Auslenkung der Feder s_F stets mit der Auslenkung des Federpendels s und der Grundauslenkung der Feder s₀ bei angehängter Masse bestimmen kannst:

$s_{F} = s_{0} - s$

Uns interessiert hier der zeitliche Verlauf der Auslenkung vom Federpendel. Das bedeutet, Du ersetzt s mit s(t) und setzt den Term in die vorherige Formel für die zweite Ableitung der Strecke nach der Zeit ein:

$\overset{. .}{s} (t) = \frac{- m \cdot g + D \cdot (s_{0} - s (t))}{m}$

Nun löst Du die Klammer auf und erhältst:

$\overset{. .}{s} (t) = \frac{- m \cdot g + D \cdot s_{0} - D \cdot s (t)}{m}$

Bei der Betrachtung der Kräfte in der Ruhelage des Feder-Masse-Pendels hast Du schon feststellen können, da $m \cdot g = D \cdot s_{0}$ gilt. Diesen Term kannst Du in der Gleichung also ersetzen, woraufhin sich die Gleichung vereinfacht:

$\overset{. .}{s} (t) = \frac{- D \cdot s_{0} + D \cdot s_{0} - D \cdot s (t)}{m} \overset{. .}{s} (t) = - \frac{D}{m} \cdot s (t)$

Ordnest Du nun alles auf der linken Seite an, erhältst Du die Differentialgleichung (Gleichung 0) der Auslenkung für das Federpendel:

$(0) \overset{. .}{s} (t) + \frac{D}{m} \cdot s (t) = 0$

Lösen der Differentialgleichung

Zum Lösen dieser Differentialgleichung benötigst Du zunächst Anfangsbedingungen. Stelle Dir dazu vor, dass Du zunächst das Federpendel zum Zeitpunkt $t = 0$ um $s (0) = \hat{s}$ nach oben auslenkst. Das ist die erste Anfangsbedingung mit Gleichung 1.

Die Geschwindigkeit v des Pendels ist zu diesem Zeitpunkt $v (0) = 0$ . Eine Geschwindigkeit kannst Du auch als erste Ableitung des Ortes s nach der Zeit angeben: $\dot{s} (t = 0) = v (t = 0) = 0$ ist die zweite Anfangsbedingung mit Gleichung 2.

Die Anfangsbedingungen (Gleichungen 1 und 2) lauten also:

$(1) s (0) = \hat{s} (2) \dot{s} (0) = 0$

Das Ziel ist es nun, eine Funktion s(t) zu finden, die beide Bedingungen erfüllt und für die Differentialgleichung passt.

Laut der Differentialgleichung müssen die zweite Ableitung nach der Zeit $\overset{. .}{s} (t)$ und die Funktion s(t) umgekehrt proportional (umgekehrte Vorzeichen) zueinander sein, um in der Summe Null ergeben zu können. Dafür kennst Du aus der Mathematik vielleicht schon zwei mögliche Kandidaten: die Sinus- und Kosinusfunktionen.

Beide Funktionen testest Du nun auf die Anfangsbedingung 1:

$\begin{array}{rcl} \sin (0) & = & 0 \\ \cos (0) & = & 1 \end{array}$

Der Sinus von 0 ist 0 – wenn $\hat{s} \neq 0$ gilt, wovon Du hier ausgehen kannst, weil Du das Federpendel auslenkst, kommt also nur der Kosinus in Frage. Um die Kosinusfunktion in beide Richtungen strecken / stauchen zu können, führst Du zwei Variablen ein: Amplitude $\hat{s}$ und Kreisfrequenz $ω$ . Damit kannst Du die allgemeine Kosinusfunktion (Gleichung 3) festlegen:

$(3) s (t) = \hat{s} \cdot \cos (ω \cdot t)$

Mithilfe der Anfangsbedingungen bestimmst Du nun $\hat{s}$ . Du setzt dabei $t = 0$ in die Kosinusfunktion (Gleichung 3) ein und überprüfst, ob die Bedingung 1 eingehalten wird.

$s (0) = \hat{s} \cdot \cos (ω \cdot 0) s (0) = \hat{s} \cdot \cos (0) s (0) = \hat{s} \cdot 1 s (0) = \hat{s}$

Die Bedingung 1 wird eingehalten. Für Bedingung 2 benötigst Du zunächst die erste Ableitung (Gleichung 4) Deiner Funktion s(t) nach der Zeit:

$\begin{array}{rcl} (3) s (t) & = & \hat{s} \cdot \cos (ω \cdot t) \\ (4) \dot{s} (t) & = & - \hat{s} \cdot ω \cdot \sin (ω \cdot t) \end{array}$

Jetzt prüfst Du auf die Anfangsbedingung 2, indem Du 0 für t einsetzt:

$\begin{array}{rcl} (4) \dot{s} (t) & = & - \hat{s} \cdot ω \cdot \sin (ω \cdot t) \\ \dot{s} (0) & = & - \hat{s} \cdot ω \cdot \sin (ω \cdot 0) \\ \dot{s} (0) & = & - \hat{s} \cdot ω \cdot 0 \\ \dot{s} (0) & = & 0 \end{array}$

Deine Funktion s(t) erfüllt beide Anfangsbedingungen. Die Differentialgleichung (Gleichung 0) muss aber auch passen. Dafür benötigst Du die zweite Ableitung von Gleichung 3:

$\begin{array}{rcl} (3) s (t) & = & \hat{s} \cdot \cos (ω \cdot t) \\ (4) \dot{s} (t) & = & - \hat{s} \cdot ω \cdot \sin (ω \cdot t) \\ (5) \overset{. .}{s} (t) & = & - \hat{s} \cdot ω^{2} \cdot \cos (ω \cdot t) \end{array}$

Die Gleichungen 5 (zweite Ableitung) und 3 (s(t)) setzt Du in die Gleichung 0 (Differentialgleichung) ein:

$\begin{array}{rcl} (0) \overset{. .}{s} (t) + \frac{D}{m} \cdot s (t) & = & 0 \\ - \hat{s} \cdot ω^{2} \cdot \cos (ω \cdot t) + \frac{D}{m} \cdot \hat{s} \cdot \cos (ω \cdot t) & = & 0 \\ - \hat{s} \cdot \cos (ω \cdot t) \cdot (ω^{2} - \frac{D}{m}) & = & 0 \end{array}$

Die Gleichung und somit die oben definierte Schwingungsgleichung ist erfüllt, wenn gilt: $(ω^{2} - \frac{D}{m}) = 0$ .

Wäre dieser Term nicht 0, würde das bedeuten, dass die maximale Auslenkung 0 sein müsste. Dann wäre keine Auslenkung und somit keine Schwingung vorhanden.

Formel der Kreisfrequenz

Stellst Du den Term $(ω^{2} - \frac{D}{m}) = 0$ , der auf das Lösen der Differentialgleichung zurückzuführen ist, auf die Kreisfrequenz ω um, erhältst Du die Formel für ebendiese:

Die Kreisfrequenz ω eines Feder-Masse-Pendels berechnest Du mithilfe der Federkonstante D und der Masse m:

$ω = \sqrt{\frac{D}{m}}$

Geht es in der Physik um Kräfte und Beschleunigungen, kannst Du oft auch Umwandlungen von Energien betrachten. Was passiert mit den Energien bei der harmonischen Schwingung des Federpendels?

Feder-Masse-Pendel: Energie

Aus der Mechanik ist Dir vielleicht der Begriff der mechanischen Energie bekannt. Sie beinhaltet die potentielle (Lage-) Energie und die kinetische (Geschwindigkeits-) Energie.

Als mechanische Energie bezeichnest Du die Möglichkeit eines Körpers, eine mechanische Arbeit zu verrichten. Besitzt ein Körper keine mechanische Energie, kann diese durch Verrichten einer mechanischen Arbeit am Körper zugeführt werden.

Bei der harmonischen Schwingung des Feder-Masse-Pendels wird ständig eine Art der mechanischen Energie in die andere umgewandelt und umgekehrt. Betrachtest Du dabei ideale Voraussetzungen (ungedämpfte Schwingung), gilt der Energieerhaltungssatz für die mechanischen Energien beim Federpendel.

Der Energieerhaltungssatz (manchmal mit EES abgekürzt) besagt, dass Energie weder erschaffen noch vernichtet, sondern lediglich in andere Energieformen umgewandelt werden kann.

Der Energieerhaltungssatz gilt immer. Betrachtest Du jedoch ein nicht-ideales Federpendel (gedämpfte Schwingung), würde mechanische Energie nicht komplett in mechanische Energie, sondern aufgrund von Reibung auch teilweise in, für die Schwingung nicht nutzbare, thermische Energie (Wärme) umgewandelt werden.

Zurück zum Idealfall der ungedämpften Schwingung des Federpendels: potentielle Energie wird ständig in kinetische Energie umgewandelt und umgekehrt.

Potentielle und kinetische Energie

Eine gespannte Feder besitzt eine potentielle Energie. Das bedeutet, dass sie von selbst in ihre Ausgangslage zurückkehren will. Hängst Du eine Masse an die Feder, hast Du ein Feder-Masse-Pendel. Die gespannte Feder kann dann aufgrund ihrer potentiellen Energie die Masse beschleunigen und somit deren Geschwindigkeit erhöhen. Besitzt eine Masse eine Geschwindigkeit, so besitzt sie auch eine gewisse kinetische Energie. Beide Energien kannst Du beim Federpendel berechnen.

Die potentielle Energie E_pot eines Feder-Masse-Pendels berechnest Du mit der Federkonstanten D oder der Federkraft der Feder F_F und der momentanen Auslenkung s:

$E_{p o t} = \frac{1}{2} \cdot D \cdot s^{2} E_{p o t} = \frac{1}{2} \cdot F_{F} \cdot s$

Die kinetische Energie E_kin eines Feder-Masse-Pendels hingegen berechnest Du mit der angehängten Masse m und der Geschwindigkeit v der Masse.

$E_{k i n} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^{2}$

Da das Federpendel ständig in Bewegung ist, kann es sinnvoll sein, die Energie abhängig von einem bestimmten Zeitpunkt t der Schwingung zu berechnen. Wie das geht, erfährst Du in der folgenden Vertiefung.

Die potentielle Energie E_pot(t) eines Feder-Masse-Pendels zu einem bestimmten Zeitpunkt t berechnest Du mithilfe der Schwingungsgleichung s(t):

$E_{p o t} (t) = \frac{1}{2} \cdot D \cdot (s {(t))}^{2} E_{p o t} (t) = \frac{1}{2} \cdot D \cdot {\hat{s}}^{2} \cdot \cos^{2} (ω \cdot t) E_{p o t} (t) = \frac{1}{2} \cdot F_{F} \cdot s (t) E_{p o t} (t) = \frac{1}{2} \cdot F_{F} \cdot \hat{s} \cdot \cos (ω \cdot t)$

Für die kinetische Energie E_kin(t) ersetzt Du die Geschwindigkeit durch die erste Ableitung $\dot{s} (t)$ der Schwingungsfunktion s(t) nach der Zeit t und bekommst folgende Formel:

$E_{k i n} (t) = \frac{1}{2} \cdot m \cdot {(\dot{s} (t))}^{2} E_{k i n} (t) = \frac{1}{2} \cdot m \cdot \begin{array}{rcl} {\hat{s}}^{2} \cdot ω^{2} \cdot \sin^{2} (ω \cdot t) \end{array}$

D : F e d e r k o n s \tan t e \hat{s} : A m p l i t u d e ω : K r e i s f r e q u e n z F_{F} : F e d e r - R ü c k s t e l l k r a f t m : a n g e h a n g e n e M a s s e

Mithilfe des Energieerhaltungssatzes kannst Du auch beide Energien zu einer Gesamtenergie zusammenfassen.

Gesamtenergie

Den Zusammenhang und die Umwandlung der beiden mechanischen Energien (potentiell und kinetisch) kannst Du in einem kleinen Versuch untersuchen.

Du hast ein Federpendel und hängst an die Feder der Federkonstante D eine Masse m an. Das Feder-Masse-Pendel lenkst Du aus. Dabei überlegst Du Dir in verschiedenen Situationen, wie groß jeweils potentielle und kinetische sowie die daraus folgende Gesamtenergie sind.

Als Erstes lenkst Du das Federpendel wie in Abbildung 6 maximal um $\hat{s}$ aus der Ruhelage nach unten aus. Die Geschwindigkeit des Pendels ist hier $v = 0$ . Das heißt, die kinetische Energie ist $E_{k i n} = 0$ . Das Federpendel besitzt ausschließlich die maximale potentielle Energie E_pot,max entsprechend der Auslenkung und der Federkonstanten. Für die Gesamtenergie E_ges heißt das:

$E_{g e s} = E_{p o t, m a x} = \frac{1}{2} \cdot D \cdot {\hat{s}}^{2}$

Lässt Du nun das Federpendel los, schwingt es durch die Ruhelage. Dort besitzt die Masse m die größte Geschwindigkeit $v = \hat{v}$ . Die potentielle Energie beträgt hier $E_{p o t} = 0$ . Somit ist die Gesamtenergie E_ges des Federpendels ausschließlich die maximal erreichbare kinetische Energie E_kin,max:

$E_{g e s} = E_{k i n, m a x} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot {\hat{v}}^{2}$

Angekommen bei der oberen maximalen Auslenkung $\hat{s}$ ist, wie beim unteren Maximum, die Geschwindigkeit nun wieder $v = 0$ . Somit ist auch hier wieder die Gesamtenergie gleich der maximalen potentiellen Energie:

$E_{g e s} = E_{p o t, m a x} = \frac{1}{2} \cdot D \cdot {\hat{s}}^{2}$

Das Federpendel schwingt danach wieder durch die Ruhelage nach unten und wiederholt alle Schritte.

Rufst Du Dir an dieser Stelle den Energieerhaltungssatz ins Gedächtnis (nur Umwandlung von Energie, kein Vernichten/Entstehen), kannst Du Dir aus diesem kurzen Versuch eine Formel für die Gesamtenergie an jedem Punkt der Schwingung überlegen.

Laut dem Energieerhaltungssatz ist die Gesamtenergie E_ges des ungedämpft schwingenden idealen Feder-Masse-Pendels immer konstant.

$E_{g e s} = k o n s t a n t$

Berechnen kannst Du die Gesamtenergie als Summe der kinetischen Energie E_kin und der potentiellen Energie E_pot:

$E_{g e s} = E_{p o t} + E_{k i n} E_{g e s} = \frac{1}{2} \cdot (D \cdot s^{2} + m \cdot v^{2})$

Kennst Du die Amplitude $\hat{s}$ der Schwingung oder die Maximalgeschwindigkeit $\hat{v}$ , kannst Du diese Formeln anwenden:

$E_{g e s} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot {\hat{v}}^{2} E_{g e s} = \frac{1}{2} \cdot D \cdot {\hat{s}}^{2} E_{g e s} = \frac{1}{2} \cdot ω^{2} \cdot m \cdot \hat{s}$

$D : F e d e r k o n s \tan t e s : A u s l e n k u n g m : M a s s e v : G e s c h w i n d i g k e i t ω : K r e i s f r e q u e n z$

Wenn Du also das nächste Mal deinen Kugelschreiber auseinander baust, kannst Du versuchen, ein einfaches Feder-Masse-Pendel zu konstruieren.

Feder-Masse-Pendel: Beispielaufgaben

Den Kugelschreiber hast Du auseinander gebaut und vor Dir liegt nun die Feder, mit der Du Deine eigenen kleinen Experimente durchführst.

Federkonstante berechnen

Zunächst möchtest Du die Federkonstante der verbauten Feder bestimmen.

Aufgabe 1

Du hast eine Feder der Federkonstante D. An diese hängst Du einen kleinen Radiergummi der Masse $m = 0, 02 k g$ . Dabei beobachtest Du eine Dehnung der Feder von $s_{0} = 0, 02 m$ , wenn sich das Federpendel in Ruhelage befindet.

Berechne die Federkonstante D der Feder.

Lösung

In der Ruhelage gilt beim Federpendel, dass die Federkraft F_F der Feder gleich der Gewichtskraft F_G der angehängten Masse ist.

$\begin{array}{rcl} F_{F} & = & F_{G} \\ D \cdot s_{0} & = & m \cdot g \end{array}$

Diese Formel stellst Du auf die Federkonstante D um, setzt alle Werte ein und berechnest somit die Federkonstante.

$D = \frac{m \cdot g}{s_{0}} D = \frac{0, 02 k g \cdot 9, 81 \frac{m}{s^{2}}}{0, 02 m} D = 9, 81 \frac{N}{m}$

Dein selbst gebautes Feder-Masse-Pendel bringst Du jetzt zum Schwingen.

Periodendauer und Kreisfrequenz berechnen

Bei der Schwingung bemerkst Du, dass die Schwingungsdauer (Periodendauer) scheinbar immer gleich ist – egal, wie stark Du das Federpendel anfangs auslenkst. Das bedeutet, auch die Frequenz der Schwingung ist immer gleich. Das möchtest Du jetzt berechnen.

Aufgabe 2

Dein selbst gebautes Federpendel besitzt folgende Eigenschaften: die angehängte Masse beträgt $m = 0, 02 k g$ und die Federkonstante der Feder ist $D = 9, 81 \frac{N}{m}$ .

a) Berechne die Periodendauer T der Schwingung des Feder-Masse-Pendels.

b) Berechne die Kreisfrequenz ω der Schwingung des Feder-Masse-Pendels.

Lösung a

Die Periodendauer T eines Feder-Masse-Pendels berechnest Du mit der oben definierten Formel. Dort setzt Du dann alle Werte ein und berechnest die Periodendauer.

$T = 2 π \cdot \sqrt{\frac{m}{D}} T = 2 π \cdot \sqrt{\frac{0, 02 k g}{9, 81 \frac{N}{m}}} T = 0, 28 s$

Lösung b

Zur Berechnung der Kreisfrequenz ω kannst Du Deine schon berechnete Periodendauer T oder die gegebenen Werte der Federkonstante D und der Masse m verwenden. In beiden Fällen setzt Du die Werte ein und berechnest daraus die Kreisfrequenz.

mit Periodendauer T berechnen	mit Federkonstante D und Masse m berechnen
$ω = \frac{2 π}{T} ω = \frac{2 π}{0, 28 s} ω = 22 \frac{1}{s}$	$ω = \sqrt{\frac{D}{m}} ω = \sqrt{\frac{9, 81 \frac{N}{m}}{0, 02 k g}} ω = 22 \frac{1}{s}$

Die Einheit der Kreisfrequenz ist nicht Hertz, weil sie die Änderungsrate des Winkels pro Zeit und nicht die Anzahl der Perioden pro Zeit (Frequenz) angibt.

Das Federpendel schwingt von allein hin und her. Doch wie viel Energie besitzt es insgesamt?

Gesamtenergie und Geschwindigkeit berechnen

Zuletzt möchtest Du noch die Gesamtenergie und die maximale Geschwindigkeit des Federpendels berechnen, wenn Du es durch eine selbst gewählte Auslenkung in Schwingung versetzt.

Aufgabe 3

Ein Feder-Masse-Pendel der Federkonstante $D = 9, 81 \frac{N}{m}$ und angehängter Masse $m = 0, 02 k g$ lenkst Du um $\hat{s} = 0, 01 m$ aus und lässt es schwingen.

a) Berechne die Gesamtenergie E_ges des Federpendels.

b) Berechne die maximale Geschwindigkeit $\hat{v}$ der Masse am Federpendel.

Lösung a

Für die Gesamtenergie E_ges eines Feder-Masse-Pendels gibt es verschiedene Formeln. Du hast hier D, m und $\hat{v}$ gegeben. Die folgende Formel bietet sich also an:

$E_{g e s} = \frac{1}{2} \cdot D \cdot {\hat{s}}^{2}$

Jetzt setzt Du alle Werte ein und kannst die Gesamtenergie berechnen:

$E_{g e s} = \frac{1}{2} \cdot 9, 81 \frac{N}{m} \cdot 0, 01^{2} m^{2} E_{g e s} = 0, 49 m J$

Lösung b

Befindet sich das Feder-Masse-Pendel während der Schwingung in der Ruhelage, ist die Geschwindigkeit der Masse maximal. An dieser Stelle hat das Federpendel keine potentielle Energie. Die Gesamtenergie E_ges ist hier also gleich der kinetischen Energie E_kin.

$E_{g e s} = E_{k i n} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot {\hat{v}}^{2}$

Diese Gleichung kannst Du nun auf die maximale Geschwindigkeit $\hat{v}$ umstellen und diese berechnen.

$\begin{array}{rcl} E_{g e s} & = & \frac{1}{2} \cdot m \cdot {\hat{v}}^{2} \\ \hat{v} & = & \sqrt{\frac{2 \cdot E_{g e s}}{m}} \\ \hat{v} & = & \sqrt{\frac{2 \cdot 0, 49 \cdot 10^{- 3} J}{0, 02 k g}} \\ \hat{v} & = & 0, 22 \frac{m}{s} \end{array}$

Feder-Masse Pendel - Das Wichtigste

Die Schwingung eines Feder-Masse-Pendels ist eine harmonische Schwingung.
Idealerweise gehst Du beim Federpendel davon aus, dass es sich dabei um eine ungedämpfte Schwingung handelt. In der Realität würde Reibung zu einer gedämpften Schwingung führen.
Während der Schwingung beschleunigen die konstante Gewichtskraft F_G der Masse m und die Federkraft F_F, je nach Auslenkung s_F der Feder der Federkonstante D, die Masse. In der Ruhelage $s_{F} = s_{0}$ befinden sich diese Kräfte im Gleichgewicht.

$\begin{array}{rcl} F_{F} & = & D \cdot s_{F} \\ F_{G} & = & m \cdot g \\ D \cdot s_{0} & = & m \cdot g \end{array}$

Die Schwingungsfunktion s(t) (Auslenkung s über Zeit t) eines Feder-Masse-Pendels der Kreisfrequenz ω bei maximaler Auslenkung $\hat{s}$ lautet:

$s (t) = \hat{s} \cdot \cos (ω \cdot t)$

Für die Periodendauer T gilt:

$T = \frac{1}{f} = \frac{2 π}{ω} = 2 π \cdot \sqrt{\frac{m}{D}}$

Die Kreisfrequenz ω berechnest Du wie folgt:

$ω = \sqrt{\frac{D}{m}}$

Während der Schwingung werden ständig potentielle E_pot und kinetische E_kin Energie ineinander umgewandelt. Diese sind abhängig von den Eigenschaften des Federpendels (Masse m, Federkonstante D) und der aktuellen Auslenkung s sowie der aktuellen Geschwindigkeit v der Masse.

E_{p o t} = \frac{1}{2} \cdot D \cdot s^{2} = \frac{1}{2} \cdot F_{F} \cdot s E_{k i n} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^{2}

Die Gesamtenergie E_ges unterliegt dabei dem Energieerhaltungssatz und bleibt somit konstant. Diese kannst Du als Summe der potentiellen und kinetischen Energie oder über die jeweiligen Maximalwerte bei maximaler Auslenkung $\hat{s}$ bzw. maximaler Geschwindigkeit $\hat{v}$ berechnen:

$E_{g e s} = k o n s t a n t E_{g e s} = E_{p o t} + E_{k i n} E_{g e s} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot {\hat{v}}^{2} E_{g e s} = \frac{1}{2} \cdot D \cdot {\hat{s}}^{2}$

Häufig gestellte Fragen zum Thema Feder-Masse Pendel

Die Schwingungsdauer wird über 2pi mal die Wurzel des Quotienten von Masse und Federkonstante berechnet. Eine größere Masse bedeutet somit eine längere Schwingungsdauer.

Die Amplitude ist die maximale Auslenkung des Schwingkörpers und kann über Extremstellenberechnung ermittelt werden. Beim Feder-Masse-Pendel kannst Du auch über die Energien die Amplitude der Schwingung berechnen.

Die Schwingungsdauer oder auch Periodendauer ist der Kehrwert der Frequenz f. Du kannst sie auch mit 2Pi mal Wurzel des Quotienten von Masse m durch Federkonstante D berechnen.

Eine Feder hört auf zu schwingen, weil durch Reibung Energie an die Umgebung verloren geht.

Finales Feder-Masse Pendel Quiz

Feder-Masse Pendel Quiz - Teste dein Wissen

Frage

Erläutere den Unterschied zwischen der Auslenkung s_F der Feder und der Auslenkung s des Feder-Masse-Pendels.

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Antwort

s_F ist die Auslenkung der Feder an sich. Allein durch eine angehängte Masse wird die Feder ausgelenkt. In der Ruhelage des Pendels ist die Feder somit schon ausgelenkt.

Die Auslenkung s des Feder-Masse-Pendels ist die Auslenkung des Federpendels aus der Ruhelage vom Pendel bei angehängter Masse.

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Frage

Gib an, welche Kräfte beim Schwingen eines Feder-Masse-Pendels ausschlaggebend sind.

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Antwort

Gewichtskraft F_G der Masse

Federkraft F_F der Feder (Rückstellkraft)

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Frage

Gib an, was die Schwingungsfunktion eines Feder-Masse-Pendels beschreibt.

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Antwort

Die Schwingungsfunktion s(t) eines Feder-Masse-Pendels beschreibt die Auslenkung s des Pendels während dem Schwingen zu jedem Zeitpunkt t.

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Frage

Wähle aus, wie groß die Auslenkung nach oben im Vergleich zur anfänglichen Auslenkung nach unten ist, wenn du ein ideales Feder-Masse-Pendel auslenkst.

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Antwort

Beide Auslenkungen sind gleich.

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Frage

Ein ideales Feder-Masse-Pendel befindet sich in einer Schwingung. Beschreibe, wie sich die Federkraft F_F verhält, während sich das Pendel nach unten und nach oben bewegt.

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Antwort

Bewegt sich das Pendel nach unten, wird auch die Feder weiter gespannt. Dabei steigt die Federkraft.

Bewegt sich das Pendel nach oben, entspannt sich die Feder. Die Federkraft sinkt. Ist die Auslenkung nach oben jedoch größer als die Auslenkung der Feder durch die Masse, verändert sich die Richtung der Federkraft und sie wird wieder größer. Das liegt daran, dass die Feder nun gestaucht wird.

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Frage

Gib an, mithilfe welcher mathematischen Funktion Du die Schwingung eines Feder-Masse-Pendels beschreiben kannst.

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Allgemein mit einer Kosinusfunktion, wenn die Betrachtung bei maximaler Auslenkung beginnt.

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Frage

Beschreibe den Unterschied zwischen der Betrachtung eines idealen und eines realen Feder-Masse-Pendels.

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Antwort

Beim idealen Feder-Masse-Pendel vernachlässigst Du Reibung und andere kleine auftretende Effekte. Die Feder siehst Du dabei als masselos und bautechnisch makellos an.

Beim realen Pendel wird das Pendel durch Reibung und nicht-ideale Bauteile mit der Zeit ausgebremst.

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Frage

Gib an, wie sich die Schwingungsdauer verhält, wenn Du gleichzeitig die angehängte Masse vergrößerst und die Federkonstante der Feder verkleinerst.

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Antwort

Schwingungsdauer steigt

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Frage

Gib an, welchen Einfluss eine Verlängerung der Schwingungsdauer auf die Frequenz der Schwingung hat.

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Antwort

Frequenz wird kleiner

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Frage

Gib an, welche mechanischen Energien beim idealen Feder-Masse-Pendel ständig ineinander umgewandelt werden.

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Antwort

Potentielle und kinetische Energie werden ständig ineinander umgewandelt.

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Lösen der Differentialgleichung

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Periodendauer und Kreisfrequenz berechnen

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Feder-Masse Pendel - Das Wichtigste

Häufig gestellte Fragen zum Thema Feder-Masse Pendel

Wie beeinflusst die Masse der Feder die Schwingungsdauer?

Wie berechnet man die Amplitude einer Schwingung?

Wie rechnet man die Schwingungsdauer aus?

Warum hört eine Feder auf zu schwingen?

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