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Gleichförmige Kreisbewegung

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Gleichförmige Kreisbewegung

Dieser Artikel dreht es sich um die gleichförmige Kreisbewegung. Was es damit auf sich hat, welche Begriffe und Formeln für dich wichtig sind und wie du diese in Beispielen anwendest erfährst du in diesem Kapitel. Das Kapitel können wir der Mechanik und damit dem Fach Physik zuordnen.

Gleichförmige Kreisbewegung – Was ist das überhaupt?

In der Kinematik, also der Lehre von Bewegungen als Teilgebiet der Mechanik, werden drei unterschiedliche Bewegungsformen unterschieden. Wir haben uns bereits in einem anderen Kapitel mit der geradlinigen gleichförmigen Bewegung beschäftigt. Nachfolgend gehen wir näher auf die gleichförmige Kreisbewegung ein.

Kreisbewegung

Im Gegensatz zur geradlinigen Bewegung bewegt sich der Körper bei einer Kreisbewegung in einer kreisförmigen Bahn um einen Mittelpunkt. Dabei hat der Körper immer den gleichen Abstand r zum Mittelpunkt.

Wie wir bereits vom Kapitel gleichförmige Bewegung wissen, kann eine geradlinige Bewegung durch mehrere wichtige Kenngrößen beschrieben werden. Die nachfolgende Tabelle wiederholt die Zustandsgrößen mit der jeweiligen Bezeichnung und der zugehörigen Einheit.

Kenngröße

Einheit

Bezeichnung

Formelzeichen

Name

Zeichen

Zeit

t

Sekunde

s

Strecke

s

Meter

m

Geschwindigkeit

v

Meter/Sekunde

m/s

Beschleunigung

a

Meter/(Sekunde)²

m/s²

Tabelle 1: Kenngrößen der geradlinigen Bewegung

Auch bei einer Kreisbewegung können diese Zustandsgrößen zur Beschreibung von Bewegungen dienen. Zusätzlich müssen jedoch weitere Kenngrößen genutzt werden. Den Abstand bzw. Radius r kennen wir schon aus der Mathematik (Link), ebenso den Umfang eines Kreises. Kurz zur Wiederholung der Berechnung:

Kenngröße

Einheit

Bezeichnung

Formelzeichen

Name

Zeichen

Radius

r

Meter

m

Umfang

U

Meter

m

Tabelle 2: Kenngrößen aus der Mathematik

Zeiten bei einer Kreisbewegung

Zeitpunkte und Zeiträume sind uns bereits von der geradlinigen Bewegung bekannt. Auch bei der Kreisbewegung können gewisse Größen für einen bestimmten Zeitpunkt bestimmt werden und ebenso für einen bestimmten Zeitraum.

Zusätzlich dazu wird bei Kreisbewegungen noch eine weitere Kenngröße genutzt: die Periodendauer T oder auch Umlaufzeit T. Sie gibt an, wie lange der Körper benötigt, um einen kompletten Umlauf der Kreisbahn zurückzulegen. Also wie lange der Körper braucht, um bei Punkt A zu starten und wieder bis zu Punkt A zu gelangen. Damit können wir die Anzahl der Umdrehungen (Umläufe) N als weitere Kenngröße definieren. Damit gilt für die Periodendauer T:

Im direkten Zusammenhang zwischen Umdrehungen und der Zeit steht die Frequenz f. Sie gibt an, wie viele Umdrehungen ein Körper auf der Kreisbahn pro Sekunde macht. Es gilt:

Damit können wir folgende Kenngrößen hinzufügen:

Kenngröße

Einheit

Bezeichnung

Formelzeichen

Name

Zeichen

Zeit

t

Sekunde

s

Periodendauer

T

Sekunde

s

Umdrehungen

N

Frequenz

F

Hertz

Hz

Tabelle 3: Zeitliche Kenngrößen bei Kreisbewegung

Orte bei einer Kreisbewegung

Wie auch bei der geradlinigen Bewegung kann bei der gleichförmigen Kreisbewegung die Ortslage bestimmt werden. Dies kann ebenfalls die Lage zu einem bestimmten Zeitpunkt sein oder auch die Strecke zwischen verschiedenen Orten. Bei der Kreisbewegung gibt es jedoch zwei Möglichkeiten die Lage des Körpers anzugeben:

  • Bahnstrecke
  • Drehwinkel und Radius

Wir sehen in der folgenden Zeichnung beide Varianten.

Analog zur geradlinigen Bewegung ist die Strecke zwischen Punkt A und Punkt B die Bahnstrecke ∆s, jedoch ist diese nicht geradlinig, sondern kreisförmig. Zusätzlich kann die Lage des Körpers auch mithilfe des Drehwinkels ∆φ und dem Radius r angegeben werden. Damit gilt zwischen den Kenngrößen folgender Zusammenhang:

Falls nur ein Ortspunkt und keine Strecke betrachtet wird gilt:

Winkel können dabei grundsätzlich in zwei Varianten angegeben werden:

  • Gradmaß des ganzen Kreises: 360°
  • Bogenmaß des ganzen Kreises: 2π

Für die Lage eines Körpers können somit folgende Kenngrößen definiert werden:

Kenngröße

Einheit

Bezeichnung

Formelzeichen

Name

Zeichen

Bahnstrecke

s

Meter

m

Drehwinkel

Rad oder Grad

rad oder °

Tabelle 4: Örtliche Kenngrößen bei Kreisbewegung

Geschwindigkeiten bei einer Kreisbewegung

Der grüne Körper bewegt sich mit einer gewissen Geschwindigkeit auf einer kreisförmigen Bahn von Punkt A zu Punkt B. Wie wir in der nachfolgenden Zeichnung sehen können, startet der Körper mit der Geschwindigkeit bei Punkt A. Diese wird auch als Bahngeschwindigkeit bezeichnet. Dabei muss wie folgt unterschieden werden:

  • Betrag der Geschwindigkeit

  • Vektor der Geschwindigkeit

Abbildung 4: Geschwindigkeiten bei Kreisbewegungen

Der Betrag v einer Geschwindigkeit ist die Größe der Geschwindigkeit. Zum Beispiel 5 m/s. Sie sagt nichts über die Richtung aus. Der sogenannte Geschwindigkeits-vektor v zeigt dabei die Richtung der Geschwindigkeit an. Beim Start unseres Beispiels zeigt dieser nach rechts, also in die positive x-Richtung. Wenn der Körper bei Punkt B angelangt ist, zeigt der Geschwindigkeitsvektor in eine andere Richtung. Er bildet aber zusammen mit dem Bahnradius immer einen rechten Winkel.

Gleichförmig

Analog zur geradlinigen gleichförmigen Bewegung ist bei einer gleichförmigen Kreisbewegung ebenso der Betrag der Geschwindigkeit konstant. Sie verändert sich während der Bewegung von Punkt A zu Punkt B nicht. Dagegen ändert sich der Geschwindigkeitsvektor ständig. Daher gilt für eine gleichförmige Kreisbewegung:

Neben der Bahngeschwindigkeit gibt es zusätzlich noch eine weitere Geschwindigkeit: die Winkelgeschwindigkeit . Sie gibt an, wie sich bei einer Bewegung auf der Kreisbahn der Winkel in Abhängigkeit von der Zeit ändert. Bei einer gleichförmigen Kreisbewegung ist diese ebenfalls konstant und es gilt daher:

Zwischen den beiden Geschwindigkeiten einer Kreisbewegung kann zudem wieder ein Zusammenhang hergestellt werden. Daher gilt außerdem:

Durch Einsetzen der Formel ergibt sich noch folgende Formel:

Die zugehörigen Kenngrößen lauten daher:

Kenngröße

Einheit

Bezeichnung

Formelzeichen

Name

Zeichen

Bahngeschwindigkeit

v

Meter/Sekunde

m/s

Winkelgeschwindigkeit

1/Sekunde

1/s

Tabelle 5: Geschwindigkeits-Kenngrößen bei Kreisbewegung

Beschleunigung bei einer Kreisbewegung

Damit ein Körper auf der kreisförmigen Bahn bleibt, ändert sich ständig die Richtung der Geschwindigkeit. Der Betrag bleibt dabei konstant. Die Änderung der Geschwindigkeitsrichtung in Abhängigkeit von der Zeit führt dazu, dass der Körper beschleunigt. Dies ist auch bei einer gleichförmigen Kreisbewegung der Fall. Die auftretende Beschleunigung ist stets vom Körper zum Mittelpunkt hingerichtet und wird als Radialbeschleunigung , Normalbeschleunigung oder auch Zentripetalbeschleunigung bezeichnet.

Abbildung 5: Beschleunigung bei Kreisbewegung

In Abhängigkeit der anderen Kenngrößen lässt sich somit folgende Formel für diese Beschleunigung definieren:

Häufig wird in der Literatur statt a auch , oder auch verwendet.

Grundsätzlich kann noch eine weitere Beschleunigung an der Kreisbewegung vorhanden sein, wenn sich auch der Betrag der Geschwindigkeit verändert. Dies ist jedoch für die gleichförmige Kreisbewegung nicht der Fall. Diese Beschleunigung wird auch als Tangentialbeschleunigung bezeichnet und wird meist als definiert.

Unsere Kenngröße für die Beschleunigung einer gleichförmigen Kreisbewegung ist damit:

Kenngröße

Einheit

Bezeichnung

Formelzeichen

Name

Zeichen

Radialbeschleunigung

ar

Meter/Sekunde²

m/s²

Tabelle 6: Beschleunigung als Kenngrößen

Um die Anwendung der Formeln und Diagramme zur gleichförmigen Bewegung besser verstehen zu können, wird nachfolgend noch ein Beispiel berechnet. Versuche mithilfe deines neu erworbenen Wissens die Aufgabe zunächst selbstständig zu lösen.

Anwendungsbeispiel gleichförmige Kreisbewegung

Die Gondel eines Riesenrads hat einen Durchmesser von 100 m. Sie benötigt für einen halben Umlauf eine Zeit von 20 s.

a) Mit welcher Winkelgeschwindigkeit bewegt sich die Gondel?

b) Wie hoch ist die Periodendauer und die Frequenz?

c) Wie viele Umläufe macht die Gondel in einer Zeit von 2 Minuten?

Lösung:

a) Halbkreis und Formel für Winkelgeschwindigkeit:

Für den Halbkreis gilt:

b) Formel für Periodendauer und Frequenz:

1. Möglichkeit:Für einen halben Umlauf gilt:

Damit gilt für einen ganzen Umlauf:

2. Möglichkeit:

Für die Frequenz gilt:

c) Formel für die Umläufe pro Zeit:

Gleichförmige Kreisbewegung – Alles Wichtige auf einen Blick

  • Bei einer gleichförmigen Kreisbewegung bewegt sich ein Körper auf einer kreisförmigen Bahn mit einem Radius r.
  • Die Periodendauer T beschreibt, wie lange ein Körper für einen kompletten Umlauf benötigt.

  • In direktem Zusammenhang steht die Frequenz f. Sie sagt aus, wie viele Umläufe pro Sekunde zurückgelegt werden.

  • Die Lage des Körpers auf der Kreisbahn kann durch die Bahnstrecke s oder mithilfe des Drehwinkels und des Radius r definiert werden.

  • Winkel können dabei grundsätzlich in zwei Varianten angegeben werden:
    • Gradmaß des ganzen Kreises: 360°
    • Bogenmaß des ganzen Kreises: 2π
  • Der Betrag der Bahngeschwindigkeit ist bei einer gleichförmigen Kreisbewegung konstant. Die Richtung der Bahngeschwindigkeit ändert sich.

  • Die Winkelgeschwindigkeit gibt die Abhängigkeit des verstrichenen Winkels von der Zeit an und ist bei einer gleichförmigen Kreisbewegung konstant.

  • Die Beziehung zwischen Winkelgeschwindigkeit und Bahngeschwindigkeit lautet:

  • Damit ergibt sich:

  • Durch die ständige Richtungsänderung der Geschwindigkeit kann die Radialbeschleunigung oder auch Zentripetalbeschleunigung definiert werden.

Unsere Empfehlung

Achte beim Lösen von Aufgaben darauf, ob Zeitpunkte oder Zeiträume gefragt sind. Vergiss zudem nicht die richtigen Einstellungen für die Winkelberechnung im Taschenrechner zu machen. Dort können leicht Fehler passieren. Du kannst gerne Skizzen zur Lösung der Aufgaben erstellen, um es dir leichter zu machen. Kontrolliere hinterher, ob deine Berechnung logisch ist und um falsche Ergebnisse durch Verwechslungen auszuschließen.

Viel Erfolg!

Finales Gleichförmige Kreisbewegung Quiz

Frage

Welchen Unterschied gibt es bei der Bahn einer gleichförmigen Kreisbewegung und der Bahn ein gleichförmigen Bewegung?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Bahn der gleichförmigen Bewegung ist geradlinig. Die Bahn der gleichförmigen Kreisbewegung ist kreisförmig.

Frage anzeigen

Frage

Was ist die Periodendauer T bei einer gleichförmigen Kreisbewegung?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Periodendauer T bei einer gleichförmigen Kreisbewegung ist die Zeit, die der Körper benötigt, um einen kompletten Umlauf auf der Kreisbahn zurückzulegen.

Frage anzeigen

Frage

Was ist die Frequenz bei einer gleichförmigen Kreisbewegung?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Frequenz bei einer gleichförmigen Kreisbewegung gibt an, wie viele Umdrehungen ein Körper auf der Kreisbahn pro Sekunde macht.

Frage anzeigen

Frage

Gibt es bei der gleichförmigen Kreisbewegung eine Beschleunigung und wenn ja, welche?

Antwort anzeigen

Antwort

Bei einer gleichförmigen Kreisbewegung gibt es die Radialbeschleunigung. Sie wird oft auch Normalbeschleunigung oder Zentripetalbeschleunigung genannt.

Frage anzeigen
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