\(\definecolor{bl}{RGB}{20, 120, 200}\definecolor{gr}{RGB}{0, 220, 180}\definecolor{r}{RGB}{250, 50, 115}\definecolor{li}{RGB}{131, 99, 226}\definecolor{ge}{RGB}{255, 205, 0}\)Die gleichförmige Kreisbewegung in der Physik unterscheidet sich von einer einfachen Kreisbewegung. Sie besitzt entsprechend eine eigene Definition und Formeln, um Beispiele einfach zu erklären oder in Aufgaben etwa die Umlaufzeit zu berechnen. Das, was Du im Alltag als Kreisbewegung siehst, ist nicht immer eine gleichförmige Kreisbewegung wie die, die in der Physik gemeint ist.
Ein Kreisel, das Karussell oder gar die Drehung unserer Erde und um die Sonne – alle genannten Dinge haben zwar näherungsweise etwas mit einer Kreisbewegung zu tun, jedoch nicht unbedingt mit einer gleichförmigen Kreisbewegung.
Was ist denn nun eine Kreisbewegung und wann ist sie gleichförmig?
Kreisbewegung einfach erklärt
Einfach erklärt gilt im Alltag und auch in der Physik: bewegt sich etwas im Kreis, dann sprichst Du von einer Kreisbewegung. Aber Achtung: dabei gibt es einen Unterschied zwischen „Kreisbewegung“ und „im Kreis drehen“.
Ein Kreisel dreht sich etwa im Kreis, weil sich der Körper „Kreisel“ selbst um seine Achse dreht. Betrachtest Du stattdessen einen speziellen Punkt auf dem Kreisel, dann bewegt sich dieser auf einer Kreisbahn – er führt eine Kreisbewegung durch.
Eine Kreisbewegung findet also dann statt, wenn sich ein Körper auf einer Kreisbahn bewegt. Sprichst Du dabei von einer gleichförmigen Kreisbewegung, bedeutet das, dass die Geschwindigkeit des Körpers sowie der Radius der Kreisbahn unverändert bleiben.
Die gleichförmige Kreisbewegung kannst Du Dir anhand von alltäglichen Beispielen anschaulich vorstellen.
Gleichförmige Kreisbewegung Beispiele Alltag
Im Alltag werden viele bogenartige Bewegungen – etwa eine Kurvenfahrt – als Beispiel für eine Kreisbewegung genannt. Aus Sicht der Physik können manche Bewegungen näherungsweise als Kreisbewegungen – teilweise auch als gleichförmige Kreisbewegungen – betrachtet werden.
Sitzt Du in einem einfachen, drehenden Karussell, dann führst Du eine Kreisbewegung durch. Bleibst Du an der gleichen Stelle (gleicher Kreisbahnradius) sitzen und dreht sich das Karussell immer gleich schnell, wäre es eine gleichförmige Kreisbewegung. Beim Beschleunigen oder Abbremsen handelt es sich nicht um eine gleichförmige Kreisbewegung, weil dabei die Geschwindigkeit verändert wird.
Abb. 1 - Beispiele für die gleichförmige Kreisbewegung aus dem Alltag
Ähnlich ist es beim Fahrrad oder Autoreifen. Bist Du mit einer gleichbleibenden Geschwindigkeit unterwegs, dann führt das Ventil am Reifen eine gleichförmige Kreisbewegung durch, obwohl Auto oder Fahrrad vermutlich nicht im Kreis fahren. Fährst Du mit Fahrrad oder Auto stattdessen im gleich großen Kreis (Kreisverkehr), geht es um eine Kreisbewegung. Hältst Du dabei die Geschwindigkeit, dann handelt es sich bei der Bewegung auch um eine gleichförmige Kreisbewegung.
Diese Form der Kreisbewegung kannst Du auch physikalisch beschreiben.
Gleichförmige Kreisbewegung Physik
In der Physik gilt oft als Ziel, etwas mithilfe von Formeln und Definitionen so genau wie möglich beschreiben zu können. In der deutschen Sprache ist aber nicht immer alles eindeutig. So könntest Du vermuten, dass die gleichförmige Kreisbewegung eine gleichförmige Bewegung im Kreis ist. Dem ist aber nicht so.
Eine gleichförmige Bewegung ist so definiert, dass sich die Bewegung nicht verändert. Es gibt keine Beschleunigung und dadurch bleiben Geschwindigkeit und Richtung der Bewegung immer gleich.
Beispiele, Formeln und tiefergehende Erklärungen findest Du bei „Gleichförmige Bewegung“.
Bei der Kreisbewegung herrscht aber – selbst bei gleichbleibender Geschwindigkeit – immer eine Beschleunigung. Nämlich die Beschleunigung, die den Körper auf der Kreisbahn hält.
Stelle Dir vor, Du bindest einen leichten Gegenstand an einen Faden und schwingst den Gegenstand mit gleichbleibender Geschwindigkeit \(v\) im Kreis. Der Gegenstand führt also eine Kreisbewegung durch. Dabei merkst Du, wie der Gegenstand am Faden und somit an Deiner Hand zieht. Die gleiche Kraft spürt auch der Gegenstand. Kraft bedeutet auch Beschleunigung \(a\).
Würde die Kraft nicht mehr wirken – sprich, Du lässt los – würde der Gegenstand nicht in der Kreisbewegung verbleiben, sondern geradeaus weiterfliegen. Durch die Kraft wird der Gegenstand am Faden also ständig in Richtung Deiner Hand beschleunigt.
Abb. 2 - Geschwindigkeit und Beschleunigung bei gleichförmiger Kreisbewegung
Diese Beschleunigung führt dazu, dass sich zwar nicht der Betrag der Geschwindigkeit \(v\), sondern die Richtung der Geschwindigkeit ständig ändert.
Eine gleichförmige Kreisbewegung ist somit keine gleichförmige Bewegung in Form einer Kreisbewegung, weil ständig eine Richtungsänderung vorkommt. Was ist dann nun eine gleichförmige Kreisbewegung?
Gleichförmige Kreisbewegung Definition
Die Gemeinsamkeit von gleichförmiger Bewegung und gleichförmiger Kreisbewegung ist lediglich, dass sich der Betrag der Geschwindigkeit nicht verändert.
Die gleichförmige Kreisbewegung ist die gleichbleibende Bewegung eines Körpers entlang einer gleichbleibenden Kreisbahn, bei der der Betrag der Geschwindigkeit \(|v|\) stets gleich bleibt.
\[|v| = \text{konstant}\]
Eine Beschleunigung hält den Körper auf der Kreisbahn. Sie verändert nur die Richtung, aber nicht den Betrag der Geschwindigkeit. In gleichen Zeitabständen legt der Körper somit die gleichen Strecken zurück.
Die Größen der Geschwindigkeit und Beschleunigung einer Kreisbewegung kannst Du auch etwas genauer betrachten.
Gleichförmige Kreisbewegung Bahn- & Winkelgeschwindigkeit
Eine gleichförmige Kreisbewegung bedeutet, dass die Geschwindigkeit trotz ständiger Beschleunigung konstant ist. Die Bewegung erfolgt entlang einer Kreisbahn, also wird die Geschwindigkeit des bewegten Körpers auch Bahngeschwindigkeit genannt.
Da es sich aber um eine Kreisbahn handelt, kannst Du die Geschwindigkeit auch als überstrichenen Winkel pro Zeit beschreiben. In diesem Fall ist von der Winkelgeschwindigkeit der Kreisbewegung die Rede.
Die Bahngeschwindigkeit \(v\) ist die Geschwindigkeit eines Körpers auf einer Kreisbahn in Metern pro Sekunde \(\mathrm{\frac{m}{s}}\).
Du kannst sie auch als Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) (griechischer Buchstabe Omega) angeben, die den überstrichenen Winkel pro Sekunde angibt.
Damit der Körper auf der Bahn bleibt, wird er ständig zum Mittelpunkt mit der Radialbeschleunigung (auch Normalbeschleunigung) \(a\) in Metern pro Quadratsekunde \(\mathrm{\frac{m}{s^2}}\) beschleunigt.
Bei der gleichförmigen Kreisbewegung sind Geschwindigkeit und Radialbeschleunigung stets konstant.
\begin{align}v &= \text{konstant} \\ \omega &= \text{konstant} \\ a &= \text{konstant}\end{align}
Ist die Bahngeschwindigkeit gerade so groß, dass pro Sekunde \(\left(t = 1 \, s\right)\) ein halber Kreis \(\left(\text{Winkel} \, \varphi = 180°\right)\) geschafft wird, dann ist die Winkelgeschwindigkeit genau 180° pro Sekunde, oder im Bogenmaß \(1 \, \pi\) pro Sekunde – also \({\color{bl}\omega = \frac{180°}{\mathrm{s}} = \frac{1 \, \pi}{\mathrm{s}}}\).
Abb 3. - Winkelgeschwindigkeit bei gleichförmiger Kreisbewegung
Neben der Geschwindigkeit und Beschleunigung gibt es weitere physikalische Größen bei der gleichförmigen Kreisbewegung.
Gleichförmige Kreisbewegung Umlaufzeit & Frequenz
Eine gleichförmige Kreisbewegung kannst Du auch mit Umlaufzeit und Frequenz definieren, da sie periodisch abläuft. Das bedeutet, dass die Kreisbahn immer gleich bleibt und dabei unverändert in gleichen Abständen immer die gleiche Bewegung durchgeführt wird. Eine ungleichförmige Kreisbewegung wäre somit nicht periodisch.
Die Umlaufzeit (besser: Periodendauer) \(T\) der gleichförmigen Kreisbewegung – angegeben in Sekunden \(\mathrm{s}\) – gibt an, wie lange eine einzelne komplette Kreisbewegung (ein Umlauf) dauert.
Die Frequenz \(f\) gibt an, wie viele Umläufe pro Sekunde stattfinden. Ihre Einheit ist \(\mathrm{\frac{1}{s}}\) oder Hertz \(\mathrm{Hz}\).
Betrachtest Du eine gleichförmige Kreisbewegung, dann ändert sich weder die Umlaufzeit noch die Frequenz.
\begin{align} T &= \text{konstant} \\ f &= \text{konstant}\end{align}
Eine Umlaufzeit von \(T=2 \, \mathrm{s}\) bedeutet, dass ein halber Umlauf pro Sekunde – also \(f=\frac{1}{2} \, \mathrm{Hz}\) – stattfindet.
Bei den hier beispielhaften, übersichtlich gewählten Werten kann es möglich sein, sich die Kreisbewegung im Kopf vorzustellen. Formeln sind dennoch hilfreich.
Gleichförmige Kreisbewegung Formel
Mithilfe von Formeln kannst Du die physikalischen Größen, wie die Umlaufzeit, aus den Definitionen für die Kreisbewegung ineinander umrechnen.
Die gleichförmige Kreisbewegung ist dadurch definiert, dass alle Größen gleich bleiben (konstant). Du kannst sie entsprechend der folgenden Formeln ineinander umrechnen.
| Größe | Formel für gleichförmige Kreisbewegung |
| Radius \(r\) und Umfang \(U\) der Kreisbahn | \[r = \frac{U}{2 \cdot \pi} = \text{konstant}\] |
| Periodendauer \(T\) (Umlaufzeit): Zeit für einen kompletten Umlauf | \[T = \frac{1}{f} = \text{konstant}\] |
| Frequenz \(f\): Anzahl Umläufe pro Sekunde | \[f = \frac{1}{T} = \text{konstant}\] |
| Bahngeschwindigkeit \(v\): Geschwindigkeit, mit der sich der Körper auf der Kreisbahn bewegt | \begin{align}v &= \frac{2 \cdot \pi \cdot r}{T} \\ v &= 2 \cdot \pi \cdot r \cdot f \\ v &= \omega \cdot r \\ v &= \text{konstant}\end{align} |
| Winkelgeschwindigkeit \(\omega\): Geschwindigkeit, bezogen auf den überstrichenen Winkel \(\varphi\) pro Zeit \(t\) | \begin{align}\omega &= \frac{\varphi}{t} \\ \omega &= \frac{2 \cdot \pi}{T} \\ \omega &= 2 \cdot \pi \cdot f \\ \omega &= \text{konstant}\end{align} |
| Radialbeschleunigung \(a\):Beschleunigung, die den Körper auf der Kreisbahn hält | \[a = \frac{v^2}{r} = \text{konstant}\] |
Bleibt eine der Größen nicht konstant, ändern sich entsprechend auch andere Größen und es handelt sich nicht mehr um eine gleichförmige Kreisbewegung, sondern um eine Kreisbewegung oder andere Art der Bewegung.
Woher die Formel für die Radialbeschleunigung kommt, kannst Du in den Erklärungen zu den Rotationskräften bei „Zentripetalkraft“ und „Zentrifugalkraft“ nachlesen.
Mit diesen Formeln kannst Du nun Aufgaben und Beispiele zur Kreisbewegung aus dem Alltag berechnen.
Gleichförmige Kreisbewegung Aufgaben
Die Beispiele für die gleichförmige Kreisbewegung können je nach Aufgabe in der Physik unterschiedlich sein. Formeln und Größen aus den Definitionen gelten aber immer.
Stelle Dir vor, Du sitzt in der mittleren Reihe in einem großen Karussell und bewegst Dich näherungsweise gleichförmig im Kreis.
Aufgabe 1
Du sitzt im Karussell im Radius \(r_1 = 3 \, \mathrm{m}\) vom Mittelpunkt entfernt. Dabei stoppst Du die Zeit, die das Karussell für eine Umdrehung benötigt. Das sind genau \(T = 4 \, \mathrm{s}\).
a) Berechne die Geschwindigkeit \(v_1\), mit der Du Dich im Kreis bewegst.
b) Berechne die Geschwindigkeit \(v_2\), wenn Du am Rand bei \(r_2 = 6 \, \mathrm{m}\) sitzen würdest.
c) Vergleiche kurz beide Geschwindigkeiten \(v_1\) und \(v_2\).
Lösung a
Für die Bahngeschwindigkeit gibt es mehrere Formeln. Du hast \(r\) und \(T\) gegeben. Die entsprechend passende Formel lautet:
\[v = \frac{2 \cdot \pi \cdot r}{T}\]
Ein Umstellen ist nicht nötig. Somit kannst Du direkt einsetzen und die Bahngeschwindigkeit \(v_1\) berechnen:
\begin{align}v_1 &= \frac{2 \cdot \pi \cdot r_1}{T} \\ \\v_1 &= \frac{2 \cdot \pi \cdot 3 \, \mathrm{m}}{4 \, \mathrm{s}} \\ \\v_1 &= \frac{3 \cdot \pi}{2} \, \mathrm{\frac{m}{s}} = 4{,}71 \, \mathrm{\frac{m}{s}}\end{align}
Lösung b
Nun sitzt Du weiter außen im Karussell. An der Zeit für eine Umdrehung ändert sich aber nichts im Vergleich zu vorher. Die Herangehensweise ist somit die gleiche wie bei der Teilaufgabe a. Jetzt setzt Du aber den veränderten Wert \(r_2\) ein, um \(v_2\) zu berechnen:
\begin{align}v_2 &= \frac{2 \cdot \pi \cdot r_2}{T} \\ \\v_2 &= \frac{2 \cdot \pi \cdot 6 \, \mathrm{m}}{4 \, \mathrm{s}} \\ \\v_2 &= 3 \cdot \pi \, \mathrm{\frac{m}{s}} = 9{,}42\, \mathrm{\frac{m}{s}}\end{align}
Lösung c
Beim doppelten Bahnradius \(r_2 = 2 \cdot r_1\) verdoppelt sich auch die Bahngeschwindigkeit \(v_2 = 2 \cdot v_1\), wenn alle anderen Bedingungen gleich bleiben.
Vermutlich hast Du gerade bei schnellen Karussellen oder anderen Kreisbewegungen gemerkt, dass Du dabei „nach außen“ gedrückt wirst. Tatsächlich wirst Du aber vom Sitz oder der Wand nach innen gedrückt.
Eine Kraft bedeutet immer eine Beschleunigung. Bei der gleichförmigen Kreisbewegung ist die Beschleunigung die Radialbeschleunigung, die Du merkst und die Dich auf der Kreisbahn hält. Doppelter Radius hat zur Verdopplung der Geschwindigkeit geführt. Wie sieht es mit der Beschleunigung aus?
Aufgabe 2
Entsprechend den Lösungen aus Aufgabe 1 betrachtest Du jetzt für die gleichen Fälle die Radialbeschleunigungen.
a) Berechne die Radialbeschleunigung \(a_1\) bei einer Bahngeschwindigkeit \(v_1 = 4{,}71 \, \mathrm{\frac{m}{s}}\) mit Bahnradius \(r_1 = 3 \, \mathrm{m}\).
b) Berechne die Radialbeschleunigung \(a_2\) bei einer Bahngeschwindigkeit \(v_2 = 9{,}42 \, \mathrm{\frac{m}{s}}\) mit Bahnradius \(r_1 = 6 \, \mathrm{m}\).
c) Vergleiche kurz beide Radialbeschleunigungen \(a_1\) und \(a_2\) miteinander und mit der Erdbeschleunigung \(g=9{,}81 \, \mathrm{\frac{m}{s^2}}\).
Die Erdbeschleunigung ist die Beschleunigung, mit der Du von der Erde angezogen wirst.
Lösung a
Die Formel für die Radialbeschleunigung lautet:
\[a = \frac{v^2}{r}\]
Du kannst direkt einsetzen und berechnen:
\begin{align} a_1 &= \frac{{v_1}^2}{r_1} \\ \\ a_1 &= \frac{\left(4{,}71 \, \mathrm{\frac{m}{s}}\right)^2}{3 \, \mathrm{m}} \\ \\ a_1 &= 7{,}4 \, \mathrm{\frac{m}{s^2}}\end{align}
Lösung b
Das gleiche Prozedere wie in Teilaufgabe a – jetzt setzt Du aber die entsprechenden Werte \(v_2\) und \(r_2\) für die Berechnung von \(a_2\) ein:
\begin{align} a_2 &= \frac{{v_2}^2}{r_2} \\ \\ a_2 &= \frac{\left(9{,}42 \, \mathrm{\frac{m}{s}}\right)^2}{6 \, \mathrm{m}} \\ \\ a_2 &= 14{,}8 \, \mathrm{\frac{m}{s^2}}\end{align}
Lösung c
Wie auch die Geschwindigkeit wird die Beschleunigung bei doppeltem Radius verdoppelt. Sie wird dabei sogar schnell so groß, dass sie größer als die Erdbeschleunigung ist. Eine so starke Beschleunigung ist ungewohnt für den menschlichen Körper und kann für Unwohlsein sorgen.
Wirkt eine große Beschleunigung auf den Körper, wird das oft als ein Vielfaches von der Erdbeschleunigung \(g / G\) angegeben. In der Beispielaufgabe würde beim Radius \(r_2 = 6 \, \mathrm{m}\) etwa „1,5 G“ wirken.
Radius, Geschwindigkeit und Beschleunigung wurden im Beispiel verändert. Hat das hier einen Einfluss auf die Winkelgeschwindigkeit?
Aufgabe 3
Erkläre, ob beim Beispiel von Aufgabe 1 & 2 die Winkelgeschwindigkeit verändert wurde. Falls ja, inwiefern?
Lösung
Das Karussell benötigt für eine Umdrehung \(T = 4 \, \mathrm{s}\). Das ändert sich auch nicht, wenn Du Dich an eine andere Stelle im Karussell setzt. Entsprechend bleibt die Winkelgeschwindigkeit immer bei \(\omega = \frac{360°}{4 \, \mathrm{s}}\) (360° einer vollen Umdrehung pro 4 Sekunden) oder \(\omega = \frac{90°}{\mathrm{s}}\) (Viertel Umdrehung pro Sekunde).
Du führst immer dann eine gleichförmige Kreisbewegung aus, wenn Du Dich auf einer Kreisbahn bewegst und sich nichts dabei ändert. Deine Geschwindigkeit bleibt immer gleich, obwohl Du stets in die Kreismitte beschleunigt wirst.
Ähnliche Inhalte, wie Du etwa allgemein mit Beschleunigung, Geschwindigkeit, Strecke und Zeit umgehst, findest Du bei „Bewegung von Körpern“, insbesondere bei „Gleichförmige Bewegung“ und „Gleichmäßig beschleunigte Bewegung“.
Damit es zu einer gleichförmigen Kreisbewegung kommt, müssen gewisse Kräfte wirken, die bei „Zentripetalkraft“ und „Zentrifugalkraft“ erklärt werden.
Gleichförmige Kreisbewegung – Das Wichtigste
- Die gleichförmige Kreisbewegung ist die Bewegung eines Körpers auf einer Kreisbahn, bei der der Betrag der Bahngeschwindigkeit stets konstant bleibt.
- Damit der Körper auf der Kreisbahn bleibt, wird er ständig durch die Radialbeschleunigung (auch Normalbeschleunigung) zum Mittelpunkt der Kreisbahn beschleunigt.
- Die wichtigsten Größen und Formeln bei der Berechnung der gleichförmigen Kreisbewegung sind die folgenden, wobei gilt, dass alle Größen konstant bleiben.
| Größe | Formel für gleichförmige Kreisbewegung |
| Radius \(r\) und Umfang \(U\) der Kreisbahn | \[r = \frac{U}{2 \cdot \pi}\] |
| Periodendauer \(T\) (Umlaufzeit): Zeit für einen kompletten Umlauf | \[T = \frac{1}{f}\] |
| Frequenz \(f\): Anzahl Umläufe pro Sekunde | \[f = \frac{1}{T}\] |
| Bahngeschwindigkeit \(v\): Geschwindigkeit, mit der sich der Körper auf der Kreisbahn bewegt | \begin{align}v &= 2 \cdot \pi \cdot r \cdot f \\ v &= \omega \cdot r\end{align} |
| Winkelgeschwindigkeit \(\omega\): Geschwindigkeit, bezogen auf den überstrichenen Winkel \(\varphi\) pro Zeit \(t\) | \begin{align}\omega &= \frac{\varphi}{t}\\ \omega &= 2 \cdot \pi \cdot f\end{align} |
| Radialbeschleunigung \(a\):Beschleunigung, die den Körper auf der Kreisbahn hält | \[a = \frac{v^2}{r}\] |
- Beispiele aus dem Alltag für eine gleichförmige Kreisbewegung wären:
- Karussellfahrt bei gleichbleibender Geschwindigkeit
- Ventil am Reifen bei gleichbleibender Geschwindigkeit
- Fahrt im Kreisverkehr mit gleichbleibender Geschwindigkeit
Nachweise
- people.physik.hu-berlin.de: Kreisbewegung. (17.11.2022)
- sachsen.schule: Gleichförmige und gleichmäßig beschleunigte Bewegungen. (17.11.2022)
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