\(\definecolor{li}{RGB}{131, 99, 226} \definecolor{ge}{RGB}{255, 205, 0} \definecolor{bl}{RGB}{20,120,200}\)
Wie eine stehende Welle definiert ist, wie sie durch Interferenz entstehen kann, so wie einige Beispiele aus der Physik (u. a. die stehende elektromagnetische Welle), kannst Du hier nachlesen!
Interferenz
Treffen zwei Wellen aufeinander, so können sie sich überlagern. Dies bezeichnest Du als Interferenz.
Wenn zwei Wellen miteinander interferieren, so addieren sich ihre Amplituden. Je nach Lage der beiden Wellen zueinander verstärken sie sich, oder sie löschen sich aus. Löschen sich die Wellen aus, so sprichst Du von destruktiver Interferenz. Verstärkung nennst Du wiederum konstruktive Interferenz.
Welche Voraussetzungen die Wellen dabei erfüllen müssen, damit Interferenz auftritt, kannst Du in der entsprechenden Erklärung nachlesen.
Haben die beiden Wellen die gleiche Wellenlänge, so tritt konstruktive Interferenz dann auf, wenn die Wellen um ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge zueinander verschoben sind. In diesem Fall trifft der Wellenberg (bzw. das Wellental) der ersten Welle auf den Wellenberg (bzw. Wellental) der zweiten Welle und die beiden Amplituden addieren sich. Die resultierende Welle hat dieselbe Wellenlänge wie die Teilwellen, allerdings die doppelte Amplitude:
Bei nicht gleich großen Amplituden kommt es ebenfalls zur konstruktiven oder destruktiven Interferenz. Allerdings ist die Amplitude der resultierenden Welle im Fall der destruktiven Interferenz nicht gleich Null, sondern lediglich kleiner als die der Teilwellen.
Bei der destruktiven Interferenz sind die beiden Teilwellen um die halbe Wellenlänge gegeneinander verschoben. Entsprechend trifft Wellenberg (bzw. Wellental) der ersten Welle auf das Wellental (oder den Wellenberg) der zweiten Welle. Die Amplituden schwächen sich ab, sodass die Amplitude der resultierenden Welle kleiner ist als die der Teilwellen. Sind die Amplituden der Teilwellen gleich groß, so löschen sie sich wiederum vollständig aus.
Du kannst auch zwei Wellen einer unterschiedlichen Wellenlänge überlagern, sofern sie nahe genug beieinander liegen:
In diesem Fall ändert sich die Amplitude der resultierenden Welle periodisch. Dies bezeichnest Du als Schwebung.
Du möchtest wissen, wie Dir die Schwebung beim Stimmen Deines Instruments helfen kann? Dann schau doch in der Erklärung zur Schwebung vorbei!
Haben die beiden Wellen dieselbe Wellenlänge, breiten sich aber in entgegengesetzte Richtungen aus, so entsteht eine stehende Welle.
Stehende Welle Interferenz
Stell Dir eine Welle vor, die an einem Hindernis – etwa an einem Spiegel – reflektiert wird. Die reflektierte Welle hat dabei dieselbe Amplitude und Wellenlänge, wie die einfallende Welle. Da die beiden Wellen sich gegeneinander bewegen, haben sie zu unterschiedlichen Zeitpunkten eine unterschiedliche Lage zueinander. Je nach Lage kommt es dabei abwechselnd zu konstruktiver und destruktiver Interferenz. Die Amplitude der resultierenden Welle schwingt also periodisch.
In diesem Fall ist die Bildung von stehenden Wellen am Beispiel einer Transversalwelle erklärt. Transversalwellen sind Wellen, die senkrecht zu ihrer Laufrichtung schwingen. Im Gegensatz dazu gibt es auch Longitudinalwellen. Wie sich stehende Wellen im Fall der Longitudinalwellen bilden, erfährst Du weiter unten.
Dies kannst Du Dir in vier Schritte aufteilen:
Zum Zeitpunkt \(t=0\) existiert keine Phasenverschiebung: Die einfallende und die reflektierte Welle überlagern sich in konstruktiver Interferenz und die Amplitude der Gesamtwelle entsteht aus der Summe der Amplituden beider Teilwellen.
Eine Viertel-Schwingung später sind die beiden Teilwellen so gegeneinander verschoben, dass sie destruktiv interferieren. In diesem Fall löschen sich ihre Amplituden aus und die Amplitude der Gesamtwelle ist überall gleich Null.
Nach halber Schwingung trifft wieder das Maximum (bzw. das Minimum) der einfallenden Welle auf das Maximum (bzw. Minimum) der reflektierten Welle und es kommt zur konstruktiven Interferenz. Die beiden Teilwellen verstärken sich und bilden die Gesamtwelle einer größeren Amplitude.
Eine weitere Viertel-Schwingung später kommt es wieder zur destruktiven Interferenz, da hier die Teilwellen so gegeneinander verschoben sind, dass die Maxima auf Minima treffen. Die Amplituden löschen sich somit aus und die Gesamtwelle hat überall die Amplitude Null.
Was Du dabei beobachten kannst ist, dass die Amplitude der Gesamtwelle immer an denselben Stellen Null wird. Diese Stellen heißen Knotenpunkte. Außerdem sieht es so aus, als würde die Gesamtwelle sich nicht ausbreiten – als würde sie eben stehen.
Stehende Welle Definition
Die einzige Bewegung, die stehende Wellen durchführen, sind vertikale Schwingungen.
Eine stehende Welle bleibt an derselben Stelle und breitet sich im Gegensatz zu anderen Wellen nicht im Raum aus. An bestimmten Punkten bleibt die Amplitude einer stehenden Welle immer Null. Diese Punkte heißen Knotenpunkte. Überall sonst schwingt die Amplitude periodisch.
Im Allgemeinen transportieren Wellen Energie. Da eine stehende Welle sich aber nicht im Raum ausbreitet, wird hier auch keine Energie transportiert.
Eine stehende Welle kannst Du sogar selbst erzeugen – Nimm Dir doch ein Seil und probier es selbst aus!
Stehende Welle Versuch
Nimm ein Seil, ein Kabel oder ein anderes schwingungsfähiges Objekt und halte es an einem Ende fest. Befestige das andere Ende an der Wand, an einem Baum oder an einem anderen festen Gegenstand und versetze das Seil in Schwingung. Die Welle, die Du dabei erzeugst, wird am Befestigungspunkt reflektiert und schwingt zurück in Deine Richtung:
Wenn Du immer wieder mit derselben Frequenz Wellen aussendest, so stellst Du fest, dass die von Dir ausgesandte und die reflektierte Welle zu einer stehenden Welle interferieren. Die resultierende Welle bewegt sich nicht – ihre Knotenpunkte \(N\) bleiben immer an derselben Stelle. Lediglich die Amplitude \(A\) schwingt.
Unter Frequenz verstehst Du, wie viele Schwingungen in einer bestimmten Zeit stattfinden. Dieser Wert ist antiproportional zur entsprechenden Wellenlänge.
Sowohl die stehende Welle, als auch die Bedingungen, unter denen sie entsteht, kannst Du auch mit entsprechenden Formeln ausdrücken.
Stehende Welle Formel
Die zeitliche Änderung der Amplitude an einem bestimmten Ort kannst Du mathematisch erfassen:
Die Amplitude \(y\) einer stehenden Welle ändert sich gemäß
$$y=2\cdot y_0\cdot\sin\Big(\frac{2\cdot \pi \cdot x}{\lambda}\Big)\cdot\cos(\omega\cdot t)$$
Dabei ist \(y_0\) die Amplitude der einfallenden und der reflektierten Welle, \(\lambda\) die Wellenlänge und \(\omega\) die Kreisfrequenz der Schwingung. Außerdem gibt \(x\) den Ort an und \(t\) die Zeit.
Dass hier lediglich eine Amplitude (\(y_0\)) betrachtet wird, liegt daran, dass sowohl die einfallende als auch die reflektierte Welle dieselbe Amplitude haben. Daher kommt auch der Faktor \(2\), denn die beiden Amplituden addieren sich.
Der erste Teil der Formel liefert dabei die Amplitude der stehenden Welle:
$$y= {\color{li} 2\cdot y_0\cdot\sin\Big(\frac{2\cdot \pi \cdot x}{\lambda}\Big)} \cdot {\color{ge}\cos(\omega\cdot t)}$$
Der zweite Teil gibt wiederum an, wie die Amplitude sich mit der Zeit am vorgegebenen Ort ändert. Da die Amplitude einer stehenden Welle immer an den Knotenpunkten verschwinden soll, liefert diese Formel Bedingungen für die Wellenlänge der erzeugenden Wellen.
Stehende Welle mit einem festen Ende
Damit an einer Seilwelle, die an einem Ende befestigt ist, eine stehende Welle entsteht, kannst Du entsprechende Bedingungen für die Seillänge aufstellen:
Betrachte dazu ein Seil der Länge \(L\) und den Abstand \(x\) eines beliebigen Punktes auf dem Seil zum Befestigungspunkt. Damit eine stehende Welle entstehen kann, muss beim Befestigungspunkt ein Knotenpunkt auftreten. Gleichzeitig muss auch das lose Ende, an dem Du das Seil festhältst, berücksichtigt werden. Damit es dabei keine Missverständnisse gibt, gehst Du davon aus, dass an diesem Ende – bei \(x=L\) – ein Maximum oder Minimum der Amplitude vorliegt.
Die Bedingung für ein Maximum (oder Minimum) fordert, dass an dieser Stelle die erste Ableitung der Amplitude Null wird. Da die Ableitung einer Sinus-Funktion der Cosinus ist, folgt für die Ableitung der Amplitude der stehenden Welle:
$$\Bigg(2\cdot y_0\cdot\sin\Big(\frac{2\cdot \pi \cdot x}{\lambda}\Big)\Bigg)'= \frac{4\cdot y_0\cdot\pi }{\lambda}\cdot \cos\Big(\frac{2\cdot \pi \cdot x}{\lambda}\Big)$$
Nun forderst Du, dass an der Stelle \(x=L\) ein Maximum oder Minimum vorliegt. Dazu setzt Du diese Ableitung gleich Null:
$$\frac{4\cdot y_0\cdot\pi }{\lambda}\cdot \cos\Big(\frac{2\cdot \pi \cdot L}{\lambda}\Big)=0$$
Da \(y_0\) nicht Null werden darf – ansonsten wäre die Amplitude immer Null – wird nach den Nullstellen der Cosinus-Funktion gesucht. Diese findest Du beim ungeraden Vielfachen \(k\) von \(\frac{\pi}{2}:\)
\begin{align}\cos\Big(\frac{2\cdot \pi \cdot L}{\lambda}\Big)&=0 \\ \\ \frac{2\cdot \cancel{\pi} \cdot L}{\lambda}&=k \cdot\frac{\cancel{\pi}}{2} &&\qquad|\cdot\lambda\\ \\ 2\cdot L&=k\cdot\frac{\lambda}{2} &&\qquad|\cdot2\quad|:k\\ \\ \frac{4\cdot L}{k}&=\lambda &&\qquad|\leftrightarrow \\ \\ \lambda &= \frac{4\cdot L}{k}\end{align}
Damit hast Du eine Bedingung für den Abstand zum Befestigungspunkt.
Damit Du bei einem festen Ende eine stehende Welle der Wellenlänge \(\lambda\) erzeugst, muss der Abstand \(L\) zum befestigten Ende folgende Bedingung erfüllen:
$$\lambda = \frac{4\cdot L}{k}$$
Dabei ist \(k=1, 3, 5, ...\) eine ungerade Zahl.
Je weiter Du dabei von der Wand entfernt bist (größeres \(L\)), desto größer wird die Wellenlänge und desto weiter wird auch der Abstand zwischen den Knoten.
Wie sieht es jedoch aus, wenn nicht nur ein Ende befestigt ist, sondern gleich zwei?
Stehende Welle mit zwei festen Enden
Wenn Du ein Saiteninstrument spielst, bist Du mit diesem Fall bestens vertraut: Die Saiten Deiner Gitarre, Geige oder Violine sind an ihren beiden Enden befestigt. Durch Zupfen oder Streichen werden diese dann zu Schwingungen angeregt.
Die Knotenpunkte kannst Du übrigens auch „künstlich“ erzeugen, wenn Du Deinen Finger auf die Saite drückst. Wie die Saitenschwingung Musik erzeugt, erfährst Du in der Erklärung zum Schall.
An beiden Befestigungspunkten muss die stehende Welle dabei jeweils einen Knotenpunkt haben. Also soll die Amplitude der stehenden Welle an den Punkten \(x=0\) und \(x=L\) Null werden. Für \(x=0\) ist diese Bedingung bereits immer erfüllt. Bleibt nur noch \(x=L\):
$$2\cdot y_0\cdot\sin\Big(\frac{2\cdot \pi \cdot L}{\lambda}\Big)=0$$
Da \(y_0\) nicht Null werden darf – ansonsten wäre die Amplitude immer Null – wird nach den Nullstellen der Sinus-Funktion gesucht. Diese findest Du beim ganzzahligen Vielfachen \(n\) von \(\pi\):
\begin{align}\sin\Big(\frac{2\cdot \pi \cdot L}{\lambda}\Big)&=0 \\ \\ \frac{2\cdot \cancel{\pi} \cdot L}{\lambda}&=n\cdot \cancel{\pi} &&\qquad|\cdot\lambda\quad|:n \\ \\\frac{2\cdot L}{n}&=\lambda &&\qquad|\leftrightarrow \\ \\ \lambda &= \frac{2\cdot L}{n}\end{align}
Also folgt für die Strecke \(L\):
Damit bei zwei festen Enden eine stehende Welle der Wellenlänge \(\lambda\) entsteht, muss folgende Bedingung erfüllt sein:
$$\lambda = \frac{2\cdot L}{n}$$
Dabei ist \(n=1, 2, 3, ...\) eine ganze Zahl und \(L\) gibt den Abstand zwischen den festen Enden.
Sind beide Enden wiederum lose, so ergibt sich dieselbe Formel. Dies liegt daran, dass in dem Fall die gleiche Wellenlänge in die gleiche Länge \(L\) passt.
Die Schwingung mit \(n=1\) bezeichnest Du als Grundschwingung. Höhere Schwingungen (größeres \(n\)) nennst Du wiederum Oberschwingungen. Um diese anzuregen, benötigst Du mehr Energie.
Stehende Welle Physik
Für die Physik sind stehende Wellen von großer Bedeutung und finden Anwendung insbesondere in der Optik und der Quantenmechanik.
Stehende elektromagnetische Welle
Licht kannst Du als elektromagnetische Welle betrachten. Daraus ergeben sich für Lichtwellen dieselben Eigenschaften, wie Du sie auch für normale Wellen kennengelernt hast. Mit diesem Hintergrundwissen lassen sich sämtliche Geräte konstruieren, wie der LASER:
Ein LASER (englisch für Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation) besteht aus drei Komponenten: Einer Energiequelle, die Energie zur Erzeugung von Strahlung bereitstellt, dem Lasermedium, in der die Strahlung erzeugt und dem Resonator, wo die Strahlung verstärkt wird.
Dabei ist der Resonator aus zwei Spiegeln, von denen einer die halbe Strahlung durchlässt, aufgebaut. Zwischen diesen Spiegeln wird die Strahlung hin und her geworfen und durch Resonanz bildet sich eine stehende Welle mit einer großen Amplitude. Deswegen ist LASER-Licht auch so intensiv und kann sogar je nach Bauart zu Verletzungen führen!
Du interessierst Dich für die genaue Funktionsweise des Lasers? Dann schau doch in der Erklärung „Laser Physik“ vorbei!
Stehende elektromagnetische Wellen begrenzen sich allerdings nicht nur auf Licht. Da sie an ihrem Ort eingeschränkt sind, haben sie Gemeinsamkeit mit einem ganz anderen quantenmechanischen Objekt: dem Elektron.
Ein weiteres Teilgebiet, das sich mit stehenden Wellen beschäftigt, ist die Akustik. Wenn Du ein Instrument spielst, dann bist Du stehenden Wellen auf jeden Fall sogar selbst begegnet!
Stehende Welle Beispiel aus der Musik
Neben Gitarren und anderen Saiteninstrumenten kannst Du stehende Wellen auch mit Blasinstrumenten erzeugen. Im Gegensatz zu den zuvor betrachteten Wellen handelt es sich hierbei allerdings nicht um Transversal-, sondern um Longitudinalwellen.
Longitudinalwellen schwingen parallel zu ihrer Ausbreitungsrichtung und werden beispielsweise durch Druckschwankungen erzeugt (Schallwellen). Durch Longitudinalwellen wird auch Schall – wie Musik oder andere Geräusche – transportiert.
Eine ausführliche Erklärung dazu findest Du unter „Schall“.
Betrachte ein beliebiges Blasinstrument. Dieses kannst Du auf ein Rohr reduzieren, das entweder an beiden Enden offen (z. B. Flöte) oder an einem Ende geschlossen (z. B. Klarinette) ist:
Hier wird die Darstellung von Longitudinalwellen als Transversalwellen zur besseren Visualisierung verwendet. Bereiche von höheren und tieferen Drücken der Longitudinalwelle entsprechen dabei den Minima und Maxima.
Sind beide Enden offen, hat die stehende Welle an beiden Enden ein Maximum bzw. Minimum. Ist hingegen ein Ende geschlossen, so muss an diesem Ende ein Knotenpunkt vorliegen.
Die Ordnung der Schwingung wird durch die Anzahl der Knotenpunkte bestimmt und mit \(n\) bezeichnet. Bei \(n=1\) liegt lediglich ein Knotenpunkt vor. Die entsprechende Schwingung nennst Du Grundschwingung oder Grundton. Höhere Schwingungen bezeichnest Du als Oberschwingungen. Diese haben entsprechend mehr Knotenpunkte.
Für die Bedingungen der Länge \(L\) und Wellenlänge \(\lambda\) gelten auch hier die oben genannten Formeln:
beide Enden offen | ein Ende geschlossen |
\(\lambda = \frac{2\cdot L}{n}\), mit \(n\) als ganze Zahl | \(\lambda = \frac{4\cdot L}{k}\), mit \(k\) als ungerade ganze Zahl |
Damit kannst Du nun unterschiedliche Klänge berechnen!
Stehende Welle Aufgaben
Der Klang einer Orgel wird in Orgelpfeifen erzeugt. Diese kannst Du Dir wie offene und geschlossene Rohre in unterschiedlichen Längen vorstellen:
Abb. 8 - Orgelpfeifen
In jeder dieser Pfeifen wird durch eine stehende Welle ein Ton einer bestimmten Klangfarbe und Lautstärke erzeugt. Je höher die Frequenz der stehenden Welle dabei ist, desto höher klingt der Ton. Die Wellenlänge \(\lambda\) und die Frequenz \(f\) einer Welle hängen folgendermaßen zusammen:
$$f=\frac{v}{\lambda}$$
Mit \(v\) als Geschwindigkeit der Welle (hier: Schallgeschwindigkeit in Luft \(v=340\;\frac{m}{s}\)).
Aufgabe 1
Du hast drei Orgelpfeifen der Längen \(L_1=2\;m\), \(L_2=1\;m\) und \(L_3=0,5\;m\) vor Dir liegen, die an beiden Enden offen sind. Welche dieser Pfeifen hat den höchsten und welche den tiefsten Ton?
LösungWie hoch oder tief die Pfeife klingt, wird über ihre Frequenz \(\nu\) bestimmt. Diese kann wiederum aus der Wellenlänge \(\lambda\) berechnet werden:$$f=\frac{v}{\lambda}$$Für eine beidseitig offene Pfeife der Länge \(L\) erhältst Du die Wellenlänge wiederum aus:$$\lambda = \frac{2\cdot L}{n}$$Wobei \(n\) eine ganze Zahl ist. Diese Formel setzt Du nun statt der Wellenlänge in die Frequenz-Formel ein:$$f=\frac{v}{\lambda}=\frac{v}{\frac{2\cdot L}{n}}=\frac{v\cdot n}{2\cdot L}$$In diese Formel setzt Du die entsprechenden Längen der Pfeifen, zusammen mit der Schallgeschwindigkeit \(v=340\;\frac{m}{s}\) ein. Dabei kannst Du jede beliebige Schwingung betrachten, und das \(n\) demnach anpassen. Für die Grundschwingung (Grundton) mit \(n=1\) ergeben sich beispielsweise folgende Werte:
| Pfeife 1 | Pfeife 2 | Pfeife 3 |
\(L=\) | \(2\; m\) | \(1\; m\) | \(0,5\; m\) |
\(f=\) | \(85\; Hz\) | \(170\; Hz\) | \(340\; Hz\) |
Den höchsten Ton liefert die Pfeife mit der höchsten Frequenz – also die kürzeste Pfeife. Die längste Pfeife wiederum hat den tiefsten Ton.
Nach der umgeformten Gleichung:
$$f=\frac{v\cdot n}{2\cdot L}$$
ist die Frequenz \(f\) also proportional zu \(n\). Damit kannst Du Aussagen über die Tonhöhe von Oberschwingungen treffen.
Aufgabe 2
Du erzeugst mit einer Orgelpfeife (immer dieselbe Länge \(L\)) einen Grundton (\(n=1\)), so wie unterschiedliche Obertöne (\(n>1\)). Vergleiche diese in Bezug auf ihre Tonhöhe.
Hier reicht eine qualitative Antwort.
Lösung
Da die Frequenz direkt proportional zu \(n\) ist und alle anderen Größen konstant bleiben, ist die Frequenz des Grundtons am geringsten und steigt mit zunehmender Oberschwingung. Damit klingt der Grundton auch tiefer als die Oberschwingungen.
Stehende Wellen werden also sowohl in modernster Technik – wie dem LASER – als auch in der Theorie zur Beschreibung von Elektronen verwendet. Allerdings begegnen sie Dir auch weit über die Physik hinaus, etwa in der Musik. Ist es nicht interessant, dass dermaßen unterschiedliche Themengebiete mit demselben Phänomen erklärt werden können?
Stehende Welle - Das Wichtigste
- Wenn zwei Wellen interferieren, kann es zur konstruktiven oder destruktiven Interferenz kommen.
- Spezialfälle der Interferenz sind Schwebung und eine stehende Welle.
- Eine stehende Welle entsteht durch Interferenz zweier Wellenderselben Wellenlänge, die in entgegengesetzte Richtungen laufen.
- Eine stehende Welle breitet sich nicht im Raum aus, ihre Amplitude schwingt aber periodisch. Punkte, an denen die Amplitude immer Null ist, bleiben dabei an derselben Stelle. Diese nennst Du Knotenpunkte.
- Eine stehende Welle kann entstehen, wenn eine Welle an einem Ende reflektiert wird. Die Wellenlänge \(\lambda\) der stehenden Welle hängt dabei von der Länge \(L\) ab, die der Welle zur Verfügung steht: $$\lambda = \frac{4\cdot L}{k}$$
Dabei ist \(k=1, 3, 5, ...\) eine ungerade Zahl.
Eine stehende Welle kann auch dann entstehen, wenn eine Welle an zwei gegenüberliegenden Seiten reflektiert wird. In diesem Fall ergibt sich der Zusammenhang zwischen dem Abstand \(L\) der „Wände“ und der Wellenlänge \(\lambda\):$$\lambda = \frac{2\cdot L}{n}$$Dabei ist \(n=1, 2, 3, ...\) eine ganze Zahl.
Mit stehenden Wellen kannst Du das Funktionsprinzip vom LASER, die Erscheinung eines Elektrons und die Bildung von Musik erklären. Beim letzteren geht es allerdings nicht um Transversal-, sondern um Longitudinalwellen.
Nachweise
- physik.hu-berlin.de: Stehende Wellen. (17.10.2022)
- troteclaser.com: Wie funktioniert ein Laser? (18.10.2022)
- phys.unsw.edu.au: Brass instrument (lip reed) acoustics: an introduction. (18.10.2022)
- phys.unsw.edu.au: Open vs Closed pipes (Flutes vs Clarinets). (18.10.2022)
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