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Gleichmäßig beschleunigte Bewegung

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung

Ein Körper kann unterschiedliche Arten von Bewegungen annehmen. Diese findest Du in Deinem Alltag überall. Auch Du bewegst Dich mit beschleunigten Bewegungen fort, wenn Du von einem Ort zum Anderen gehst. Wenn Du dabei auch noch an Geschwindigkeit zunimmst, kannst Du Dich in einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung befinden.

Wie schnell Du wann bist und wann Du an Deinem Ziel ankommst, kannst mit den dazugehörigen Formeln berechnen. Den Verlauf Deines Weges kannst Du auch grafisch in mehreren Diagrammen festhalten. Sogar Bewegungen, die bereits stattfinden, also Anfangsbedingungen haben, kannst Du berechnen.

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung Definition

Im Vergleich zur gleichförmigen Bewegung, bei der die Geschwindigkeit stets gleich bleibt, verändert sich die Geschwindigkeit bei der gleichmäßig beschleunigten Bewegung durchgehend.

Bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung verändert sich die Geschwindigkeit eines Körpers immer um denselben Wert (gleichmäßig).

Die Beschleunigung \(a\) bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung ist konstant und entspricht stets dem Anfangswert \(a_0\):

\[a=\text{konstant}=a_0\]

Die Einheit einer Beschleunigung ist Meter pro Sekunde zum Quadrat:

\[\left[a\right]=1\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}\]

Die gleichförmige Bewegung kannst Du Dir in der gleichnamigen Erklärung genauer anschauen.

Wie kannst Du Dir das genauer vorstellen?

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung Beispiel

Stelle Dir für eine positive Beschleunigung vor, Du lässt eine Kugel einen endlosen Hügel mit glatter Oberfläche runterrollen.

Vernachlässige die Reibung sowie den Luftdruck. Dadurch hast Du keine weiteren Effekte, die die Kugel abbremsen würden.

Sobald Du die Kugel loslässt, fängt sie durch die Gravitationskraft an zu rollen. Die Kugel wird, je mehr Zeit vergeht, immer schneller. Dabei wird die Kugel pro Sekunde immer um denselben Wert schneller.

Sie hat also durch die Gravitationskraft eine konstante, positive Beschleunigung erhalten.

Die Gravitation hat eine eigene Erklärung, bei der Dir die Gravitationskraft genauer beschrieben wird.

Für eine negative Beschleunigung kannst Du Dir vorstellen, dass Du auf einem Fahrrad sitzt.

Eine negative Beschleunigung liegt bei einem Bremsvorgang vor, etwa wenn Du auf einem Fahrrad anfängst zu bremsen. Aber auch wenn Du nicht mehr in die Pedale trittst, erhältst Du eine negative Beschleunigung. Das liegt an der Reibung der Reifen mit dem Boden. Ein Körper kann also auch durch eine negative Beschleunigung gleichmäßig langsamer werden.

Wenn Du mehr zur Reibung erfahren willst, schaue in der gleichnamigen Erklärung vorbei.

Solch einen Weg kannst Du über Gesetze, oder Formeln, genauer beschreiben.

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung Formel

Neben der Geschwindigkeit verändert sich auch die Strecke, die der Körper zurücklegt. Du kannst die Geschwindigkeit sowie die Strecke jeweils über ein eigenes Gesetz berechnen.

Geschwindigkeit-Zeit Gesetz gleichmäßig beschleunigte Bewegung

Das Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz befasst sich mit der Beziehung der Geschwindigkeit zur Beschleunigung und Zeit.

Du kannst die Geschwindigkeit \(v\) bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung über die Multiplikation der konstanten Beschleunigung \(a_0\) und der vergangenen Zeit \(t\) erhalten.

Du berechnest die gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit folgender Formel:

\[v=a_0\cdot t\]

Das zweite Gesetz ist ähnlich aufgebaut.

Weg-Zeit Gesetz gleichmäßig beschleunigte Bewegung

Das Weg-Zeit-Gesetz beschreibt die Beziehung der Strecke zur Beschleunigung und Zeit.

Du kannst die Strecke \(s\) über die konstante Beschleunigung \(a_0\) und vergangene Zeit \(t\) berechnen:

\[s=\frac{1}{2}\cdot a_0\cdot t^2\]

Beide Formeln der gleichmäßig beschleunigten Bewegung können nach den anderen vorhandenen Parametern umgestellt werden.

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung Formel umstellen

Die Umstellung der Formeln erfolgt lediglich durch Division.

Aufgabe

Stelle die Formel des Geschwindigkeit-Zeit-Gesetzes nach der Beschleunigung \(a_0\) um.

Lösung

Durch die Division der Zeit \(t\) beider Seiten der Gleichung erhältst Du die Formel, um die Beschleunigung \(a_0\) einer Bewegung zu berechnen.

\begin{align}v&=a_0\cdot t &&\vert:t\\ \\ \frac{v}{t}&=a_0 &&\vert\leftrightarrow \\ \\ a_0&=\frac{v}{t}\end{align}

Die Umstellung nach der Zeit erfolgt analog zum nächsten Beispiel.

Aufgabe

Stelle die Formel des Weg-Zeit-Gesetzes nach der Zeit um.

Lösung

Durch die Division der Beschleunigung \(a_0\), sowie der Multiplikation mit \(2\), beider Seiten der Gleichung, wird die Zeit auf einer Seite isoliert.

\begin{align}s&=\frac{1}{2}\cdot a_0\cdot t^2&&\vert\cdot \frac{2}{a_0}\\ \\ 2\cdot\frac{s}{a_0}&=t^2 && \vert \leftrightarrow \\ \\ t^2 &= 2\cdot\frac{s}{a_0}\end{align}

Jetzt ziehst Du noch die Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung. Somit fällt das Quadrat bei der Zeit weg.

\[t=\sqrt{2\cdot\frac{s}{a_0}}\]

Für Bewegungen können charakteristische Diagramme aus den beiden Gesetzen gebildet werden. Dadurch kann für jede Parameterbeziehung – Beschleunigung-Zeit, Geschwindigkeit-Zeit und Weg-Zeit – jeweils ein Diagramm erstellt werden.

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung Diagramm

Das Lösen der Formeln beider Gesetze ergibt charakteristische Diagramme für eine Bewegung. Die resultierenden Diagramme, mit einer konstanten Beschleunigung, sind somit charakteristisch für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung.

Das erste Diagramm erfolgt aus dem Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz.

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung v-t-Diagramm

Das sogenannte v-t-Diagramm bildet auf der x-Achse die Zeit \(t\) ab. Auf der y-Achse wird die Geschwindigkeit \(v\) aufgetragen.

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung v-t-Diagramm Geschwindigkeit Zeit Gesetz StudySmarterAbb. 2 - v-t-Diagramm einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung.

Wie Du erkennen kannst, bildet das v-t-Diagramm für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung eine Gerade. Die Beschleunigung \(a_0\) findest Du hier in der Steigung wieder. Du kannst die Beschleunigung also ebenfalls grafisch, wie abgebildet, über ein Steigungsdreieck bestimmen.

Um solch ein v-t-Diagramm zu erhalten, setzt Du eine konstante Beschleunigung in die Formel des Geschwindigkeit-Zeit-Gesetzes ein. Somit kannst Du pro Sekunde einen neuen Wert für die Geschwindigkeit ausrechnen und in das Diagramm eintragen.

Genau so erhältst Du ein Diagramm für die zurückgelegte Strecke aus dem Weg-Zeit-Gesetz.

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung s-t-Diagramm

Das sogenannte s-t-Diagramm bildet auf der x-Achse wieder die Zeit \(t\) ab. Diesmal befindet sich jedoch der Weg \(s\) auf der y-Achse.

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung s-t-Diagramm StudySmarterAbb. 3 - s-t-Diagramm einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung.

Wie Du erkennen kannst, bildet das s-t-Diagramm für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung eine stetig ansteigende Kurve. Das liegt daran, dass der Körper pro Sekunde immer schneller wird und somit immer mehr Weg in derselben Zeit zurücklegen kann.

Das letzte Diagramm benötigt keine Rechnung.

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung a-t-Diagramm

Das sogenannte a-t-Diagramm bildet auf der x-Achse erneut die Zeit \(t\) ab. Die Beschleunigung \(a_0\) befindet sich auf der y-Achse.

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung a-t-Diagramm StudySmarterAbb. 3 - a-t-Diagramm einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung.

Wie Du erkennen kannst, ergibt das a-t-Diagramm für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung wieder eine Gerade. Diesmal jedoch ohne eine Steigung. Das liegt daran, dass sich die Beschleunigung pro Zeiteinheit nicht verändert.

Veränderungen in Bewegungen erfolgen nicht nur aus dem Stillstand. Die Bewegung eines Körpers, während er sich schon bewegt, kann auch verändert werden. Dadurch betrachtest Du eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit Anfangsbedingungen.

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit Anfangsbedingungen

Die Anfangsbedingungen einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung wirken sich auf das Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz sowie auch auf das Weg-Zeit-Gesetz aus.

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit

Wenn ein Körper bereits mit einer gewissen Geschwindigkeit unterwegs ist, kann das vorgestellte Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz so nicht mehr verwendet werden. Es muss vorher um diese Anfangsbedingung erweitert werden.

Das Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz wird durch eine Anfangsgeschwindigkeit \(v_0\) erweitert:

\[v=a_0\cdot t+v_0\]

Das heißt auch, dass die Anfangsgeschwindigkeit im v-t-Diagramm berücksichtigt werden muss.

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung v-t-Diagramm mit Anfangsgeschwindigkeit StudySmarterAbb. 4 - v-t-Diagramm einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit.

Auf der y-Achse fängt die Geschwindigkeit nun bei dem Wert der Anfangsgeschwindigkeit \(v_0\) an. Hier könnte sie also bereits 1 Meter pro Sekunde betragen haben.

Das Weg-Zeit-Gesetz erfährt eine etwas drastischere Veränderung.

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit Anfangsweg und Anfangsgeschwindigkeit

Die Strecke einer Bewegung kann auch mitten in der Bewegung betrachtet werden. Hierbei wird die Gleichung wieder um eine Anfangsstrecke \(s_0\) erweitert. Dadurch, dass der Körper bereits einen Weg hinter sich hat, hat er ebenfalls eine Anfangsgeschwindigkeit \(v_0\). Diese wird auch bei der Erweiterung der Gleichung berücksichtigt.

Das Weg-Zeit-Gesetz mit Anfangsweg \(s_0\) und Anfangsgeschwindigkeit \(v_0\) lautet:

\[s=\frac{1}{2}\cdot a_0\cdot t^2+v_0\cdot t+s_0\]

Die Erweiterung des Weg-Zeit-Gesetzes hat diesmal eine Auswirkung auf das s-t-Diagramm.

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung s-t-Diagramm mit Anfangsweg StudySmarterAbb. 5 - s-t-Diagramm einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung mit Anfangsweg und Anfangsgeschwindigkeit.

Die Form der Kurve ähnelt der des ursprünglichen s-t-Diagramms. Sie beginnt erneut nicht im Ursprung, sondern bei dem Wert des Anfangswegs. Hierbei könnte der Anfangsweg \(s_0\) bereits etwa \(1\,\mathrm{km}\) betragen.

Weiterhin kann die Anfangsgeschwindigkeit \(v_0\) die Form der Kurve beeinflussen. Ist die Anfangsgeschwindigkeit bereits größer als 0, so wird die Kurve nach oben gestreckt. Das heißt im Grunde nur, dass der Körper durch die bereits vorhandene Geschwindigkeit direkt mehr Weg zurücklegen kann.

Mit den Formeln der beiden Gesetze und deren Erweiterungen sowie den drei Diagrammen für eine Bewegung eines Körpers kannst Du nun verschieden Aufgaben bewältigen.

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung Aufgaben

Stelle Dir für diese Aufgabe wieder vor, dass Du mit dem Fahrrad unterwegs bist.

Aufgabe

Du bewegst Dich mit einer Geschwindigkeit \(v_0=23\,\mathrm{\frac{km}{h}}\) voran. Innerhalb der nächsten \(t_1=10\,\mathrm{s}\) beschleunigst Du auf \(v_1=30\,\mathrm{\frac{km}{h}}\).

a) Berechne Deine Beschleunigung \(a\) in dem vorgegebenen Zeitraum.

b) Berechne Deine zurückgelegte Strecke \(s\) nach \(t_2=5\,\mathrm{min}\).

Gebe die berechneten Werte in SI-Einheiten an.

Lösung a

Zunächst rechnest Du alle Werte in SI-Einheiten um. Für die Strecke ist die SI-Einheit Meter. Für die Zeit sind es die Sekunden. Das heißt, dass beide Geschwindigkeiten angepasst werden sollen.

In einem Kilometer befinden sich 1.000 Meter. In einer Stunde befinden sich 3.600 Sekunden.

\[\frac{1\,\mathrm{km}}{1\,\mathrm{h}}=\frac{1.000\,\mathrm{m}}{3.600\,\mathrm{s}}=\frac{1\,\mathrm{m}}{3{,}6\,\mathrm{s}}\]

Für die Geschwindigkeit ergeben sich somit folgende Berechnungen:

\[v_0=23\cdot\frac{1.000\,\mathrm{m}}{3.600\,\mathrm{s}}=6{,}39\,\mathrm{\frac{m}{s}}\]

Du kannst die Geschwindigkeit auch einfach durch 3,6 teilen:

\[v=30 \, \mathrm{\frac{km}{h}}=\frac{30}{3{,}6}\,\mathrm{\frac{m}{s}}=8{,}33\,\mathrm{\frac{m}{s}}\]

Jetzt kannst Du die Beschleunigung berechnen. Dadurch, dass Du bereits eine Anfangsgeschwindigkeit hast, benutzt Du die erweiterte Gleichung des Geschwindigkeit-Zeit-Gesetzes, stellst es auf die Beschleunigung um und berechnest diese.

\begin{align}v&=a_0\cdot t + v_0 && \vert-v_0\\ \\v - v_0&=a_0\cdot t && \vert\div t\\ \\\frac{v-v_0}{t}&=a_0 && \vert\leftrightarrow\\ \\a_0 &= \frac{v-v_0}{t}\\ \\a_0 &= \frac{8{,}33\,\mathrm{\frac{m}{s}}-6{,}39\,\mathrm{\frac{m}{s}}}{10\,\mathrm{s}}\\ \\a_0 &= 0{,}19\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}\end{align}

Du hast in dem vorgegebenen Zeitraum also Deine Geschwindigkeit mit einer Beschleunigung von \(0{,}19\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}\) erhöht.

Lösung b

Bei dieser Aufgabe benutzt Du die erweiterte Gleichung des Weg-Zeit-Gesetzes. Auch hier solltest Du zunächst überprüfen, ob alle Werte den SI-Einheiten entsprechen.

Hier ist die Zeit in Minuten angegeben. Diese rechnest Du also erst einmal in Sekunden um. Es befinden sich 60 Sekunden in einer Minute.

\[5\,\mathrm{min}\cdot60=300\,\mathrm{s}\]

Nun kannst Du alles in die Gleichung einsetzen.

\begin{align}s&=\frac{1}{2}\cdot a_0\cdot t^2+v_0\cdot t+s_0\\[0,2cm]s&=\frac{1}{2}\cdot0{,}19\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}\cdot(300\,\mathrm{s})^2+6{,}39\,\mathrm{\frac{m}{s}}\cdot300\,\mathrm{s}+0\\[0,2cm]s&=8.550\,\mathrm{m}+1.917\,\mathrm{m}+0\\[0,2cm]s&=10.467\,\mathrm{m}\end{align}

Du hast mit dieser Beschleunigung und Anfangsgeschwindigkeit in 5 Minuten 10.467 Meter, oder 10,467 Kilometer zurückgelegt.

Wie bereits erwähnt ist die andere geradlinige Bewegung die der gleichförmigen Bewegung. Du kannst beide Bewegungen wunderbar mit den Bewegungsdiagrammen vergleichen. Schaue doch mal in der Erklärung zur gleichförmigen Bewegung rein.

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung – Das Wichtigste

  • Beschleunigung \(a\) ist bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung immer konstant.\[a=\text{konstant}\]
  • Ein Körper wird, mit einer positiven Beschleunigung, pro Zeiteinheit – etwa pro Sekunde – immer um denselben Wert schneller.
  • Ein Körper wird, mit einer negativen Beschleunigung, pro Zeiteinheit – etwa pro Sekunde – immer um denselben Wert langsamer.
  • Die Beschleunigung hat die Einheit Meter pro Sekunde zum Quadrat: \[\left[a\right]= 1 \, \mathrm{\frac{m}{s^2}}\]
  • Das Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz lautet: \[v=a_0\cdot t\]
  • Das Weg-Zeit-Gesetz lautet: \[s=\frac{1}{2} \cdot a_0\cdot t^2\]
  • Eine Bewegung kann mit Anfangsbedingungen betrachtet werden. Dadurch verändern sich die Formeln für Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz und Weg-Zeit-Gesetz.
  • Das Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz mit Anfangsbedingungen lautet: \[v=a_0\cdot t+v_0\]
  • Das Weg-Zeit-Gesetz mit Anfangsbedingungen lautet: \[s=\frac{1}{2}a_0\cdot t^2+v_0\cdot t+s_0\]

Nachweise

  1. Maschinenbau-wissen.de: Die gleichmäßig beschleunigte Bewegung berechnen (09.11.2022)
  2. Hu-berlin.de: Freierfall (09.11.2022)

Häufig gestellte Fragen zum Thema Gleichmäßig beschleunigte Bewegung

Die Geschwindigkeit berechnest Du mit dem Weg-Zeit-Gesetz: v=a*t. Den Weg berechnest Du mit dem Weg-Zeit-Gesetz: s=1/2*a*t^2. Durch Umstellen kannst Du auch die anderen Variablen wie die Beschleunigung und die Zeit berechnen.

Eine Bewegung mit konstanter Beschleunigung. Bei der gleichmäßig beschleunigten Bewegung wird ein Körper mit einer konstanten Beschleunigung pro Zeiteinheit um denselben Geschwindigkeitszuwachs schneller.

Die Beschleunigung gibt an, um welchen Wert die Geschwindigkeit eines Körpers zunimmt. Die Einheit der Beschleunigung ist Weg pro Zeit zum Quadrat. 1 Meter pro Quadratsekunde bedeutet, dass sich die Geschwindigkeit pro Sekunde um 1 Meter pro Sekunde erhöht.

Bei der gleichförmigen Bewegung wird ein Körper nicht schneller. Die Beschleunigung hat also einen konstanten Wert von 0. Die gleichmäßig beschleunigte Bewegung wird um eine konstante Beschleunigung schneller oder langsamer. Die Beschleunigung hat hier also immer einen konstanten Wert größer oder kleiner Null.

Finales Gleichmäßig beschleunigte Bewegung Quiz

Frage

Erkläre, wie sich die Geschwindigkeit bei der gleichmäßig beschleunigten Bewegung verändert.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Geschwindigkeit nimmt gleichmäßig um denselben Wert zu.

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, wie sich die Beschleunigung bei der gleichmäßig beschleunigten Bewegung verhält.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Beschleunigung eines Körpers bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung ist konstant.

Frage anzeigen

Frage

Erkläre den Begriff Beschleunigung.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Beschleunigung eines Körpers ist die Geschwindigkeitsänderung pro Zeit. Die Einheit der Beschleunigung ist \(\mathrm{\frac{m}{s^2}}\).

Frage anzeigen

Frage

Erkläre den mathematischen Unterschied zwischen einer positiven und negativen Beschleunigung.

Antwort anzeigen

Antwort

Eine positive Beschleunigung hat ein positives Vorzeichen und ist somit größer 0. Eine negative Beschleunigung hat ein negatives Vorzeichen und ist somit kleiner 0.

Frage anzeigen

Frage

Nenne, mit welcher Formel Du die Geschwindigkeit für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung berechnen kannst.

Antwort anzeigen

Antwort

\(v=a_0\cdot t\)

Frage anzeigen

Frage

Nenne die Formel, mit der Du die Strecke für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit Anfangsweg berechnen kannst.

Antwort anzeigen

Antwort

\(s=\frac{1}{2}\cdot a_0\cdot t^2+v_0\cdot t+s_0\)

Frage anzeigen

Frage

Nenne die Formel, mit der Du die Geschwindigkeit für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit berechnen kannst.

Antwort anzeigen

Antwort

\(v=a_0\cdot t+v_0\)

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, welchen Einfluss Anfangsbedingungen auf ein a-t-Diagramm einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung haben.

Antwort anzeigen

Antwort

Anfangsbedingungen haben hierbei keinen Einfluss auf das Diagramm. Die Beschleunigung ist stets konstant.

Frage anzeigen

Frage

Nenne, welche Anfangsbedingungen eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung beeinflussen können.

Antwort anzeigen

Antwort

Eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung kann mit einer Anfangsstrecke und einer Anfangsgeschwindigkeit beeinflusst werden.

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, welche Beschleunigung bei einem bremsenden Auto vorliegt.

Antwort anzeigen

Antwort

Ein bremsendes Auto hat eine negative Beschleunigung.

Frage anzeigen

Frage

Erkläre den Unterschied zwischen einer gleichförmigen Bewegung und einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung.

Antwort anzeigen

Antwort

Bei einer gleichförmigen Bewegung ist die Geschwindigkeit des Körpers konstant und die Beschleunigung 0.

\begin{align}v&=\text{konstant}\\a&=0\end{align}

Bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung verändert sich die Geschwindigkeit eines Körpers und die Beschleunigung ist konstant.

\[a=\text{konstant}=a_0\]

Frage anzeigen

Frage

Nenne die Formel, mit der Du die Beschleunigung eines Körpers für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung berechnen kannst.

Antwort anzeigen

Antwort

\(a_0=\frac{v}{t}\)

Frage anzeigen

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