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Gleichmäßig beschleunigte Bewegung

Dieser Artikel dreht es sich um die gleichmäßig beschleunigte Bewegung. Was es damit auf sich hat, welche Begriffe und Formeln für dich wichtig sind und wie du diese in Beispielen anwendest erfährst du in diesem Kapitel. Das Kapitel können wir der Mechanik und damit dem Fach Physik zuordnen. 

Was ist das überhaupt eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung?

In der Lehre von Bewegungen haben bereits die gleichförmige Bewegung kennengelernt. Die Besonderheit bei einer gleichförmigen Bewegung ist eine konstante Geschwindigkeit des Körpers. Dadurch wird er weder schneller noch langsamer und behält seine Geschwindigkeit bei. Anders verhält es sich bei der gleichmäßig beschleunigten Bewegung.

Gleichmäßige Beschleunigung

Wie wir bereits vom Kapitel Mechanik wissen, kann eine geradlinige Bewegung durch mehrere wichtige Kenngrößen beschrieben werden:

Tabelle 1: Kenngrößen geradlinige Bewegung

Im Gegensatz zur gleichförmigen Bewegung verändert sich die Geschwindigkeit eines Körpers. Er kann schneller oder langsamer werden. Am einfachsten lässt sich das mithilfe eines Beispiels erklären.

Wir betrachten dabei ein Auto, dass von einem Punkt A zum 300 m entfernten Punkt B fährt. Bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung hat das Auto eine bestimmte Geschwindigkeit bei Punkt A und eine andere Geschwindigkeit bei Punkt B. Während der Fahrt ändert sich also die Geschwindigkeit des Autos. Es kann dabei schneller oder langsamer werden. Diese Geschwindigkeitsänderung nennt man Beschleunigung. Dabei gibt es zwei Unterschiede zu beachten:

• Das Auto wird schneller. ⇨ Das Auto beschleunigt.
• Das Auto wird langsamer. ⇨ Das Auto bremst.

Diese Unterscheidung wird anhand des Vorzeichens festgelegt. Im Gegensatz zur Geschwindigkeit ändert sich die Beschleunigung während der Fahrt nicht. Sie hat immer denselben Wert.

Damit gilt für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung:

Oft wird in Formeln statt a auch a0 angegeben. Besonders für andere Bewegungen erweist sich diese Schreibweise als vorteilhaft. Der Index 0 gibt dabei die Anfangsbedingungen der Bewegung an. 

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung ohne Anfangsbedingungen (s0=0, v0=0)

Die Grundlagen für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung sind bereits betrachtet worden. Nun müssen wir noch die Kenngrößen in Beziehung zueinander setzen, um Formeln für die Berechnung von Bewegungen zu erhalten. Dazu ziehen wir wieder das Beispiel von oben heran. Das Auto fährt bei Punkt A los, deshalb hat es zu Beginn eine Geschwindigkeit von 0.

Dabei messen wir zuerst, wie lange das Auto bei einer Beschleunigung von 2 m/s² braucht, um die 300 m zurückzulegen. Die Messung ergibt dabei eine Zeit von 17,32 s. Um den Zusammenhang der Kenngrößen untersuchen zu können, messen wir zudem auch mit einem Abstand von jeweils 5 Sekunden die zurückgelegte Strecke und die jeweilige Geschwindigkeit des Autos und tragen diese Werte in eine Tabelle ein.

Tabelle 2: Messwerte

Wie wir bereits wissen, ändert sich die Beschleunigung bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung nicht. Deshalb wird in die Tabelle zu jedem Zeitpunkt die gleiche Beschleunigung von 2 m/s² eingetragen.

Die gemessenen Werte können wieder mithilfe drei verschiedener Diagramme dargestellt werden. 

v-t-Diagramm

Zum besseren Verständnis beginnen wir hier mit der Darstellung der Messwerte in einem Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm. Dabei werden die gemessenen Werte der Geschwindigkeit zu den jeweiligen Zeitpunkten eingetragen.

Die eingetragenen Punkte lassen sich zu einer Gerade verbinden und damit ergibt sich eine direkte Proportionalität zwischen der Geschwindigkeit und der Zeit.

In einem bestimmten Zeitraum ∆t ändert sich die Geschwindigkeit ∆v. Mithilfe eines Steigungsdreiecks erhalten wir folgende Beziehung zwischen den Kenngrößen:

Zu einem bestimmten Zeitpunkt t hat das Auto eine bestimmte Geschwindigkeit v. Damit ergibt sich für die gleichmäßig beschleunigte Bewegung die Formel:

s-t-Diagramm

Wir tragen die jeweils gemessenen Werte der Zeit t und der Strecke s nun in ein weiteres Diagramm ein. Dabei wird über die x-Achse die Zeit t in Sekunden aufgetragen und über die y-Achse die Strecke s in Meter.

Es fällt auf, dass die verbundenen Punkte keine Gerade bilden, sondern eine Parabel. Die zurückgelegte Wegstrecke nimmt mit der Zeit quadratisch zu. Durch Integration erhalten wir die Beziehung zwischen der Strecke und der Zeit bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung

a-t-Diagramm

Auch beim dritten Diagramm wird die Zeit als x-Achse aufgetragen. Die Beschleunigung a dient als y-Achse. Wir wissen bereits, dass die Beschleunigung einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung konstant ist. Deshalb ergibt sich beim Verbinden der eingetragenen Messwerte wieder eine waagrechte Linie.

Die Grundbewegungen ohne Anfangsbedingungen und die zugehörigen Formeln haben wir damit bereits kennengelernt.

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit Anfangsbedingungen

Bisher haben wir in unserem Beispiel ein Auto betrachtet, dass bei Punkt A los und bis zu Punkt B fährt und dabei die Zeit gemessen. Was aber, wenn das Auto bereits eine gewisse Geschwindigkeit hat und eine gewisse Strecke gefahren ist? Das zeigt die gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit Anfangsbedingungen.

Geschwindigkeit

Diesmal lassen wir das Auto bereits mit einer gewissen Geschwindigkeit bei Punkt A starten und beschleunigen weiterhin bis zu Punkt B. Die bisherige Formel zur Berechnung der Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt müssen wir nun um die Anfangsgeschwindigkeit erweitern. 

Strecke

Wie bei der Geschwindigkeitsberechnung muss auch die Formel zur Berechnung der Zeit erweitert werden. Zum einen haben wir die Anfangsgeschwindigkeit und zudem auch noch einen Anfangsweg . Beide müssen in der Gleichung berücksichtigt werden. Damit ergibt sich für die Strecke:

Auch für diese Bewegung können die drei Diagramme gezeichnet werden. 

s-t-Diagramm

Beim Weg-Zeit-Diagramm ist hierbei zu beachten, dass zum Zeitpunkt 0 Sekunden bereits eine Strecke zurückgelegt wurde und deshalb die Gerade nicht im Ursprung beginnt. Im folgenden Beispiel wurde eine Anfangsstrecke  definiert.

v-t-Diagramm

Auch beim Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm muss die Anfangsgeschwindigkeit im Graph berücksichtigt werden. Das Diagramm zeigt beispielsweise eine Geschwindigkeit .

a-t-Diagramm

Die Beschleunigung ist während der Fahrt konstant und bleibt von den Anfangsbedingungen unberührt. Daher kann das Diagramm von oben übertragen werden.

Gleichmäßig gebremste Bewegung 

Bei der Herleitung der wichtigsten Formeln für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung wurde immer eine Beschleunigung (a > 0) betrachtet. Wie bereits erwähnt kann ebenso eine Bremsung (a < 0) stattfinden. Dabei fährt beispielsweise das Auto mit einer gewissen Geschwindigkeit und bremst bis zum Stillstand ab. Die Anfangsbedingungen und Formeln müssen dementsprechend angepasst werden. 

Um die Anwendung der Formeln und Diagramme zur gleichförmigen Bewegung besser verstehen zu können, wird nachfolgend noch ein Beispiel berechnet. Versuche mithilfe deines neu erworbenen Wissens die Aufgabe zunächst selbstständig zu lösen.

Anwendungsbeispiel gleichmäßig beschleunigte Bewegung

Ein Auto bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von 60 km/h auf einer Straße und beschleunigt konstant in einer Zeit von 5 s auf 80 km/h. 

a) Mit welcher Beschleunigung bewegt sich das Auto? Gib diese in m/s an.

b) Welche Strecke legt das Auto nach 2 Minuten zurück?

Lösung:

a) Umstellen der Geschwindigkeiten von km/h in m/s:

    Formel für die Berechnung von :

b) Die Gesamtstrecke ist 

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung – Alles Wichtige auf einen Blick

• Bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung bleibt die Beschleunigung konstant. Sie kann positiv bei Beschleunigung und negativ bei Bremsung sein.

• Für gleichmäßig beschleunigte Bewegungen ohne Anfangsbedingungen  gilt:

        Mit den zugehörigen Diagrammen:

• Für gleichmäßig beschleunigte Bewegungen mit Anfangsbedingungen gilt:

          Mit den zugehörigen Diagrammen:

Unsere Empfehlung

Achte beim Lösen von Aufgaben darauf, ob eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung vorliegt und welche Anfangsbedingungen gegeben sind. Du kannst gerne Skizzen zur Lösung der Aufgaben erstellen, um es dir leichter zu machen. Kontrolliere hinterher, ob deine Berechnung logisch ist und um falsche Ergebnisse durch Verwechslungen auszuschließen. 

Viel Erfolg!