Sicherlich bist Du schon oft mit einem Fahrrad auf verschiedensten Untergründen gefahren. Dabei ist Dir vielleicht aufgefallen, dass kleinere Unebenheiten im Boden meist kaum spürbar sind. Das liegt daran, dass die Federung Deines Fahrrades viele Erschütterungen abfängt.
Was dabei physikalisch an der Feder passiert, erfährst Du hier in diesem Artikel. Mit Beispielen, Definitionen und Berechnungen werden Dir Größen wie die Federkonstante und Federkraft sowie das Hookesche Gesetz nähergebracht.
Federkonstante – Definition
Dir ist sicherlich schon einmal aufgefallen, dass nicht alle Federn gleich sind. Deine Fahrradfederung ist für ganz andere Kräfte ausgelegt als eine Autofederung. Die Fahrradfederung kannst Du meistens sogar noch selbst einstellen.
Was Du an der Fahrradfederung einstellst, wird oft auch die Härte der Federung genannt. Physikalisch ausgedrückt heißt diese Eigenschaft die Federkonstante:
Die Federkonstante mit dem Formelzeichen \(D\) einer Feder gibt an, wie stark eine Feder (Strecke \(\Delta s\)) durch eine Krafteinwirkung \(\Delta F\) gedehnt / gestaucht wird.
\[D= \frac{\Delta F}{\Delta s}\]
Sie besitzt die Einheit Newton pro Meter:
\[[D]=\frac{N}{m}\]
Die Federkonstante ist bei jeder Feder unterschiedlich und wird auch Härte der Feder genannt.
Eine große Federkonstante bedeutet, die Feder ist hart. Es wird eine große Kraft benötigt, um die Feder um eine gewisse Strecke zu dehnen / stauchen.
Somit bedeutet eine kleine Federkonstante, dass die Feder weich ist. Es wird eine kleine Kraft benötigt, um die Feder um eine gewisse Strecke zu dehnen / stauchen.
Bei der Bezeichnung Federkonstante vermutest Du vielleicht, dass diese Größe eine Naturkonstante ist. Das ist jedoch nicht der Fall. Im Allgemeinen besitzt jede Feder eine eigene Federkonstante. Konstant heißt an dieser Stelle, dass diese Eigenschaft der Feder unveränderlich ist, solange Du im elastischen Bereich bleibst.
Um die physikalischen Größen der Feder zu untersuchen, schauen wir uns kurz das Beispiel des Fahrrades an.
Du fährst mit Deinem Fahrrad über einen kleinen Stein.
Je nach Geschwindigkeit des Fahrrades, der Größe des Steines, des Gesamtgewichts vom Fahrrad und weiteren Faktoren wirkt eine gewisse Kraft auf die Federung, die Spannkraft.
Die Federung wird dabei um eine gewisse Strecke gestaucht. Diese Strecke ist die Dehnung / Stauchung der Feder.
Je nach Federkonstante Deiner Fahrradfederung, wird die Feder unterschiedlich weit gestaucht. Eine weichere Federung bedeutet also, dass die Feder stark gestaucht wird, womit der Aufprall „weicher“ wirkt.
Federkonstante – Einheit
Die Einheit der Federkonstante \(D\) wird in Newton pro Meter gemessen, also:
\[[D]= \frac{N}{m}\]
Alternativ kann die Federkonstante auch noch in \(\frac{kg}{s^2}\) angegeben werden.
Die Feder- und Spannkraft an einer elastischen Feder
Eine Feder staucht / dehnt sich nicht von allein. Dafür ist eine Kraft notwendig, die Spannkraft.
Laut dem dritten newtonschen Gesetz (mehr dazu im dazugehörigen StudySmarter Artikel) wirkt einer Kraft auch immer eine gleich große Gegenkraft entgegen. Die Kraft, welcher bei der Feder der Spannkraft entgegenwirkt, ist die Federkraft:
Die Federkraft \(F_F\) einer Feder wirkt beim Dehnen / Stauchen der Feder einer wirkenden Spannkraft \(F_S\) entgegen und steigt mit der Anspannung der Feder.
Beide Kräfte sind dabei gleich groß und entgegengerichtet. Sie besitzen die Einheit Newton.
\[F_F=F_S\]
Federkonstante – Hookesches Gesetz
Das Hookesche Gesetz beschreibt, wie sich die Ausdehnung einer Feder ändert, wenn eine Kraft auf sie wirkt. Federn mit einer höheren Federstärke werden dabei weniger stark ausgedehnt, als Federn mit einer niedrigeren Federstärke. Das Gesetz lautet:
\[F=D \cdot s\]
Dabei steht F für die Kraft, D für die Federkonstante und s für die gedehnte Strecke.
Abb. 1: Größen beim Spannen einer Feder
Die aufzuwendende Spannkraft ist laut den Formeln abhängig von der gewollten Dehnung / Stauchung der Feder. Das ist Dir im Alltag vielleicht schon selbst aufgefallen. Je weiter Du eine Feder spannst, desto schwieriger wird es sie weiter zu spannen. Probiere das doch das nächste Mal aus, wenn Du eine Feder zur Hand hast! (Vorsicht: nicht überspannen, elastischen Bereich beachten!)
Das Kraft-Weg-Diagramm einer elastischen Feder
Egal, ob Du mehrere Federn verschiedener Federkonstanten oder eine einzelne Feder genauer untersuchen möchtest – hilfreich ist dabei immer das Kraft-Weg-Diagramm zu zeichnen:
Das Kraft-Weg-Diagramm einer Feder ist die grafische Darstellung der aufzuwendenden Spannkraft \(F_S\) auf der y-Achse in Abhängigkeit der Dehnung \(s\) auf der x-Achse einer Feder.
Die Federkonstante \(D\) gibt dabei vor, wie stark oder schwach die Spannkraft \(F_S\) mit der Dehnung \(s\) ansteigt.
Abb. 2: Kraft-Weg-Diagramm von Federkraft und Dehnung bei verschiedenen Federkonstanten
Wie steil oder flach ein Wert in einem Diagramm ansteigt, wird mathematisch auch Anstieg genannt.
In der Abbildung 2 wird bei der Feder der Federkonstante \(D_1\) mehr Spannkraft bei gleicher Dehnung gebraucht. Das bedeutet, die Feder 1 ist härter als die Feder 2.
Berechnung an einer Feder
Mit diesen neuen Größen, gelernten Formeln und Darstellungsmöglichkeiten bist Du nun bestens gewappnet, eine große Aufgabe am Beispiel der Autofederung zu berechnen!
Du möchtest mit Deiner Familie in den Urlaub fahren. Dafür nehmt ihr das Auto. Euer Auto wiegt im Leerzustand \(m_{leer}=1200\ kg\). Die Beladung, also Deine Familie inklusive Gepäck wiegt insgesamt \(\Delta m = 300\ kg\) . Du bemerkst, dass sich das Auto durch die zusätzliche Beladung um weitere \(\Delta s= 3\ cm\) absenkt.
Hinweis: Die Autofederung wird als eine gesamte, perfekt elastische Feder angenommen.
Aufgabe 1
a) Berechne die Spannkraft, welche im voll beladenen Zustand \(F_{S,voll}\) auf die Autofederung wirkt.
b) Berechne die Federkonstante \(D\) der Gesamtfederung des Autos.
c) Berechne die Stauchung \(s_{leer}\) an der Autofederung im leeren Zustand des Autos.
Lösung a
Hier musst Du überlegen, durch welche Kraft die Federung gespannt wird. Das gesamte Gewicht des Autos inklusive jeglicher zusätzlicher Beladung sitzt auf der Federung des Autos. In diesem Falle wird die Feder also durch die Gewichtskraft gestaucht.
Eine Gewichtskraft berechnest Du allgemein mit der Masse \(m\) und der Erdbeschleunigung (Ortsfaktor) \(g\):
\[F_G=m\cdot g\]
Hinweis: Der Ortsfaktor beträgt an der Erdoberfläche (findest Du in Deiner Formelsammlung):
\[g=9{,}81 \frac{m}{s^2}\]
Die Gewichtskraft entspricht hier der Spannkraft, da ansonsten keine weiteren Kräfte auf die Federung wirken.
\[F_S=F_G=m\cdot g\]
Die wirkende Masse \(m_{voll}\) ist bei voller Beladung die Leermasse \(m_{leer}\) und die zusätzliche Masse der Beladung \(\Delta m = 300\ kg\).
Du kannst \(m_{voll}\) an dieser Stelle also so berechnen:
\begin{align} m_{voll}&= m_{leer}+\Delta m\\&= 1200\ kg + 300 \ kg=1500\ kg \end{align}
Oftmals sparst Du Dir aber Rechen- und Schreibarbeit, wenn Du erst ganz am Ende die Werte einsetzt.
Die Größen kannst Du in die oben stehende Formel für \(F_S = F_G\) einsetzen:
\[F_{S,voll} = F_{G,voll} = m_{voll} \cdot g\]
Jetzt ersetzt du \(m_{voll}\) mit den gegebenen Größen \(m_{leer}\) und \(\Delta m\) und setzt diese in die Formel ein:
\[F_{S, voll}=(m_{leer}+\Delta m)\cdot g\]
Jetzt hast Du eine Formel, um die gesuchte Größe F_{S,voll} mit ausschließlich gegebenen Werte zu berechnen. Dafür setzt Du Werte für \(m_{leer}\), \(\Delta m\) und \(g\) zunächst ein:
\[F_{S,voll} = (1200 \ kg + 300 \ kg) \cdot 9{,}81\frac{m}{s^2}\]
Daraus berechnest Du den Wert für \(F_{S,voll}\):
\[F_{S,voll} = 14715 \ N\]
Lösung b
Um die Federkonstante der Autofederung zu berechnen, benötigst Du eine Dehnung / Stauchung und die dazugehörige Kraft, welche diese Dehnung / Stauchung verursacht.
In dieser Aufgabe ist nur eine Stauchung gegeben, nämlich \(\Delta s= 3\ cm\). Die Kraft welche diese Stauchung verursacht, ist die Spannkraft durch die zusätzliche Beladung \(Delta 2943 \ N\).
Jetzt hast Du also die für diesen Teil der Aufgabe interessanten Größen. Nun benötigst Du die Formel für die Federkonstante bei gegebener Kraft und Dehnung / Stauchung:
\[D= \frac{F_S}{s}\]
In die Formel kannst Du die interessanten Größen \(\Delta F_s\) und \(\Delta s\) einsetzen:
\[D= \frac{\Delta F_S}{\Delta s}\]
Bevor Du die Werte zur Berechnung einsetzt, musst Du darauf achten, dass Du alle Werte in SI-Einheiten hast! Das bedeutet, anstatt km (Kilometer) oder cm (Zentimeter) die SI-Einheit m (Meter) benutzen. Für die Kraft das Gleiche: anstatt kN (Kilonewton) oder mN (Millinewton) die Kraft in N (Newton) umrechnen.
\(\Delta s\) ist hier in cm gegeben. Das musst Du also vorher in m umrechnen:
\[\Delta s = 3\ cm = 3\cdot \frac{1}{100} m= 0{,}03\ m\]
Nun setzt Du die Werte der Größen in SI-Einheiten in die Formel ein:
\[D=\frac{2943\ N}{0{,}03 m}\]
Daraus berechnest Du die Federkonstante \(D\) der Autofederung:
\[D=98100 \frac{N}{m}\]
Lösung c
Um die Stauchung \(s_{leer}\) an der Autofederung im Leerzustand zu berechnen, musst Du wieder die in dieser Situation wirkende Kraft herausfinden. Hier ist es die Spannkraft im Leerzustand \(F_{S,leer}\). Die Federkonstante \(D\) ist hier die schon berechnete. Warum? Weil die Federung sich nicht geändert hat.
Nun benötigst Du wieder die Formeln des Hookeschen Gesetzes. Dieses Mal die Stauchung \(s\) in Abhängigkeit einer wirkenden Spannkraft \(F_S\) auf eine Feder der Federkonstante \(D\).
\[s=\frac{F_S}{D}\]
Deine Größen kannst Du in die Formel einsetzen:
\[s_{leer}=\frac{F_{S,leer}}{D}\]
Jetzt kannst Du die Werte in SI-Einheiten einsetzen. Die resultierende Größe ist dadurch auch automatisch in SI-Einheiten:
\[s_{leer} = \frac{11772 N}{98100\frac{N}{m}}\]
Die Stauchung der Autofederung im Leerzustand \(s_{leer}\) kannst Du jetzt berechnen:
\[s_{leer} = 0{,}12\ m =12\ cm\]
Die Federkonstante bei Zusammenschaltung von Federn
Im Beispiel des Autos sind alle Reifenfederungen nebeneinander. Die Kraft wirkt auf die Ebene, auf welcher die Federn nebeneinander sind. Diese Federschaltung heißt Parallelschaltung.
Eine andere Form der Zusammenschaltung von Federn ist die Reihenschaltung. Mehr zur Reihenschaltung erfährst Du etwas weiter unten.
Schauen wir uns zunächst die Parallelschaltung von Federn etwas genauer an.
Die Federkonstante bei parallel geschalteten Federn
Am Auto werden alle Federn gleichzeitig gestaucht. Die Federn befinden sich dabei auf einer Ebene. Die gesamte Kraft wirkt (meist im rechten Winkel) auf diese Ebene. Dadurch wird die wirkende Kraft auf alle Federn aufgeteilt.
Abb. 3: Parallele Federn unterschiedlicher Federkonstanten einer Autofederung
Im Normalfall besitzen die Federn nicht die gleiche Federkonstante. Das hängt mit der Bauweise des Autos und der unterschiedlichen Belastung je nach Nutzung zusammen.
Die einzelnen parallelen Federkonstanten kannst Du nun als eine Gesamtfederkonstante zusammenfassen:
Sind mehrere Federn parallel geschaltet, also nebeneinander platziert, so kannst Du für die gesamte Federschaltung eine Gesamtfederkonstante \(D_{Ges}\) ermitteln.
Die Gesamtfederkonstante (auch Ersatzfederkonstante genannt) \(D_{Ges}\) der Parallelschaltung ist dabei die Summe der Federkonstanten der parallel geschalteten Federn:
\[D_{Ges} = D_1 + D_2 + \dots\]
Mit der Gesamtfederkonstante kannst du nun genau so weiterrechnen, wie wenn nur eine Feder gegeben wäre.
Die zweite grundsätzliche Art von Federschaltungen ist die Reihenschaltung. Schauen wir diese Schaltung nun etwas genauer an.
Die Federkonstante bei in Reihe geschalteten Federn
Die Reihenschaltung von Federn wird durch ein Beispiel etwas besser verständlich. Stelle Dir vor, Du legst Dich auf Dein Bett:
Dein Gewicht drückt dabei auf die Matratze und darunter auch auf den Lattenrost. Matratze und Lattenrost nehmen wir in der Betrachtung als perfekte, elastische Federn an.
Abb. 4: Kraft wirkt von oben auf Matratze und darunter auf Lattenrost = Reihenschaltung
Die beiden Federn (Matratze und Lattenrost) sind dabei in Reihe geschaltet. Das bedeutet, die Federn sind in Kraftrichtung hintereinander angeordnet (Kraft von oben → auf Matratze → auf Lattenrost).
Auch in diesem Fall der Reihenschaltung von Federn kannst Du für die gesamte Schaltung eine Gesamtfederkonstante ermitteln:
Sind mehrere Federn in Reihe geschaltet, das heißt die Federn sind in Kraftrichtung hintereinander, so kannst Du für die gesamte Federschaltung eine Gesamtfederkonstante \(D_{Ges}\) ermitteln.
Der Kehrwert der Gesamtfederkonstante (auch Ersatzfederkonstante genannt) der Reihenschaltung ist dabei die Summe der Kehrwerte der einzelnen Federkonstanten der in Reihe geschalteten Federn:
\[\frac{1}{D_{Ges}}=\frac{1}{D_1}+\frac{1}{D_2}+\dots\]
Jetzt weißt Du, wie Du die Ersatzfederkonstanten der Parallel- und Reihenschaltung von Federn ermittelst. Nicht jede Anordnung von Federn ist aber genau eine der beiden Schaltungen. Diese Schaltungen können auch gemischt vorkommen. Wenn Dich interessiert, wie Du in so einer Situation allgemein vorgehen kannst, schau Dir doch die kurze Vertiefung an!
Die Federkonstante bei gemischter Federschaltung
Wenn Federschaltungen nicht ausschließlich aus parallel oder in Reihe geschalteten Federn bestehen, kannst Du das gesamte Federsystem in Reihen- und Parallelschaltungen aufteilen.
Abb. 5: gemischte Federschaltung
Um die Gesamtfederkonstante \(D_{Ges}\) dieser komplizierten Schaltung zu ermitteln, fängst Du am besten mit der innersten Verzweigung der Schaltung an und arbeitest Dich sukzessiv weiter nach außen:
- \(D_{teil,3}\) ermitteln (Parallelschaltung von zwei Federn)
- \(D_{teil,4}\) ist parallel zu \(D_{teil,3}\), daraus ermittelst Du \(D_{teil,3,4}\)
- \(D_{teil,1}\) ermitteln (Reihenschaltung von zwei Federn)
- \(D_{teil,1}\), \(D_{teil,2}\), \(D_{teil,3}\) sind parallel, daraus ermittelst Du \(D_{Ges}\)
Du weißt nun, wie Du die Gesamtfederkonstante einer beliebigen Federschaltung berechnest. Wende Dein neues Können doch direkt an einer Aufgabe an!
Gesamtfederkonstante berechnen
In der folgenden Aufgabe berechnest Du die Gesamtfederkonstante einer Parallel- und einer Reihenschaltung:
Gegeben sind zwei Federn der Federkonstanten \(D_1=35\frac{N}{m}\) und \(D_2= 12\frac{N}{m}\).
Aufgabe 2
a) Berechne die Gesamtfederkonstante \(D_{Ges,Par}\) der Schaltung, wenn Du beide Federn parallel schaltest.
b) Berechne die Gesamtfederkonstante \(D_{Ges,Reihe}\) der Schaltung, wenn Du beide Federn in Reihe schaltest.
Lösung a
Es geht hier um die Parallelschaltung von Federn. Du hast gelernt, dass sich die Gesamtfederkonstante \(D_{Ges, Par}\) einer Parallelschaltung aus der Summe der Federkonstanten der einzelnen Federn \(D_1\) und \(D_2\) ergibt.
Mit diesem Wissen kannst Du also folgende Formel aufstellen:
\[D_{Ges,Par}= D_1 + D_2\]
Hier setzt Du die Werte der Federkonstanten \(D_1\) und \(D_2\) ein. Achte dabei darauf, dass diese in der gleichen Einheit gegeben sein müssen. Die Gesamtfederkonstante \(D_{Ges, Par}\) besitzt dann die gleiche Einheit. In diesem Fall sind die Federkonstanten als normale SI-Größen gegeben. Du kannst also einfach einsetzen:
\[D_{Ges,Par}= 35\frac{N}{m} + 12\frac{N}{m}\]
Mit dieser Summe berechnest Du die Gesamtfederkonstante der Parallelschaltung \(D_{Ges, Par}\):
\[D_{Ges,Par}= 47\frac{N}{m}\]
Lösung b
Hier ist eine Reihenschaltung von Federn gegeben. Du weißt, dass sich der Kehrwert der Gesamtfederkonstante einer Reihenschaltung \(\frac{1}{D_{Ges, Reihe}}\)aus der Summe der Kehrwerte der Federkonstanten der einzelnen Federn \(\frac{1}{D_1}\) und \(\frac{1}{D_2}\) ergibt.
Du kannst also die folgende Formel aufstellen:
\[\frac{1}{D_{Ges, Reihe}}=\frac{1}{D_{1}}+\frac{1}{D_{2}}\]
Jetzt kannst Du die Werte einsetzen. Wie oben schon erwähnt, musst Du hier keine Einheiten umrechnen:
\[\frac{1}{D_{Ges, Reihe}}=\frac{1}{35\frac{N}{m}}+\frac{1}{12\frac{N}{m}}\]
Aus der Summe berechnest Du den Kehrwert der Gesamtfederkonstanten der Reihenschaltung \(\frac{1}{D_{Ges, Reihe}}\):
\[\frac{1}{D_{Ges, Reihe}}=0{,}112\frac{1}{\frac{N}{m}}\]
Bildest Du nun den Kehrwert von \(\frac{1}{D_{Ges, Reihe}}\) erhältst Du die Gesamtfederkonstante der Reihenschaltung \(D_{Ges, Reihe}\). Aus der Einheit wird dabei \(\frac{N}{m}\) und den Kehrwert berechnest Du mit 1 durch den Wert der Größe:
\[D_{Ges, Reihe} = \frac{1}{0{,}112}=8{,}93\frac{N}{m}\]
Federkonstante - Das Wichtigste
- Jede Feder besitzt eine Federkonstante \(D\) welche deren physikalische Eigenschaft des Federns (die Härte der Feder) beschreibt. Die Federkonstante besitzt das Formelzeichen \(D\) und die Einheit Newton pro Meter:
\[[D]=1\frac{N}{m}\]
- Eine elastische Feder wirkt immer eine gleich große Federkraft \(F_F\) entgegen eine wirkende Spannkraft\(F_S\). Beide Größen sind Kräfte mit der Einheit Newton:
\[F_F=F_S\]
- Das Hookesche Gesetz beschreibt den mathematischen Zusammenhang von Federkonstante \(D\), der Federkraft \(F_F\) und der dabei vorkommenden Spannung der Feder \(s\):
\[F=D\cdot s\]
- Bei zusammengeschalteten Federn kannst du eine Gesamtfederkonstante(Ersatzfederkonstante) \(D_{ges}\) je nach Art der Schaltung mithilfe der Federkonstanten der vorkommenden Federn ermitteln:
- Parallelschaltung: \(D_{ges} = D_1 + D_2 + \dots\)
- Reihenschaltung: \(\frac{1}{D_{Ges}}= \frac{1}{D_1} + \frac{1}{D_2} + \dots\)
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