Verformungsarbeit

Aus Versehen fällt dir eine Kiste mit allen möglichen Gegenständen herunter. Die Gegenstände prallen dabei einzeln auf dem Boden auf. Ein Flummi springt wieder nach oben, andere Gegenstände bleiben am Boden und haben deutliche Verformungen.

Jeder Gegenstand wurde in einer gewissen Art und Weise verformt. Dabei wurde eine Arbeit verrichtet. Was diese Verformungsarbeit ist und wie du diese in vielen unterschiedlichen Situationen berechnest, erklärt dir dieser Artikel anhand von Definitionen, Beispielen, Herleitungen, und Bildern.

Die Verformungsarbeit – eine Form der mechanischen Arbeit

Die Verformungsarbeit gehört in der Physik neben anderen Formen zur mechanischen Arbeit. Von der mechanischen Arbeit hast du sicherlich schon im Unterricht gehört. Doch, was war das noch gleich?

Die mechanische Arbeit

Vielleicht erinnerst du dich an den Merksatz Arbeit ist Kraft mal Weg. Dieser gilt für die allgemeine mechanische Arbeit. Als Auffrischung kannst du dir den Artikel zur mechanischen Arbeit auf StudySmarter noch einmal anschauen.

Hier ist dennoch eine kurze Definition der mechanischen Arbeit, um dein Vorwissen zu aktivieren:

Nach diesem kurzen Auffrischen deines Wissens soll es im Weiteren ausschließlich um die Verformungsarbeit gehen.

Die Verformungsarbeit bei elastischer Verformung

Die Verformungsarbeit ist eine Art der mechanischen Arbeit. Diese wird verrichtet, wenn ein Körper verformt wird. Das geschieht zum Beispiel bei einem Autounfall oder beim Kneten von Teig. In diesen Beispielen geht der Körper nicht von selbst in seinen Ausgangszustand zurück. Diese Verformung heißt in- oder unelastische Verformung, allgemeiner auch plastische Verformung. Doch damit beschäftigen wir uns später.

Oft wird ein Körper, wie der Flummi in der Einleitung, als eine perfekte elastische Feder angesehen. Das bedeutet, dass der Körper nach einer Verformung von selbst in seine Ausgangslage bzw. Grundauslenkung zurückkehrt. Die Verformung ist somit also gleich der elastischen Dehnung / Stauchung einer Feder. Daher kommen auch die speziellen Bezeichnungen der Verformungsarbeit: Federarbeit, Federspannarbeit oder Spannarbeit.

Die mechanische Arbeit ist allgemein als Arbeit ist Kraft mal Weg definiert. Für die Verformungsarbeit benötigst du nun die dazugehörige Kraft und den Weg, über welchen diese Kraft wirkt.

Wichtige Größen beim Spannen einer Feder

Du hast sicherlich schon einmal selbst eine Feder gespannt, z. B. wenn du bei einem alten Kugelschreiber den Klick-Mechanismus auseinandergebaut hast. Dort findest du eine Feder, welche du etwas anspannen kannst.

Sei dabei aber vorsichtig, diese nicht zu überspannen! Das resultiert in einer permanenten Veränderung der Feder. Dadurch veränderst du die federnden Eigenschaften oder zerstörst diese eventuell sogar! Der Bereich, in welchem du die Feder dehnen / stauchen kannst, ohne diese dauerhaft physikalisch zu verändern, wird elastischer Bereich genannt.

Die Spannkraft $\overrightarrow{F_S}$ ist die Kraft, welche du aufbringen musst um die elastische Feder um eine Dehnung / Stauchung $\overrightarrow{s}$ zu spannen. Die Federkraft $\overrightarrow{F_F}$ ist die Kraft, welche entsprechend einer Feder dem Spannen entgegenwirkt. Laut dem dritten newtonschen Gesetz sind diese beiden Kräfte gleich groß, da sie direkt gegeneinander wirken.

Die Härte der Feder wird dabei mit der Federkonstante $D$ angegeben. Diese ist keine Natur- oder Materialkonstante, sondern ist bei jeder Feder unterschiedlich.

Abb. 1 - Kräfte bei der Dehnung einer Feder

Wenn du selbst eine Feder spannst, ist dir vielleicht schon aufgefallen, dass deine benötigte Kraft größer wird, je weiter du die Feder spannst. Dieser Zusammenhang wird auch Hookesches Gesetz genannt.

Wie du die verrichtete Verformungsarbeit an einer Feder, also die (Feder-) Spannarbeit, mit allen Größen und dem Kraft-Weg-Diagramm ermitteln kannst, erfährst du jetzt.

Die Spannarbeit – Die Verformungsarbeit an einer elastischen Feder

Wenn du dich an die allgemeine mechanische Arbeit erinnerst, weißt du vielleicht noch, dass du die mechanische Arbeit mit einer Formel, aber auch grafisch im Kraft-Weg-Diagramm bestimmen kannst. Das gilt auch für die verrichtete Spannarbeit an einer Feder!

Schauen wir uns zunächst die grafische Ermittlung an.

Die Spannarbeit an einer elastischen Feder grafisch ermitteln

Bei der mechanischen Arbeit ist die verrichtete Arbeit im Kraft-Weg-Diagramm die Fläche unter dem Graphen über einer gewissen Strecke. Das gilt auch bei der Spannarbeit:

Betrachtest du das folgende Kraft-Weg-Diagramm kannst du erkennen, dass es sich hierbei um eine rechteckige Dreiecksfläche handelt. Die kurzen Seiten sind die Kraft $F_S$ und die Dehnung $s$.

Abb. 2 - Verformungsarbeit im Kraft-Weg-Diagramm

Den Flächeninhalt $A$ eines rechtwinkligen Dreiecks berechnest du wie folgt:

$A=\frac{1}{2}·a·b$

Abb. 3 - Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks

Die Größen $a$ und $b$ sind dabei die kurzen Seiten am Dreieck. Somit kannst du die Spannarbeit an einer Feder grafisch ermitteln.

Wenn du die Größen an der Feder in die Dreiecksformel einsetzt, kannst du die Spannarbeit berechnen.

Die Spannarbeit an einer elastischen Feder rechnerisch ermitteln

Setzt du nun die Spannkraft $F_S$ und die Dehnung $s$ in die Formel des Flächeninhaltes eines rechtwinkligen Dreiecks ein, erhältst du eine Formel für die verrichtete mechanische Verformungsarbeit $W_F$ an einer Feder (Spannarbeit).

Diese kannst du wie folgt definieren:

Mit diesen Formeln kannst du für die mechanische Verformungsarbeit (Spannarbeit) an einer elastischen Feder folgende Merksätze formulieren:

Das war ein recht langer theoretischer Abschnitt. Zur Abwechslung kannst du das Gelernte jetzt aber in einer kurzen Aufgabe testen!

In Aufgabe 1 waren alle Werte in der Form gegeben, wie diese auch in den allgemeinen Formeln vorkommen. Außerdem wurde eine Feder immer aus dem Ruhestand gedehnt. Was aber, wenn die Feder schon anfangs durch eine andere Kraft gedehnt ist, und nun weiter gedehnt wird?

Die Spannarbeit an einer Feder bei vorheriger Dehnung / Stauchung

Dass eine Feder im Alltag standardmäßig gedehnt / gestaucht ist, kannst du an einem Auto beobachten.

Naheliegend wäre, diese zusätzliche Kraft $\Delta F_S$ und die daraus resultierende Stauchung $\Delta s$ in die bekannte Formel für die verrichtete Spannarbeit an einer Feder einzusetzen, oder?

Aber: In der Definition haben wir festgelegt, dass die Formel nur gilt, wenn die Feder aus ihrer Ruhelage gebracht wird.

Das hängt damit zusammen, dass die entgegenwirkende Federkraft abhängig von der Dehnung / Stauchung der Feder ist. Aufgrund der vorherigen Stauchung $s_0$ durch die Kraft $F_{S,0}$ ist das also nicht der Fall. Du kannst die bekannte Formel somit nicht direkt anwenden.

Abb. 4 - Stauchung einer Autofederung in drei verschiedenen Situationen

Wie verhalten sich nun die verschiedenen verrichteten Spannarbeiten?

Es ist hilfreich, sich das Problem mithilfe eines Kraft-Weg-Diagramms (x-Achse ist Dehnung, y-Achse ist Spannkraft) zu veranschaulichen (Abbildung 5):

Zunächst zeichnest du (hier in blau) die Größen im Leerzustand ein. Das Dreieck unter der Kraft $F_{S,0}$ über der Dehnung $s_0$ entspricht dabei der verrichteten Spannarbeit $W_{F,0}$ an der Federung durch das Leergewicht.

Jetzt kommen die Größen zur zusätzlichen Beladung. Dabei musst du den schon begonnen Graphen weiterzeichnen, da die Federung ja auch weiter gestaucht wird. In orange verlängerst du den Graphen also mit der zusätzlichen Spannkraft $\Delta F_S$ über die Strecke der Dehnung $\Delta s$. Die zusätzliche aufgespannte Fläche ist dabei die gesuchte zusätzliche Spannarbeit $\Delta W_F$ an der Federung.

Zuletzt kannst du nun die gesamte verrichtete Spannarbeit an der Federung $W_{F,ges}$ als die gesamte Fläche unter dem Graphen der gesamten Spannkraft $F_{S,ges}$ über der Dehnung $s_{ges}$ markieren.

Abb. 5 - Wichtige Größen bei verrichteter Spannarbeit an der Autofederung im Kraft-Weg-Diagramm

Das Beispiel mit dem Auto von oben kannst du jetzt beschreiben und berechnen! Wie das aussehen könnte, findest du heraus, wenn du die Aufgabe 2 rechnest.

Jetzt weißt du, wie du die Spannarbeit an einer Feder in vielen Situationen berechnen kannst. Was bedeutet das alles aber für die goldene Regel der Mechanik?

Die goldene Regel der Mechanik und die Spannarbeit

Wenn du dich an verschiedene Themen in der Mechanik erinnerst, kennst du vielleicht auch noch die goldene Regel der Mechanik im Zusammenhang mit der mechanischen Arbeit. Diese Regel besagt, was du an Kraft sparst, musst du an Weg zulegen, wobei die verrichtete mechanische Arbeit gleich bleibt.

Gilt dies aber auch für die Spannarbeit an einer elastischen Feder?

Kurze Antwort: Ja, weil du schon herausgefunden hast, dass die Spannarbeit wie auch allgemein die mechanische Arbeit proportional von Kraft und Dehnung (Weg) abhängig ist.

Warum genau? Das kannst du in der Vertiefung herausfinden.

Erinnerst du dich an die allgemeine mechanische Arbeit, weißt du vielleicht auch noch, dass eine Arbeit auch immer einer Änderung der Energie bedeutet.

Die Energie beim elastischen Verformen einer Feder

Die Energie beschreibt allgemein die Fähigkeit, eine Arbeit zu verrichten. Beim Spannen einer Feder wird dieser mechanische Energie zugeführt. Die Feder hat jetzt aufgrund der Möglichkeit, von allein in die Ausgangslage zurückzukehren, eine Federenergie gespeichert. Die Feder hat also das Potential, in die Ausgangsform zurückzukehren.

Die potentielle Energie einer elastischen Feder

Die potentielle Energie eines Körpers besitzt zwei Hauptmerkmale: eine wirkende Kraft auf den Körper und dessen Lage in Bezug zum Kraftursprung.

Die wirkende Kraft bei einer Feder ist die Federkraft $F_F$ welche entgegen der Spannkraft $F_S$ wirkt. Die Strecke zum Kraftursprung ist die Dehnung / Stauchung $s$ der Feder. Auch weißt du schon, dass eine verrichtete Arbeit $W$ immer einer Änderung der Energie $\Delta E$ entspricht. Das kannst du in folgender Definition für die potentielle Energie einer gespannten / gestauchten Feder, auch Federenergie genannt zusammenfassen.

Wie groß die potentielle (Feder-) Energie des Gummirings vom Anfang in Aufgabe 1 ist, kannst du im folgenden Beispiel berechnen.

Bis jetzt bist du bei jeder Betrachtung davon ausgegangen, dass es sich bei der Verformung um eine elastische Verformung handelt. Wie du aber am Anfang des Artikels gelernt hast, ist das nicht immer der Fall!

Die Verformungsarbeit bei plastischer Verformung

Wie wir anfangs schon festgelegt haben, kehrt der verformte Körper bei der plastischen Verformung nicht selbstständig in die Ausgangsform zurück.

Das passiert zum Beispiel bei einem Autounfall:

Die Umwandlung von Energien ist aber nicht immer vollständig bekannt. Jedoch kannst du das Gleichsetzen von verrichteter mechanischer Arbeit und einer Änderung der Energie als Ansatz verwenden:

Je nach Situation ist das also mehr oder weniger genau. Stößt das Auto gegen einen leicht beweglichen Gegenstand, dann wird nicht die gesamte Energie in die Verformung gesteckt. Der andere Gegenstand wird beschleunigt und das Auto rollt vielleicht mit geringerer Geschwindigkeit weiter. In solch einer Aufgabe ist es also sinnvoll, die Energien zu betrachten und daraus Schlüsse zur verrichteten Arbeit zu ziehen.