Das Treppensteigen, den Schulrucksack aufsetzen oder die morgendliche Tasse Tee oder Kaffee vom Tisch an deinen Mund führen – in all diesen Situationen hebst du etwas an. Dabei verrichtest du immer eine mechanische Hubarbeit.
Was diese Hubarbeit eigentlich ist, wie man diese berechnet, und wie sie mit der potentiellen Energie zusammenhängt – all das erklärt dir dieser Artikel mit Definitionen, Beispielen, Rechnungen und Bildern.
Die Hubarbeit – eine Form der mechanischen Arbeit
Die Hubarbeit gehört in der Physik neben anderen Formen zur mechanischen Arbeit. Von der mechanischen Arbeit hast du sicherlich schon im Unterricht oder auf StudySmarter gehört. Doch, was war das noch gleich?
Die mechanische Arbeit
Vielleicht erinnerst du dich an den Merksatz Arbeit ist Kraft mal Weg. Dieser gilt für die allgemeine mechanische Arbeit. Als Auffrischung kannst du dir den Artikel zur mechanischen Arbeit auf StudySmarter noch einmal anschauen.
Hier ist dennoch eine kurze Definition der mechanischen Arbeit, um dein Vorwissen zu aktivieren:
Wirkt auf einen Körper eine anhaltende Kraft 
, wodurch sich dieser Körper über eine Strecke 
bewegt, so wird an dem Körper eine mechanische Arbeit 
verrichtet. Diese berechnest du wie folgt:
Die mechanische Arbeit 
besitzt folgende Einheit:
Nach diesem kurzen Auffrischen deines Wissens soll es im Weiteren ausschließlich um die Hubarbeit gehen.
Die Hubarbeit
Die Hubarbeit ist eine Form der mechanischen Arbeit. Diese musst du verrichten, um einen Körper anzuheben. Dabei wirkt dir eine Kraft entgegen, welche du zum Heben überwinden musst.
Im Vergleich zur allgemeinen mechanischen Arbeit ist die entgegenwirkende Kraft zu deiner Hubkraft 
die Gewichtskraft 
des Körpers der Masse 
. Die Strecke ist die Hubhöhe 
.
Abb. 1 - Größen beim Heben
Die Höhe ist hierbei eine Höhendifferenz. Wenn ein Körper in einer Höhe von 2m auf eine Höhe von 3m angehoben wird, so ist die Differenz, also 1m, ausschlaggebend für die verrichtete Arbeit.
Mithilfe des Merksatzes Arbeit ist Kraft mal Weg kannst du für die Hubarbeit folgende Definition festlegen:
Beim Heben eines Körpers der Masse 
um eine Hubhöhe 
entgegen der Fallbeschleunigung (Ortsfaktor) 
auf der Erde wird eine mechanische Arbeit, die Hubarbeit 
verrichtet.
Die aufzubringende Hubkraft 
ist dabei größer und entgegengerichtet der Gewichtskraft 
des Körpers. Bei der Betrachtung der verrichteten Hubarbeit wird der Betrag der Gewichtskraft verwendet:
Der Ortsfaktor 
ist an der Erdoberfläche wie folgt definiert:
Zur Berechnung der Hubarbeit 
und deren Einheit gemäß Arbeit ist Kraft mal Weg ergibt sich somit folgende Formel:
Abb. 2 - Definition Hubarbeit
Für die Hubarbeit kannst du dir folgenden Merksatz einprägen:
Hubarbeit ist Gewichtskraft mal Hubhöhe
Aus der Formel geht hervor, dass die Hubarbeit proportional abhängig von der Masse des hochgehobenen Körpers und der Hubhöhe ist. Der Ortsfaktor ist eine Konstante und verändert sich dementsprechend auf der Erde nicht.
Die Vektorpfeile und Betragszeichen über dem Formelzeichen F werden in der Regel nur in der Definition mitgeschrieben, da man in den meisten Fällen von parallel zur Hubhöhe wirkenden Kräften ausgeht. Es wird also nach oben gehoben.
Diese proportionalen Abhängigkeiten kannst du auch wie folgt darstellen:
Der Zusammenhang zwischen der Hubarbeit und der Masse, sowie der Hubhöhe, ist folgendermaßen definiert:
Die Hubarbeit ist proportional abhängig von der gehobenen Masse :
Die Hubarbeit ist proportional abhängig von der Hubhöhe :
Das bedeutet, wenn sich die Masse, und somit die Gewichtskraft, verdoppelt und die Hubhöhe gleich bleibt, so verdoppelt sich auch die verrichtete Hubarbeit. Das Gleiche gilt für die Hubhöhe: wenn sich die Hubhöhe bei gleichbleibender Masse verdoppelt, so verdoppelt sich auch die verrichtete Hubarbeit.
Abb. 3 - Hubarbeit ist proportional zu Kraft bzw. Masse und Hubhöhe
Um dieses grundsätzliche Wissen zu verfestigen, hier zwei kurze Aufgaben.
Aufgabe 1
Berechne die Hubarbeit 
, welche verrichtet werden muss, um eine Kiste der Masse 
in ein Obergeschoss zu tragen, welches 
weiter oben ist.
Abb. 4 - Aufgabe eine Kiste in Obergeschoss tragen
Lösung
Als Erstes suchst du dir die Formel der Hubarbeit aus der Formelsammlung. Noch besser ist es, sich die Formel direkt einzuprägen:
In der Aufgabenstellung sind die Größen der Masse und der Höhe gegeben. Gesucht ist die Arbeit. Du musst also nichts umstellen und kannst die Größen einsetzen:
Um alle Werte einzusetzen, benötigst du noch den Ortsfaktor auf der Erde. Diesen findest du auch in der Formelsammlung oder im Tafelwerk. Am besten prägst du dir den Wert aber ein, da er für viele Berechnungen in der Mechanik wichtig ist!
Jetzt kannst du alle Werte einsetzen:
Die Werte sind alle in SI-Einheiten (Grundeinheiten) gegeben, also kannst du nun den Wert der verrichteten mechanischen Hubarbeit ausrechnen:
Somit hast du alle notwendigen Berechnungen der Aufgabe gelöst und kannst jetzt einen kurzen Antwortsatz formulieren: Um die Kiste in das Obergeschoss zu heben, muss an dieser eine Hubarbeit von 
verrichtet werden.
Damit du dir etwas mehr unter dem Wert der verrichteten Arbeit vorstellen kannst, berechnen wir in der nächsten Aufgabe, wie hoch eine Person durch diese Arbeit gehoben werden kann.
Aufgabe 2
Berechne, wie hoch 
eine Person der Masse 
mithilfe der Arbeit 
gehoben werden kann. Als Masse kannst du auch deine eigene verwenden!
Abb. 5 - Aufgabe eine Person heben
Lösung
Erinnere dich an die Formel für die Hubarbeit:
Die Hubarbeit und die Masse sind gegeben, der Ortsfaktor ist eine definierte Konstante, welche du entweder im Kopf hast, oder heraussuchen musst. Die gesuchte Größe ist nun die Hubhöhe.
Das bedeutet, die Formel der Hubarbeit muss auf die Hubhöhe umgestellt werden:
In dieser Formel kannst du jetzt die gegebenen und gesuchten Größen benennen, alle bekannten Werte einsetzen, und somit die Hubhöhe ausrechnen:
Somit hast du die Berechnungen gelöst und kannst einen kurzen Antwortsatz formulieren:
Wenn an der Person die gegebene Hubarbeit verrichtet wird, kann diese um 
gehoben werden.
Nicht in jeder Situation lässt sich die Hubarbeit so einfach berechnen wie in diesen Beispielen. Die benötigte Kraft könnte sich aufgrund unterschiedlicher Massen verändern.
Die gesamte Hubarbeit bei veränderter Masse
Wenn sich in einer Situation die betrachtete Masse und somit die Gewichtskraft ändert, dann kannst du für die gesamte verrichtete Hubarbeit nicht mehr nur Arbeit ist Kraft mal Weg benutzen.
Stelle dir dazu die folgende Situation in einem Personenaufzug vor:
Du steigst im Erdgeschoss in den Aufzug. In der nächsten Etage hält der Aufzug und eine weitere Person steigt ein. Ihr fahrt gemeinsam bis in die darauffolgende Etage und steigt dort aus.
Abb. 6 - Beispiel Aufzug
Die Hubarbeit, welche an dir verrichtet wurde, ergibt sich wie dir bekannt ist, aus deiner Gewichtskraft und der zurückgelegten Hubhöhe.
Die Frage ist nun aber, welche Hubarbeit wurde am gesamten Aufzug, mit den Personen darin, verrichtet?
Das ist etwas komplizierter, da sich die Gesamtmasse auf dem Weg verändert. Es bietet sich an, die verschiedenen Wegstücke und die dort verrichteten Hubarbeiten einzeln zu betrachten.
Für die gesamte Hubarbeit kannst du folgende Definition festlegen:
Ändert sich während des Hebens die Masse 
des Körpers, so kann man die gesamte Hubarbeit 
aufteilen.
Für alle Massen 
und deren Hubhöhen 
können die verrichteten Teilhubarbeiten 
berechnet werden:
Die Summe dieser verschiedenen verrichteten Hubarbeiten ergibt dann die gesamte verrichtete Hubarbeit 
:
Das Zeichen 
ist das Summenzeichen. Was das Zeichen und andere Größen herum bedeuten, kannst du in unseren Mathematikartikeln erfahren!Wichtiger für dein Verständnis ist die zweite Zeile: Du kannst eine Arbeit auch in Teilarbeiten unterteilen. Die gesamte Arbeit ist dann die Summe aller Teilarbeiten.
Die Formeln sehen etwas kompliziert aus, das Prinzip dahinter ist aber einfacher! Schauen wir uns dazu noch einmal ein genaueres Beispiel zum Personenaufzug an:
Gegeben ist ein Personenaufzug der Eigenmasse 
.
Dein Freund der Masse 
und du (du kannst hier deine Masse nehmen, im Beispiel rechnen wir mit 
) steigen im Erdgeschoss ein.
In der ersten Etage, welche direkt nach dem Erdgeschoss kommt, steigt ein Pärchen mit einem Gesamtgewicht von 
zu.
In der dritten Etage steigt das Pärchen und dein Freund aus.
Du fährst weiter bis in die sechste Etage, wo der Aufzug endgültig hält.
Jede Etage ist genau 
hoch.
Abb. 7 - Beispielaufgabe zum Aufzug
Aufgabe 3.1
Unterteile die Gesamtstrecke, welche der Aufzug im Beispiel nach oben fährt, in Teilstrecken. Gib dabei für jede Teilstrecke die dazugehörige Formel (nicht berechnen) der Hubarbeit 
mithilfe der jeweiligen Masse 
und Hubhöhe 
an.
Lösung
Zuerst solltest du dir überlegen, welche Werte oder Größen entscheidend sind, um eine Hubarbeit zu berechnen. Dafür schaust du dir am besten die Formel der Hubarbeit an.
Der Ortsfaktor ist eine Konstante. Also kannst du die Aufgabe nach Massen und der zugehörigen Hubhöhe (oder andersherum) aufteilen.
Schauen wir uns also die erste Masse bzw. den ersten Teil an:
Am Anfang ist der Aufzug leer. In diesem Zustand bewegt er sich aber nicht, also ist diese Situation für unsere Berechnung nicht relevant.
Dein Freund und du steigen ein und der Aufzug fährt in die erste Etage. Dabei wird eine Hubarbeit verrichtet.
Für die erste Masse kannst du also folgendes festlegen:
Die Masse ergibt sich aus der des Aufzuges, deines Freundes, und deiner:
Die Hubhöhe ist hier eine Etage:
Somit ergibt sich für den ersten Teil der Hubarbeit:
Nun zum zweiten Teil:
Der Aufzug mit dir und deinem Freund ist in der ersten Etage. Es steigt das Pärchen mit ein. Danach fährt der Aufzug weiter.
Für die bewegte Masse bedeutet das, sie setzt sich nun aus der des Aufzuges, deines Freundes, deiner, und der des Pärchens zusammen:
In dieser Zusammenstellung fährt der Aufzug 2 Etagen weiter nach oben, in die dritte Etage. Die Hubhöhe ist also zwei Etagen:
Daraus ergibt sich für den zweiten Teil der Hubarbeit:
Dritter Teil:
Das Pärchen und dein Freund steigen aus. Du fährst weiter in die sechste Etage.
Bewegte Masse:
Hubhöhe (drei Etagen):
Dritte Hubarbeit:
Am Ende dieser Aufgabe solltest du alle drei Hubarbeiten gemeinsam festhalten:
Aufgabe 3.2
Berechne aus obigem Beispiel alle Hubarbeiten 
und daraus die gesamte Hubarbeit 
.
Lösung
Die Formeln der drei Hubarbeiten hast du oben schon aufgeschrieben. Diese Formeln benutzt du nun, setzt die Werte ein, und berechnest die Hubarbeiten:
Die gesamte verrichtete Hubarbeit kannst du nun als Summe der berechneten Hubarbeiten ausrechnen:
Zum Schluss noch einen kurzen Antwortsatz formulieren:
Die gesamte am Aufzug verrichtete Hubarbeit beträgt 
.
Beim Heben von sehr schweren Gegenständen wie dem Aufzug ist es sinnvoll, sich die goldene Regel der Mechanik zu Nutze zu machen.
Der Flaschenzug – Anwendung der goldenen Regel der Mechanik
Die goldene Regel der Mechanik im Zusammenhang mit der mechanischen Arbeit lautet:
Was du an Kraft sparst, musst du an Weg zusetzen, wobei die verrichtete mechanische Arbeit gleich bleibt!
Ein Flaschenzug macht davon Gebrauch. Durch eine Verlängerung der Strecke, über welche die angewandte Kraft wirkt, wird die benötigte Kraft gleichermaßen verringert.
Reibung und andere Verluststellen wurden in diesem Beispiel vernachlässigt.
Die Hubarbeit soll nicht die einzige Größe sein, welche in diesem Artikel besprochen wird. Wenn es um Arbeit geht, geht es meistens auch um Energie.
Hubarbeit – potentielle Energie
Wenn du dich an die allgemeine Definition der Arbeit erinnerst, weißt du noch, dass eine verrichtete Arbeit immer einer Energieänderung entspricht. Auch bei mechanischen Arbeiten ist das so! Beim Verrichten einer Hubarbeit ändert sich die potentielle Energie.
Die potentielle Energie
In der Schule hast du vielleicht schon von der potentiellen Energie gehört. Hier eine wirklich kurze Definition für das Grundverständnis:
Die potentielle Energie 
eines Körpers ist die Energie, welche durch die Lage, meist eine Strecke 
zum Kraftursprung, und eine dauerhaft wirkende Kraft 
auf diesen bestimmt wird.
Allgemein wird die potentielle Energie wie folgt berechnet:
Abb. 10 - potentielle Energie
Der Körper ist aufgrund dessen potentieller Energie fähig, gewisse mechanische Arbeit zu verrichten.
Wenn du mehr zur potentiellen Energie oder zur Energie allgemein erfahren möchtest, schau dir doch die Artikel dazu auf StudySmarter an!
Die dauerhaft wirkende Kraft ist meistens die Gravitationskraft (Erdanziehungskraft, an der Erdoberfläche die Gewichtskraft), kann aber auch z. B. von einer gespannten Feder kommen. Die Lage ist, wenn man von der Gravitation ausgeht, meistens die Höhe über dem Erdboden.
Die potentielle Energie ist nicht immer die Energie in Abhängigkeit der Höhe über dem Erdboden und der Gewichtskraft des Körpers.
Eine gespannte Feder besitzt auch eine potentielle Energie. Dabei ist die dauerhaft wirkende Kraft die Federkraft und die Strecke die Dehnung der Feder.
Geladene Teilchen in einem elektromagnetischen Feld besitzen aufgrund der elektromagnetischen Anziehung eine potentielle Energie. Das gleiche gilt für Teilchen im Magnetfeld.
Wieso geht es hier aber um die potentielle Energie, wenn es eigentlich um die Hubarbeit gehen sollte?
Der Zusammenhang zwischen Hubarbeit und potentieller Energie
Betrachten wir den allgemeinen Fall eines Körpers in einer gewissen Höhe über dem Erdboden.
Die Energie eines Körpers der Masse 
ist dabei durch die Lage, also die Höhe 
, und eine dauerhaft wirkende Kraft, hier die Gewichtskraft 
, bestimmt. Kommt dir das bekannt vor?
Abb. 11 - Körper in einer Höhe mit Gewichtskraft
Richtig! Das sind die gleichen Größen, die du auch bei der Hubarbeit verwendet hast!
Die Änderung der potentiellen Energie gleicht dabei der verrichteten Hubarbeit. Das kannst du wie folgt definieren:
Das Dreieck vor der potentiellen Energie ist das griechische Delta. Dieses steht in der Mathematik allgemein für Änderung.
Wenn man von mechanischer Arbeit spricht, benutzt man die Einheit Nm (Newtonmeter). Bei Energien wird in den meisten Fällen jedoch J (Joule) benutzt. Dabei gilt: 1 J = 1 Nm.
Was dieser Zusammenhang in einem Beispiel bedeutet, kannst du in der folgenden Aufgabe herausfinden.
Aufgabe 4
a) Berechne die verrichtete Hubarbeit 
, wenn ein Körper der Masse 
um 
gehoben wird.
b) Gib die verrichtete Hubarbeit als Änderung der potentiellen Energie 
an.
Abb. 15 - Aufgabe Hubarbeit und potentielle Energie
Lösung a
Wie es dir schon bekannt ist, rechnest du die verrichtete Hubarbeit aus:
Lösung b
Wie oben definiert, ist die Änderung der potentiellen Energie gleich der verrichteten Hubarbeit, also:
Beachte beim Angeben des Wertes für die potentielle Energie, dass Energien allgemein in Joule, nicht in Newtonmetern angegeben werden:
Das Delta (Dreieck) vor dem Formelzeichen der potentiellen Energie ist eigentlich immer notwendig. In einfachen Betrachtungen wird es aber oftmals weggelassen. Warum erfährst du in dieser Vertiefung:
Die gesamte potentielle Energie eines Körpers (bei Betrachtung der Gravitation) hängt von der Entfernung zum Massenmittelpunkt (meistens Erdzentrum) ab. Da aber so gut wie nie Situationen betrachtet werden, in denen ein Körper deutlich näher an das Erdzentrum bewegt wird, setzt man die eigentlich vorhandene potentielle Energie an der Erdoberfläche = 0.
Somit kann man in einfachen Betrachtungen der potentiellen Energie das Delta weglassen, da dann eine Änderung der potentiellen Energie auch der angenommenen gesamten potentiellen Energie entspricht.
Bevor du das Delta aber weglässt, frage lieber bei deinem Lehrer nach!
Hubarbeit - Das Wichtigste
- Wenn aus einer Krafteinwirkung eine Veränderung der Höhe (gegenüber der Erdoberfläche) eines Körpers resultiert, spricht man von einer verrichteten Hubarbeit.
- z. B. steigst du unter Aufwenden einer Kraft die Treppe hoch, oder ein Aufzug wird durch die Kraft eines Motors nach oben gezogen
- Die Hubarbeit ist eine Art der mechanischen Arbeit.
- Die Formel der Hubarbeit ergibt sich aus Arbeit ist Kraft mal Weg, wobei die Kraft die Gewichtskraft und der Weg die Hubhöhe ist:
- Bei sich verändernder Kraft (bzw. Masse) wird die gesamte verrichtete Hubarbeit als Summe der einzelnen Hubarbeiten berechnet:
- Mit einem Flaschenzug kannst du die benötigte Kraft zum Heben eines Körpers auf Kosten der Strecke deutlich verringern. Dabei bleibt die verrichtete mechanische Arbeit gleich.
- Die potentielle Energie eines Körpers wird durch dessen Lage (z. B. Höhe in der Luft) und eine dauerhaft wirkende Kraft (z. B. Gravitationskraft) definiert.
- Die verrichtete Hubarbeit an einem Körper ist gleich einer Veränderung der potentiellen Energie des Körpers:
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Blog 
mit einem Seil über eine Rolle in die Höhe 
hebst, verrichtest du eine Hubarbeit 
am Körper. Du selbst verrichtest eine Arbeit 
am Seil, welche gleich groß der Hubarbeit ist. Die Strecke gibt dabei an, wie weit du am Seil ziehst 
und die Kraft 
mit welcher du am Seil ziehst.
und 
.
hängst du nun an eine Umlenkrolle welche sich anfangs am Boden befindet und über das Seil oben befestigt ist.
an. Die Zugstrecke 
am Seil verdoppelt sich, da der Körper nun von zwei Seiten hochgezogen wird. Laut der goldenen Regel der Mechanik musst du deswegen nur die Hälfte der ursprünglichen Zugkraft 
am Seil aufwenden. Die verrichtete Hubarbeit an Körper und Seil bleibt bei gleicher Endhöhe auch gleich.
eine Hubarbeit 
verrichtet und dieser um eine Hubhöhe 
gehoben wird, so gleicht die verrichtete Hubarbeit 
der Änderung der potentiellen Energie 
des Körpers:
ist die Veränderung der potentiellen Energie 
proportional zur Höhendifferenz 
. Sie ist außerdem gleich der über diese Höhendifferenz verrichteten Hubarbeit 
.
ist somit proportional zur Gesamthöhe 
. Dies lässt sich in einem Energie-Höhen-Diagramm darstellen:
