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Pauli Prinzip

Pauli Prinzip

Alte Sterne wie weiße Zwerge oder Neutronensterne würden eigentlich unter ihrer hohen Gravitation zusammenbrechen – wenn da nicht die besonderen Eigenschaften der Fermionen wären. Das sind sogenannte Elementarteilchen, zu denen unter anderem die Elektronen, Protonen und Neutronen gehören. Wie diese besonderen Eigenschaften aussehen und welche Rolle das Pauli-Prinzip in der Chemie spielt, erfährst Du hier.

Außerdem erfährst Du alles zur Herleitung des Pauli Prinzips und welche Erkenntnisse es im Hinblick auf die Orbitale und Elektronen von Atomen liefert.

Pauli-Prinzip Chemie

Das Pauli-Prinzip ist eine Regel aus der Quantenmechanik und wurde 1925 von Wolfgang Pauli erfunden. Du kannst es auch Pauli-Verbot oder das Paulische Ausschließungsprinzip nennen. Schau Dir zunächst mal die quantenmechanische Definition an:

Das modern formulierte Pauli-Prinzip besagt, dass die Wellenfunktion eines Quantensystems bezüglich einer Vertauschung von identischen Fermionen antisymmetrisch ist. Die frühere Version war etwas allgemeiner formuliert und gab an, dass innerhalb eines Atoms niemals zwei oder mehr Elektronen in allen vier Quantenzahlen übereinstimmen können.

Das ist natürlich erst mal schwer zu verdauen und vielleicht kannst Du mit einigen dieser Begriffe nicht viel anfangen. Aber keine Sorge, im weiteren Verlauf erfährst Du, was damit gemeint ist und welche Bedeutung diese quantenmechanische Regel für die Chemie hat.

Der physikalische Hintergrund des Pauli Prinzips kann ziemlich komplex werden. Für die Chemie musst Du Dir fürs Erste einfach merken, dass Elektronen in demselben Orbital immer einen entgegengesetzten Spin haben müssen. Außerdem können sich in einem Orbital immer nur maximal zwei Elektronen gleichzeitig aufhalten. Im selben Orbital dürfen sich Elektronen nur in der Spinquantenzahl unterscheiden. Sobald sie sich in mindestens zwei Quantenzahlen unterscheiden, befinden sie sich in unterschiedlichen Orbitalen. Näheres zu den Quantenzahlen erfährst Du weiter unten.

Der Spin ist eine Eigenschaft von Fermionen, die eine ähnliche Wirkung zeigt, wie der Drehimpuls eines Objekts um seine eigene Achse. Dieses Phänomen kennst Du vielleicht schon aus der klassischen Mechanik. Der Unterschied liegt aber darin, dass der Spin nicht von der Drehbewegung einer Masse hervorgerufen wird. Fermionen haben immer einen halbzahligen Spin \((\frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \frac{5}{2})\).

Pauli-Prinzip Elektronen

Dass Elektronen zu den Fermionen gehören, weißt Du bereits. Aber was sind Fermionen eigentlich genau? Einfach gesagt, sind das Teilchen, aus denen die Materie besteht. Das wiederum ist ein Sammelbegriff für alles, woraus physikalische Körper aufgebaut sind, wozu auch die chemischen Stoffe gehören.

Laut der Quantenmechanik kann die Bewegung eines Elektrons über eine Wellenfunktion beschrieben werden. Die Wellenfunktion ist ein physikalisches Modell, mit dem Du den Aufenthaltsort oder den Impuls eines Elektrons bestimmen kannst – auch dazu erfährst Du später mehr.

Viel wichtiger ist zunächst die Frage, was mit „Vertauschung“, „antisymmetrisch“ und „Quantensystem“ gemeint ist. Wie Du vielleicht schon weißt, bewegen sich die Elektronen eines Atoms auf den sogenannten Schalen. Nach dem Schalenmodell haben die Elektronen einen bestimmten Abstand zum Atomkern. Je mehr Elektronen dazukommen, desto weiter nach außen werden sie gedrängt. Das Atom bekommt so einen immer größeren Radius.

Pauli-Prinzip Orbitale

Um das Pauli-Prinzip vollständig zu verstehen, wirst Du nun noch eine Ebene tiefer einsteigen. Das Schalenmodell wurde nämlich schon ein paar Jahre nach dem Erscheinen durch das präzisere Orbitalmodell ergänzt. Im Orbitalmodell bewegen sich Elektronen in dreidimensionalen Räumen um den Atomkern herum. Wenn sich diese Orbitale überlappen, besteht beispielsweise die Möglichkeit, dass sich mehrere Elektronen im selben Bereich aufhalten. Genau hier kommt das Pauli-Prinzip zum Einsatz.

Wenn Du mehr zu Orbitalen lesen willst, schau Dir gern das StudySmarter Original dazu an. Dort wird das alles verständlich erklärt.

Anschaulich erklärt, sagt die ursprüngliche Formulierung des Pauli Prinzips nämlich aus, dass die Elektronen innerhalb eines Orbitals nicht in allen Quantenzahlen übereinstimmen können. Orbitale sind – genau wie Elektronen – sogenannte Quantensysteme, die mit insgesamt vier Quantenzahlen beschrieben werden:

  • Hauptquantenzahl n: Gibt die Schale an, auf der sich die Elektronen befinden (mit n = 1, 2, 3, 4)
  • Nebenquantenzahl l: Gibt die Form des Orbitals an (mit l = 0, 1, 2, 3)
  • magnetische Drehimpulsquantenzahl ml: Gibt den Bahndrehimpuls der Elektronen an (mit ml = −l, −(l−1) , ... , −1, 0, +1, ... , +(l−1), +l)
  • Spinquantenzahl s: Gibt die Orientierung eines Spins zur z-Achse an (mit s = \(+\frac{1}{2}\) oder \(-\frac{1}{2}\))

Die Hauptquantenzahl n entspricht hierbei den Schalen eines Atoms und die Nebenquantenzahl l den Orbitalen. Die magnetische Quantenzahl ml steht für die verschiedenen Ausrichtungen der Orbitale und ist damit von l abhängig.

Da für ein Orbital bereits die ersten drei der Quantenzahlen festgelegt sind, muss die Spinquantenzahl also unterschiedlich sein.

Nach dem Pauli-Prinzip müssen sich die zwei Elektronen, die ein Orbital aufnehmen kann, in mindestens einer dieser vier Zahlen unterscheiden. Da die ersten drei Quantenzahlen jeweils ein Orbital darstellen, siehst Du hier auch schnell, dass sich innerhalb eines Orbitals immer nur zwei Elektronen aufhalten können. Diese müssen sich also in der Spinquantenzahl unterscheiden.

Der Wert für die Spinquantenzahl kann bei \(+\frac{1}{2}\) oder \(-\frac{1}{2}\) liegen, sodass sich die beiden Elektronen jeweils im Vorzeichen unterscheiden – sie liegen also mit entgegengesetztem Spin zueinander vor. Dieser Spin wird über einen nach oben und nach unten gerichteten Pfeil dargestellt, wie Du im weiteren Verlauf sehen wirst.

Laut der Quantenmechanik sind identische Teilchen nicht voneinander unterscheidbar. Außerdem ändert sich ein physikalisches System nach außen hin nicht, wenn diese beiden Teilchen vertauscht werden. Die erzeugten Messwerte eines solchen Systems hängen vom Betragsquadrat der Gesamtwellenfunktion ab.

Zur Bildung des Betragsquadrats wird der Betrag der Gesamtwellenfunktion quadriert. Das Betragsquadrat einer Wellenfunktion ist ihre sogenannte Wahrscheinlichkeitsdichte. Die Wahrscheinlichkeitsdichte kann nur null oder einen positiven Wert annehmen, da es sich um einen Betrag handelt. An Orten im dreidimensionalen Raum, an denen sie null wird, halten sich keine Elektronen auf.

Nach einer Vertauschung zweier identischer Teilchen muss dieses Betragsquadrat gleich bleiben, sodass sich nur der Phasenanteil der Wellenfunktion ändern darf. In dreidimensionalen Räumen liegt dieser Phasenfaktor bei +1 oder -1.

Bei Bosonen (Elementarteilchen wie Photonen) ändert sich das Vorzeichen der Gesamtwellenfunktion des Systems bei einer Vertauschung nicht, bei Fermionen hingegen schon. Dieser Vorzeichenwechsel wird als Antisymmetrie der Wellenfunktion bei einer Teilchenvertauschung bezeichnet.

Für die Wellenfunktion heißt das, dass die Hügel und Täler spiegelverkehrt vorliegen würden. Wenn die beiden Wellenfunktionen nun übereinandergelegt werden, löschen sie sich gegenseitig aus (wie bei der destruktiven Interferenz). Das ist die Kernaussage des Pauli Prinzips: Die beiden Elektronen innerhalb desselben Orbitals können nicht identisch sein, da sonst die Wellenfunktionen ausgelöscht und die Wahrscheinlichkeitsdichte null werden würde.

Im Gegensatz zu Fermionen haben Bosonen einen ganzzahligen Spin. Zu den Bosonen gehören zum Beispiel die Photonen (auch Lichtquanten genannt). Diese haben immer einen Spin von 1. Da die Vertauschung von Bosonen nicht zu einem Vorzeichenwechsel führt, unterliegen diese Teilchen auch nicht dem Pauli-Prinzip.

Das Pauli-Prinzip und die Hundsche Regel

Indem Du das Pauli-Prinzip mit der Hundschen Regel kombinierst, kannst Du die Elektronenkonfiguration eines jeden Atoms bestimmen. Dank des Pauli Prinzips weißt Du schon, dass Elektronen eines selben Orbitals immer einen entgegengesetzten Spin haben müssen. Zudem kann jedes Orbital nur maximal zweifach besetzt werden. Nun kommt die Hundsche Regel hinzu und besagt Folgendes:

Die Hundsche Regel besagt, dass Orbitale gleicher Energie immer zuerst einzeln mit Elektronen besetzt werden. Dabei besitzen alle ungepaarten Elektronen den gleichen (parallelen) Spin.

Mit diesen beiden Regeln kannst Du nun genau bestimmen, wie die Elektronenbesetzung innerhalb eines Atoms aussehen muss.

Wenn Du tiefer in das Thema Elektronenkonfiguration oder Hundsche Regel einsteigen willst, schau Dir gern die jeweiligen Erklärungen an.

Konsequenzen des Pauli Prinzips

Viele Phänomene in der kleinen Welt der Atome kannst Du dank des Pauli Prinzips verstehen. Aber auch in der Astrophysik findest Du Anwendungsbeispiele.

Weiße Zwerge und Neutronensterne

In der Einleitung hast Du bereits gelesen, dass weiße Zwerge und Neutronensterne nicht unter ihrer hohen Gravitation zusammenbrechen, obwohl das nach der klassischen Physik eigentlich passieren müsste. Diese Sternarten haben eine sehr hohe Dichte. Wenn der sogenannte Entartungsdruck (auch Fermi-Druck genannt) nicht wäre, dann würde die Dichte aufgrund der Gravitation immer weiter steigen bis zum Kollaps des Sterns.

In weißen Zwergen wirkt sich der Entartungsdruck auf die Elektronen und in Neutronensternen auf die Neutronen aus. Da sich diese beiden Fermionenarten nicht so verhalten, wie nach der klassischen Physik zu erwarten wäre, werden sie als entartete Materie bezeichnet. Der Begriff Entartung heißt in diesem Zusammenhang, dass sich die Elektronen und Neutronen aufgrund der quantenmechanischen Effekte anders verhalten als sonst.

Der Begriff Entartung wird auch zur Beschreibung von Energieniveaus verwendet. In diesem Fall ist gemeint, dass beispielsweise Orbitale die gleiche Energie haben. Das hat mit der hier beschriebenen Entartung von Elektronen und Neutronen zunächst einmal nichts tun.

Die Ursache für diesen Entartungsdruck wird durch das Pauli-Prinzip beschrieben, mit der Aussage, dass zwei Fermionen keinen identischen Quantenzustand haben können. Wenn neue Fermionen dazukommen, müssten demnach die bereits vorhandenen erst einmal Platz machen und genau das machen sie, indem sie höhere Energieniveaus einnehmen. Durch den Entartungsdruck verlangsamt sich die Verdichtung also deutlich, sodass die Sterne nicht in sich zusammenbrechen.

Elektronengas in Metallen

Auch die Elektronen in Metallen unterliegen einer solchen Entartung. Diese haben eine gute thermische und elektrische Leitfähigkeit, die von dem sogenannten Elektronengas hervorgerufen wird. Damit ist gemeint, dass sich Elektronen fast frei durch das Metall hindurch bewegen können.

In entarteter Materie haben Elektronen keinen festen Platz. Dieser Zustand ist auch unter dem Namen Elektronengas bekannt. Ohne die Erkenntnisse der Quantenmechanik könnte dieses Phänomen nicht erklärt werden.

Pauli-Prinzip – Das Wichtigste

  • Die ursprüngliche Formulierung des Pauli Prinzips besagt, dass zwei Elektronen in einem Atom nicht in allen Quantenzahlen übereinstimmen können.

  • Die modernere Version des Pauli Prinzips besagt, dass die Wellenfunktion eines Quantensystems bezüglich einer Vertauschung von identischen Fermionen antisymmetrisch ist.

  • Hauptquantenzahl n, Nebenquantenzahl l, magnetische Drehimpulsquantenzahl ml, Spinquantenzahl s sind die vier Quantenzahlen.

  • Das Pauli-Prinzip gilt für alle Elementarteilchen, die einen halbzahligen Spin besitzen

  • Mithilfe des Pauli Prinzips und der Hundschen Regel kannst Du die Elektronenkonfiguration eines jeden Atoms bestimmen.

Nachweise

  1. Peter W. Atkins. (1993). Quanten - Begriffe und Konzepte für Chemiker. Wiley-VCH.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Pauli Prinzip

Das Pauli Prinzip sagt aus, dass die Wellenfunktion eines Quantensystems bezüglich einer Vertauschung von identischen Fermionen antisymmetrisch ist. Außerdem gilt, dass innerhalb eines Atoms nie zwei oder mehr Elektronen in allen Quantenzahlen übereinstimmen dürfen.  

Die Hundsche Regel sagt aus, dass Orbitale gleicher Energie zuerst einzeln mit Elektronen besetzt werden. Alle ungepaarten Elektronen haben dabei den gleichen Spin.

  • Hauptquantenzahl n (mit n = 1, 2, 3, 4)
  • Nebenquantenzahl l
  • magnetische Drehimpulsquantenzahl ml
  • Spinquantenzahl s

Die Hauptquantenzahl n gibt an, in welcher Schale sich ein Elektron befindet.

Finales Pauli Prinzip Quiz

Frage

Die Elektronen in Weißen Sternen und die Neutronen in Neutronensternen werden auch als ... bezeichnet.

Antwort anzeigen

Antwort

entartet

Frage anzeigen

Frage

Fermionen gehören zu den ... .

Antwort anzeigen

Antwort

Elektronen

Frage anzeigen

Frage

Das modern formulierte Pauli Prinzip besagt, dass die Wellenfunktion eines Quantensystems bezüglich einer Vertauschung von identischen Fermionen ... ist.

Antwort anzeigen

Antwort

antisymmetrisch

Frage anzeigen

Frage

Innerhalb eines Atoms können niemals zwei oder mehr Elektronen in allen vier ... übereinstimmen.

Antwort anzeigen

Antwort

Quantenzahlen

Frage anzeigen

Frage

Der Spin von Fermionen ist ... .

Antwort anzeigen

Antwort

ganzzahlig

Frage anzeigen

Frage

Elektronen im selben Orbital müssen ... Spin haben.

Antwort anzeigen

Antwort

entgegengesetzten

Frage anzeigen

Frage

Die Hauptquantenzahl entspricht den ... eines Atoms.

Antwort anzeigen

Antwort

Schalen

Frage anzeigen

Frage

Der Permutationsoperator ruft eine Vertauschung der ... vor.

Antwort anzeigen

Antwort

Indizes

Frage anzeigen

Frage

Zwei Elektronen im selben Orbital können nicht identisch sein, da sonst ihre ... 0 wäre.

Antwort anzeigen

Antwort

Aufenthaltswahrscheinlichkeit

Frage anzeigen

Frage

Die Hundsche Regel besagt, dass Orbitale gleicher Energie immer zuerst ... mit Elektronen besetzt werden.

Antwort anzeigen

Antwort

einzeln

Frage anzeigen

Frage

Nach der Hundschen Regel müssen alle ... Elektronen den gleichen Spin haben.

Antwort anzeigen

Antwort

ungepaarten

Frage anzeigen

Frage

Mithilfe der Hundschen Regel und des Pauli Prinzips kannst Du die ... eines jeden Atoms bestimmen.

Antwort anzeigen

Antwort

Elektronenkonfiguration

Frage anzeigen

Frage

In Metallen bewegen sich Elektronen ... .

Antwort anzeigen

Antwort

frei

Frage anzeigen

Frage

Entartete Materie verhält sich nicht wie nach der ... zu erwarten wäre.

Antwort anzeigen

Antwort

klassischen Physik

Frage anzeigen

Frage

Die Spinquantenzahl von Elektronen kann folgende Werte annehmen:

Antwort anzeigen

Antwort

\(+\frac{1}{2}\) und \(-\frac{1}{2}\)

Frage anzeigen

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