Fadenstrahlrohr

Das Licht geht aus, die Vorhänge werden geschlossen und seltsam aussehende Maschinen aufgebaut. Es ist ganz still, nur leises Geflüster kommt aus den hinteren Reihen, während vorne die Geräte an den Strom angeschlossen werden. Es summt ein bisschen und plötzlich leuchtet, wie aus dem Nichts, ein heller, kreisrunder Strahl auf.

Wir befinden uns mal wieder in der Physikstunde und der Lehrer werkelt am Fadenstrahlrohr. Doch woher kommt eigentlich dieses Licht? Genau das erfährst du in diesem Artikel!

Was genau ist eigentlich ein Fadenstrahlrohr?

Das Fadenstrahlrohr ist inzwischen ziemlich alt. Bereits 1887 nutze der Physiker J.J. Thomson den Versuch zur Bestimmung der spezifischen Ladung der Elektrons. Dennoch wird der Versuch auch heute noch gerne gezeigt, weil das Prinzip relativ einfach in Schulen vorzuführen ist und gleichzeitig viele wesentliche Inhalte der Elektrizitätslehre vereint: die Lorentzkraft, die Ionisierung von Gas und natürlich die Bestimmung der Eigenschaften von Elektronen.

In der folgenden Abbildung siehst du genau so ein Fadenstrahlrohr in Aktion:

Abbildung 1: Das FadenstrahlrohrQuelle: www.wiemann-lehrmittel.de

Um zu verstehen, woher das Leuchten kommt und wie genau du damit die spezifische Ladung des Elektrons bestimmen kannst, schauen wir uns zunächst den Aufbau des Fadenstrahlrohrs im Detail an.

Fadenstrahlrohr - Aufbau und Funktion

Lass uns gemeinsam Schritt für Schritt ein gedankliches Fadenstrahlrohr bauen und uns dabei die einzelnen Komponenten ansehen. Da es sich um einen Versuch zur Bestimmung von Eigenschaften des Elektrons handelt, beginnen wir mit der Frage, woher die Elektronen überhaupt kommen.

Fadenstrahlrohr – Die Elektronenkanone

Zunächst brauchen wir dafür eine Elektronenkanone. Sie erzeugt einen gerichteten Strahl aus Elektronen und beschleunigt diese. An die Elektronenkanone legen wir nun zwei Spannungen an: eine Heizspannung $\left(U_H\right)$, sowie eine Beschleunigungsspannung $\left(U_B\right)$.

Die Heizspannung wird an einen gewickelten Draht, die sogenannte Heizspule, angelegt. Diese wird somit stark erhitzt, sodass sie zu glühen beginnt. Dadurch erhalten Elektronen in der Spule genug Energie, um diese zu verlassen. Das bezeichnest du auch als glühelektrischen Effekt oder Glühemission.

Die Beschleunigungsspannung wird zwischen der Heizspule, der Kathode, und einer Anodenblende angelegt. Dabei handelt es sich meist um eine Anode mit einem kleinen Loch. Aufgrund ihrer negativen Ladung werden die Elektronen von der positiv geladenen Kathode angezogen und auf ihrem Weg dorthin stark beschleunigt.

Abb. 2 - Die Elektronenkanone im Fadenstrahlrohr

Zuletzt bringen wir noch einen Wehneltzylinder um die Vorrichtung herum an. Dieser besitzt eine negative Ladung und stößt somit die Elektronen ab. Da die Abstoßung der Elektronen auf allen Seiten des Zylinders gleichmäßig stark ist, sammeln sich die Elektronen in der Mitte des Zylinders. Dadurch entsteht ein Elektronenstrahl, der durch das Loch der Anode in den Glaskolben gelangt.

Fadenstrahlrohr – Der Glaskolben

Der Versuch findet im Inneren eines Glaskolbens statt. Dieser ist mit einem Gas gefüllt, dabei handelt es sich meistens um Neon- oder Wasserstoffgas. Trifft der Elektronenstrahl nun auf das Gas, ionisiert er die Gasatome und regt diese zum Leuchten an. Dadurch emittieren sie Photonen und die Bahn des Elektronenstrahls wird sichtbar. Schau dir zum Thema Emission von Photonen am besten unseren Artikel nochmal an.

In diesem Prozess werden die Elektronen abgebremst. Damit nicht zu viele Elektronen abgebremst werden, sondern gerade genug, um einen kleinen fadenähnlichen Strahl zu sehen, herrscht in dem Kolben ein niedriger Druck.

Abb. 3 - Glaskolben im Fadenstrahlrohr

Wie du siehst, folgen die Elektronen einer Kreisbahn, damit wir den Radius dieses Kreises bestimmen können, befindet sich mittig noch ein Metallstab mit einer Skalierung (in cm). An diesem können wir dann ganz einfach den Durchmesser des Kreises ablesen und damit den Radius ermitteln.

Fadenstrahlrohr – Die Helmholtzspulen

Wahrscheinlich fallen dir bei der ersten Abbildung als Erstes die großen roten Ringe, die Helmholtzspulen, auf. Das sind zwei kreisförmige Magnetspulen, die außerhalb des Glaskolbens angebracht werden. Sie sind parallel platziert und werden durch einen gleichgerichteten Stromfluss durchflossen. Gleichgerichtet bedeutet in diesem Sinne, dass der Strom in beiden Spulen in dieselbe Richtung fließt. Die Magnetspulen erzeugen dabei ein homogenes (gleichmäßiges) Magnetfeld.

Abb. 4 - Helmholtzspulen

Hier siehst du noch einen Gesamtüberblick über den Aufbau des Fadenstrahlrohrs:

Abb. 5 - Fadenstrahlrohr Gesamtüberblick

Jetzt weißt du, wie so ein Fadenstrahlrohr aufgebaut ist, wie es funktioniert und woher das Leuchten der Elektronenbahn kommt. Doch warum bewegen sich die Elektronen überhaupt auf einer Kreisbahn?

Fadenstrahlrohr Kreisbahn der Elektronen

In der Elektronenkanone werden die Elektronen gebündelt und geradlinig in den Kolben geschossen. Bereits beim Eintritt kannst du erkennen, dass sich der gerade Strahl krümmt und die Elektronen einer Kreisbahn folgen.

Sie werden nämlich beim Eintritt in das homogene Magnetfeld von der Lorentzkraft abgelenkt.

Auch im Fadenstrahlrohr wirkt die Lorentzkraft. Schließlich haben wir eine bewegte Ladung (die beschleunigten Elektronen) und ein homogenes Magnetfeld, welches durch die Helmholtzspulen erzeugt wird. In jedem Punkt ihrer Bahn werden die Elektronen also abgelenkt, dadurch entsteht ihre Kreisbahn.

In der Abbildung siehst du die Bahn des Elektrons an verschiedenen Stellen im homogenen Magnetfeld. Die Feldlinien zeigen vom Betrachter weg. Eingetragen sind außerdem die Richtung der Geschwindigkeit v des Elektrons und die Richtung der Lorentzkraft $F_L$.

Abb. 6 - Ablenkung des Elektrons durch die Lorentzkraft

Versuch die Richtung der Lorentzkraft mal mithilfe der Drei-Finger-Regel für verschiedene Stellen auf der Kreisbahn zu überprüfen!

Dabei fällt dir vielleicht auf, dass die Lorentzkraft immer in das Zentrum der Kreisbahn zeigt. Mit einem kleinen mathematischen Trick können wir aus diesem Fakt die spezifische Ladung des Elektrons berechnen.

Fadenstrahlrohr – Berechnungen

Das bedeutet natürlich auch, dass du aus der spezifischen Ladung entweder die elektrische Ladung oder die Masse des Teilchens berechnen kannst, wenn du zusätzlich die andere Komponente kennst. Schauen wir uns aber zuerst an, wie du die spezifische Ladung mit Hilfe des Fadenstrahlrohrs berechnen kannst.

Fadenstrahlrohr: Spezifische Ladung des Elektrons bestimmen

Der dünne leuchtende "Faden" im Fadenstrahlrohr zeigt dir, dass sich die Elektronen auf einer Kreisbahn bewegen. Vielleicht erinnerst du dich aus der Mechanik, dass auf Körper, die sich auf einer Kreisbahn bewegen, eine Kraft wirkt: die Zentripetalkraft. Sie zeigt immer zum Zentrum der Kreisbahn. Genau wie die Lorentzkraft in unserem Versuch!

Herleitung der spezifischen Ladung über die Lorentzkraft

In unserem Ansatz können wir die Gleichungen für Lorentzkraft $F_L$ und Zentripetalkraft $F_Z$gleichsetzen und nach der spezifischen Ladung auflösen. Wie das funktioniert, zeigen wir dir nun Schritt für Schritt.

Wir beginnen mit dem Gleichsetzen der beiden Kräfte:

Im nächsten Schritt setzen wir auf beiden Seiten der Gleichung die entsprechenden Formeln ein:

$q·v·B=\hspace{0.17em}\frac{m·v^2}{r}$

Das Praktische an diesem Ansatz ist, dass nun bereits die Komponenten Masse m und Ladung q in dem Gleichungssystem drinstecken. Wir müssen also nur noch nach der spezifischen Ladung auflösen!

Das geht am besten in zwei Schritten. Zunächst teilen wir beide Seiten der Gleichungen durch die Geschwindigkeit v und die Flussdichte B:

v$$\begin{gathered} q·v·B=\hspace{0.17em}\frac{m·v^2}{r}|÷\left(v·B\right) \\ q=\hspace{0.17em}\frac{m·v^2}{r·v·B} \\ q=\hspace{0.17em}\frac{m·v}{r·B} \end{gathered}$$

Wie du siehst, kürzt sich dabei das v aus dem Nenner weg. Als Nächstes müssen wir nur noch durch die Masse teilen:

$$\begin{gathered} q=\hspace{0.17em}\frac{m·v}{r·B}|÷m \\ \frac{q}{m}=\hspace{0.17em}\frac{v}{r·B} \end{gathered}$$

Und schon erhältst du die spezifische Ladung des Teilchens, im konkreten Fall des Elektrons nimmt man statt dem Formelzeichen q meistens die Elementarladung e. Dann sieht die Gleichung folgendermaßen aus:

$\frac{e}{m_e}=\hspace{0.17em}\frac{v_e}{r·B}$

$$\begin{gathered} e:\hspace{0.17em}Elementarladung(e=\hspace{0.17em}-1,6·{10}^{-19}C) \\ {m}_e:\hspace{0.17em}MassedesElektrons(m_e=\hspace{0.17em}9,1·{10}^{-31}kg) \\ {v}_e:\hspace{0.17em}GeschwindigkeitdesElektronsindemFadenstrahlrohr \end{gathered}$$

Wenn du nun die magnetische Flussdichte kennst, kannst du in deinem Versuch den Radius der Kreisbahn des Elektrons einfach an der Skala ablesen. Leider ist die Geschwindigkeit im Fadenstrahlrohr nicht immer dieselbe. Wie erhalten wir also die Geschwindigkeit des Elektrons?

Die Geschwindigkeit des Elektrons im Fadenstrahlrohr ist abhängig von der angelegten Spannung, genauer gesagt der Beschleunigungsspannung. Wenn du dich an die Elektronenkanone erinnerst, weißt du noch, dass die Elektronen in Richtung der Anode beschleunigt werden. Wenn wir dort die Spannung erhöhen, werden die Elektronen stärker Richtung Anode beschleunigt und haben damit eine größere Geschwindigkeit.

Geschwindigkeit steht in der Physik immer im Zusammenhang mit Energie. In diesem Fall wird die elektrische Energie aus der Beschleunigungsspannung in kinetische Energie (Bewegungsenergie) umgesetzt. Mit diesem Ansatz können wir die Formel für die spezifische Ladung in Abhängigkeit der angelegten Beschleunigungsspannung berechnen.

Herleitung der spezifischen Ladung anhand der Beschleunigungsspannung

Im Fadenstrahlrohr wird die elektrische Energie der Elektronen in kinetische Energie umgewandelt. Das bezeichnest du auch als Energieerhaltungssatz.

Damit können wir die beiden Energien gleichsetzen:

$E_{kin}=\hspace{0.17em}{E}_{el}$

$$\begin{gathered} E_{kin}:\hspace{0.17em}kinetischeEnergie \\ {E}_{el}:\hspace{0.17em}elektrischeEnergie \end{gathered}$$

Nun setzen wir auf beiden Seiten die entsprechende Formel ein:

$\frac{1}{2}·m·v^2=q·U_B$

$U_B:\hspace{0.17em}BeschleunigungsspannunginVolt\left(V\right)$

Fällt dir etwas auf? Genau, auch in diesem Gleichungssystem können wir die spezifische Ladung berechnen:

$$\begin{gathered} \frac{1}{2}·m·v^2=\hspace{0.17em}q·U_B|÷U_B|÷m \\ \frac{v^2}{2·U_B}=\hspace{0.17em}\frac{q}{m} \end{gathered}$$

Nun haben wir zwei Terme, die uns spezifische Ladung liefern! Was ist also der mathematisch logische nächste Schritt? Richtig, wir setzen die Terme gleich:

$\frac{v^2}{2·U_B}=\hspace{0.17em}\frac{v}{r·B}$

Jetzt kannst du einfach nach v auflösen:

$$\begin{gathered} \frac{v^2}{2·U_B}=\hspace{0.17em}\frac{v}{r·B}|÷v|·2U_B \\ v=\hspace{0.17em}\frac{2·U_B}{r·B} \end{gathered}$$

Zuletzt setzen wir v in unsere erste Gleichung ein und erhalten die spezifische Ladung in Abhängigkeit von der Beschleunigungsspannung!

$$\begin{gathered} \frac{q}{m}=\hspace{0.17em}\frac{v}{r·B} \\ \frac{q}{m}=\hspace{0.17em}v·\frac{1}{r·B} \\ \frac{q}{m}=\frac{2·U_B}{r·B}·\hspace{0.17em}\frac{1}{r·B} \\ \frac{q}{m}=\frac{2·U_B}{r^2·B^2} \end{gathered}$$

Und damit sind wir auch schon fertig!

Das Schöne an dieser Formel ist, dass dir nun alle Größen bekannt sind! Die Magnetische Felddichte kannst du durch den Stromfluss in den Helmholtzspulen einstellen und auch die Beschleunigungsspannung regulierst du selbst. Anschließend kannst du den Radius einfach ablesen und erhältst so die spezifische Ladung!

Fadenstrahlrohr – Aufgaben

Mit dieser zweiteiligen Aufgabe kannst du dein eben gelerntes Wissen einmal testen und die Formeln selbst anwenden!

Damit kannst du jetzt dein Wissen auch in der Klausur richtig anwenden!

Aus unserer Aufgabe können wir auch das Verhältnis von Spannung und dem Radius der Elektronenbahn ableiten.

Abhängigkeit der Größen im Fadenstrahlrohr

In der Aufgabe haben wir gesehen, dass mit einer kleineren Beschleunigungsspannung auch der Radius der Elektronenbahn kleiner wird. Das umgekehrte Prinzip gilt für die Magnetische Flussdichte. Wenn du die magnetische Flussdichte verkleinerst, wird der Radius der Elektronenbahn kleiner. Darauf ergibt sich folgende Definition:

Schauen wir uns das ganze mithilfe einer Tabelle an:

Fadenstrahlrohr – Beschreibung der Tabellenergebnisse

Die erste Spalte gilt als Orientierungswert. In der zweiten Spalte erhöhen wir nun die Spannung bei gleichbleibender Stromstärke. Du siehst, dass der Radius größer wird.

Anschließend erhöhen wir den Spulenstrom bei gleichbleibender Spannung, dabei steigt die magnetische Flussdichte und der Radius wird kleiner.

Vielleicht fragst du dich nun, wie sich der Radius verändert, wenn du eine größere Heizspannung einstellst?

Tatsächlich ist die Größe des Radius unabhängig von der Größe der Heizspannung! Wenn du die Heizspannung erhöhst, verlassen dadurch mehr Elektronen die Heizspule. Als Ergebnis siehst du ein helleres Leuchten im Fadenstrahlrohr, weil mehr Elektronen mit dem Gas in der Glasröhre interagieren.