Select your language

Suggested languages for you:
Log In Anmelden
StudySmarter - Die all-in-one Lernapp.
4.8 • +11k Ratings
Mehr als 5 Millionen Downloads
Free
|
|

Die All-in-one Lernapp:

  • Karteikarten
  • NotizenNotes
  • ErklärungenExplanations
  • Lernpläne
  • Übungen
App nutzen

Kirchhoffsche Gesetze

Save Speichern
Print Drucken
Edit Bearbeiten
Melde dich an und nutze alle Funktionen. Jetzt anmelden
Kirchhoffsche Gesetze

Die Physik wäre nicht die Physik, wenn es nicht für alles Formeln und Gesetze gebe. Der Umgang mit Schaltkreisen und das Rechnen mit Strömen und Spannungen stellen da keine Ausnahme dar. In diesem Artikel erfährst Du, wie sich Ströme und Spannungen in verschiedensten Schaltungen verhalten und welche Gesetzmäßigkeiten gelten.

Kirchhoffsche Gesetze Widerstand

Bei den Kirchhoffschen Gesetzen werden Schaltungen betrachtet, in denen vor allem Widerstände zusammengeschaltet werden. Hierbei unterscheidest Du zwischen Reihen- und Parallelschaltungen.

Reihenschaltung von Widerständen

Eine der zwei Grundschaltungen der Elektrizitätslehre ist die Reihenschaltung.

Der Aufbau einer einfachen Reihenschaltung ist in der Abbildung 1 dargestellt. Die angelegte Spannung U sorgt dafür, dass ein Strom I fließt. Die Teilspannungen U1 und U2 fallen dabei über die Widerstände R1 und R2 ab.

Zum Berechnen von Reihenschaltungen gibt es einige essenzielle Formeln:

Schaltest Du mehrere Widerstände R1, R2, ..., Rn in Reihe, berechnest Du den Gesamtwiderstand R als Summe der Teilwiderstände. Dabei teilt sich die angelegte Spannung U über den Teilwiderständen in U1, U2, ..., Un auf. Die Ströme I1, I2, ..., In durch die jeweiligen Widerstände sind gleich dem Gesamtstrom I.

Physikalische GrößeFormel
Elektrische Spannung U
Kirchhoffsche Gesetze Formel Gesamtspannung einer Reihenschaltung von Widerständen StudySmarter
Elektrischer Strom I
Kirchhoffsche Gesetze Formel Gesamtstrom einer Reihenschaltung von Widerständen StudySmarter
Elektrischer Widerstand R
Kirchhoffsche Gesetze Formel Gesamtwiderstand einer Reihenschaltung von Widerständen StudySmarter

Wenn zum Thema findest Du im Artikel zur Reihenschaltung.

Neben der Reihenschaltung gibt es noch die Parallelschaltung von Widerständen.

Parallelschaltung von Widerständen

Du kannst einen beispielhaften Aufbau einer Parallelschaltung von drei Widerständen in der Abbildung 2 sehen.

Der Unterschied zu einer Reihenschaltung ist der, dass die Widerstände parallel zueinander geschaltet sind. Auch hier sorgt die angelegte Spannung U dafür, dass ein Strom I durch die Schaltung fließt. Der Strom teilt sich an den Knotenpunkten auf und fließt durch die jeweiligen Widerstände R1 bis R3. Auch hier kannst Du die elektrischen Größen berechnen.

Schaltest Du mehrere Widerstände R1, R2, ... , Rn parallel, dann berechnest Du den Gesamtwiderstand R als Summe der Kehrwerte der Teilwiderstände. In einer Parallelschaltung ist dabei die angelegte Spannung U an jedem Widerstand gleich. Die Ströme I1, I2, ... , In durch die Widerstände summieren sich zum Gesamtstrom I.

Physikalische GrößeFormel
Elektrische Spannung UKirchhoffsche Gesetze Formel Gesamtspannung einer Parallelschaltung von Widerständen StudySmarter
Elektrischer Strom IKirchhoffsche Gesetze Formel Gesamtstrom einer Parallelschaltung von Widerständen StudySmarter
Elektrischer Widerstand RKirchhoffsche Gesetze Parallelschaltung Widerstand Formel StudySmarter

Wenn Du mehr zu diesem Thema wissen möchtest, dann schau in dem Artikel zur Parallelschaltung vorbei!

Diese Formeln für die Reihen- und Parallelschaltungen von Widerständen finden Anwendung in den Kirchhoffschen Gesetzen.

Kirchhoffsche Gesetze einfach erklärt

Die Kirchhoffschen Gesetze wurden im Jahr 1845 von Gustav Robert Kirchhoff formuliert, nachdem er zwei für die Schaltungstechnik grundlegende Zusammenhänge entdeckt hat.

Knotenregel: In einem Knotenpunkt ist die Summe der hineinfließenden Ströme immer gleich der Summe der herausfließenden Ströme. Die Summe aller Ströme an einem Knoten ist somit gleich null.

Maschenregel: In einer Masche ist die Summe aller Spannungen gleich null.

Das es sich jeweils um die Ströme oder die Spannungen in einer Schaltung handelt, gibt es jeweils ein Gesetz zu einer der beiden Größen.

Kirchhoffsche Gesetze Knotenregel

Bei dem ersten Kirchoffschen Gesetz handelt es sich um die sogenannte Knotenregel. Diese behandelt das Verhalten von Strömen an den Knotenpunkten einer Schaltung.

Die Knotenregel besagt, dass in jedem Verzweigungspunkt einer Schaltung die Summe der Ströme, die in den Knoten hineinfließen Iein, der Summe der abfließenden Ströme Iaus entspricht.

Kirchhoffsche Gesetze Formel Knotenregel Gleichgewicht StudySmarter

Alternativ kannst Du sagen, dass die Summe aller Ströme I1 bis In bzw. die Summe der hinein- (Iein) und herausfließenden Ströme (Iaus) gleich Null ist:

Kirchhoffsche Gesetze Formel Knotenregel Summe StudySmarter

Ein Knoten- oder Verzweigungspunkt ist dabei der Punkt, an denen drei oder mehr Leitungen zusammentreffen oder sich verzweigen. Knotenpunkte kommen nur dann zustande, wenn es mindestens eine Parallelschaltung innerhalb einer Schaltung gibt. In einer reinen Reihenschaltung gibt es keine Verzweigungspunkte.

Du kannst Dir das Verhalten des Stroms in einem Knotenpunkt als Straßenverkehr auf einer Kreuzung vorstellen:

Die gleiche Anzahl der Autos, die auf eine Kreuzung fahren, muss die Kreuzung auch wieder verlassen. Kein Auto verschwindet, genauso wie der Strom nicht verschwindet oder sich verändert.

Kurz gesagt: alles, was in einen Knoten hineinfließt, muss auch wieder herausfließen. Damit die Summe der Ströme dabei null wird, werden auch unterschiedliche Vorzeichen benötigt.

Vorzeichenregeln der Ströme

Jeder Stromfluss besitzt auch immer eine Flussrichtung. Die Autos bleiben auch nicht auf der Kreuzung stehen, sondern überqueren diese in einer bestimmten Richtung.

Autos, die auf die Kreuzung fahren, erhöhen die Anzahl der Autos auf der Kreuzung. Sie wirken sich also mathematisch gesehen positiv auf die Anzahl aus.

Autos, die von der Kreuzung abfahren, verringern die Anzahl der Autos auf der Kreuzung. Mathematisch gesehen sind diese also negativ.

So ist das auch bei den Strömen an Knotenpunkten.

In der Regel gilt für die Ströme eines Knotenpunktes:

  • Die Ströme, die in einen Knoten hineinfließen, haben ein positives Vorzeichen
  • Die Ströme, die aus einem Knoten herausfließen, haben ein negatives Vorzeichen.

In den Knoten, der in Abbildung 3 dargestellt ist, fließen die Teilströme I1 und I2 hinein und die Teilströme I3, I4 und I5 wieder heraus.

Du kannst die Gleichung für die Eingangsströme Iein und für die herausfließenden Ströme Iaus (Ausgangsströme) für den Knoten aufstellen:

Die Ströme die hineinfließen Iein müssen dabei genau so groß sein wie die Ströme die herausfließen Iaus. Außerdem muss die Summe aller Ströme genau null sein:

Dieses Gesetz kannst Du auch auf noch kompliziertere Schaltungen anwenden.

Kirchhoffsche Regeln Beispiel zur Knotenregel

Um eine Aufgabe mithilfe der Kirchhoffschen Gesetze zu lösen, suchst Du die Knotenpunkte einer Schaltung und stellst mithilfe der Knotenregel eine Gleichung auf.

Aufgabe

In der Abbildung 4 siehst Du eine Schaltung mit sieben Widerständen R1 bis R7. In dieser Schaltung befinden sich drei Knotenpunkte K1 bis K3.

Betrachte die Knotenpunkte K1 bis K3 und stelle alle nötigen Knotengleichungen auf.

Lösung

Du kannst bei jedem Knoten anfangen. Hier fangen wir mit dem Knotenpunkt K1 an. Du siehst, dass in den Knotenpunkt K1 der Strom I2 hineinfließt, und die Ströme I3, I4 und I5 herausfließen. Für diesen Knoten kannst Du also die folgende Gleichung aufstellen:

Die Ströme Iges, I1 und I2 sind gleich groß. In größeren Schaltungen machen die verschiedenen Bezeichnungen oftmals Sinn, um jedem Widerstand Rn einen Stromfluss In zuzuweisen.

In den Knotenpunkt K2 fließen die Ströme I4 und I5 hinein und der Strom I6 wieder heraus. Die Knotengleichung für den zweiten Knoten lautet also:

In den Knoten K3 fließen die Ströme I3 und I7 hinein und der Strom I1 wieder heraus. Damit lässt sich der letzte Knotenpunkt mit der folgenden Gleichung beschreiben:

Somit hast du alle drei Knotengleichungen der Schaltung aus der Aufgabe aufgestellt.

Möchtest Du also die Ströme an beliebigen Knotenpunkten einer Schaltung untersuchen, benutzt Du das erste Kirchhoffsche Gesetz. Zum Untersuchen und Berechnen von Spannungen in einer Schaltung findet das zweite Kirchhoffsche Gesetz, die Maschenregel, Anwendung.

Kirchhoffsche Gesetze Maschenregel

Das zweite Kirchhoffsche Gesetz wird oft auch Maschenregel genannt. Während die Knotenregel die Ströme eines Knotens betrachtet, werden bei der Maschenregel die Spannungen einer Masche ins Visier genommen.

Die Maschenregel beschreibt das Verhalten der Spannungen einer Schaltung in einer Masche. Die Regel besagt, dass die Summe aller Spannungen U1 bis Un in einer Masche Null ist. Eine Masche ist dabei ein geschlossener Stromkreis ohne Verzweigungen. Es gilt:

Kirchhoffsche Gesetze Formel Maschenregel StudySmarter

Ein Stromkreis ohne Verzweigungen, also eine einfach Reihenschaltung, beinhaltet nur eine Masche. Sobald es Verzweigungen (Parallelschaltungen) im Stromkreis gibt, gibt es auch mehrere Maschen, die Du betrachten kannst. Die Vorzeichen spielen dabei, wie auch bei der Knotenregel, eine besondere Regel, damit die Summe der Spannungen null ergibt.

Vorzeichenregeln der Spannungen

Möchtest Du die Vorzeichen der Spannungen einer Masche beim Anwenden der Maschenregel bestimmen, benötigst Du zuerst eine von Dir festgelegte oder vorausgesetzte Maschenrichtung.

In Abbildung 5 ist die Maschenrichtung im Uhrzeigersinn. Die Spannungen, die in Maschenrichtung zeigen sind die Spannungen U1 bis U4 über den jeweiligen Widerständen R1 bis R4. Entgegen der Maschenrichtung ist hier die Quellspannung Uq. Für die Vorzeichen der Spannungen gilt:

Zeigen der Spannungs- und Maschenpfeil in die gleiche Richtung, dann ist das Vorzeichen der Spannung positiv.

Zeigen Maschen- und Spannungspfeil in entgegengesetzte Richtungen, dann ist das Vorzeichen der Spannung negativ.

Angewandt auf die Spannungen in Abbildung 5 bedeutet das für die Maschengleichung:

Kompliziertere Schaltungen bestehen jedoch meistens nicht aus nur einer Masche. Auch in einer solchen Schaltung kannst Du die Maschenregel anwenden.

Kirchhoffsche Gesetze Übung zur Maschenregel

Oftmals sind in Aufgaben zur Maschenregel die Maschen nicht direkt gegeben, sondern nur ein Stromkreis. Die folgende Übungsaufgabe zeigt Dir, wie Du trotzdem die Maschengleichungen aufstellen kannst.

Aufgabe

Gegeben ist der folgende Stromkreis in Abbildung 6 mit den Spannungen U1 bis U6 über den Widerständen R1 bis R6 und den beiden Quellspannungen Uq,1 und Uq,2.

Stelle für die inneren Maschen die Maschengleichungen auf.

Lösung

Zunächst benötigst Du die inneren Maschen. Das sind die kleinsten Maschen des Stromkreises, die zusammen jeden Teil der Schaltung umfassen. Diese kannst Du wie in Abbildung 7 M1, M2 und M3 nennen. Dabei legst Du auch direkt die Maschenrichtungen fest. Hier ist es im Uhrzeigersinn.

Schau Dir zunächst die Masche M1 an. Du siehst, der Spannungspfeil von Uq,1 und der Maschenpfeil von M1 zeigen in die entgegengesetzte Richtung. Damit bekommt die Spannung Uq,1 ein negatives Vorzeichen. Die Spannungspfeile von U1 und U2 zeigen in die gleiche Richtung wie der Maschenpfeil und erhalten damit ein positives Vorzeichen. Für die Masche M1 erhälst du also die folgende Gleichung:

Beim Betrachten der zweiten Masche M2 erkennst Du, dass der Maschenpfeil und die Spannungspfeile von Uq,2 und U3 in die gleiche Richtung zeigen, was in einem positiven Vorzeichen resultiert. Der Spannungspfeil von U2 zeigt in die entgegengesetzte Richtung des Maschenpfeils und hat deswegen ein negatives Vorzeichen.

Zum Schluss die Masche M3. Die Spannungspfeile von U4, U5 und U6 zeigen alle in die gleiche Richtung wie der Maschenpfeil und haben deswegen ein positives Vorzeichen. Ausschließlich der Spannungspfeil von Uq,2 zeigt in die entgegengesetzte Richtung und erhält deswegen ein negatives Vorzeichen.

Damit hast Du auch schon diese Aufgabe gemeistert.

Weitere Übungen findest Du in den Karteikarten zum Artikel! Bevor Du Dir diese anschaust findest Du hier noch einmal das Wichtigste zu den Kirchhoffschen Gesetzen für Dich zusammengefasst.

Kirchhoffsche Gesetze - Das Wichtigste

  • Die Kirchhoffschen Gesetze sind zwei Gesetze zur Beschreibung von Strömen und Spannungen in einer Schaltung.
  • Ein Knotenpunkt einer Schaltung ist ein Punkt, an dem drei oder mehr Leitungen aufeinandertreffen und sich von dort aus aufteilen.
  • Das erste Kirchhoffsche Gesetz besagt, dass die Summe aller Ströme I in einem Knotenpunkt Null ist:

  • In der Regel gilt für die Vorzeichen der Ströme in einem Knotenpunkt:
    • Ströme, die in den Knoten hineinfließen, haben ein positives Vorzeichen
    • Ströme, die aus dem Knoten herausfließen, haben ein negatives Vorzeichen
  • Eine Masche ist ein geschlossener Umlauf in einer Schaltung, ohne Verzweigungen.
  • Das zweite Kirchhoffsche Gesetz sagt aus, dass die Summe aller Spannungen U in einer Masche Null ist:

  • Die Vorzeichen der Spannungen in einer Masche richten sich nach der gewählten Richtung der Masche:
    • Spannungen, die in einer Masche in die gleiche Richtung zeigen wie der Maschenpfeil, haben ein positives Vorzeichen.
    • Zeigen die Spannungspfeile in die entgegengesetzte Richtung wie der Maschenpfeil, haben sie ein negatives Vorzeichen.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Kirchhoffsche Gesetze

Das zweite Kirchhoffsche Gesetz (Maschenregel) besagt, dass die Summe aller Spannungen einer Masche gleich null ist.

Die Maschenregel besagt, dass die Summe aller Spannungen in einer Masche, sprich in einem geschlossenen Stromkreis ohne Verzweigung, Null ist.

In der Elektrizitätslehre gibt es zwei Kirchhoffsche Gesetze: die Knotenregel und die Maschenregel.

Das erste Kirchhoffsche Gesetz (Knotenregel) besagt, dass die Summe der ein- und herausfließenden Ströme eines Knotenpunktes gleich null ist.

Finales Kirchhoffsche Gesetze Quiz

Frage

Erkläre, was Du unter dem Knoten einer Schaltung verstehst.

Antwort anzeigen

Antwort

Ein Knoten ist ein Punkt in einer Schaltung, an dem drei oder mehr Leitungen aufeinander treffen.

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, worum es sich bei einer Masche handelt.

Antwort anzeigen

Antwort

Bei einer Masche handelt es sich um einen geschlossenen Teil eines Stromkreises ohne jegliche Verzweigungen.

Frage anzeigen

Frage

Formuliere die Knotenregel.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Summe aller Ströme an einem Knoten ist gleich null.

Frage anzeigen

Frage

Formuliere die Maschenregel.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Summe aller Spannungen einer Masche ist gleich null.

Frage anzeigen

Frage

Gib an, wann Du die Knotenregel und wann die Maschenregel anwendest.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Knotenregel verwendest Du zur Beschreibung von Strömen in einer Schaltung.


Die Maschenregel verwendest Du zur Beschreibung von Spannungen in einer Schaltung.

Frage anzeigen

Frage

Ein Stromkreis besteht aus einer reinen Reihenschaltung. Wähle aus, wie viele Knotenpunkte die Schaltung umfasst.

Antwort anzeigen

Antwort

1

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe, wie Du die Vorzeichen der Ströme bei der Knotenregel bestimmst.

Antwort anzeigen

Antwort

Ströme, die in den Knoten hineinfließen, haben ein positives Vorzeichen.


Ströme, die aus dem Knoten herausfließen, haben ein negatives Vorzeichen.

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe, wie Du die Vorzeichen der Spannungen bei der Maschenregel bestimmst.

Antwort anzeigen

Antwort

Zuerst wählst Du eine Maschenrichtung aus (meist im Uhrzeigersinn).


Spannungen, die in einer Masche die gleiche Richtung wie die Maschenrichtung haben, bekommen ein positives Vorzeichen.


Spannungen, die in einer Masche die entgegengesetzte Richtung wie die Maschenrichtung haben, bekommen ein negatives Vorzeichen.

Frage anzeigen
60%

der Nutzer schaffen das Kirchhoffsche Gesetze Quiz nicht! Kannst du es schaffen?

Quiz starten

Finde passende Lernmaterialien für deine Fächer

Alles was du für deinen Lernerfolg brauchst - in einer App!

Lernplan

Sei rechtzeitig vorbereitet für deine Prüfungen.

Quizzes

Teste dein Wissen mit spielerischen Quizzes.

Karteikarten

Erstelle und finde Karteikarten in Rekordzeit.

Notizen

Erstelle die schönsten Notizen schneller als je zuvor.

Lern-Sets

Hab all deine Lermaterialien an einem Ort.

Dokumente

Lade unzählige Dokumente hoch und habe sie immer dabei.

Lern Statistiken

Kenne deine Schwächen und Stärken.

Wöchentliche

Ziele Setze dir individuelle Ziele und sammle Punkte.

Smart Reminders

Nie wieder prokrastinieren mit unseren Lernerinnerungen.

Trophäen

Sammle Punkte und erreiche neue Levels beim Lernen.

Magic Marker

Lass dir Karteikarten automatisch erstellen.

Smartes Formatieren

Erstelle die schönsten Lernmaterialien mit unseren Vorlagen.

Gerade angemeldet?

Ja
Nein, aber ich werde es gleich tun

Melde dich an für Notizen & Bearbeitung. 100% for free.