Kirchhoffsche Gesetze

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Die Physik wäre nicht die Physik, wenn es nicht für alles Formeln und Gesetze gebe. Der Umgang mit Schaltkreisen und das Rechnen mit Strömen und Spannungen stellen da keine Ausnahme dar. In diesem Artikel erfährst Du, wie sich Ströme und Spannungen in verschiedensten Schaltungen verhalten und welche Gesetzmäßigkeiten gelten.

Kirchhoffsche Gesetze Widerstand

Bei den Kirchhoffschen Gesetzen werden Schaltungen betrachtet, in denen vor allem Widerstände zusammengeschaltet werden. Hierbei unterscheidest Du zwischen Reihen- und Parallelschaltungen.

Reihenschaltung von Widerständen

Eine der zwei Grundschaltungen der Elektrizitätslehre ist die Reihenschaltung.

Kirchhoffsche Gesetzte Reihenschaltung zweier Widerstände StudySmarter Abb. 1 - Reihenschaltung mit zwei Widerständen

Der Aufbau einer einfachen Reihenschaltung ist in der Abbildung 1 dargestellt. Die angelegte Spannung U sorgt dafür, dass ein Strom I fließt. Die Teilspannungen U₁ und U₂ fallen dabei über die Widerstände R₁ und R₂ ab.

Zum Berechnen von Reihenschaltungen gibt es einige essenzielle Formeln:

Schaltest Du mehrere Widerstände R₁, R₂, ..., R_n in Reihe, berechnest Du den Gesamtwiderstand R als Summe der Teilwiderstände. Dabei teilt sich die angelegte Spannung U über den Teilwiderständen in U₁, U₂, ..., U_n auf. Die Ströme I₁, I₂, ..., I_n durch die jeweiligen Widerstände sind gleich dem Gesamtstrom I.

Physikalische Größe	Formel
Elektrische Spannung U	$U = U_{1} + U_{2} + . . . + U_{n}$
Elektrischer Strom I	$I = I_{1} = I_{2} = . . . = I_{n}$
Elektrischer Widerstand R	$R = R_{1} + R_{2} + . . . + R_{n}$

Wenn zum Thema findest Du im Artikel zur Reihenschaltung.

Neben der Reihenschaltung gibt es noch die Parallelschaltung von Widerständen.

Parallelschaltung von Widerständen

Du kannst einen beispielhaften Aufbau einer Parallelschaltung von drei Widerständen in der Abbildung 2 sehen.

Kirchhoffsche Gesetze Parallelschaltung mehrerer Widerstände StudySmarter Abb. 2 - Parallelschaltung mehrerer Widerstände

Der Unterschied zu einer Reihenschaltung ist der, dass die Widerstände parallel zueinander geschaltet sind. Auch hier sorgt die angelegte Spannung U dafür, dass ein Strom I durch die Schaltung fließt. Der Strom teilt sich an den Knotenpunkten auf und fließt durch die jeweiligen Widerstände R₁ bis R₃. Auch hier kannst Du die elektrischen Größen berechnen.

Schaltest Du mehrere Widerstände R₁, R₂, ... , R_nparallel, dann berechnest Du den Gesamtwiderstand R als Summe der Kehrwerte der Teilwiderstände. In einer Parallelschaltung ist dabei die angelegte Spannung U an jedem Widerstand gleich. Die Ströme I₁, I₂, ... , I_n durch die Widerstände summieren sich zum Gesamtstrom I.

Physikalische Größe	Formel
Elektrische Spannung U	$U = U_{1} = U_{2} = . . . = U_{n}$
Elektrischer Strom I	$I = I_{1} + I_{2} + . . . + I_{n}$
Elektrischer Widerstand R	$\frac{1}{R} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + . . . + \frac{1}{R_{n}}$

Wenn Du mehr zu diesem Thema wissen möchtest, dann schau in dem Artikel zur Parallelschaltung vorbei!

Diese Formeln für die Reihen- und Parallelschaltungen von Widerständen finden Anwendung in den Kirchhoffschen Gesetzen.

Kirchhoffsche Gesetze einfach erklärt

Die Kirchhoffschen Gesetze wurden im Jahr 1845 von Gustav Robert Kirchhoff formuliert, nachdem er zwei für die Schaltungstechnik grundlegende Zusammenhänge entdeckt hat.

Knotenregel: In einem Knotenpunkt ist die Summe der hineinfließenden Ströme immer gleich der Summe der herausfließenden Ströme. Die Summe aller Ströme an einem Knoten ist somit gleich null.

Maschenregel: In einer Masche ist die Summe aller Spannungen gleich null.

Das es sich jeweils um die Ströme oder die Spannungen in einer Schaltung handelt, gibt es jeweils ein Gesetz zu einer der beiden Größen.

Kirchhoffsche Gesetze Knotenregel

Bei dem ersten Kirchoffschen Gesetz handelt es sich um die sogenannte Knotenregel. Diese behandelt das Verhalten von Strömen an den Knotenpunkten einer Schaltung.

Die Knotenregel besagt, dass in jedem Verzweigungspunkt einer Schaltung die Summe der Ströme, die in den Knoten hineinfließen I_ein, der Summe der abfließenden Ströme I_aus entspricht.

$I_{e i n} = I_{a u s}$

Alternativ kannst Du sagen, dass die Summe aller Ströme I₁ bis I_n bzw. die Summe der hinein- (I_ein) und herausfließenden Ströme (I_aus) gleich Null ist:

$\begin{array}{rcl} I_{1} + I_{2} + . . . + I_{n} & = & 0 \\ I_{e i n} + I_{a u s} & = & 0 \end{array}$

Ein Knoten- oder Verzweigungspunkt ist dabei der Punkt, an denen drei oder mehr Leitungen zusammentreffen oder sich verzweigen. Knotenpunkte kommen nur dann zustande, wenn es mindestens eine Parallelschaltung innerhalb einer Schaltung gibt. In einer reinen Reihenschaltung gibt es keine Verzweigungspunkte.

Du kannst Dir das Verhalten des Stroms in einem Knotenpunkt als Straßenverkehr auf einer Kreuzung vorstellen:

Die gleiche Anzahl der Autos, die auf eine Kreuzung fahren, muss die Kreuzung auch wieder verlassen. Kein Auto verschwindet, genauso wie der Strom nicht verschwindet oder sich verändert.

Kurz gesagt: alles, was in einen Knoten hineinfließt, muss auch wieder herausfließen. Damit die Summe der Ströme dabei null wird, werden auch unterschiedliche Vorzeichen benötigt.

Vorzeichenregeln der Ströme

Jeder Stromfluss besitzt auch immer eine Flussrichtung. Die Autos bleiben auch nicht auf der Kreuzung stehen, sondern überqueren diese in einer bestimmten Richtung.

Autos, die auf die Kreuzung fahren, erhöhen die Anzahl der Autos auf der Kreuzung. Sie wirken sich also mathematisch gesehen positiv auf die Anzahl aus.

Autos, die von der Kreuzung abfahren, verringern die Anzahl der Autos auf der Kreuzung. Mathematisch gesehen sind diese also negativ.

So ist das auch bei den Strömen an Knotenpunkten.

In der Regel gilt für die Ströme eines Knotenpunktes:

Die Ströme, die in einen Knoten hineinfließen, haben ein positives Vorzeichen
Die Ströme, die aus einem Knoten herausfließen, haben ein negatives Vorzeichen.

In den Knoten, der in Abbildung 3 dargestellt ist, fließen die Teilströme I₁ und I₂ hinein und die Teilströme I₃, I₄ und I₅ wieder heraus.

Kirchhoffsche Gesetze Knoten mehrere Ströme StudySmarter Abb. 3 - Knoten mit 5 Strömen

Du kannst die Gleichung für die Eingangsströme I_ein und für die herausfließenden Ströme I_aus (Ausgangsströme) für den Knoten aufstellen:

$\begin{array}{rcl} I_{e i n} & = & I_{1} + I_{2} \\ I_{a u s} & = & I_{3} + I_{4} + I_{5} \end{array}$

Die Ströme die hineinfließen I_ein müssen dabei genau so groß sein wie die Ströme die herausfließen I_aus. Außerdem muss die Summe aller Ströme genau null sein:

$\begin{array}{rcl} I_{e i n} & = & I_{a u s} \\ I_{1} + I_{2} & = & I_{3} + I_{4} + I_{5} \\ I_{e i n} + I_{a u s} & = & 0 \\ I_{1} + I_{2} + (- I_{3}) + (- I_{4}) + (- I_{5}) & = & 0 \end{array}$

Dieses Gesetz kannst Du auch auf noch kompliziertere Schaltungen anwenden.

Kirchhoffsche Regeln Beispiel zur Knotenregel

Um eine Aufgabe mithilfe der Kirchhoffschen Gesetze zu lösen, suchst Du die Knotenpunkte einer Schaltung und stellst mithilfe der Knotenregel eine Gleichung auf.

Aufgabe

In der Abbildung 4 siehst Du eine Schaltung mit sieben Widerständen R₁ bis R₇. In dieser Schaltung befinden sich drei Knotenpunkte K₁bis K₃.

Kirchhoffsche Gesetze Schaltung Aufgabenstellung Übung StudySmarter Abb. 4 - Schematische Darstellung der Schaltung aus der Aufgabenstellung

Betrachte die Knotenpunkte K₁ bis K₃ und stelle alle nötigen Knotengleichungen auf.

Lösung

Du kannst bei jedem Knoten anfangen. Hier fangen wir mit dem Knotenpunkt K₁ an. Du siehst, dass in den Knotenpunkt K₁ der Strom I₂hineinfließt, und die Ströme I₃, I₄ und I₅ herausfließen. Für diesen Knoten kannst Du also die folgende Gleichung aufstellen:

$I_{2} - I_{3} - I_{4} - I_{5} = 0$

Die Ströme I_ges, I₁ und I₂ sind gleich groß. In größeren Schaltungen machen die verschiedenen Bezeichnungen oftmals Sinn, um jedem Widerstand R_n einen Stromfluss I_n zuzuweisen.

In den Knotenpunkt K₂ fließen die Ströme I₄ und I₅hinein und der Strom I₆ wieder heraus. Die Knotengleichung für den zweiten Knoten lautet also:

$I_{4} + I_{5} - I_{6} = 0$

In den Knoten K₃fließen die Ströme I₃ und I₇hinein und der Strom I₁ wieder heraus. Damit lässt sich der letzte Knotenpunkt mit der folgenden Gleichung beschreiben:

$I_{7} + I_{3} - I_{1} = 0$

Somit hast du alle drei Knotengleichungen der Schaltung aus der Aufgabe aufgestellt.

Möchtest Du also die Ströme an beliebigen Knotenpunkten einer Schaltung untersuchen, benutzt Du das erste Kirchhoffsche Gesetz. Zum Untersuchen und Berechnen von Spannungen in einer Schaltung findet das zweite Kirchhoffsche Gesetz, die Maschenregel, Anwendung.

Kirchhoffsche Gesetze Maschenregel

Das zweite Kirchhoffsche Gesetz wird oft auch Maschenregel genannt. Während die Knotenregel die Ströme eines Knotens betrachtet, werden bei der Maschenregel die Spannungen einer Masche ins Visier genommen.

Die Maschenregel beschreibt das Verhalten der Spannungen einer Schaltung in einer Masche. Die Regel besagt, dass die Summe aller Spannungen U₁ bis U_n in einer Masche Null ist. Eine Masche ist dabei ein geschlossener Stromkreis ohne Verzweigungen. Es gilt:

$U_{1} + U_{2} + . . . + U_{n} = 0$

Ein Stromkreis ohne Verzweigungen, also eine einfach Reihenschaltung, beinhaltet nur eine Masche. Sobald es Verzweigungen (Parallelschaltungen) im Stromkreis gibt, gibt es auch mehrere Maschen, die Du betrachten kannst. Die Vorzeichen spielen dabei, wie auch bei der Knotenregel, eine besondere Regel, damit die Summe der Spannungen null ergibt.

Vorzeichenregeln der Spannungen

Möchtest Du die Vorzeichen der Spannungen einer Masche beim Anwenden der Maschenregel bestimmen, benötigst Du zuerst eine von Dir festgelegte oder vorausgesetzte Maschenrichtung.

Kirchhoffsche Gesetze Maschenregel StudySmarter Abb. 5 - Masche mit 5 Spannungen

In Abbildung 5 ist die Maschenrichtung im Uhrzeigersinn. Die Spannungen, die in Maschenrichtung zeigen sind die Spannungen U₁ bis U₄ über den jeweiligen Widerständen R₁ bis R₄. Entgegen der Maschenrichtung ist hier die Quellspannung U_q. Für die Vorzeichen der Spannungen gilt:

Zeigen der Spannungs- und Maschenpfeil in die gleiche Richtung, dann ist das Vorzeichen der Spannung positiv.

Zeigen Maschen- und Spannungspfeil in entgegengesetzte Richtungen, dann ist das Vorzeichen der Spannung negativ.

Angewandt auf die Spannungen in Abbildung 5 bedeutet das für die Maschengleichung:

$U_{1} + U_{2} + U_{3} + U_{4} - U_{q} = 0$

Kompliziertere Schaltungen bestehen jedoch meistens nicht aus nur einer Masche. Auch in einer solchen Schaltung kannst Du die Maschenregel anwenden.

Kirchhoffsche Gesetze Übung zur Maschenregel

Oftmals sind in Aufgaben zur Maschenregel die Maschen nicht direkt gegeben, sondern nur ein Stromkreis. Die folgende Übungsaufgabe zeigt Dir, wie Du trotzdem die Maschengleichungen aufstellen kannst.

Aufgabe

Gegeben ist der folgende Stromkreis in Abbildung 6 mit den Spannungen U₁ bis U₆ über den Widerständen R₁ bis R₆ und den beiden Quellspannungen U_q,1 und U_q,2.

Kirchhoffsche Gesetze Stromkreis viele Spannungen StudySmarter Abb. 6 - Stromkreis mit 8 verschiedenen Spannungen

Stelle für die inneren Maschen die Maschengleichungen auf.

Lösung

Zunächst benötigst Du die inneren Maschen. Das sind die kleinsten Maschen des Stromkreises, die zusammen jeden Teil der Schaltung umfassen. Diese kannst Du wie in Abbildung 7 M₁, M₂ und M₃ nennen. Dabei legst Du auch direkt die Maschenrichtungen fest. Hier ist es im Uhrzeigersinn.

Kirchhoffsche Gesetze Schaltkreis mit drei Maschen Übung StudySmarter Abb. 7 - Stromkreis mit den 3 kleinsten Maschen

Schau Dir zunächst die Masche M₁ an. Du siehst, der Spannungspfeil von U_q,1 und der Maschenpfeil von M₁ zeigen in die entgegengesetzte Richtung. Damit bekommt die Spannung U_q,1 ein negatives Vorzeichen. Die Spannungspfeile von U₁ und U₂ zeigen in die gleiche Richtung wie der Maschenpfeil und erhalten damit ein positives Vorzeichen. Für die Masche M₁erhälst du also die folgende Gleichung:

$U_{1} + U_{2} - U_{q, 1} = 0$

Beim Betrachten der zweiten Masche M₂ erkennst Du, dass der Maschenpfeil und die Spannungspfeile von U_q,2 und U₃ in die gleiche Richtung zeigen, was in einem positiven Vorzeichen resultiert. Der Spannungspfeil von U₂ zeigt in die entgegengesetzte Richtung des Maschenpfeils und hat deswegen ein negatives Vorzeichen.

$- U_{2} + U_{3} + U_{q, 2} = 0$

Zum Schluss die Masche M₃. Die Spannungspfeile von U₄, U₅ und U₆ zeigen alle in die gleiche Richtung wie der Maschenpfeil und haben deswegen ein positives Vorzeichen. Ausschließlich der Spannungspfeil von U_q,2 zeigt in die entgegengesetzte Richtung und erhält deswegen ein negatives Vorzeichen.

$U_{4} + U_{5} + U_{6} - U_{q, 2} = 0$

Damit hast Du auch schon diese Aufgabe gemeistert.

Weitere Übungen findest Du in den Karteikarten zum Artikel! Bevor Du Dir diese anschaust findest Du hier noch einmal das Wichtigste zu den Kirchhoffschen Gesetzen für Dich zusammengefasst.

Kirchhoffsche Gesetze - Das Wichtigste

Die Kirchhoffschen Gesetze sind zwei Gesetze zur Beschreibung von Strömen und Spannungen in einer Schaltung.

Ein Knotenpunkt einer Schaltung ist ein Punkt, an dem drei oder mehr Leitungen aufeinandertreffen und sich von dort aus aufteilen.
Das erste Kirchhoffsche Gesetz besagt, dass die Summe aller Ströme I in einem Knotenpunkt Null ist:

$I_{1} + I_{2} + . . . + I_{n} = 0$

In der Regel gilt für die Vorzeichen der Ströme in einem Knotenpunkt:
- Ströme, die in den Knoten hineinfließen, haben ein positives Vorzeichen
- Ströme, die aus dem Knoten herausfließen, haben ein negatives Vorzeichen

Eine Masche ist ein geschlossener Umlauf in einer Schaltung, ohne Verzweigungen.
Das zweite Kirchhoffsche Gesetz sagt aus, dass die Summe aller Spannungen U in einer Masche Null ist:

$U_{1} + U_{2} + . . . + U_{n} = 0$

Die Vorzeichen der Spannungen in einer Masche richten sich nach der gewählten Richtung der Masche:
- Spannungen, die in einer Masche in die gleiche Richtung zeigen wie der Maschenpfeil, haben ein positives Vorzeichen.
- Zeigen die Spannungspfeile in die entgegengesetzte Richtung wie der Maschenpfeil, haben sie ein negatives Vorzeichen.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Kirchhoffsche Gesetze

Das zweite Kirchhoffsche Gesetz (Maschenregel) besagt, dass die Summe aller Spannungen einer Masche gleich null ist.

Die Maschenregel besagt, dass die Summe aller Spannungen in einer Masche, sprich in einem geschlossenen Stromkreis ohne Verzweigung, Null ist.

In der Elektrizitätslehre gibt es zwei Kirchhoffsche Gesetze: die Knotenregel und die Maschenregel.

Das erste Kirchhoffsche Gesetz (Knotenregel) besagt, dass die Summe der ein- und herausfließenden Ströme eines Knotenpunktes gleich null ist.

Karteikarten in Kirchhoffsche Gesetze8 Lerne jetzt

Erkläre, was Du unter dem Knoten einer Schaltung verstehst.

Ein Knoten ist ein Punkt in einer Schaltung, an dem drei oder mehr Leitungen aufeinander treffen.

Erkläre, worum es sich bei einer Masche handelt.

Bei einer Masche handelt es sich um einen geschlossenen Teil eines Stromkreises ohne jegliche Verzweigungen.

Formuliere die Knotenregel.

Die Summe aller Ströme an einem Knoten ist gleich null.

Formuliere die Maschenregel.

Die Summe aller Spannungen einer Masche ist gleich null.

Gib an, wann Du die Knotenregel und wann die Maschenregel anwendest.

Die Knotenregel verwendest Du zur Beschreibung von Strömen in einer Schaltung.

Die Maschenregel verwendest Du zur Beschreibung von Spannungen in einer Schaltung.

Ein Stromkreis besteht aus einer reinen Reihenschaltung. Wähle aus, wie viele Knotenpunkte die Schaltung umfasst.

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