Elektrische Arbeit

Wusstest Du, dass der Stromverbrauch von Haushalten in \(kWh\) – ausgesprochen Kilowattstunden – gemessen wird? Dahinter verbirgt sich die physikalische Größe der elektrischen Arbeit. Sie ist nah mit der elektrischen Leistung und der elektrischen Energie verwandt. Wie aber ist die elektrische Arbeit definiert, welche Einheit besitzt sie, wie sehen die Formeln aus und wie kannst Du sie umstellen und damit Aufgaben berechnen?

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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe

    Elektrische Arbeit Definition

    Erinnerst Du Dich an die mechanische Arbeit? Diese ist definiert als Kraft multipliziert mit der Strecke, über die die Kraft wirkt – mehr dazu bei „Mechanische Arbeit“. Bei der elektrischen Arbeit scheint das aber nicht so plausibel zu sein: wo wirkt im Stromkreis eine Kraft und über welche Strecke wirkt sie?

    Stelle Dir vor, dass eine Kraft auf die Elektronen im Leiter wirkt (bewegte Elektronen im Leiter = Strom). Die Strecke, über die die Kraft wirkt, wäre die Kabellänge, also von Steckdose bis Verbraucher. Wenn also die elektrische Arbeit auch als diese Kraft über diese Strecke definiert wäre, würde ja jeder extra kurze Kabel verwenden, damit so wenig elektrische Arbeit wie möglich verrichtet wird. Dem ist aber nicht so. Im Stromnetz werden mehrere Kilometer lange Kabel verwendet.

    Kraft mal Strecke kannst Du aber tatsächlich auch für die elektrische Arbeit anwenden – nur nicht so, wie in dem Beispiel aufgeführt. Mehr dazu in der Vertiefung zur Formel der elektrischen Arbeit.

    Was genau ist dann aber die elektrische Arbeit? Dafür gibt es allgemein zwei Sichtweisen, die die gleiche Größe beschreiben.

    Die elektrische Arbeit wird verrichtet – und ist die elektrische Energie, die benötigt wird – um eine elektrische Ladung im elektrischen Feld von einer Stelle auf eine andere Stelle zu bringen.

    Andererseits ist sie auch die elektrische Leistung, die über einen gewissen Zeitraum geleistet wird.

    Zu den genannten Fachbegriffen gibt es unter „Elektrische Ladung“, „Elektrisches Feld“ und „Elektrische Leistung“ jeweils Erklärungen, die Dir die Inhalte genauer vorstellen.

    Anhand der Formeln lässt sich die elektrische Arbeit etwas besser veranschaulichen.

    Elektrische Arbeit Formeln

    Die oben stehende Definition der elektrischen Arbeit kannst Du auch in Formeln verfassen:

    Die elektrische Arbeit \(W_{el}\) wird verrichtet, wenn eine elektrische Ladung \(Q\) von einem zum anderen Punkt im elektrischen Feld verschoben wird und zwischen diesen Punkten die Spannung \(U\) anliegt.

    \[W_{el} = Q \cdot U\]

    Ersetzt Du die elektrische Ladung \(Q\) mit dem gesamten Stromfluss \(I\) in der Zeit \(t\) \(\left(Q=I \cdot t\right)\), dann kannst Du die elektrische Arbeit auch als elektrische Leistung \(P\) (dabei gilt \(P=U \cdot I\)), die über einen Zeitraum \(t\) geleistet wird, angeben:

    \begin{align}W_{el} & = I \cdot U \cdot t \\ W_{el} & = P \cdot t \end{align}

    In diesen Formeln ist keine Kraft oder Strecke. Du kannst Dir die Formel der elektrischen Arbeit jedoch über Kraft und Strecke – also wie die mechanische Arbeit – anhand eines Plattenkondensators herleiten.

    Zur Herleitung der Formel für die elektrische Arbeit kannst Du einen Plattenkondensator mit Plattenabstand \(d\) betrachten. Eine Ladung \(Q\) möchtest Du jetzt von einer zur anderen Platte verschieben und verrichtest dabei eine elektrische Arbeit \(W_{el}\).

    Mehr zum elektrischen Bauteil findest Du in der Erklärung „Plattenkondensator“.

    Gehst Du davon aus, dass eine Arbeit als Kraft \(F\) mal Weg \(s\) berechnet wird, wäre der Plattenabstand \(d\) der Weg.

    \begin{align}W_{el} & = F \cdot s \\ W_{el} & = F \cdot d \end{align}

    Was ist mit der Kraft?

    In einem Plattenkondensator wirkt eine Kraft \(F\) auf eine Ladung \(Q\) entsprechend der elektrischen Feldstärke \(E\) zwischen den Kondensatorplatten. Die Kraft kannst Du in der ersten Formel also wie folgt ersetzen:

    \begin{align}F & = Q \cdot E \\ \rightarrow W_{el} & = Q \cdot E \cdot d \end{align}

    Die elektrische Feldstärke \(E\) eines Plattenkondensators kannst Du wiederum als anliegende Spannung \(U\) geteilt durch den Plattenabstand \(d\) angeben. Das kannst Du einsetzen und erhältst am Ende die oben definierte Formel für die elektrische Arbeit \(W_{el}\):

    \begin{align}E & = \frac{U}{d} \\ \rightarrow W_{el} & = Q \cdot \frac{U}{\cancel{d}} \cdot \cancel{d} \\ W_{el} & = Q \cdot U \end{align}

    Somit hast Du die erste Formel. Für die zweite Formel ersetzt Du die Ladung. Eine transportierte Ladung \(Q\) ist der Stromfluss \(I\) über einen gewissen Zeitraum \(t\). Das kannst Du einsetzen und erhältst am Ende die zweite Formel für die elektrische Arbeit \(W_{el}\):

    \begin{align}W_{el} & = Q \cdot U && \text{mit } Q = I \cdot t \\ W_{el} & = I \cdot t \cdot U && \text{mit } P = U \cdot I \\ W_{el} & = P \cdot t \end{align}

    Je nachdem, welche Größe Du in einer Berechnung benötigst, kannst Du die Formeln der elektrischen Arbeit umstellen.

    Elektrische Arbeit Formel umstellen

    Keine zwei Situationen sind identisch. Dementsprechend sind auch gesuchte Größen einer Berechnung unterschiedlich. Die folgende Tabelle gibt Dir einen Überblick, wie die Formeln der elektrischen Arbeit \(W_{el}\) auf die anderen Größen umgestellt aussehen.

    Grundformelgesuchte Größeumgestellte Formel
    \[W_{el} = Q \cdot U\]Elektrische Ladung \(Q\)\[Q = \frac{W_{el}}{U}\]
    Elektrische Spannung \(U\)\[U = \frac{W_{el}}{Q}\]
    \begin{align}W_{el} & = P \cdot t \\ \\ W_{el} & = U \cdot I \cdot t \end{align}Elektrische Leistung \(P\)\[P = \frac{W_{el}}{t}\]
    Elektrische Spannung \(U\)\[U = \frac{W_{el}}{I \cdot t}\]
    Elektrische Stromstärke \(I\)\[I = \frac{W_{el}}{U \cdot t}\]
    Zeit \(t\)\begin{align}t & = \frac{W_{el}}{P}\\ \\t & = \frac{W_{el}}{U \cdot I}\end{align}

    Mithilfe der Formeln kannst Du auch die Einheit der elektrischen Arbeit ermitteln.

    Elektrische Arbeit Einheit

    Um die Einheit – egal, welcher physikalischen Größe – zu bestimmen, kannst Du Dir die Formel der entsprechenden Größe anschauen. Das funktioniert auch bei der elektrischen Arbeit.

    Dafür nimmst Du Dir die Formel der elektrischen Arbeit \(W_{el}\) und setzt für alle Größen einen Wert von 1 in deren Standardeinheit (also etwa Meter für eine Länge oder Kilogramm für eine Masse) ein. Die Einheit der Leistung \(P\) ist Watt (W) – die der Zeit \(t\) ist Sekunde (s).

    \begin{align}W_{el} & = P \cdot t \\ \left[W_{el}\right] & = 1 \cdot W \cdot 1 \cdot s \end{align}

    Für die Einheit der elektrischen Arbeit folgt demnach:

    Die Einheit der elektrischen Arbeit \(W_{el}\) ist Wattsekunde (Ws). Eine Wattsekunde entspricht genau einem Joule (J):

    \[ \left[W_{el}\right] = 1 \, Ws = 1 \, J \]

    Der Stromverbrauch im Haushalt wird oft in Kilowattstunden (kWh) angegeben:

    \[ 1 \, kWh = 3,6 \cdot 10^6 \, Ws \]

    Um auf Joule zu kommen, kannst Du Watt und Joule jeweils in ihren SI-Einheiten betrachten und wirst feststellen, dass Watt mal Sekunde genau Joule entspricht.

    Aber Moment – kommt Dir die Einheit Joule von einer anderen physikalischen Größe bekannt vor?

    Elektrische Arbeit und Energie

    Erinnerst Du Dich an die Definition der mechanischen Arbeit zurück, fällt Dir vielleicht ein, dass jede verrichtete Arbeit einer gleich großen Aufwendung von Energie entspricht. Das gilt auch bei der elektrischen Arbeit:

    Eine verrichtete elektrische Arbeit \(W_{el}\) bedeutet immer, dass eine gleich große elektrische Energie \(E_{el}\) aufgewandt wird.

    \[W_{el} = E_{el}\]

    Ein Elektromotor etwa wandelt elektrische Energie unter der Verrichtung elektrischer Arbeit in größtenteils mechanische Energie um. Die elektrische Energie wird aufgebracht, um eine elektrische Arbeit zu verrichten und dadurch mechanische Energie zu erhalten.

    Wenn elektrische Arbeit und Energie gleich sind, dann muss auch die Einheit gleich sein. Das hast Du oben bei der Einheit Joule (J) sehen können.

    Die elektrische Energie ist aber nicht die einzige physikalische Größe, die sehr stark mit der elektrischen Arbeit zusammenhängt.

    Elektrische Leistung und Arbeit

    Schaust Du Dir die Beschreibung eines elektrischen Gerätes oder einen darauf befindlichen Aufkleber an, kannst Du verschiedene Eigenschaften vom Gerät ablesen. Darunter ist oftmals auch eine Angabe in Watt (W). Bei einer Mikrowelle könnte das etwa \(800 \, W\) und bei einem Wasserkocher \(2000 \, W\) sein. Diese Angabe ist die elektrische Leistung des Gerätes.

    Der Zusammenhang von elektrischer Arbeit und Leistung kommt über den Zeitraum, in dem eine Leistung erbracht wird.

    Lässt Du eine leistungsstarke Mikrowelle einer Leistung von \( P = 1000 \, W = 1 \, kW\) genau eine Stunde \(t = 1 \, h\) laufen, wurde eine elektrische Arbeit in Höhe von \(W_{el} = 1 \, kWh\) verrichtet.

    \begin{align}W_{el} &= P \cdot t \\ W_{el} &= 1 \, kW \cdot 1 \, h \\ W_{el} &= 1 \, kWh\end{align}

    Dieses Beispiel wird zugegebenermaßen vermutlich nie genau so eintreten. Warum sollte jemand die Mikrowelle eine Stunde auf maximaler Leistung laufen lassen? Dennoch ist genau so der Zusammenhang zwischen elektrischer Arbeit und Leistung gegeben.

    Die elektrische Arbeit ist die Arbeit, die bei einer konstanten elektrischen Leistung eines Verbrauchers über einen gewissen Zeitraum verrichtet wird.

    Die elektrische Leistung trägt dabei das Formelzeichen \(P\) und wird mit der Einheit Watt (W) angegeben:

    \[ \left[ P \right] = 1 \, W \]

    Im Alltag ist die elektrische Arbeit also der „Verbrauch“, wobei die elektrische Leistung angibt, wie schnell verbraucht wird. Elektrische Leistung und elektrische Arbeit hängen somit zwar nah miteinander zusammen, jedoch sind es unterschiedliche Größen.

    Möchtest Du mehr über die „Elektrische Leistung“ erfahren, kannst Du Dir die dazugehörige Erklärung anschauen.

    Um die elektrische Arbeit zu messen, wird tatsächlich nicht die elektrische Arbeit an sich, sondern die elektrische Leistung oder andere elektrische Größen gemessen.

    Elektrische Arbeit Messgerät

    Ein Gerät, das die tatsächliche elektrische Arbeit als solches misst, gibt es nicht. Hingegen werden andere Geräte verwendet, um Strom, Spannung, Leistung und/oder Zeit zu messen. Daraus wird dann erst die eigentlich verrichtete elektrische Arbeit berechnet.

    Solche Geräte können viele Bezeichnungen tragen:

    • Wattmeter/Leistungsmesser: misst die elektrische Leistung über einen Zeitraum und berechnet daraus die elektrische Arbeit.

    • Stromzähler: Begriff für das Gerät, das die „verbrauchte“ elektrische Energie – somit elektrische Arbeit – eines Stromnetzes (Wohnung, Haus etc.) misst. Bei bekannter Netzspannung misst es ständig den Strom, berechnet daraus die elektrische Leistung und entsprechend der verstrichenen Zeit wird die elektrische Arbeit berechnet.

    • Energiekosten-Messgerät: funktioniert grundsätzlich wie die anderen genannten Geräte. Durch Eingabe des aktuellen Strompreises rechnet es aber zusätzlich die entstandenen Stromkosten aus.

    Es wird oft von einem „Verbrauch“ von elektrischer Energie, Strom oder Wärme gesprochen. Die Energie geht aber dabei nicht verloren, wird also nicht „verbraucht“, sondern lediglich in eine schlecht nutzbare Energieform umgewandelt oder an die Umgebung abgegeben.

    Den Stromverbrauch, für den Du zu Hause verantwortlich bist, kannst Du – ähnlich wie ein Messgerät der elektrischen Arbeit – selbst nachrechnen.

    Elektrische Arbeit berechnen

    Zu Deiner täglichen Routine zählt es vielleicht, Tee oder Kaffee aufzukochen, das Licht für eine gewisse Zeit brennen zu lassen und Dein Smartphone zu laden. Alle dafür verwendeten Geräte haben dabei eine unterschiedliche Leistung und Zeitdauer, über die sie Strom verbrauchen. Kennst Du die jeweiligen Zeiten und elektrischen Leistungen, kannst Du Deinen eigenen Stromverbrauch (elektrische Arbeit) berechnen.

    Aufgabe

    Gehe davon aus, dass Du täglich folgende Geräte mit entsprechenden Leistungen \(P\) über gewisse Zeiten \(t\) verwendest:

    • Wasserkocher: \(P_W = 2000 \, W, t_W = 1 \, min = 60 \, s\)

    • Licht: \(P_L = 6 \, W, t_L = 4 \, h\)

    • Smartphone-Ladegerät: \(P_S = 5 \, W, t_S = 3 \, h\)

    a) Berechne die einzelnen täglichen elektrischen Arbeiten \(W_{el,P}, W_{el,L}, W_{el,S}\), die verrichtet werden müssen, um die Geräte entsprechend zu betreiben. Gib die elektrischen Arbeiten in Wattstunden (Wh) an.

    Um von Wattsekunde (Ws) auf Wattstunde (Wh) zu kommen, nutzt Du die gleiche Umrechnung, wie von Sekunde (s) auf Stunde (h). \(1 \, h = 3600 \, s \rightarrow 1 \, Wh = 3600 \, Ws\)

    b) Berechne die gesamte tägliche elektrische Arbeit \(W_{el,\text{Tag}}\).

    c) Berechne die daraus entstandenen jährlichen Stromkosten \(Kosten_{\text{Jahr}}\) bei einem Energiepreis von \( \text{E-Preis} = 37,3 \, \frac{ct}{kWh}\) (Cent pro Kilowattstunde).

    Lösung a

    Um eine elektrische Arbeit aus einer elektrischen Leistung über einen Zeitraum zu berechnen, multiplizierst Du elektrische Leistung und Zeit.

    \[W_{el} = P \cdot t\]

    Für die jeweiligen Geräte ergeben sich folgende tägliche elektrische Arbeiten:

    WasserkocherLichtSmartphone-Ladegerät
    \begin{align}W_{el,W} & = P_W \cdot t_W \\ & = 2000 \, W \cdot 60 \, s \\ & = 120000 \, Ws \\ & = 33 \frac{1}{3} \, Wh\end{align}\begin{align}W_{el,L} & = P_L \cdot t_L \\ & = 6 \, W \cdot 4 \, h \\ & = 24 \, Wh\end{align}\begin{align}W_{el,S} & = P_S \cdot t_S \\ & = 5 \, W \cdot 3 \, h \\ & = 15 \, Wh\end{align}

    Lösung b

    Die vorher ausgerechneten elektrischen Arbeiten sind alle in der gleichen Einheit: in Wattstunden (Wh). Für die gesamte verrichtete elektrische Arbeit addierst Du die einzelnen elektrischen Arbeiten zusammen.

    \begin{align}W_{el,\text{Tag}} & = W_{el,W}+W_{el,L}+W_{el,S} \\ \\& = 33 \frac{1}{3} \, Wh+24 \, Wh+15 \, Wh \\ \\& = 72 \frac{1}{3} \, Wh\end{align}

    Lösung c

    Nun sollen die dadurch entstandenen jährlichen Stromkosten ermittelt werden. Das kannst Du in mehreren oder aber auch in einem Schritt tun. Um die Lösung in mehreren Schritten zu erreichen, kannst Du wie folgt vorgehen:

    Der erste Schritt ist, die gesamte jährliche elektrische Arbeit \(W_{el,\text{Jahr}}\) zu berechnen. Das geht, indem Du die täglich verrichtete elektrische Arbeit mit der Anzahl der Tage – hier nehmen wir 365 – multiplizierst:

    \begin{align}W_{el,\text{Jahr}} &= W_{el,\text{Tag}} \cdot 365 \\ \\ &= 72 \frac{1}{3} \, Wh \cdot 365 \\ \\ &= 79205 \frac{1}{3} \, Wh \approx 79 \, kWh\end{align}

    Das ist Dein gesamter jährlicher Verbrauch. Diesen multiplizierst Du jetzt mit dem Preis einer Kilowattstunde, um die jährlichen Kosten der verrichteten elektrischen Arbeit zu berechnen:

    \begin{align}Kosten_{\text{Jahr}} &= W_{el,\text{Jahr}} \cdot \text{E-Preis} \\ \\ &= 79 \, kWh \cdot 37,3 \, \frac{ct}{kWh} \\ \\ &= 2946,7 \, ct \approx 29,5 \, \text{€} \end{align}

    Diese tägliche Routine kostet also rund 29,5€ pro Jahr.

    Ist das mehr oder weniger, als Du erwartet hättest?

    Die gezeigte Rechnung ist ein Beispiel. Du kannst Deinen täglichen, wöchentlichen, monatlichen oder jährlichen Verbrauch auch genauer für Dich selbst bestimmen. Erkundigst Du Dich zusätzlich zum aktuellen Preis einer Kilowattstunde, kannst Du die dadurch entstandenen Kosten selbst genauer berechnen.

    Bedenke dabei, hinter dem Verbrauch versteckt sich die elektrische Arbeit, die Du mithilfe der elektrischen Leistung – oder Strom und Spannung – und der Zeit berechnen kannst.

    Elektrische Arbeit – Das Wichtigste

    • Die elektrische Arbeit \(W_{el}\) kannst Du unter zwei Sichtweisen entsprechend den Formeln definieren, wobei die zweite häufiger verwendet wird:
      • Die elektrische Arbeit wird verrichtet – und ist die elektrische Energie, die benötigt wird – um eine elektrische Ladung \(Q\) im elektrischen Feld zwischen zwei Punkten der Spannung \(U\) zu verschieben.\[W_{el} = Q \cdot U\]
      • Andererseits ist sie auch die elektrische Leistung \(P\) (es gilt \(P=U \cdot I\)), die über einen gewissen Zeitraum \(t\) geleistet wird.\begin{align}W_{el} & = I \cdot U \cdot t \\ W_{el} & = P \cdot t \end{align}
    • Als Grundeinheit der elektrischen Arbeit wird Wattsekunde (Ws) oder Joule (J) verwendet.\[ \left[W_{el}\right] = 1 \, Ws = 1 \, J \]
    • Ist vom Stromverbrauch die Rede, wird oft Kilowattstunde (kWh) genutzt.\[ 1 \, kWh = 3,6 \cdot 10^6 \, Ws \]
    • Beim Verrichten einer elektrischen Arbeit \(W_{el}\) wird immer eine gleich große elektrische Energie \(E_{el}\) aufgewandt.\[W_{el} = E_{el}\]
    • Zum Messen der elektrischen Arbeit werden Messgeräte eingesetzt, die aus der Messung von Strom und Spannung die Leistung und somit – entsprechend des vermessenen Zeitraums – die elektrische Arbeit berechnen. Solche Messgeräte haben, je nach Anwendungsbereich, unterschiedliche Bezeichnungen, etwa Stromzähler oder Energiekosten-Messgerät.

    Nachweise

    1. support.apple.de: Netzteile für das iPhone. (12.10.2022)
    2. conrad.de: Suche nach "Wattmeter". (12.10.2022)
    3. bdew.de: Strompreisanalyse Juli 2022. (12.10.2022)
    Häufig gestellte Fragen zum Thema Elektrische Arbeit

    Wie berechnet man die elektrische Arbeit?

    Die elektrische Arbeit wird durch Multiplikation von elektrischer Leistung und der Zeitdauer, über die die Leistung wirkt, berechnet.

    Wie ist die elektrische Arbeit definiert?

    Die elektrische Arbeit ist die Arbeit, die verrichtet bzw. die Energie, die aufgewandt wird, um eine elektrische Ladung im elektrischen Feld zu verschieben.

    Welche Einheiten werden für die elektrische Arbeit verwendet?

    Die Grundeinheit der elektrischen Arbeit ist Wattsekunde (Ws) oder Joule (J). Stromverbrauch wird meist in Kilowattstunden (kWh) angegeben.

    Was ist der Unterschied zwischen elektrischer Energie und elektrischer Leistung?

    Elektrische Energie ( = elektrische Arbeit) ist die Energie, die durch eine elektrische Leistung über einen Zeitraum aufgebracht wird.

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    Entscheide und wähle entsprechend, welche der folgenden Formeln für die elektrische Arbeit korrekt sind.

    Entscheide, wie sich die verrichtete elektrische Arbeit verändert, wenn Du im gleichen Zeitraum die Leistung erhöhst.

    Wähle aus, welche der gegebenen Einheiten als Einheit der elektrischen Arbeit Verwendung finden.

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