Hast Du Dich jemals gefragt, wie genau die Beleuchtung in einem Treppenhaus funktioniert? Warum sie sich nach dem Einschalten automatisch nach einer gewissen Zeit von allein abschaltet? Die Lösung liegt in der Nutzung sogenannter RC-Glieder und der Eigenschaft eines Kondensators, Energie für eine geraume Zeit zu speichern.
Kondensator Auf- und Entladen
Um den Auf- und Entladevorgang eines Kondensators zu berechnen, verwendet man in der Regel eine sogenannte RC-Schaltung. Dabei steht das "R" in der Schaltung für den Widerstand und das "C" für den Kondensator. Bei einer RC-Schaltung sind dabei Widerstand und Kondensator in Reihe geschaltet.
Bei dieser Schaltung handelt es sich um eine Komponente, die Du vielleicht schon aus der Elektrotechnik kennst. Oft wird eine RC-Schaltung als Tiefpass-Filter genutzt.
Mit einem Tiefpass-Filter werden hohe Frequenzen aus einer angelegten Wechselspannung herausgefiltert. Analog dazu gibt es einen Hochpass-Filter, der niedrige Frequenzen aus einer angelegten Wechselspannung herausfiltert.
Wenn Dich das Thema Schaltungen interessiert, dann schau doch in den Artikeln zu Reihen- und Parallelschaltungen vorbei!
Kondensator entladen Schaltung
In eine RC-Schaltung ist sowohl ein Widerstand R als auch ein Kondensator C eingebaut. Diese beiden Bauteile sind in einer solchen Schaltung in Reihe geschaltet. Ein weiterer wichtiger Teil ist der Schalter S, der es möglich macht, die Schaltung von der angelegten Spannung U zu trennen oder sie nach dem Entladen wieder an der Spannung U anzulegen.
In der Abbildung 1 siehst Du den Aufbau einer RC-Schaltung. Die Schaltung auf der linken Seite stellt den Schaltkreis beim Aufladevorgang dar, während die Schaltung auf der rechten Seite dem Schaltkreis des Entladevorgangs entspricht.
Wird der Schalter nach links gestellt, dann liegt an dem RC-Glied eine konstante Spannung an. Diese Spannung sorgt dafür, dass ein elektrischer Strom durch den Widerstand R und den Kondensator C fließt. Der Strom nimmt dabei mit der Zeit ab. Die Kondensatorspannung war zu Beginn Null, nimmt jedoch mit der Zeit zu, und zwar so lange, bis der Kondensator auf den Wert aufgeladen ist.
Doch was geschieht, wenn der Schalter auf die Position zwei, also nach rechts, umgelegt wird?
Sobald der Schalter umgelegt wird, entlädt sich der Kondensator über den Widerstand R. Der Strom , der oft als Entladestrom bezeichnet wird, ist in dem Moment, in dem der Schalter von Position eins auf Position zwei gelegt wird, maximal und nimmt von nun an mit der Zeit ab. Der Strom nimmt so lange ab, bis er Null ist, sprich, bis der Kondensator komplett leer ist. Die Kondensatorspannung nimmt auch mit der Zeit ab.
Aufladevorgang eines Kondensators
Da sich dieser Artikel ausschließlich mit dem Entladevorgang eines Kondensators befasst, folgt hier lediglich ein kurzer Überblick zum Aufladevorgang.
Alles andere zum Thema Aufladevorgang eines Kondensators findest Du im dazugehörigen Artikel!
Um die Formel für Aufladestrom des Aufladevorgangs herzuleiten, wird der Strom, der in diesem Fall von der Zeit abhängt, nach der Zeit abgeleitet.
Der Ladestrom I(t) wird mit einer Differentialgleichung beschrieben. Die zeitliche Änderung des Ladestroms hängt dabei von dem Widerstand R und der Kapazität C ab.
Durch die Zeitableitung erhältst Du eine sogenannte homogene lineare Differentialgleichung erster Ordnung für den Aufladestrom I(t).
Die Lösung der Differentialgleichung mit einer Anfangsbedingung ergibt eine Formel, mit der Du den Strom berechnen kannst.
Der Ladestrom I, der durch den Widerstand R und durch den Kondensator C fließt, ist abhängig von der Zeit t.Er nimmt exponentiell ab und ist definiert durch
mit der Anfangsbedingung
Zudem relevant für den Aufladevorgang eines Kondensators ist die Spannung UC, die am Kondensator anliegt.
Die Spannung UC, die beim Aufladen des Kondensators anliegt, ist abhängig von dem Widerstand R, der Kapazität C und der Zeit t. Die Kondensatorspannung nimmt exponentiell ab und wird definiert durch die Formel
mit der Anfangsbedingung .
Zum Schluss fehlt nur noch die Spannung UR, die am Widerstand anliegt, während der Kondensator aufgeladen wird.
Die Spannung UR, die während des Aufladevorgangs am Widerstand R anliegt, ist abhängig von der Zeit t, dem Widerstand und der Kapazität C. Dieser Vorgang wird mit der folgenden Formel berechnet
Die Anfangsbedingung ist
Alle wichtigen Herleitungen und Erklärungen zu diesen Formeln findest Du in dem Artikel, der sich mit dem Aufladen eines Kondensators beschäftigt!
Entladevorgang eines Kondensators
Jetzt folgt alles, was Du zum Entladevorgang eines Kondensators wissen musst. Einfachheitshalber siehst Du in Abbildung 2 noch einmal die RC-Schaltung, die den Entladevorgang eines Kondensators darstellt.
Nachdem der Kondensator aufgeladen wurde, kann er wieder entladen werden. Das geschieht, indem Du den Schalter auf die Position 2 umlegst. Das RC-Glied, bestehend aus Widerstand und Kondensator, wird durch Umlegen des Schalters gewissermaßen kurzgeschlossen. Von Beginn an fließt ein Entladestrom in die entgegengesetzte Richtung. Es ist zu beobachten, dass die Ladung Q vom Kondensator C abfließt und somit ein Ladungsausgleich stattfindet. Dieser Ladungsausgleich findet über einen Zeitraum statt.
Kondensator entladen – Formel
Durch das Umlegen des Schalters schließt sich der rechte Stromkreis, den Du in der Abbildung 1 siehst. Die am Kondensator anliegende Spannung ist, nach dem zweiten Kirchhoffschen Gesetz, gleich der am Widerstand anliegenden Spannung.
Hier folgt die Herleitung der Differentialgleichung, mit der Du den Entladestrom eines Kondensators berechnen kannst.
Du hast den Schalter umgelegt. Die Spannung U, die an Kondensator C und Widerstand R anliegt, ist identisch. Damit gilt:
Mit dem Ohmschen Gesetz
und der Kondensatorformel
ergibt sich durch Einsetzen in die obige Formel
In dieser Formel sind sowohl der Strom I als auch die Ladung Q unbekannt. Dazu kommt, dass der Strom I in diesem Fall von der Zeit abhängt. Deswegen muss die Ladung Q auf dem Kondensator mit der Zeit abnehmen. Damit ist auch die Ladung zeitabhängig. Um die Zeitabhängigkeit der Gleichung herauszufinden, leitest Du sie nach t ab
Diese Gleichung vereinfacht sich zu
Der Widerstand R ist eine Konstante und kann deshalb vor die Zeitableitung gezogen werden. Der Definition nach ist die Ableitung der Ladung Q(t) nach der Zeit gleich der elektrische Strom I(t). Die Gleichung lautet damit
.
Die hergeleitete Gleichung wird zum Schluss lediglich durch den Widerstand R geteilt und nach der Zeitableitung umgestellt.
Die Differentialgleichung für den Entladestrom I(t) ist abhängig vom Widerstand R, der Kapazität C und lautet
Der Strom fließt beim Entladen des Kondensators entgegen der beim Aufladen festgelegten Stromrichtung.Daher ist dieser negativ.
Nun hast Du eine homogene lineare Differentialgleichung erster Ordnung für den Strom erhalten.Für Differentialgleichungen benötigst Du stets eine Anfangsbedingung, damit Du explizite Lösungen berechnen kannst.
Die Anfangsbedingung der Differentialgleichung beschreibt den Strom I0 zum Zeitpunkt t=0. Dabei hängt diese von der Anfangsspannung U0 und dem Widerstand R ab und lautet
Dabei ist die Anfangsbedingung
Jetzt hast du alles, was Du brauchst, um die Formel für den Strom beim Entladevorgang aufzustellen.
Strom beim Entladevorgang
In Abbildung 2 kannst Du sehen, dass durch das Umlegen des Schalters das RC-Glied der Schaltung kurzgeschlossen wird.
Es fließt von Beginn an der Entladestrom
in die entgegengesetzte Richtung zum Aufladestrom und nimmt exponentiell ab.
Für den Strom I(t) des Entladevorgangs steht in Abhängigkeit zu der Zeit t, dem Widerstand R und der Kapazität C. Beim Entladevorgang nimmt der Strom exponentiell ab (absolut)
Die Anfangsbedingung lautet
Der Entladestrom fließt entgegengesetzt zum Aufladestrom. Aufgrund dessen beinhaltet die Formel ein Minuszeichen.
Abbildung 3: Darstellung der exponentiellen Abnahme
In Abbildung 3 ist die absolute, exponentielle Abnahme des Stroms mit der Zeit dargestellt. Der Strom ändert sich so lange, bis er gleich null ist.
Spannung am Widerstand beim Entladevorgang
Um die Spannung , die über den Widerstand R abfällt, zu berechnen, musst Du nach dem Ohmschen Gesetz die Differentialgleichung für den Entladestrom mit dem Widerstand R multiplizieren.
Die Spannung am Widerstand beim Entladevorgang eines Kondensators hängt von der Zeit t, dem Widerstand R, der Spannung bei t=0 und der Kapazität C ab und lässt sich mit folgender Formel berechnen
Auch die Spannung hat ein negatives Vorzeichen. Ihre Richtung zeigt entgegen der vom Aufladevorgang angelegten Spannung.
Abbildung 4:
Darstellung des exponentiellen Abfalls der Spannung am Widerstand
Die Spannung UR(t) am Widerstand R sinkt, wie beim Aufladevorgang, exponentiell, wie in Abbildung 4 dargestellt.
Spannung am Kondensator beim Entladevorgang
Zum Schluss brauchst Du nur noch die Kondensatorspannung
Die Spannung am Kondensator beim Entladevorgang hängt vom Widerstand R, von der Kapazität C und der Zeit t ab und beträgt
Dabei ist U0 die Anfangsbedingung mit .
Ein wichtiger Unterschied ist der, dass die Spannung zum Zeitpunkt t= 0 nicht null ist, sondern den Werthat.
Abbildung 5: Darstellung des Spannungsverhaltens eines Kondensators beim Entladevorgang
Die Spannung UC(t) des Kondensators sinkt exponentiell, bis sie den Wert Null erreicht.
Kondensator Entladekurve
Während des Entladevorgangs übernimmt der Kondensator die Rolle der Spannungsquelle. Sobald der Entladevorgang beginnt, sinkt die Spannung von einem Maximalwert auf null ab.
Abbildung 6: Entladekurven beider Spannungen und des Stroms
Der Entladestrom fließt in entgegengesetzter Richtung zum Ladestrom und sinkt ebenfalls auf null (siehe Abbildung 6). Du siehst also, dass sich die absoluten Spannungen UC und UR genauso verhalten wie der Entladestrom I. Der einzige Unterschied besteht darin, dass sie eine gegensätzliche Polarität haben.
Kondensator entladen – Aufgabe
Mit der folgenden Übung kannst Du nun Dein Wissen überprüfen.
Aufgabe
In einer Schaltung sind ein Kondensator mit der Kapazität und ein unbekannter Widerstand R in Reihe geschaltet. Der Kondensator wird mit einer Spannung aufgeladen. Ziel ist es, den Kondensator innerhalb von der Zeit auf zu entladen.
Wie groß muss der Vorwiderstand R sein?
Lösung
Das Entladen eines Kondensators geschieht nicht schlagartig. Die Dauer hängt dabei von der Spannung U, der Kapazität C und dem Widerstand R ab.
Da der Wert des Widerstandes R gesucht ist, stellst Du diese Gleichung um. Im ersten Schritt bringst Du die Spannung U auf die andere Seite:
Die Exponentialfunktion der Gleichung kann mit der Anwendung des Logarithmus aufgelöst werden
Jetzt ist der Widerstand R nicht mehr in die Exponentialfunktion eingebunden und Du kannst nach ebendieser Variable umstellen
In diese Gleichung setzt Du zum Schluss die Werte , , und und erhältst
Der Widerstand muss also einen Wert von besitzen, um die Aufgabenstellung zu erfüllen.
Jetzt weißt du schon über den Entladevorgang eines Kondensators Bescheid. Doch wie entlädt man dieses Bauteil sicher? Was muss man beachten, damit es zu keinem Kurzschluss kommt?
Kondensator sicher entladen
Der Umgang mit Strömen und Spannungen kann oft gefährlich werden. Umso wichtiger ist es dann, einen Kondensator sicher zu entladen, ohne dass es zu Zwischenfällen, wie einem Kurzschluss, kommt.
Der Entladevorgang eines Kondensators hängt stets von der Art des Kondensators und dessen Kapazität ab. Dabei sind Kondensatoren mit einer höheren Kapazität vorsichtiger zu entladen, denn ein Kurzschluss kann dabei nicht nur Bauteile zerstören, sondern auch für Stromschläge sorgen.
Um einen Kondensator sicher zu entladen, wird ein Widerstand an den zwei Enden des Kondensators angeschlossen, damit die im Kondensator gespeicherte Energie abgelassen wird.
Ein Kondensator mit einer Spannung von 100 Volt lässt sich mit einem herkömmlichen Widerstand oder einer einfachen Glühbirne mit einer Spannung von 110 Volt nutzen. Der Kondensator gibt dabei seine Energie ab und lässt die Glühbirne leuchten.
Es ist empfohlen, bei der Entladung eines Kondensators mit großer Kapazität einen hohen elektrischen Widerstand zu nutzen. Dieser Entladevorgang dauert gegebenenfalls länger, Du kannst Dir dann jedoch sicher sein, dass die Ladung vollständig entladen wird.
Kondensator schnell entladen
In dem vorherigen Abschnitt des Artikels wurde bereits erklärt, wie man einen Kondensator sicher entladen kann. Was musst Du tun, wenn du den Kondensator möglichst schnell entladen möchtest?
Es wurde bereits erwähnt, dass die Entladezeit eines Kondensators vom Widerstandswert abhängt. Kondensatoren mit großen Kapazitäten erfordern zum Entladen in der gleichen Zeit einen kleineren Widerstand. Möchtest Du also einen Kondensator schnell entladen, müsstest Du einen möglichst kleinen Widerstand verwenden.
Erklärungen 
Magazine 
