StudySmarter: Besser Lernen
4.5 • +22k Bewertungen
Mehr als 22 Millionen Downloads
Kostenlos
|
|
Spule

Ohne das elektrische Bauteil Spule sind fast alle modernen elektrischen Geräte undenkbar. Neben ihrer tragenden Rolle im Wechselstromkreis findet sie auch Anwendung bei der Messung von Wechselströmen durch die sogenannte Rogowski Spule und beim Erzeugen von Magnetfeldern durch eine stromdurchflossene Spule, insbesondere der Helmholtz Spule.

Mockup Schule Mockup Schule

Entdecke über 50 Millionen kostenlose Lernmaterialien in unserer App.

Illustration

Lerne mit deinen Freunden und bleibe auf dem richtigen Kurs mit deinen persönlichen Lernstatistiken

Jetzt kostenlos anmelden

Nie wieder prokastinieren mit unseren Lernerinnerungen.

Jetzt kostenlos anmelden
Illustration

Ohne das elektrische Bauteil Spule sind fast alle modernen elektrischen Geräte undenkbar. Neben ihrer tragenden Rolle im Wechselstromkreis findet sie auch Anwendung bei der Messung von Wechselströmen durch die sogenannte Rogowski Spule und beim Erzeugen von Magnetfeldern durch eine stromdurchflossene Spule, insbesondere der Helmholtz Spule.

Dabei kannst Du mithilfe von Formeln etwa das Magnetfeld und die Induktivität einer Spule berechnen. Was genau ist aber eine Spule?

Spule – Definition

Nimmst Du einen Draht und wickelst diesen gleichmäßig auf, hast Du eine Spule gebaut.

Die Spule ist ein elektrisches Bauteil, das aus einem gezielt gleichmäßig aufgewickelten Draht besteht. Eine stromdurchflossene Spule bildet, je nach Bauweise, ein Magnetfeld aus. Aufgrund ihrer Funktion im Wechselstromkreis wird sie auch Induktion oder induktiver Widerstand genannt.

Theoretisch ist also sogar ein Leiter, der zu einem Kreis gebogen ist, eine kleine Spule. Da es sich hier aber nur um eine Windung handelt, nennst Du diesen Leiter in diesem Fall eine Leiterschleife.

Wie jedes andere elektrische Bauteil besitzt auch die Spule ein Schaltzeichen.

Spule – Schaltzeichen

Um Bauteile im Stromkreis zu identifizieren, werden Schaltzeichen benötigt. Das gilt auch für die Spule.

Das Schaltzeichen einer Spule ist eine gewellte Linie. Diese Wellen sollen die Windungen der Spule darstellen. Ein Strom durchfließt somit alle Windungen nacheinander.

Spule Schaltzeichen StudySmarterAbbildung 1: Schaltzeichen einer Spule

Spulen haben oft mehrere Hunderte Windungen. Es ist also nicht sinnvoll zu versuchen, alle Windungen im Schaltzeichen zu zeichnen. Benutzt Du zwei Spulen mit stark unterschiedlichen Windungszahlen, könntest Du aber eine Spule mit etwas mehr und die andere mit etwas weniger Windungen zeichnen.

Dieses Schaltzeichen steht stellvertretend für alle Arten von Spulen, obwohl es große Unterschiede zwischen den Spulenarten gibt.

Spule – Arten und Aufbau

Die Art der Spule hängt von ihrer Form ab. Häufig werden die folgenden Arten von Spulen verwendet:

  • Zylinderspule

  • Ringspule (Toroidspule)

  • Rogowski Spule

  • Helmholtz Spule

Hast Du schon einmal von der sogenannten Tesla-Spule gehört? Dabei handelt es sich, ähnlich der Helmholtz Spule, nicht um eine einzelne Spule, sondern um eine Anordnung zweier Spulen. Bei der Tesla-Spule sind die Spulen in einer Transformatorschaltung, worüber Du mehr in der Erklärung „Transformator“ nachlesen kannst.

Zylinder- und Ringspulen hast Du vielleicht schon im Unterricht kennengelernt. Die Helmholtz und vor allem die Rogowski Spule sind anwendungsorientierte Spulen.

Zylinderspule

Bei der Zylinderspule sind die Windungen wie um einen Zylinder gewickelt. Anfang und Ende, also die Anschlüsse, befinden sich an den jeweiligen Enden des Zylinders.

Die folgende Abbildung 2 zeigt Dir zwei Zylinderspulen auf einer Leiterplatte. In deren Mitte befindet sich ein Kondensator, über den Du mehr in der gleichnamigen Erklärung erfährst.

Spule Zylinderspule Aufbau StudySmarterAbbildung 2: Zwei Zylinderspulen auf einer Leiterplatte

Die Wicklungen einer Zylinderspule verlaufen gleichmäßig vom Anfang zum Ende. Nicht etwa wild umher, wie das vielleicht bei einer Spule mit Bindfaden der Fall sein kann. Das liegt daran, dass ansonsten das Magnetfeld für die stromdurchflossene Spule nicht ordentlich aufgebaut werden kann. Mehr dazu im Abschnitt etwas weiter unten oder in der Erklärung „Magnetfeld einer Spule“.

Im Inneren der Zylinderspule befindet sich oftmals ein Eisenkern. In Abbildung 2 erstreckt er sich sogar weiter als nur im Inneren des Zylinders. Die Hauptaufgabe des Eisenkerns ist es, die magnetischen Eigenschaften der Spule zu verstärken. Das Gleiche gilt auch bei der Ringspule.

Ringspule

Die Ringspule wird oft auch Toroidspule genannt. Das liegt an ihrer Form, bei der sich die Wicklungen gleichförmig um einen ringförmigen Kern befinden.

Ein Toroid ist ein Ring, der gleichmäßig aufgebaut ist. Bei der Toroidspule ist das der Kern, der überall genau gleich ist und zu einem Ring geformt ist. Darum werden die Windungen gewickelt.

In Abbildung 3 kannst Du eine Ringspule mit sehr geringer Windungszahl sehen. Das kannst Du daran erkennen, dass der Draht nur wenige Male um den Kern gewickelt ist.

Spule Ringspule Aufbau StudySmarterAbbildung 3: Ringspule auf einer Leiterplatte

Bei den beiden bis hier vorgestellten Spulen wurde immer ein Eisenkern verwendet. Das ist aber nicht immer der Fall.

Rogowski Spule

Im Prinzip ist eine Rogowski Spule eine Ringspule, nur ohne Eisenkern. Sie wird deswegen auch (toroidförmige) Luftspule genannt.

Die Rogowski Spule wird verwendet, um Wechselströme in Leitern näherungsweise zu bestimmen. Dafür wird die Spule zu einem Ring geformt und in gleichmäßigen Abständen um den Leiter gehalten, sodass der Leiter genau in der Mitte der Spule ist.

Um den Leiter wird ein sich – aufgrund des Wechselstroms \(i \text{~} \) – veränderndes Magnetfeld \(B\) aufgebaut. Die Magnetfeldänderung bewirkt Elektromagnetische Induktion in der Rogowski Spule. Das äußert sich in einer Spannung \(u \text{~} \), die gemessen wird und mithilfe derer Rückschlüsse auf den Wechselstrom im Leiter getroffen werden können.

Woher das Magnetfeld stammt und wieso es zur elektromagnetischen Induktion kommt, kannst Du in den Erklärungen „Magnetfeld stromdurchflossener Leiter“ und „Elektromagnetische Induktion“ nachlesen.

Bei den klein geschriebenen Größen \(i \text{~} \) und \(u \text{~} \) handelt es sich um Wechselgrößen. Deswegen werden sie kleingeschrieben und/oder mit der kleinen Welle (sogenannte Tilde) versehen.

Die Windungen der Rogowski Spule befinden sich häufig in einer Ummantelung. Das ermöglicht Dir, die Spule in seltenen Fällen so zu biegen, dass sie für die jeweilige Anwendung passt.

Eine Rogowski Spule hilft also, Magnetfelder zu messen. Es gibt aber eine Spule, die häufig aufgrund des besonderen eigenen Magnetfeldes verwendet wird.

Helmholtz Spule

Bei der Helmholtz Spule handelt es sich nicht etwa um eine einzelne Spule. Vielmehr geht es um eine gewisse Spulenanordnung zweier identischer Spulen.

Die Spulen sind flache Zylinderspulen. Das heißt, dass der Radius des Zylinders deutlich größer ist, als dessen Länge. Sie werden so miteinander verbunden, dass der Strom \(I\) in beiden Spulen in die gleiche Richtung fließt. Angeordnet werden sie auf einer Linie, wobei die Flächen parallel sein müssen. Der Abstand \(r\) beider Spulen muss außerdem genau gleich dem Radius \(r\) der Spulen sein.

Hast Du all das beachtet, bildet sich zwischen den beiden Spulen der Windungszahl \(N\) ein annähernd homogenes Magnetfeld \(B\), sobald ein Strom fließt.

Ein homogenes Magnetfeld ist ein Magnetfeld, das an jeder Stelle gleich stark und gleich gerichtet ist. Mehr dazu in der Erklärung „Homogenes Magnetfeld“.

Aber, woher kommt eigentlich das Magnetfeld?

Stromdurchflossene Spule

Allgemein gilt es als physikalisches Grundgesetz, dass jeder stromdurchflossene Leiter ein Magnetfeld um ihn erzeugt. Eine Spule ist auch ein solcher Leiter.

Eine stromdurchflossene Spule bildet stets ein Magnetfeld aus. Die Stärke und Ausbreitung des Magnetfeldes hängt vom Strom und der Spule an sich ab.

Würdest Du das Magnetfeld einer Leiterschleife betrachten, könntest Du dieses mehrere Male übereinanderlegen und dadurch auf das Magnetfeld einer Spule schließen.

Magnetfeld Spule

Das Magnetfeld einer Helmholtz Spule wurde schon etwas weiter oben besprochen. Um Dir überlegen zu können, wie das Magnetfeld einer beliebigen Spule aussehen könnte, kannst Du als Ansatz wählen, zuerst eine einzelne Leiterschleife zu betrachten.

Da eine Spule im Grunde genommen nichts anderes als mehrere verbundene Leiterschleifen ist, kannst Du Dir das Magnetfeld einer Spule aus den einzelnen Magnetfeldern der Leiterschleifen herleiten. Überlagerst Du diese, bekommst Du das Magnetfeld \(H\) einer Spule.

Bei einer Zylinderspule ergeben die einzelnen Magnetfelder – wenn die Spule denn vom Strom \(I\) durchflossen wird – im Inneren der Spule näherungsweise ein homogenes Magnetfeld.

Die Erklärung „Magnetfeld einer Spule“ zeigt Dir genau, wie sich das Magnetfeld von Spulen zusammensetzt. Weitere Grundlagen dazu findest Du bei „Magnetfeld stromdurchflossener Leiter“.

Aufgrund des Magnetfeldes und dessen Wirkung hat die Spule eine besondere Rolle im Wechselstromkreis.

Spule – Strom und Spannung Wechselstromkreis

Damit ein Magnetfeld aufgebaut werden kann, muss Energie zugeführt werden. Bei der Spule kommt diese Energie aus dem Stromfluss. Das hat Auswirkungen auf den Strom. Dieser wird in der Zeit, in der das Magnetfeld aufgebaut wird, nämlich abgebremst.

Bei Gleichstrom ist das kein großes Problem, weil das Magnetfeld innerhalb kürzester Zeit vollständig aufgebaut ist. Der Strom wird somit auch nur für einen kurzen Moment gebremst.

Im Wechselstromkreis verändert sich die Stromrichtung ständig. Das Magnetfeld der Spule wird dadurch nacheinander in beide Richtungen immer wieder auf- und abgebaut. Insgesamt erhält die Spule im Wechselstromkreis somit eine Wirkung ähnlich eines Widerstandes, weil das ständige Auf- und Abbauen des Magnetfeldes zum ständigen Ausbremsen des Stromes führt.

Die Spule besitzt im Wechselstromkreis eine Widerstandswirkung. Diese bewirkt, dass der Stromfluss in einer Spule immer etwas hinter der Spannung hängt.

Was genau sich hinter dieser Aussage verbirgt und wie es im Diagramm aussieht, zeigt Dir die Erklärung zum „Wechselstromkreis“. Woher diese Wirkung stammt, findest Du in den Erklärungen zu „Selbstinduktion“ und „Lenzsche Regel“ heraus.

Im Wechselstromkreis ist die sogenannte Induktivität einer Spule ausschlaggebend für ihr Verhalten. Bei Gleichstrom wird oftmals auf das Magnetfeld an sich geachtet. Um beides berechnen zu können, sind verschiedene physikalische Größen und die dazugehörigen Formeln wichtig.

Spule Formeln – Induktivität und Magnetfeld

Bevor Du das Magnetfeld (Magnetfeldstärke \(H\) oder magnetische Flussdichte \(B\)) einer Spule berechnen kannst, ist es essenziell zu wissen, um welche Art von Spule es sich handelt. Die Bauweise und magnetischen Eigenschaften von Spulen werden in der sogenannten Induktivität \(L\) zusammengefasst, über die Du mehr in der gleichnamigen Erklärung erfahren kannst.

Bei nicht jeder Spule ist aber jede Größe interessant. Zylinder- und Ringspulen werden oft aufgrund ihrer Induktivität verbaut. Das Magnetfeld an sich ist dabei aber auch nicht zu vernachlässigen. Helmholtz Spulen hingegen werden fast ausschließlich aufgrund deren Magnetfeld genutzt. Robowski Spulen werden zum Messen verwendet. Ihr eigenes Magnetfeld ist somit nicht wirklich bedeutungsvoll und nur selten wird die Induktivität benötigt.

Folgende Definition enthält deswegen nur die wichtigsten Formeln für die jeweiligen Spulen und Größen.

Aufgrund eines Stromfluss \(I\) durch eine Spule der Windungszahl \(N\) baut diese im Inneren ein Magnetfeld der Magnetfeldstärke \(H\) auf. Mithilfe der magnetischen Feldkonstante \(\mu_0 = 1,257 \cdot 10^{-6} \, \frac{N}{A^2}\) und der Permeabilitätszahl \(\mu_r\) kannst Du daraus die magnetische Flussdichte \(B\) ermitteln.

Entsprechend der Querschnittsfläche \(A\) der Windungen von Zylinder- bzw. Ringspule kannst Du auch die Induktivität \(L\) der jeweiligen Spule berechnen.

Zylinderspule (der Länge \(l\))Ringspule (mit Ringradius \(r\))Helmholtz Spule (mit Radius und Entfernung \(r\))
Magnetische Feldstärke \(H\) in \(\left[ H \right] = 1 \, \frac{A}{m}\)\[H_Z = \frac{N \cdot I}{l} \]\[H_R = \frac{N \cdot I}{2 \cdot \pi \cdot r} \]\[H_H = \frac{8 \cdot N \cdot I}{\sqrt{125} \cdot r}\]
Magnetische Flussdichte \(B\) in \(\left[ B \right] = 1 \, T\)\[B_Z = \mu_0 \cdot \mu_r \cdot \frac{N \cdot I}{l} \]\[B_R = \mu_0 \cdot \mu_r \cdot \frac{N \cdot I}{2 \cdot \pi \cdot r} \]\[B_H = \mu_0 \cdot \mu_r \cdot \frac{8 \cdot N \cdot I}{\sqrt{125} \cdot r}\]
Induktivität \(L\) in \(\left[ L \right] = 1 \, H\)\[L_Z = \frac{\mu_0 \cdot \mu_r \cdot N^2 \cdot A}{l}\]\[L_R = \frac{\mu_0 \cdot \mu_r \cdot N^2 \cdot A}{2 \cdot \pi \cdot r}\]-

Die Induktivität einer Spule führt dazu, dass sie sich je nach Stromkreis unterschiedlich verhält. Genaueres dazu findest Du in der Erklärung „Wechselstromkreis“.

Mit diesen Formeln kannst Du nun allgemeine Aufgaben zur Spule berechnen.

Spule – berechnen

Bevor Du bei einer Aufgabe anfängst, Gleichungen aufzustellen und zu berechnen, ist es ratsam zu überlegen, um welche Art der Spule es sich eigentlich handelt. Der nächste Schritt wäre herauszufinden, ob die Induktivität, magnetische Feldstärke oder Flussdichte oder eine andere Bauteilgröße gefragt ist. Danach kannst Du Dich um die Berechnung kümmern.

Induktivität Spule berechnen

Um den Einfluss einer Spule im Wechselstromkreis zu ermitteln, ist die Induktivität als Bauteilgröße der wichtigste Faktor.

Die Aufschrift einer Zylinderspule ist verblasst und Du kannst ihre Induktivität nicht mehr erkennen. Ihre Länge und Querschnittsfläche konntest Du messen und die Windungszahl abschätzen.

Aufgabe 1

Berechne die Induktivität \(L\) einer Zylinderspule der Länge \(l = 0,15 \, m\), Querschnittsfläche \( A = 5,6 \cdot 10^{-3} \, m^2\) und Windungszahl \(N = 500\), wenn sie sich in Luft (\(\mu_r = 1\)) befindet.

Lösung

In der Aufgabe geht es um die Induktivität einer Zylinderspule. Die entsprechende Formel kannst Du oben der Definition entnehmen.

\[L = \frac{\mu_0 \cdot \mu_r \cdot N^2 \cdot A}{l}\]

Es muss nichts umgestellt werden. Du kannst also alle gegebenen Werte inklusive der magnetischen Feldkonstante \(\mu_0 = 1,257 \cdot 10^{-6} \, \frac{N}{A^2}\) einsetzen und die Induktivität berechnen.

\begin{align}L & = \frac{1,257 \cdot 10^{-6} \, \frac{N}{A^2} \cdot 1 \cdot 500^2 \cdot 5,6 \cdot 10^{-3} \, m^2}{0,15 \, m} \\ \\L & = 0,012 \, H = 12 \, mH\end{align}

Du kannst sehen, dass die Induktivität nicht vom Strom abhängt. Sie gilt somit als eine Bauteilgröße, weil sie nur von Bauteileigenschaften abhängt. Anders sieht es aus, wenn Du das Magnetfeld betrachtest.

Magnetfeld einer Spule berechnen

Wird eine Spule von einem Strom durchflossen, bildet sie ein Magnetfeld aus, das Du mithilfe der Bauteilgrößen und dem Stromfluss berechnen kannst.

Du hast ein Helmholtz Spulen-Paar gegeben und möchtest es verwenden, um eine gewisse Magnetfeldstärke zu erreichen. Was Du dabei einstellen kannst, ist die Stromstärke.

Aufgabe 2

Berechne den benötigten Stromfluss \(I\) durch die Helmholtz Spulen der Windungszahl \(N = 350\) mit Abstand und Radius \(r = 0,2 \, m\), wenn die Magnetfeldstärke im Inneren der Anordnung \(H = 500 \, \frac{A}{m}\) betragen soll.

Lösung

Jetzt geht es um die Helmholtz Spule und ihr Magnetfeld – genauer gesagt die Magnetfeldstärke. Dafür nimmst Du zunächst die Formel der Magnetfeldstärke bei einer Helmholtz Spule und stellst sie auf die gesuchte Größe (Strom \(I\)) um.

\begin{align}H & = \frac{8 \cdot N \cdot I}{\sqrt{125} \cdot r} && | \cdot \left(\sqrt{125} \cdot r\right) \\ \\H \cdot \sqrt{125} \cdot r & = 8 \cdot N \cdot I && | \div \left(8 \cdot N\right) \\ \\\frac{H \cdot \sqrt{125} \cdot r}{8 \cdot N} & = I && | \leftrightarrow \\ \\I & = \frac{H \cdot \sqrt{125} \cdot r}{8 \cdot N}\end{align}

Die gegebenen Werte kannst Du nun einsetzen und daraus die gesuchte Stromstärke berechnen.

\begin{align}I & = \frac{500 \, \frac{A}{m} \cdot \sqrt{125} \cdot 0,2 \, m}{8 \cdot 350} \\ \\I & = 0,4 \, A\end{align}

Das Bauteil Spule findet aufgrund der speziellen magnetischen Wirkung immer dann Anwendung, wenn gewisse Wechselstromkreise gebaut oder spezifische Magnetfelder benötigt werden. Spulen sind somit essenziell für alle modernen elektrischen Geräte und können nicht ersetzt werden – egal, ob im Smartphone, bei der Nachrichtenübertragung oder in maschinellen Anwendungen wie dem Generator.

Weiterführende Erklärungen findest Du bei „Generator Physik“, „Elektromagnet“, „Wechselstromkreis“ und alles, was zu „Elektromagnetische Induktion“ gehört.

Spule – Das Wichtigste

  • Die Spule ist ein elektrisches Bauteil, das aus einem gezielt gleichmäßig aufgewickelten Draht besteht.
  • Jede stromdurchflossene Spule bildet ein Magnetfeld aus. Das Magnetfeld einer Spule ist abhängig von der Spulenart.
  • Je nach Form der Spule gibt es verschiedene Arten sowie Anwendungen von Spulen:
    • Zylinderspule: oft aufgrund ihrer Induktivität verwendet
    • Ringspule: oft aufgrund ihrer Induktivität verwendet
    • Helmholtz Spule: bildet im Inneren ein verwendbares homogenes Magnetfeld
    • Rogowski Spule: zum kontaktlosen Messen von Wechselströmen
    • (Tesla-Spule: eine besondere Spulenanordnung, die einen speziellen Transformator ergibt)
  • Die Spule wirkt im Wechselstromkreis wie ein Widerstand. Dadurch erreicht der Stromfluss später als die Spannung das Maximum.
  • Je nach Spule kannst Du Formeln aufstellen und dadurch die Magnetfeldstärke, magnetische Flussdichte oder Induktivität einer Spule berechnen.

ZylinderspuleRingspuleHelmholtz Spule
Magnetische Feldstärke \(H\) in \(\left[ H \right] = 1 \, \frac{A}{m}\)\[H_Z = \frac{N \cdot I}{l} \]\[H_R = \frac{N \cdot I}{2 \cdot \pi \cdot r} \]\[H_H = \frac{8 \cdot N \cdot I}{\sqrt{125} \cdot r}\]
Magnetische Flussdichte \(B\) in \(\left[ B \right] = 1 \, T\)\[B_Z = \mu_0 \cdot \mu_r \cdot \frac{N \cdot I}{l} \]\[B_R = \mu_0 \cdot \mu_r \cdot \frac{N \cdot I}{2 \cdot \pi \cdot r} \]\[B_H = \mu_0 \cdot \mu_r \cdot \frac{8 \cdot N \cdot I}{\sqrt{125} \cdot r}\]
Induktivität \(L\) in \(\left[ L \right] = 1 \, H\)\[L_Z = \frac{\mu_0 \cdot \mu_r \cdot N^2 \cdot A}{l}\]\[L_R = \frac{\mu_0 \cdot \mu_r \cdot N^2 \cdot A}{2 \cdot \pi \cdot r}\]-

Nachweise

  1. Abbildung 1: Image by Unknown author, Public domain, via Wikimedia Commons https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Symbol_Induktor_(common,_horizontal,_alternative).svg
  2. Abbildung 2: Image by nanoslavic from Pixabay https://pixabay.com/photos/inductor-capacitor-coil-5379317/
  3. Abbildung 3: Image by Amol Sharma from Pixabay https://pixabay.com/photos/circuit-electronics-computer-pcb-5149419/
  4. Wago.com: Rogowski Spulen. (19.09.2022)
  5. Technische Universität Dresden Professur für Grundlagen der Elektrotechnik (2013). Elektrische und magnetische Felder. iee.et.tu-dresden.de (18.05.2015)

Häufig gestellte Fragen zum Thema Spule

Die Spule ist ein elektrisches Bauteil, das aus einem gezielt gleichmäßig aufgewickelten Draht besteht.

Eine Spule ist ein gezielt, gleichmäßig aufgewickelter Draht. Fließt ein Strom durch die Spule, wird ein starkes Magnetfeld erzeugt.

Im Gleichstromkreis wirkt sie beim Ein- oder Ausschalten eines Gerätes kurzzeitig wie ein Widerstand. Im Wechselstromkreis wirkt sie ständig wie ein Widerstand und bremst den Strom aus.

In allen modernen elektrischen Geräten. Vor allem bei Wechselstrom, Signalübertragung, Elektromagnet und Maschinen wie Generator und Elektromotor.

Schließ dich über 22 Millionen Schülern und Studierenden an und lerne mit unserer StudySmarter App!

Die erste Lern-App, die wirklich alles bietet, was du brauchst, um deine Prüfungen an einem Ort zu meistern.

  • Karteikarten & Quizze
  • KI-Lernassistent
  • Lernplaner
  • Probeklausuren
  • Intelligente Notizen
Schließ dich über 22 Millionen Schülern und Studierenden an und lerne mit unserer StudySmarter App! Schließ dich über 22 Millionen Schülern und Studierenden an und lerne mit unserer StudySmarter App!

Melde dich an für Notizen & Bearbeitung. 100% for free.

Fang an mit StudySmarter zu lernen, die einzige Lernapp, die du brauchst.

Jetzt kostenlos anmelden
Illustration

Entdecke Lernmaterial in der StudySmarter-App