Zyklotron

Zyklotron – Aufbau und Erklärung

Das Zyklotron besteht vereinfacht gesagt aus zwei Duanten, die an einer hochfrequenten Wechselspannungsquelle angeschlossen sind, Magneten für ein starkes Dauermagnetfeld, einer Teilchenquelle, an der geladene Protonen oder Elektronen emittiert werden und einem Ablenkrohr.

Hier siehst du den Aufbau eines Zyklotrons

Ein leistungsstarker Elektromagnet (1 in Abbildung 1) sorgt für ein homogenes Magnetfeld, auch B-Feld genannt, in welchem sich der Beschleuniger befindet. Zwischen den Duanten (2) befindet sich eine Teilchenquelle (6), die Teilchen emittiert. Die Duanten sind an eine Wechselstromquelle (3) angeschlossen. Die Teilchen werden beschleunigt und wenn sie schnell genug sind, werden sie vom Ablenkkondensator (4) in die Ablenkröhre (5) und auf das Ziel gelenkt.

Doch wie funktionieren die Elemente im Zusammenspiel und ergeben einen effizienten Teilchenbeschleuniger?

Zyklotron – Funktionsweise

Schauen wir uns nun einmal an, wie ein Zyklotron funktioniert und erklären die einzelnen Bestandteile.

Im ersten Schritt wird an der Teilchenquelle ein geladenes Teilchen emittiert. Meistens werden bei Teilchenbeschleunigern Protonen verwendet. Dieses Proton tritt in das elektrische Feld der Duanten ein. Zwischen den zwei Duanten liegt eine Wechselspannung, mit konstanter Frequenz, an.

Um die Teilchen auf einer Spiralbahn zu halten, umschließt ein Elektromagnet horizontal die Duanten.

Durch die Ausrichtung von Nord- und Südpol des Elektromagnets im Zyklotron, zeigen die Magnetfeldlinien von unten nach oben. Wenn wir den Aufbau des Zyklotrons von oben betrachten, wie in Abbildung 1, dann zeigen die Wirkungslinien aus der Zeichenebene heraus, also auf dich zu. Die Ausrichtung von Nord- und Südpol kann, je nach Richtung der Teilchenbahn, getauscht werden.

Das erzeugte homogene Magnetfeld, welches senkrecht zu den Duanten wirkt, lenkt die geladenen, bewegten Teilchen durch die Lorentzkraft, auf eine Kreisbahn. Die Lorentzkraft fungiert hier als Zentripetalkraft. Zur Vorstellung hilft die Drei-Finger-Regel der rechten Hand, da wir das Verhalten eines Protons im Zyklotron betrachten. Mehr zu diesem Thema findest du im entsprechenden Artikel.

Durch die Wirkung der Lorentzkraft, die mithilfe der Drei-Finger-Regel veranschaulicht werden kann, wird das Teilchen auf der Kreisbahn gehalten. Der Beschleunigungsprozess findet allerdings zwischen den Duanten statt. Die Ladung der Duanten wird so abgewechselt, dass das Teilchen im Bereich zwischen den Duanten durch das elektrische Feld beschleunigt wird.

Sobald das Teilchen aus einem der geladenen Duanten austritt, befindet es sich im elektrischen Feld zwischen den beiden Duanten. In diesem elektrischen Feld wird es beschleunigt. Das Proton wird im Feld durch den negativ geladenen Duanten angezogen und nimmt dadurch mehr Energie auf. Das Proton tritt in den negativ geladenen, gegenüberliegenden Halbkreis ein und dreht dort seine Runde, bis er wieder aus diesem austritt.

Mithilfe eines Zyklotrons können Teilchen auf ungefähr 10 % der Lichtgeschwindigkeit c beschleunigt werden. Ab dieser Geschwindigkeit würden relativistische Effekte der Massenzunahme eintreten. Daher müsste auch die Frequenz der Wechselspannung angepasst werden, da die Umlaufdauer im Zyklotron sich verändern würde.

Schauen wir uns nun die wichtigsten Formeln zu diesem Thema an.

Zyklotron Formeln

Die bewegten Teilchen besitzen eine kinetische Energie, verursacht durch die Beschleunigung, die die Teilchen im elektrischen Feld zwischen den Duanten des Zyklotrons erfahren. Da das geladene Teilchen mehrere Runden durch das elektrische Feld macht, wirkt das elektrische Feld auch mehrfach auf das Teilchen und beschleunigt dieses daher umso mehr. Daher wird die kinetische Energie und damit auch die Geschwindigkeit des Teilchens jede Runde größer.

Kinetische Energie der Teilchen

Die kinetische Energie E_kin nach n Durchläufen durch das E-Feld ist gleich der elektrischen Energie multipliziert mit der Anzahl n der Durchläufe.

$E_{kin}\left(n\right)=E_{el}·n$

Die elektrische Energie wird berechnet mit:

$E_{el}=q·U$

Wenn du diese Formel in $E_{kin}$ einsetzt, dann ergibt sich daraus:

Die Energie von Teilchen wird in der Regel in Elektronenvolt oder auch eV angegeben.

Die Geschwindigkeit des Teilchens kann auch mithilfe der Lorentzkraft berechnet werden, die im Falle des Zyklotrons, wie die Zentripetalkraft wirkt.

Geschwindigkeit und Frequenz berechnen

Die Lorentzkraft erzeugt die selbe Wirkung wie die Zentripetalkraft, um die charakteristische Kreisbahn im Zyklotron zu bezwecken. Daher kann die Lorentzkraft F_L der Zentripetalkraft F_ZP gleichgesetzt werden.

$F_L=F_{ZP}$

Für die Lorentzkraft setzen wir die Formel $F_L=q·v·B$ ein und für die Zentripetalkraft $F_{ZP}=\frac{m·v^2}{r}$ und setzen dies in die Formel ein:

$q·v·B=\frac{m·v^2}{r}$

Wir multiplizieren mit r und teilen durch m und v und erhalten:

$\frac{v^2}{v}=\frac{r·q·B}{m}$

Auf der linken Seite lässt sich die Geschwindigkeit v kürzen.

Die Geschwindigkeit des Teilchens kann auch in Abhängigkeit von der Anzahl n der Durchläufe durch das elektrische Feld der Duanten bestimmt werden. Durch den hier geltenden Energieerhaltungssatz kann die kinetische Energie mit der elektrischen Energie gleichgesetzt werden:

E_kin=E_el

Eingesetzt werden die jeweiligen Formeln mit dem Zusatz des Anzahl n der Durchläufe durch das elektrische Feld, in welchem dem Teilchen Energie hinzugefügt wird.

$\frac{1}{2}·m·v^2=q·U_B·n|·2|:m$

Im nächsten Schritt stellen wir die Formel um, indem wir durch die Masse m dividieren und mit 2 multiplizieren. Dann steht die Geschwindigkeit v allein auf einer Seite:

$v^2=\frac{2}{m}·q·U_B·n|\sqrt{}$

Im nächsten Schritt musst du die Wurzel ziehen.

Frequenz der Wechselstromspannung lässt sich aus der Lorentzkraft und der Zentripetalkraft berechnen. Für Kreis Geschwindigkeiten, wie sie im Zyklotron vorkommen kann, lässt sich die Geschwindigkeit auch über die Winkelgeschwindigkeit $\omega$ (gesprochen "Omega") berechnen.

$v=\omega ·r$

Die Winkelgeschwindigkeit wird berechnet mit:

$\omega =2\pi ·r$

$2\pi ·f·r=\frac{r·q·B}{m}|:2\pi |:r$

Wir wollen die gesuchte Frequenz berechnen, daher stellen wir um:

$f=\frac{r·q·B}{2\pi ·m·r}$

Wir können den Radius r kürzen.

Doch wo werden Zyklotronen eingesetzt?

Zyklotron – Anwendung

Zyklotronen werden häufig zur Bestrahlung verwendet. In der Medizin werden häufig kernphysikalische Prozesse für die Diagnose und Behandlung verwendet. Es können Radionuklide für Krebstherapien erzeugt werden oder die direkte Bestrahlung eines Tumors, auch bekannt als Strahlentherapie.

Zyklotronen werden ebenfalls in der kernphysikalischen Forschung verwendet, um Kernreaktionen zu untersuchen, können aber auch für die Materialuntersuchung in der Industrie verwendet werden.

Zyklotron – Aufgabe

In einem Zyklotron werden Teilchen auf ca. 5 % der Lichtgeschwindigkeit beschleunigt.