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Hall Effekt

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Physik

Beim Schreiben seiner Doktorarbeit entdeckt der Physiker Edwin Herbert Hall bereits 1879, dass freie Ladungsträger in einem Leiterplättchen durch ein Magnetfeld abgelenkt werden. Er untersucht seine Entdeckung genauer und stellt fest, dass sich durch die abgelenkten Teilchen ein elektrisches Feld ausbildet und er eine Spannung messen kann. Dieses Phänomen wurde später nach ihm als Hall-Effekt benannt und ist ein elementarer Bestandteil der Elektrizitätslehre.

Der Hall-Effekt in der Physik

Wenn Du Dich mit dem Magnetfeld und seiner Wirkung auf freie Ladungsträger auseinandersetzt, wirst Du dem Hall-Effekt begegnen. Doch was genau ist der Hall-Effekt?

Hall-Effekt: Definition

Zunächst schauen wir uns einmal genauer an, wie der Hall-Effekt definiert ist.

Der Hall-Effekt erklärt die Bewegung von elektrischen Teilchen in einem Leiterplättchen, das sich in einem stationären – also zeitlich und örtlich unveränderlichen – Magnetfeld befindet. Dabei entsteht eine Spannung – die sogenannte Hall-Spannung.

Die Ablenkung der geladenen Teilchen erfolgt anhand der Lorentzkraft, die Du mit der Drei-Finger-Regel bestimmen kannst.

Wenn Du die Themen zur Lorentzkraft und zur Drei-Finger-Regel wiederholen willst, dann schau Dir gerne die gleichnamigen Artikel dazu an.

Um die Ablenkung der Teilchen in dem Leiterplättchen durch das Magnetfeld ausführlich beschreiben zu können, schauen wir uns im Folgenden einen Versuchsaufbau an. Dieser Versuch ist ähnlich zu dem, den Edwin Hall bei der Entdeckung des Hall-Effekts im Rahmen seiner Doktorarbeit durchgeführt hat.

Hall-Effekts: Skizze zur Demonstration

Wie bereits oben erwähnt, erklärt der Hall-Effekt die Bewegung von elektrischen Teilchen in einem Leiterplättchen, das sich in einem stationären Magnetfeld befindet. Schauen wir uns diese Bewegung in Abbildung 1 einmal genauer an:

In der Abbildung siehst Du ein stromdurchflossenes Leiterplättchen der Breite b. Wir betrachten hier die Elektronen als Ladungsträger, daher fließen diese vom negativen Ende (links) zum positiven Ende (rechts) – also entgegengesetzt zur technischen Stromrichtung, die vom positiven zum negativen Ende geht. Das Leiterplättchen wird zusätzlich senkrecht von einem Magnetfeld B durchsetzt, d. h. das Magnetfeld geht in dieser Abbildung in die Zeichenebene hinein.

Nun können wir nach den Regeln der Drei-Finger-Regel die Ablenkung der Elektronen in dem Leiterplättchen bestimmen. Da Du hier die Bewegung von Elektronen betrachtest, verwendest Du in diesem Fall die linke Hand. In Abbildung 2 kannst Du sehen, wie Du die linke Hand zur Bestimmung der Lorentzkraft verwendest. Der Daumen zeigt dabei von links nach rechts – also entgegengesetzt zur technischen Stromrichtung – und der Zeigefinger in Richtung des Magnetfeldes – also in die Zeichenebene hinein. Der Mittelfinger gibt dann die Lorentzkraft an, die auf das Elektron wirkt.

Die Elektronen werden also nach unten abgelenkt. Dadurch entsteht am unteren Ende des Leiterplättchens ein Elektronenüberschuss (negative Ladung) und am oberen Ende ein Elektronenmangel (positive Ladung).

Diese Ladungsverschiebung im Leiterplättchen führt dazu, dass sich hier ein elektrisches Feld E von oben nach unten aufbaut (von der positiven zur negativen Ladung). Das elektrische Feld gleicht dem eines Plattenkondensators und es bildet sich eine Spannung zwischen dem positiven und negativen Ende – die sogenannte Hall-Spannung . Das elektrische Feld steht hier senkrecht zum Magnetfeld und der Bewegungsrichtung der Elektronen.

Wenn Du mehr über das elektrische Feld eines Plattenkondensators erfahren möchtest, dann schau Dir gerne den gleichnamigen Artikel zu diesem Thema an.

Die ersten Elektronen, die durch das Leiterplättchen fließen, werden am stärksten abgelenkt, da sich das elektrische Feld noch nicht aufgebaut hat. Je mehr Elektronen allerdings durch die Lorentzkraft abgelenkt werden, desto stärker wird das elektrische Feld und damit die elektrische Kraft auf die Elektronen. Die elektrische Kraft auf die Elektronen wirkt der Lorentzkraft entgegen, da die negativ geladenen Elektronen vom positiven Ende des elektrischen Feldes angezogen werden. Wenn genügend Elektronen abgelenkt wurden, stellt sich ein Kräftegleichgewicht zwischen Lorentzkraft und elektrischer Kraft ein und weitere Elektronen können das Leiterplättchen ohne Ablenkung passieren.

Im Folgenden lernst Du die wichtigsten Formeln kennen, die Du zum Verstehen des Hall-Effekts benötigst.

Hall-Effekt: Herleitung der Formel

Zunächst betrachten wir das Kräftegleichgewicht, das sich einstellt, sobald das elektrische Feld vollständig aufgebaut wurde.

Die auf die Elektronen wirkende Lorentzkraft ist gleich der Kraft des elektrischen Feldes.

Hall Effekt Lorentzkraft Kraft elektrisches Feld StudySmarter

Hall-Effekt Lorentzkraft Kraft elektrisches Feld StudySmarter

Die Lorentzkraft wirkt auf die Elektronen. Die Formel dazu sieht wie folgt aus:

Die Lorentzkraft kannst Du über die folgende Formel berechnen:

Hall Effekt Lorentzkraft Formel StudySmarter

Da wir im Folgenden die Bewegung von Elektronen betrachten, ist die Ladung q gleich der Elementarladung eines Elektrons e. Du erhältst:

Hall Effekt Lorentzkraft Formel Berechnung StudySmarter

Hall-Effekt Lorentzkraft Formel Berechnung StudySmarter

Wie genau kommst Du auf die Formel für die Lorentzkraft? Eine detaillierte Herleitung kannst Du in dem Artikel zum Thema Lorentzkraft nachlesen.

Nun schauen wir die Kraft des elektrischen Feldes auf die Elektronen an. Ein elektrisches Feld kann über den Quotienten aus elektrischer Kraft und Ladung q berechnet werden. Wenn wir wieder von der Elementarladung e des Elektrons ausgehen, erhalten wir:

Hall Effekt Kraft elektrisches Feld Formel Berechnung StudySmarter

Weiter kannst Du ein konstantes elektrisches Feld zwischen zwei Leiterplatten als Quotient aus Spannung U und dem Abstand b zwischen den beiden Leiterplatten berechnen, es gilt:

Hall Effekt Kraft elektrisches Feld Formel Berechnung StudySmarter

Durch Gleichsetzen der beiden Formeln erhältst Du:

Hall-Effekt Lorentzkraft Kraft elektrisches Feld StudySmarter

Nach Umstellen nach der Kraft bekommst Du schließlich die Formel zur Berechnung der elektrischen Kraft.

Die Kraft des elektrischen Feldes auf die Elektronen kannst Du über die Spannung U, die Breite des Leiterplättchens b und die Elementarladung eines Elektrons e folgendermaßen berechnen:

Hall Effekt Lorentzkraft Kraft elektrisches Feld StudySmarter

Hall-Effekt Lorentzkraft Kraft elektrisches Feld StudySmarter

Im nächsten Schritt kannst Du die Hall-Spannung berechnen, die sich im Leiterplättchen einstellt.

Durch Gleichsetzen der beiden Kräfte erhältst Du:

Hall Effekt Lorentzkraft Kraft elektrisches Feld Hall-Spannung StudySmarter

Nach Kürzen der Ladung e auf beiden Seiten und Auflösen nach der Spannung erhältst Du schließlich die Formel zur Berechnung der Hall-Spannung .

Die Hall-Spannung berechnest Du über die Breite des Leiterplättchens b, die Driftgeschwindigkeit der Elektronen v und die magnetische Flussdichte B.

Hall Effekt Hall-Spannung Formel StudySmarter

Die Hall-Spannung ist somit unabhängig von der Ladung der Teilchen, die für den Stromtransport verantwortlich sind.

Dies ist die allgemeingültige Gleichung zur Berechnung der Hall-Spannung.

In bestimmten Leitern – sogenannte dotierte Halbleiter – kann es vorkommen, dass ein oder mehrere Elektronen fehlen. Da nur die Elektronen fehlen, bleiben allerdings die positiven Atomrümpfe ("Löcher") zurück und es entsteht ein Elektronenmangel / Löcherüberschuss. Der Leiter hat insgesamt eine positive Ladung.

In diesem Fall sind nicht wie gewöhnlich die negativen Elektronen die Ladungsträger, sondern die positiven Löcher. Das heißt, dass die Lorentzkraft auf die Löcher laut der Drei-Finger-Regel in die andere Richtung (in Abbildung 1 also "nach oben") wirken würde. Dadurch entsteht wieder am oberen Ende des Leiterplättchens eine positive Ladung und am unteren Ende ein Löchermangel, also eine negative Ladung.

Das elektrische Feld baut sich demnach in dieselbe Richtung auf, wie bei der Leitung durch Elektronen. Wenn Du Dir die Gleichungen zur Herleitung der Hall-Spannung anschaust, siehst Du, dass sich die Ladung q aus der Gleichung herauskürzt. Somit ist die Hall-Spannung unabhängig von den Teilchen, die für den Stromtransport verantwortlich sind. Es stellt sich immer dieselbe Hall-Spannung ein.

Anwendung: Der Hall-Effekt als Sensor zum Messen des magnetischen Feldes

Der Hall-Effekt ist eine nützliche Anwendung, wenn Du die Stärke eines magnetischen Feldes messen möchtest. Die Feldmessung erfolgt über ein Messgerät – die Hall-Sonde. Die Hall-Sonde besteht dabei aus genau diesem Versuchsaufbau: Einem Leiterplättchen mit bekannten Abmessungen, an dem ein Strom I angelegt wird. Über ein Spannungsmessgerät wird die Hall-Spannung gemessen, sobald das Leiterplättchen in ein Magnetfeld B gehalten wird.

Die Verwendung der Hall-Sonde kannst Du in Abbildung 3 sehen.

Der Strom I ist bekannt und die entstehende Hall-Spannung wird durch ein Spannungsmessgerät gemessen. Die Formel für die Hall-Spannung kannst Du entsprechend umstellen, um das Magnetfeld B zu berechnen.

Die magnetische Flussdichte B kannst Du mithilfe der gemessenen Hall-Spannung folgendermaßen bestimmen:

Hall Effekt Hall-Spannung Magnetfeld Formel StudySmarter

Dabei wird die magnetische Flussdichte in der Einheit Tesla angegeben. Die Umrechnung von Tesla in SI-Einheiten kannst Du folgendermaßen vornehmen:

Da die Bestimmung der Driftgeschwindigkeit v der Ladungsträger sich als kompliziert gestaltet, wird hier die sogenannte Hall-Konstante eingeführt.

Die Hall-Konstante

Bei der Hall-Konstante handelt es sich um eine stoffabhängige Konstante –also einen konstanten Wert, der davon abhängt, welche Eigenschaften das Leiterplättchen aufweist.

Herleitung der Hall-Konstante

Die Geschwindigkeit v der Elektronen in dem Leiterplättchen aus der Formel Hall Effekt Berechnung Hall-Spannung Formel StudySmarter lässt sich durch die Formel für eine konstante Geschwindigkeit Hall Effekt konstante Geschwindigkeit StudySmarter ersetzen. Hierbei ist s die Länge des Leiterplättchens und damit die Strecke, die die Elektronen beim Durchqueren des Plättchens zurücklegen und t die Zeit, die die Elektronen dafür benötigen.

Hall Effekt Hall-Spannung Hall-Konstante Formel StudySmarter

Und weiter kannst Du die Stromstärke I, die an dem Leiterplättchen anliegt, als Quotient aus der Ladungsänderung über der Zeit berechnen. Der Strom besteht aus einer bestimmten natürlichen Zahl n an Elektronen e.

Die zeitliche Änderung stellen wir über den griechischen Buchstaben dar. Du erhältst für die Stromstärke:

Hall Effekt Stromstärke Formel StudySmarter

Nach Umstellen der Gleichung nach , erhältst Du:

Hall Effekt Driftgeschwindigkeit Elektronen Formel StudySmarter

Anschließend erhältst Du durch Einsetzen in die Gleichung für die konstante Geschwindigkeit :

Hall Effekt Driftgeschwindigkeit Elektronen Formel StudySmarter

Diesen Term benutzt Du nun, um die Driftgeschwindigkeit der Elektronen zu berechnen. Dafür ersetzt Du die Geschwindigkeit v aus der Gleichung für die Hall-Spannung .

Durch einen Trick fügst Du nun auch die Dicke d des Leiters in die Formel mit ein. Das kannst Du machen, indem Du den oberen und den unteren Teil des Bruches mit d erweiterst. Da Du den Bruch sowohl im Zähler als auch im Nenner erweitert hast, kannst Du d beliebig hinzufügen und wieder herauskürzen, ohne dass sich sein Wert verändert. Du erhältst:

Hall Effekt Hall-Konstante StudySmarter

Und nun kannst Du das Produkt aus durch das Volumen des Leiterplättchens ersetzen, also . Du erhältst:

Hall Effekt Hall-Konstante StudySmarter

Diese Formel hilft Dir nun, die Hall-Konstante zu definieren.

Definition der Hall-Konstante

Die Hall-Konstante wird in die Formel eingefügt, um die Eigenschaften des Leiterplättchens in einer Konstante zusammenzufassen. So werden häufig typische Hall-Konstanten für verschiedene Materialien an Leiterplättchen angegeben.

Die stoffabhängige Hall-Konstante kannst Du aus dem Volumen des Leiterplättchens, der Anzahl der Elektronen und der Elementarladung wie folgt definieren:

Hall Effekt Hall-Konstante StudySmarter

Hall Effekt Hall-Konstante StudySmarter

Die Einheit der Hall-Konstante wir inHall Effekt Hall-Konstante Einheit StudySmarter angegeben.

Du kannst an der Formel erkennen, dass sich die gemessene Hall-Spannung linear zum Magnetfeld B verhält. Den grafischen Zusammenhang siehst Du in Abbildung 4. Hier wurde die Hall-Spannung für verschiedene Werte des Magnetfeldes exemplarisch bestimmt.

Du siehst, dass bei größer werdender Feldstärke auch die gemessene Hall-Spannung ansteigt. Der Zusammenhang dieser beiden Größen wird als linear bezeichnet, da Du ihr Verhältnis durch eine Gerade darstellen kannst.

Beispiel: Bestimmung der Hall-Konstante von Kupfer

Im Folgenden findest Du ein Beispiel, wie Du die Hall-Konstante eines Kupferplättchens bestimmen kannst.

Du betrachtest ein Leiterplättchen aus Kupfer, wie in Abbildung 1 dargestellt. Es liegt eine konstante Stromstärke von an. Das Leiterplättchen hat eine Breite von und eine Dicke von . Es wird von einem Magnetfeld der Stärke durchsetzt. Durch das Spannungsmessgerät kannst Du nun eine Hall-Spannung von messen. Aus den gegebenen Messwerten kannst Du nun die Hall-Konstant für das Kupferplättchen berechnen.

Die Formel zur Berechnung der Hall-Spannung hast Du im oberen Abschnitt folgendermaßen bestimmt:

Hall Effekt Berechnung Hall-Konstante Formel StudySmarter

Daher erhältst Du nach Umstellen der Formel nach der Hall-Konstante:

Hall Effekt Berechnung Hall-Konstante Formel StudySmarter

Nun kannst Du durch die gemessenen Werte wie folgt berechnen:

Hall Effekt Berechnung Hall-Konstante Formel StudySmarter

Wenn Du Dir die Einheiten genauer anschaust und mit der Einheit für die Hall-Konstante aus dem oberen Abschnitt vergleichst, ist klar, dass diese (noch) nicht übereinstimmen.

Du kannst die Einheiten aber folgendermaßen ineinander umrechnen:

Hall Effekt Berechnung Hall-Konstante Einheiten StudySmarter

Hall Effekt Berechnung Hall-Konstante Einheiten StudySmarter

Durch Kürzen der Einheit V für die Spannung und Umstellen des Bruches erhältst Du:

Hall Effekt Berechnung Hall-Konstante Einheiten StudySmarter

Dies entspricht der oben erwähnten Einheit der Hall-Konstante.

Die Hall-Konstante für Kupfer hat oft einen Wert von um die Hall Effekt Berechnung Hall-Konstante Kupfer StudySmarter. Dieser Wert kann natürlich variieren, je nach Abmessung des Kupferplättchens.

Wenn die Hall-Konstante für ein Leiterplättchen einmal bekannt ist, kann diese Anordnung verwendet werden, um Magnetfelder über die Formel Hall Effekt Berechnung Hall-Konstante Formel StudySmarter zu messen.

Exkurs: Der Quanten-Hall-Effekt

Wenn Du Dich mit dem Hall-Effekt beschäftigst, bist Du vielleicht auch schon auf das Wort Quanten-Hall-Effekt gestoßen. Aber was besagt der Quanten-Hall-Effekt?

Der Quanten-Hall-Effekt tritt nicht unter Normalbedingungen, sondern unter extremen Bedingungen auf. Nämlich bei besonders geringer Temperatur und bei einem sehr starken Magnetfeld. Unter diesen Bedingungen ist kein linearer Zusammenhang mehr zwischen dem angelegten Magnetfeld und der gemessenen Hall-Spannung zu erkennen.

Die auftretende Hall-Spannung wächst dann in Stufen mit immer größer werdendem Magnetfeld an. Dieses Phänomen ist bis heute noch nicht vollständig verstanden. Wichtig ist hierbei zu wissen, dass der Zusammenhang zwischen der Hall-Spannung und dem Magnetfeld nicht immer zwingend linear sein muss.

Hall Effekt - Das Wichtigste

  • Der Hall-Effekt erklärt die Bewegung von elektrischen Teilchen in einem Leiterplättchen, das sich in einem stationären (also zeitlich und örtlich unveränderlichen) Magnetfeld befindet. Dabei entsteht eine Spannung – die sogenannte Hall-Spannung.
  • Die Formel für die Hall-Spannung kannst Du durch das Kräftegleichgewicht aus Lorentzkraft und der Kraft des elektrischen Feldes herleiten. Du erhältst:

Hall Effekt Hall-Spannung Formel StudySmarter

  • Der Hall-Effekt kann genutzt werden, um die magnetische Flussdichte B zu bestimmen, in dem sich der Sensor (Hall-Sonde) befindet. Die Berechnung erfolgt durch Umstellen der Gleichung für die Hall-Spannung:

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  • Bei der Hall-Konstante handelt es sich um eine stoffabhängige Konstante – also einen konstanten Wert, der von der Beschaffenheit des Leiterplättchens abhängt. Du kannst die Hall-Konstante folgendermaßen in der Formel zur Berechnung der Hall-Spannung verwenden:

Hall Effekt Hall-Spannung Magnetfeld Hall-Konstante Formel StudySmarter

  • Der Quanten-Hall-Effekt tritt unter extremen Bedingungen auf, nämlich bei sehr niedrigen Temperaturen und bei einem großen Magnetfeld. Der Zusammenhang zwischen dem Magnetfeld und der Hall-Spannung ist dann nicht mehr linear.

Hall Effekt

Der Hall-Effekt entsteht wenn geladene Teilchen in einem Leiterplättchen durch ein Magnetfeld abgelenkt werden.

Durch das Ablenken der Teilchen durch die Lorentzkraft, entsteht ein elektrisches Feld, das der Lorentzkraft entgegenwirkt. 

Die Hall-Sonde kannst du zum Messen eines Magnetfelds verwendet. Dabei wird eine Hall-Spannung gemessen und daraus kann die magnetische Flussdichte anhand einer einfachen Formel berechnet werden.

Je kleiner die Dicke des Leiterplättchens, desto größer ist die Spannung, die dich durch das elektrische Feld aufbaut werden kann. Das wird auch aus der Formel zur Berechnung der Hall-Spannung ersichtlich. Hall-Sensoren besteht daher oft aus sehr dünnen Leiterplättchen. 

Über das Vorzeichen der Hall-Konstante kann die Richtung des Stromes bestimmt werden. Anhand der Drei-Finger-Regel kannst du dann ganz einfach die Richtung des Magnetfeldes bestimmen.

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