Maxwell Gleichungen

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War es ein Gott, der diese Zeichen schrieb?

Diesen Vers aus Goethes Faust griffen im Jahr 1865 viele Physiker auf, als James Clerk Maxwell die nach ihm benannten Maxwell Gleichungen in einer seiner Schriften veröffentlichte. Die fundamentalen Aussagen über elektromagnetische Phänomene, die mithilfe dieser Gleichungen getroffen werden können, erstaunten nicht nur Maxwells Zeitgenossen, sondern auch ihn selbst.Heute, fast 200 Jahre später, bilden die vier Gleichungen eine der wichtigsten Grundlagen der modernen Physik, sowohl in der Elektrodynamik als auch in der Speziellen Relativitätstheorie. Welche Bedeutung diese Gleichungen haben und welche Theorien aus ihnen folgen, erfährst Du hier.

Maxwell Gleichungen Herleitung und Motivation

Nicht unbegründet gilt die Entdeckung der Maxwell Gleichungen als Höhepunkt der klassischen Physik, denn aus ihnen können alle Gleichungen des Elektromagnetismus hergeleitet werden.

Die Maxwell Gleichungen beschreiben die Wechselwirkung elektrischer und magnetischer Felder miteinander, sowie auch ihren Zusammenhang mit elektrischen Feldern und Ladungen.

Damit stellen elektrische und magnetische Felder den Mittelpunkt Maxwells Theorie dar, deren wichtigste Eigenschaften im folgenden Abschnitt erläutert werden.

Elektrische und magnetische Felder

Sowohl das elektrische als auch das magnetische Feld kann durch das Feldlinienbild repräsentiert werden. Beide stellen anschaulich gesagt eine Kraftausübung auf Ladungen dar.

Mehr zu den einzelnen Themengebieten elektrisches Feld, magnetisches Feld und Elektromagnetismus kannst du in den jeweiligen Artikeln nachlesen.

Eine elektrische Ladung ist die Quelle eines elektrischen Felds, das durch seine Feldstärke gekennzeichnet wird. Hier zeigt der Verlauf der elektrischen Feldstärke die Richtung der vom Feld ausgeübten Kraft an. Die Kraft wirkt also tangential zu den jeweiligen Feldlinien.

Die Quelle jedes statischen elektrischen Feldes ist die Ladung.

Im Gegensatz zum elektrischen Feld wirkt die Kraft beim Magnetfeld senkrecht zur Richtung der magnetischen Flussdichte.

Das magnetische Feld wirkt auf Magneten, magnetische Stoffe, bewegte Ladungsträger und stromdurchflossene Leiter.

Eine Folge davon, dass die Bahnen der magnetischen Feldlinien immer geschlossen sind, ist, dass Magnetfelder im Gegensatz zu elektrischen Feldern keine Quellen haben. Das bedeutet, dass ein Magnetfeld von mindestens zwei Polen, einem Dipol, hervorgerufen wird.

Statische Magnetfelder werden nur von zwei Polen hervorgerufen. Diese Eigenschaft wird Quellfreiheit genannt.

Genau diese zwei Eigenschaften elektrischer und magnetischer Felder motivierten Maxwell, eine allgemeine und mathematisch elegante Formulierung für solche Zusammenhänge zu finden.

Maxwell Gleichungen Geschichte

Obwohl die Maxwell Gleichungen, an denen James Clerkt Maxwell im Zeitraum von 1861 bis 1864 arbeitete, seine wohl bekanntesten Entdeckungen sind, prägte er auch andere Fachbereiche der Physik. So gilt er beispielsweise als einer der Begründer der statistischen Mechanik wegen der von ihm ausgearbeiteten kinetischen Gastheorie, die das mikroskopische Verhalten von Gasen beschreibt.

Einen Großteil seiner Forschung widmete er auch der Optik, unter anderem der Farbzusammensetzung. Im Rahmen dieser Studie veröffentlichte er sogar 1861 die erste Farbfotografie. Zu diesem Zeitpunkt war diese Entdeckung aber für ihn eine reine Nebensächlichkeit bei der Erforschung der Zusammensetzung von Farben.

Circa vier Jahre später beeindruckte Maxwell seine Zeitgenossen erneut, nämlich durch einen Satz von vier Gleichungen, die Physik revolutionieren sollten.

An dieser Stelle ist es mathematisch komplex, die Maxwell Gleichungen klassisch herzuleiten, da sie ähnlich wie Newtons Axiome aus vielen verschiedenen Beobachtungen und bereits bekannten Phänomenen resultieren. Dennoch gelangte es Maxwell im Zeitraum zwischen 1861 bis 1864, aus genau diesem Feldlinienkonzept die erste und zweite Maxwell Gleichung herzuleiten.Aber was sagen die Gleichungen überhaupt aus?

4 Maxwell Gleichungen anschaulich erklärt

Da es sich bei den Maxwell Gleichungen um sogenannte Differentialgleichungen handelt, die in der Regel nicht in der Schule behandelt werden, lernst Du zunächst die Kernaussagen der jeweiligen Gesetzte kennen.

1. Maxwell Gleichung Gaußscher Satz

Im Grunde genommen beschreibt die erste Maxwell Gleichung eine Eigenschaft, die Du im vorherigen Abschnitt bereits kennengelernt hast, nämlich den Zusammenhang zwischen Ladungen und elektrischen Feldern.

Das Gaußsche Gesetz besagt, dass die Ladung die Quelle des elektrischen Feldes ist.

Das bedeutet, dass ein elektrisches Feld nur genau dann existieren kann, wenn es eine Ladung, also eine Quelle gibt, die dieses erzeugt.

Betrachtest Du das Feld einer elektrischen Punktladung, so stellt diese die Quelle des Felds dar

Aus dieser Aussage folgt beispielsweise das Coulombsche Gesetz, das die Kraft zwischen zwei Punktladungen beschreibt.

Bei der Analyse elektrischer Felder fällt oft der Begriff Monopol. Dies wird in der Elektrondynamik als Synonym für einzelne Ladung verwendet.

2. Maxwell Gleichung Quellenfreiheit des magnetischen Felds

Ganz analog zum Gaußschen Gesetz gibt die zweite Maxwell Gleichung Auskunft über den Zusammenhang zwischen Feld und Quellen, jedoch hier bezüglich des Magnetfelds.

Laut der zweiten Maxwell Gleichung besitzt ein magnetisches Feld keine Quellen. Das bedeutet, dass es keine magnetischen Ladungsträger gibt.

Auf das Feldlinienbild bezogen bedeutet das, dass ein Magnet keine Quelle von Feldlinien darstellen kann.

Diese Tatsache wird in Abbildung 2 widergespiegelt, da die Feldlinien immer als geschlossene Bahnen um den Magneten herum auftreten.

Dies ergibt sich daraus, dass ein Magnetfeld immer auf einen magnetischen Dipol zurückzuführen ist, der einen Nordpol und Südpol besitzt, so klein der Magnet auch ist.

Angenommen, Du versuchst, die Pole eines Stabmagneten voneinander zu trennen, indem Du ihn in der Mitte auseinanderbrichst, so ergibt sich in der Mitte ein neuer Nord- und Südpol.

Wiederholst Du dieses Vorgehen, bis ein Teil des ursprünglichen Magneten nur noch als Punkt wahrzunehmen ist, so ist dieser auch wieder ein Dipol mit Nord- und Südpol.

In Feldliniendarstellung bedeutet das, dass die Linien um den Punkt immer noch als geschlossene Bahnen auftreten, nämlich vom Nord- zum Südpol.

Die Feldlinien des magnetischen Feldes können recht simpel sichtbar gemacht werden, nämlich mit feinen Eisenspänen. Dafür kannst du einen Dauermagneten unter eine dünne Glasplatte legen und nun Eisenspäne auf die Platte streuen. Mit etwas vorsichtigem Klopfen sollten sich die Späne gemäß der Feldlinien anordnen.

Sowohl die zweite Maxwell Gleichung als auch die erste beschreiben also Situation, in denen elektrisches und magnetisches Feld konstant sind. Dies ist aber nicht immer der Fall, sodass diese zwei Gleichungen alleine nicht ausreichen, um den Elektromagnetismus vollständig zu beschreiben.

3. Maxwell Gleichung Faradaysches Induktionsgesetz

Während die erste und zweite Maxwell Gleichung sich auf statische Situationen beziehen, das heißt, dass elektrische und magnetische Felder konstant sind, beschreiben die dritte und vierte Maxwell Gleichung die Dynamik elektromagnetischer Systeme.Außerdem geben diese Gleichungen Auskunft über die Wechselwirkung von elektrischen und magnetischen Feldern.

Die dritte Maxwell Gleichung besagt, dass ein sich zeitlich veränderndes Magnetfeld ein elektrisches Feld erzeugt .

Die Aussage dieser Maxwell Gleichung ist auch als Faradaysches Induktionsgesetz bekannt.

Mehr zum Thema Induktion kannst du im dazugehörigen Artikel nachlesen.

Diese Gesetzmäßigkeit lässt sich anhand eines fallenden Magneten in einer Spule prüfen

Wegen der Bewegung des Magneten liegt eine Änderung des Magnetfelds vor. Diese ruft wiederrum ein elektrisches Feld hervor, dessen Spannung mithilfe von Klemmen an der Spule gemessen werden kann.

Das bedeutet also, dass ein Magnetfeld ein elektrisches Feld erzeugen kann. Aber funktioniert das auch andersherum?

4. Maxwell Gleichung Amperesches Gesetz

Die vierte Maxwellgleichung beschreibt den umgekehrten Fall der dritten Maxwell Gleichung. Denn hierfür wird ein sich zeitlich veränderndes elektrisches Feld betrachtet.

Die vierte Maxwell Gleichung beschreibt, dass die Änderung eines elektrischen Felds und ein fließender Strom ein Magnetfeld bewirken .

Sobald also ein elektrischer Strom fließt, entsteht also immer ein Magnetfeld.

Ein bekanntes Beispiel hierfür ist der stromdurchflossene Draht.

Mehr zu dem Anwendungsbeispiel Magnetfeld eines stromdurchflossenen Drahts findest Du im dazugehörigen Artikel

Aber wie genau sehen die Gleichungen denn aus?

Maxwell Gleichungen Integralform

Beim Betrachten der Maxwell Gleichungen fällt auf, dass diese oft auf verschiedene Arten und Weisen angegeben werden. Eine Möglichkeit, die Aussagen der Gleichungen mathematisch zu formulieren, ist die sogenannte Integralform.Dort werden die Zusammenhänge verschiedener physikalischer Größen durch Integrale ausgedrückt.

Gleichung

Formel

Erste Maxwell Gleichung

Gaußscher Satz

$\oint \vec{E} \cdot d \vec{A} = \frac{Q}{ε_{0}}$

\vec{E} :

elektrische Feldstärke

$d \vec{A} :$ Flächenelement

$Q :$ Ladung

$ε_{0} :$ elektrische Feldkonstante

Zweite Maxwell Gleichung

Quellenfreiheit des Magnetfelds

\oint \vec{B} \cdot d \vec{A} = 0

$\vec{B} :$ magnetische Flussdichte

Dritte Maxwell Gleichung

Faradaysches Induktionsgesetz

\oint \vec{E} \cdot d \vec{s} = - \frac{\partial Φ_{m}}{\partial t}

$d \vec{s} :$ Streckenelement

$\frac{\partial}{\partial t} :$ partielle zeitliche Ableitung

$Φ_{m} :$ magnetischer Fluss

Vierte Maxwell Gleichung

Amperesches Gesetz

\oint \vec{B} \cdot d \vec{s} = μ_{0} \cdot I + μ_{0} \cdot ε_{0} \cdot \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}

$μ_{0} :$ magnetische Feldkonstante

$I :$ Stromstärke

Dies ist jedoch nicht die einzige Möglichkeit, die Kernaussagen Maxwells Theorie in Formeln auszudrücken.

Maxwell Gleichungen Differentialform

Eine andere Möglichkeit, die Maxwell Gleichungen mathematisch zu definieren, ist die differentielle Form. Hier werden die Verhältnisse physikalischer Größen zueinander durch ihre Ableitungen beschrieben.

Maxwell Gleichung

Formel

Erste Maxwell Gleichung

Gaußscher Satz

\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \frac{ρ}{ε_{0}}

$\vec{\nabla} :$ Nabla Operator

$\vec{E} :$ elektrische Feldstärke

$ρ :$ Ladungsdichte

$ε_{0} :$ elektrische Feldkonstante

Zweite Maxwell Gleichung

Quellenfreiheit des Magnetfelds

\vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0

$\vec{B} :$ magnetische Flussdichte

Dritte Maxwell Gleichung

Faradaysches Induktionsgesetz

\vec{\nabla} \times \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}

$\times :$ Kreuzprodukt

$\frac{\partial}{\partial t} :$ partielle Zeitableitung

Vierte Maxwell Gleichung

Amperesches Gesetz

\vec{\nabla} \times \vec{B} = μ_{0} \cdot \vec{j} + μ_{0} \cdot ε_{0} \cdot \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}

$μ_{0} :$ magnetische Feldkonstante

$\vec{j} :$ Verschiebungsstrom

Sowohl die Gleichungen in dieser Tabelle als auch in der obigen sind mikroskopische Maxwell Gleichungen. Das bedeutet, sie stellen elektromagnetische Prozesse im leeren Raum dar.

Maxwell Gleichungen Anwendung

Die Besonderheit der Maxwell Gleichungen liegt vor allem darin, dass sie nicht nur auf Phänomene innerhalb des Elektromagnetismus schließen lassen, sondern auch Auskunft über Sachverhalte anderer Bereiche der Physik geben, wie zum Beispiel in der Atom- oder relativistischen Physik.

Ein konkretes Beispiel hierfür ist der Nachweis von elektromagnischen Wellen.

Maxwell Gleichungen im Vakuum

Wird ein elektromagnetisches System im Vakuum betrachtet, so vereinfachen sich die in den Tabellen abgebildeten Gleichungen. Da es im Vakuum weder Ströme $\vec{j}$ noch Ladungen gibt, die zu einer Ladungsdichte $ρ$ führen, vereinfachen sich für diesen Fall die Maxwellgleichungen, also ergibt sich für diesen Fall

$\vec{j} = 0$

und

$ρ = 0$ .

Das bedeutet, dass alle Terme, die diese Variablen enthalten, auch gleich null sind, wodurch sich die erste und vierte Maxwell Gleichung vereinfachen.Aus diesen vereinfachten Maxwellgleichung lässt sich die sogennante Wellengleichung herheiten, die auf die Existenz elektromagnetischer Wellen im Vakuum schlißen lässt. Auch deren Ausbreitungsgeschwindigkeit dieser Wellen lässt sich mithilfe der Maxwell Gleichungen direkt bestimmen, nämlich breiten sich alle elektromagnetischen Wellen mit Lichtgeschwindigkeit aus.Die Lichtgeschwindigkeit kann mithilfe zweier Konstanten, die Dir bereits begegnet sind, berechnet werden, nämlich mit der elektrischen Feldkonstante $ε_{0}$ und der magnetischen Feldkonstante $μ_{0}$ .

Die Lichtgeschwindigkeit, die mit $c$ bezeichnet wird, kann berechnet werden durch

$c = \frac{1}{\sqrt{ε_{0} \cdot μ_{0}}}$ .

Diese folgt aus geschicktem Umformen und Einsetzen der dritten und vierten Maxwell Gleichung ineinander.

Diese Konstanz dieser Größe inspirierte im folgenden Jahrhundert Albert Einsteins Arbeit an der Speziellen Relativitätstheorie und rief somit einen neuen Umbruch der Physikhervor.

Coulombsches Gesetz

Ein weiteres Beispiel für eine Anwendung der Maxwell Gleichungen ist das Coulombsche Gesetz.

Das Coulombsche Gesetz lautet

$F = \frac{1}{4 π ε_{0}} \cdot \frac{q_{1} \cdot q_{2}}{r^{2}}$

mit

$F :$ Kraft zwischen den Ladungen

$ε_{0} :$ elektrische Feldkonstante

$q_{1}, q_{2} :$ Ladungen

$r :$ Abstand zwischen den Ladungen

Das Coulombsche Gesetz folgt direkt aus dem Gaußschen Gesetz. Dabei wird genutzt, dass der Betrag des elektrischen Feldes definiert ist als Kraft pro Ladung, also gilt

$E = \frac{F}{q}$ .

Der Betrag des elektrischen Feldes kann aber auch durch Anwenden der ersten Maxwell Gleichung für den Fall, dass zwei Punktladungen vorliegen, berechnet werden. Durch Gleichsetzen der Ausdrücke für $E$ kann schließlich nach der Kraft $F$ aufgelöst werden, woraus das Columbsche Gesetz folgt.

Aufgabe

Der Abstand zwischen dem Elektron und Proton im Wasserstoffatom wurde experimentell bestimmt zu $r = 5, 3 \cdot 10^{- 11} m$ . Die Elementarladung des Elektrons beträgt $e = 1, 6 \cdot 10^{- 19} A s$ .

Bestimme die Kraft, die zwischen Elektron und Proton wirkt.

Lösung

Da die Ladungen von Proton und Elektron entgegengesetzt, aber gleich groß sind, ergibt sich für die Coulombkraft

$F = \frac{1}{4 π ε_{0}} \cdot \frac{e^{2}}{r^{2}}$ .

Nun kannst du die bekannten Größen einsetzten und erhälst

$F = \frac{1}{4 π \cdot 8, 9 \cdot 10^{- 12} \frac{A s}{V m}} \cdot \frac{{(1, 6 \cdot 10^{- 19} A s)}^{2}}{{(5, 3 \cdot 10^{- 11} m)}^{2}} = 8, 2 \cdot 10^{- 8} N .$

Diese Rechnung kann auch analog für andere Atome, durchgeführt werden, zum Beispiel einfach ionisiertes Helium oder zweifach ionisiertes Lithium. Wichtig dabei ist, dass es sich um ein System von zwei wechselwirkenden Teilchen handelt. Wechselwirken mehr als zwei Teilchen miteinander, kann das Coulombsche Gesetz in dieser Form nicht mehr angewandt werden.

Maxwell Gleichungen Zusammenfassung

Die Maxwell Gleichungen bilden sowohl das Fundament des Elektromagnetismus als auch der modernen Physik. Sie beschreiben, wie elektrische und magnetische Felder miteinander und mit Ladungen interagieren. Beispielsweise folgt aus ihnen, dass elektrische Felder Quellen besitzen, dies aber für Magnetfeldern nicht der Fall sein kann.

Auch das Phänomen der Induktion wird durch sie beschrieben, wie auch die Entstehung von magnetischen Feldern durch elektrische.

Die Stärke der Gleichungen liegt darin, dass aus ihnen alle Gleichungen des Elektromagnetismus und sogar völlig neue Theorien abgeleitet werden können.

Dabei können die Gleichungen auf verschiedene Arten dargestellt werden, nämlich mithilfe der Integralform und differentiellen Form.

Maxwell Gleichungen - Das Wichtigste

Die erste Maxwell Gleichung besagt, dass Ladungen die Quellen elektrischer Felder sind.
Die Quellfreiheit magnetischer Felder wird durch die zweite Maxwell Gleichung ausgedrückt.
Die dritte Maxwell Gleichung repräsentiert das Faradaysche Induktionsgesetz. Das heißt, dass ein sich veränderndes Magnetfeld ein elektrisches Feld erzeugt.
Die Aussage der vierten Maxwell Gleichung ist, dass sowohl die Änderung eines elektrischen Felds auch auch ein fließender Strom ein Magnetfeld erzeugen.
Eine wichtige Schlussfolgerung der Maxwell Gleichungen ist die Existenz der konstanten Lichtgeschwindigkeit.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Maxwell Gleichungen

Die vier Maxwell Gleichungen sind bekannt als Gaußssches Gesetz, Quellfreiheit des magnetischen Feldes, Faradaysches Induktionsgesetz und Amperesches Gesetz.

Die Maxwell Gleichungen sind die Grundgleichungen der Elektrodynamik. Aus ihnen lassen sich alle Gesetze des Elektromagnetismus herleiten.

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Wie lautet das Gesetz, das die dritte Maxwell Gleichung beschreibt?

Die dritte Maxwell Gleichung beschreibt das Faradaysches Induktionsgesetz.

Welchen Theorie ging aus den Maxwell Gleichungen hervor?

Albert Einstein entwickelte inspiriert von den Maxwell Gleichungen die Spezielle Relativitätstheorie.

Erläutere die Bedeutung der Maxwell Gleichungen im Elektromagnetismus.

Die Maxwell Gleichungen sind die Basis des Elektromagnetismus, weil aus ihnen alle Gesetze dieses Themengebiets hergeleitet werden können.

Nenne zwei bis vier wichtige Aussagen der Maxwell Gleichungen.

Die Ladung ist die Quelle des elektrischen Feldes.
Magnetfelder sind quellfrei.
Ein nicht konstantes Magnetfeld erzeugt ein elektrisches Feld und umgekehrt.

Wie können die Maxwell Gleichungen dargestellt werden?

Die Maxwell Gleichungen können sowohl in Integralform als auch in differentieller Form dargestellt werden.

Beschreibe eine konkrete Anwendung der Maxwell Gleichungen.

Eine Anwendung der Maxwell Gleichungen ist das Coulombsche Gesetz. Mit diesem kann die Kraft zwischen zwei geladenen Teilchen berechnet werden.

Diese Rechnung ist besonders in der Atomphysik relevant.

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