Maxwell-Boltzmann-Verteilung

Bestimmt kennst Du das Problem: Wenn Du im Sommer eine Flasche Sprudelwasser in der prallen Sonne liegen lässt und sie danach öffnest, um einen – jetzt nicht mehr ganz so – erfrischenden Schluck davon Deine sommertrockene Kehle runterlaufen zu lassen, zischt sie Dir vorwurfsvoll entgegen. Warum will die Kohlensäure in Deinem Mineralwasser eigentlich lieber in die Luft und nicht in Deinen Bauch? Und warum verdunstet Wasser mit steigender Temperatur plötzlich schneller? Die Antworten auf diese Fragen und noch viel mehr findest Du in dieser leicht verständlichen Erklärung zur Maxwell-Boltzmann-Verteilung.

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Inhaltsangabe

    Maxwell-Boltzmann-Verteilung – Anwendung in der kinetischen Gastheorie

    Die Maxwell-Boltzmann-Verteilung ist ein Modell der Thermodynamik und spielt eine wichtige Rolle in der kinetischen Gastheorie.

    Nach der kinetischen Gastheorie bestehen Gase aus kleinen Teilchen, die in ständiger Bewegung sind. Diese Teilchen stoßen ununterbrochen gegeneinander oder gegen andere Hindernisse, wie die Wände eines Gefäßes. Außerdem werden sie als Massenpunkte ohne eigenes Volumen angesehen, die abgesehen von den Stößen keine weiteren Wirkungen aufeinander haben.

    Bei einem solchen Graphen handelt es sich um eine statistische Geschwindigkeitsverteilung der Teilchen eines idealen Gases. Denn die Geschwindigkeiten der Teilchen eines Gases sind nie genau gleich. Durch Zusammenstöße miteinander oder mit den Gefäßwänden sind sie unterschiedlich schnell, was sich anhand einer Kurve veranschaulichen lässt.

    Das ideale Gas ist eine stark vereinfachte Modellvorstellung eines realen Gases, mit dem sich viele thermodynamische Prozesse erklären lassen. Falls Du Dich in das Thema einlesen willst, schau Dir gern die Erklärung zum Thema Ideales Gas an.

    In dieser Erklärung wird gezielt der Begriff Teilchen verwendet, da Maxwell-Boltzmann-Verteilungen nicht nur auf gasförmige Atome, sondern auch auf gasförmige Moleküle angewendet werden können. Auch wenn die Maxwell-Boltzmann-Verteilung streng genommen nur auf ideale Gase angewendet werden kann, ist sie dennoch hilfreich, um reale Prozesse besser verstehen zu können.

    Maxwell-Boltzmann-Verteilung – Erklärung des Kurvenverlaufs

    Im Folgenden lernst Du, wie Du eine Maxwell-Boltzmann-Verteilung interpretierst und wie Du mithilfe der Teilchengeschwindigkeit die kinetische Energie eines Teilchens ermitteln kannst.

    Achsen – Anzahl der Teilchen mit bestimmter Geschwindigkeit

    Geschwindigkeit

    Auf der x-Achse wird meistens die Geschwindigkeit der einzelnen Teilchen abgebildet und in seltenen Fällen die Energie.

    Nach der kinetischen Gastheorie kommt die Energie eines Teilchens unter anderem von seiner Geschwindigkeit, daher kannst Du hier anstelle der Teilchengeschwindigkeit auch die Bewegungsenergie benutzen.

    Anzahl der Teilchen

    Auf der y-Achse wird in der Regel die Anzahl der Teilchen dargestellt. Eine Maxwell-Boltzmann-Verteilung zeigt Dir also, wie oft die unterschiedlichen Teilchengeschwindigkeiten vorkommen.

    Manchmal wird die Anzahl der Teilchen auch als Wahrscheinlichkeitsdichte bezeichnet. Der Begriff Wahrscheinlichkeitsdichte kommt aus der Statistik und gibt an, wie oft ein bestimmter Wert auftritt. Zur Vereinfachung kannst Du Dir aber vorstellen, dass es sich um die Anzahl der Teilchen handelt, die eine bestimmte Geschwindigkeit haben.

    Ein höherer Wert entlang der y-Achse bedeutet, dass es mehr Teilchen gibt, die diese eine Geschwindigkeit entlang der x-Achse aufweisen. Wenn Du die dargestellten Teilchen zusammenzählst, erhältst Du die Gesamtzahl, was der Fläche unter der Kurve entspricht.

    Punkte auf der Kurve – Teilchengeschwindigkeiten

    Wahrscheinlichste Geschwindigkeit

    Das Maximum, also der höchste Punkt der Kurve, wird als wahrscheinlichste Geschwindigkeit der Teilchen bezeichnet, da die meisten Teilchen diese Geschwindigkeit haben. Berechnet wird sie so:

    v ^= 2·kB·Tm = 2·R·TM

    Dabei stehen kB für die Boltzmann-Konstante, T für die Temperatur, m für die Teilchenmasse, R für die universelle Gaskonstante und M für die Molare Masse eines Stoffes.

    Bei der Boltzmann-Konstante kB (1,381·10-23 JK) und der universellen Gaskonstante R (8,314 Jmol·K) handelt es sich um gleichbleibende Werte. Daher hängt die Teilchengeschwindigkeit immer nur von der Masse und der Temperatur ab. T steht über dem Bruchstrich, also steigt die Geschwindigkeit mit steigender Temperatur. Umgekehrt ist es bei der Masse: Je schwerer ein Teilchen ist, desto langsamer ist es.

    Mittlere Geschwindigkeit

    Die mittlere Geschwindigkeit ist der Durchschnittswert, also die durchschnittliche Teilchengeschwindigkeit. Ab diesem Punkt haben genau die Hälfte aller Teilchen eine höhere und die andere Hälfte eine niedrigere Geschwindigkeit. Die Durchschnittsgeschwindigkeit wird wie folgt berechnet:

    v = 8·kB·Tπ·m = 8·R·Tπ·M

    Quadratisch gemittelte Geschwindigkeit

    Viel wichtiger als die beiden anderen Werte ist aber die quadratisch gemittelte Geschwindigkeit, weil Du mit ihrer Hilfe die kinetische Energie eines Teilchens berechnen kannst. Sie ist im Vergleich zu den beiden anderen Teilchengeschwindigkeit am höchsten und wird wie folgt definiert:

    v2 = 3·kB·Tm = 3·R·TM

    Dass zur Berechnung der kinetischen Energie ausgerechnet die quadratisch mittlere Geschwindigkeit benutzt wird, liegt an dieser klassischen Formel, die Du vielleicht schon mal gesehen hast:

    Ekin = 12·m·v2

    In dieser Formel wird die Geschwindigkeit quadriert. Daraus folgt, dass höhere Geschwindigkeiten einen größeren Einfluss auf die Energie haben als niedrigere. Mit anderen Worten: Mit steigender Geschwindigkeit erhöht sich die Rate, mit der die kinetische Energie steigt, umso schneller. Genau das wird bei der quadratisch gemittelten Geschwindigkeit berücksichtigt.

    Wenn Du die Formel für die quadratisch gemittelte Geschwindigkeit in die Gleichung für die kinetische Energie einsetzt, erhältst Du die kinetische Energie eines Gasteilchens:

    Ekin = 12·m·v2Ekin = 12·m ·3·kB·Tm2Ekin = 12·m·3·kB·TmEkin = 32·kB·T

    Diese Formel gilt allerdings nur für ideale, einatomige Gase. Du kannst Dir die Teilchen eines solchen Gases als glatte Kugeln vorstellen, die sich in drei Raumrichtungen frei bewegen können. Demzufolge steht im Zähler des Bruchs auch eine Drei.

    Maxwell-Boltzmann-Verteilung – Einfluss der Temperatur

    Wenn Du einen Behälter mit Gasteilchen erhitzt, führst Du Energie zu. Im Sommer passiert das ungewollt mit der Kohlensäure Deiner Flasche Sprudelwasser, wenn Du sie auf der Wiese an der prallen Sonne liegen lässt. Immer mehr Gasteilchen haben genügend Energie, um sich von den Bindungskräften in der Flüssigkeit zu lösen und in die Gasphase überzugehen. Das Gleiche passiert übrigens auch, wenn Du die Flasche schüttelst. Auch auf diese Weise erhöhst Du die Energie.

    Wie Du im vorherigen Abschnitt gesehen hast, führt eine höhere Temperatur zu einer höheren Geschwindigkeit der Gasteilchen und damit auch zu einer höheren kinetischen Energie.

    Das Maximum, also die wahrscheinlichste Geschwindigkeit, wandert bei einer höheren Temperatur nach rechts und liegt jetzt bei einem höheren Wert. Außerdem wird die Kurve flacher. Das heißt, dass weniger Teilchen den Wert der wahrscheinlichsten Geschwindigkeit annehmen. Zusätzlich erreichen jetzt mehr Teilchen höhere Werte. Das ist auch der Grund dafür, warum bei höheren Temperaturen mehr Teilchen aus dem flüssigen in den gasförmigen Zustand übergehen. Sie haben eine genügend hohe Geschwindigkeit, um sich von den intermolekularen Kräften, die in einer Flüssigkeit vorherrschen, zu lösen.

    Intermolekulare Kräfte (auch zwischenmolekulare Kräfte) sind Wechselwirkungen zwischen zwei Teilchen. Ein wichtiges Beispiel dafür sind Wasserstoffbrückenbindungen. Sie sind unter anderem der Grund dafür, warum Wasser bei Raumtemperatur flüssig und nicht gasförmig ist.

    Bei einer Senkung der Temperatur wird der Kurvenverlauf steiler und das Maximum verschiebt sich nach links. Die wahrscheinlichste Geschwindigkeit wird kleiner, allerdings weisen jetzt mehr Gasteilchen diesen Wert auf. Auch die Anzahl an Teilchen, die sehr hohe Geschwindigkeiten annehmen, nimmt ab. Deswegen verdampfen Flüssigkeiten bei niedrigen Temperaturen langsamer. Beachte jedoch, dass es immer noch vereinzelt Teilchen gibt, die hohe Werte erreichen. Das bedeutet, auch Teilchen einer kalten Flüssigkeit verdampfen und werden gasförmig. Der Vorgang dauert einfach nur länger.

    Maxwell-Boltzmann-Verteilung – Das Wichtigste

    • Anhand einer Maxwell-Boltzmann-Verteilung kannst Du ablesen, wie viele Gasteilchen eines Systems eine bestimmte Geschwindigkeit haben.
    • Mit steigender Temperatur wird die Maxwell-Boltzmann-Verteilung flacher und das Maximum wird zu einer höheren Geschwindigkeit geschoben.
    • Mit sinkender Temperatur wird die Kurve steiler und das Maximum wird bei einer niedrigeren Geschwindigkeit erreicht.
    • Je höher die Geschwindigkeit der Gasteilchen, desto höher ist ihre Energie.

    Nachweise

    1. Klaus Stierstadt; Günther Fischer (2010). Thermodynamik: Von der Mikrophysik zur Makrophysik. Springer.
    2. P. Atkins; J. de Paula (2006). Physical Chemistry, 8th Edition. Oxford University Press.
    Häufig gestellte Fragen zum Thema Maxwell-Boltzmann-Verteilung

    Was ist ein ideales Gas? 

    Ein ideales Gas ist eine vereinfachte Darstellung eines realen Gases. In einem idealen Gas haben die Gasteilchen kein eigenes Volumen, sie üben keine Wechselwirkungen aufeinander aus und sie rotieren sowie schwingen nicht.

    Ihre Energie entspricht der Bewegungsenergie, die sich durch Zusammenstöße miteinander und mit anderen Hindernissen erhöht oder senkt.

    Was besagt die Maxwell-Boltzmann-Verteilung? 

    Sie zeigt Dir die Verteilung der verschiedenen Geschwindigkeiten, die Gasmoleküle bei einer bestimmten Temperatur annehmen.

    Warum haben Teilchen unterschiedliche Geschwindigkeiten? 

    Durch Zusammenstöße miteinander oder mit anderen Hindernissen verändern sich die Geschwindigkeiten der Teilchen ununterbrochen.

    Warum verdampfen Flüssigkeiten auch weit unterhalb ihrer Siedetemperatur? 

    Den Grund dafür siehst Du anhand einer Maxwell-Boltzmann-Verteilung. Einige wenige Teilchen haben dennoch sehr hohe Geschwindigkeiten, sodass sie sich von der Flüssigkeit lösen.

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