Maxwell-Boltzmann-Verteilung

Bestimmt kennst Du das Problem: Wenn Du im Sommer eine Flasche Sprudelwasser in der prallen Sonne liegen lässt und sie danach öffnest, um einen – jetzt nicht mehr ganz so – erfrischenden Schluck davon Deine sommertrockene Kehle runterlaufen zu lassen, zischt sie Dir vorwurfsvoll entgegen. Warum will die Kohlensäure in Deinem Mineralwasser eigentlich lieber in die Luft und nicht in Deinen Bauch? Und warum verdunstet Wasser mit steigender Temperatur plötzlich schneller? Die Antworten auf diese Fragen und noch viel mehr findest Du in dieser leicht verständlichen Erklärung zur Maxwell-Boltzmann-Verteilung.

Maxwell-Boltzmann-Verteilung – Anwendung in der kinetischen Gastheorie

Die Maxwell-Boltzmann-Verteilung ist ein Modell der Thermodynamik und spielt eine wichtige Rolle in der kinetischen Gastheorie.

Bei einem solchen Graphen handelt es sich um eine statistische Geschwindigkeitsverteilung der Teilchen eines idealen Gases. Denn die Geschwindigkeiten der Teilchen eines Gases sind nie genau gleich. Durch Zusammenstöße miteinander oder mit den Gefäßwänden sind sie unterschiedlich schnell, was sich anhand einer Kurve veranschaulichen lässt.

In dieser Erklärung wird gezielt der Begriff Teilchen verwendet, da Maxwell-Boltzmann-Verteilungen nicht nur auf gasförmige Atome, sondern auch auf gasförmige Moleküle angewendet werden können. Auch wenn die Maxwell-Boltzmann-Verteilung streng genommen nur auf ideale Gase angewendet werden kann, ist sie dennoch hilfreich, um reale Prozesse besser verstehen zu können.

Maxwell-Boltzmann-Verteilung – Erklärung des Kurvenverlaufs

Im Folgenden lernst Du, wie Du eine Maxwell-Boltzmann-Verteilung interpretierst und wie Du mithilfe der Teilchengeschwindigkeit die kinetische Energie eines Teilchens ermitteln kannst.

Achsen – Anzahl der Teilchen mit bestimmter Geschwindigkeit

Geschwindigkeit

Auf der x-Achse wird meistens die Geschwindigkeit der einzelnen Teilchen abgebildet und in seltenen Fällen die Energie.

Anzahl der Teilchen

Auf der y-Achse wird in der Regel die Anzahl der Teilchen dargestellt. Eine Maxwell-Boltzmann-Verteilung zeigt Dir also, wie oft die unterschiedlichen Teilchengeschwindigkeiten vorkommen.

Ein höherer Wert entlang der y-Achse bedeutet, dass es mehr Teilchen gibt, die diese eine Geschwindigkeit entlang der x-Achse aufweisen. Wenn Du die dargestellten Teilchen zusammenzählst, erhältst Du die Gesamtzahl, was der Fläche unter der Kurve entspricht.

Wahrscheinlichste Geschwindigkeit

Das Maximum, also der höchste Punkt der Kurve, wird als wahrscheinlichste Geschwindigkeit der Teilchen bezeichnet, da die meisten Teilchen diese Geschwindigkeit haben. Berechnet wird sie so:

$\hat{v}=\sqrt{\frac{2·k_B·T}{m}}=\sqrt{\frac{2·R·T}{M}}$

Dabei stehen k_B für die Boltzmann-Konstante, T für die Temperatur, m für die Teilchenmasse, R für die universelle Gaskonstante und M für die Molare Masse eines Stoffes.

Bei der Boltzmann-Konstante k_B (1,381·10^-23 $\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}$) und der universellen Gaskonstante R (8,314 $\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{mol}·\mathrm{K}}$) handelt es sich um gleichbleibende Werte. Daher hängt die Teilchengeschwindigkeit immer nur von der Masse und der Temperatur ab. T steht über dem Bruchstrich, also steigt die Geschwindigkeit mit steigender Temperatur. Umgekehrt ist es bei der Masse: Je schwerer ein Teilchen ist, desto langsamer ist es.

Mittlere Geschwindigkeit

Die mittlere Geschwindigkeit ist der Durchschnittswert, also die durchschnittliche Teilchengeschwindigkeit. Ab diesem Punkt haben genau die Hälfte aller Teilchen eine höhere und die andere Hälfte eine niedrigere Geschwindigkeit. Die Durchschnittsgeschwindigkeit wird wie folgt berechnet:

$\overline{v}=\sqrt{\frac{8·k_B·T}{\pi ·m}}=\sqrt{\frac{8·R·T}{\pi ·M}}$

Quadratisch gemittelte Geschwindigkeit

Viel wichtiger als die beiden anderen Werte ist aber die quadratisch gemittelte Geschwindigkeit, weil Du mit ihrer Hilfe die kinetische Energie eines Teilchens berechnen kannst. Sie ist im Vergleich zu den beiden anderen Teilchengeschwindigkeit am höchsten und wird wie folgt definiert:

$\sqrt{\overline{v^2}}=\sqrt{\frac{3·k_B·T}{m}}=\sqrt{\frac{3·R·T}{M}}$

Maxwell-Boltzmann-Verteilung – Einfluss der Temperatur

Wenn Du einen Behälter mit Gasteilchen erhitzt, führst Du Energie zu. Im Sommer passiert das ungewollt mit der Kohlensäure Deiner Flasche Sprudelwasser, wenn Du sie auf der Wiese an der prallen Sonne liegen lässt. Immer mehr Gasteilchen haben genügend Energie, um sich von den Bindungskräften in der Flüssigkeit zu lösen und in die Gasphase überzugehen. Das Gleiche passiert übrigens auch, wenn Du die Flasche schüttelst. Auch auf diese Weise erhöhst Du die Energie.

Wie Du im vorherigen Abschnitt gesehen hast, führt eine höhere Temperatur zu einer höheren Geschwindigkeit der Gasteilchen und damit auch zu einer höheren kinetischen Energie.

Das Maximum, also die wahrscheinlichste Geschwindigkeit, wandert bei einer höheren Temperatur nach rechts und liegt jetzt bei einem höheren Wert. Außerdem wird die Kurve flacher. Das heißt, dass weniger Teilchen den Wert der wahrscheinlichsten Geschwindigkeit annehmen. Zusätzlich erreichen jetzt mehr Teilchen höhere Werte. Das ist auch der Grund dafür, warum bei höheren Temperaturen mehr Teilchen aus dem flüssigen in den gasförmigen Zustand übergehen. Sie haben eine genügend hohe Geschwindigkeit, um sich von den intermolekularen Kräften, die in einer Flüssigkeit vorherrschen, zu lösen.

Bei einer Senkung der Temperatur wird der Kurvenverlauf steiler und das Maximum verschiebt sich nach links. Die wahrscheinlichste Geschwindigkeit wird kleiner, allerdings weisen jetzt mehr Gasteilchen diesen Wert auf. Auch die Anzahl an Teilchen, die sehr hohe Geschwindigkeiten annehmen, nimmt ab. Deswegen verdampfen Flüssigkeiten bei niedrigen Temperaturen langsamer. Beachte jedoch, dass es immer noch vereinzelt Teilchen gibt, die hohe Werte erreichen. Das bedeutet, auch Teilchen einer kalten Flüssigkeit verdampfen und werden gasförmig. Der Vorgang dauert einfach nur länger.